Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1.
Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.
2.
W zadaniach od 1. do 25. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.
3.
Rozwiàzania zadaƒ od 26. do 33. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
4.
Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5.
Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.
6.
Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7.
Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.
8.
Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
ARKUSZ 10
MATURA 2010
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON
na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà
ZADANIA ZAMKNI¢TE
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.
Zadanie 1. (1 pkt)
Jasiek ma w swojej bibliotece tylko ksià˝ki przyrodnicze i przygodowe. Ksià˝ek przyrodniczych ma
8
, co stanowi
%
20
wszystkich jego ksià˝ek. Wynika stàd, ˝e liczba ksià˝ek przygodowych JaÊka, to:
A. 32
B. 40
C. 16
D. 10
Zadanie 2. (1 pkt)
Kwot´ 1000 z∏ wp∏acamy do banku na 2 lata. Kapitalizacja odsetek jest dokonywana w tym banku co
kwarta∏, a roczna stopa procentowa wynosi %
6
. Po dwóch latach otrzymamy kwot´:
A.
,
1000
1 06
2
$
_
i
B.
,
1000
1 06
8
$
_
i
C.
,
1000
1 015
2
$
_
i
D.
,
1000
1 015
8
$
_
i
Zadanie 3. (1 pkt)
Wyra˝enie W
7
2
2
7
40
30
=
c
c
m
m
jest równe:
A. 1
B.
7
2
10
c m
C.
7
2
70
c m
D.
7
2
1200
c m
Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba a
9
log 4
3
=
jest równa:
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
Zadanie 5. (1 pkt)
Wyra˝enie W
x
xy
y
25
4
12
9
2
2
=
-
+
-
w postaci iloczynowej ma postaç:
A. W
x
y
5
2
3
2
=
-
+
_
i
B.
x
y
x
y
5
2
3
5
2
3
-
+
+
-
_
_
i
i
C. W
x
y
5
2
3
2
=
-
-
_
i
D.
x
y
x
y
5
2
3
5
2
3
-
-
+
-
_
_
i
i
Zadanie 6. (1 pkt)
Dziedzinà wyra˝enia W
x
x
x
x
4
6
9
25
2
2
=
+
+
+
-
_
a
i
k
jest zbiór:
A.
,
,
,
R
5
4
3 5
[ - - -
#
-
B.
,
, ,
R
5
4 5 3
[ - -
#
-
C.
,
R
4 3
[ -
#
-
D.
,
R
4
3
[ - -
#
-
Zadanie 7. (1 pkt)
Zbiorem rozwiàzaƒ nierównoÊci
<
x
x
5
2
-
jest:
A.
, 5
3
-
-
_
i
B.
,
5
3
-
+
_
i
C.
,
,
5
0
,
3
3
-
-
+
_
_
i
i
D.
,
5 0
-
_
i
Zadanie 8. (1 pkt)
Funkcja ( )
f x
m
x
x
3
5
1
2
= -
-
+
+
_
i
osiàga wartoÊç najwi´kszà dla:
A.
,
m
3
3
! -
_
i
B.
,
m
3
3
! -
-
_
i
C.
,
m
3
3
!
+
_
i
D.
,
m
3 3
! -
_
i
Zadanie 9. (1 pkt)
Gdy przesuniemy wykres funkcji ( )
f x
x
2
=
o 5 jednostek w lewo i 3 jednostki w dó∏, to otrzymamy
wykres funkcji:
A. y
x
5
3
2
=
+
-
_
i
B. y
x
5
3
2
=
+
+
_
i
C. y
x
5
3
2
=
-
-
_
i
D. y
x
5
3
2
=
-
+
_
i
Matematyka. Poziom podstawowy
3
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 10. (1 pkt)
Do wykresu funkcji liniowej y
ax
b
=
+
nale˝à punkty
,
,
,
A
B
2
7
1 2
= -
-
=
_
_
i
i
. Wynika stàd, ˝e:
A. a
b
3
1
/
= -
= -
B. a
b
3
1
/
=
= -
C. a
b
3
1
/
= -
=
D. a
b
3
1
/
=
=
Zadanie 11. (1 pkt)
Dziedzinà funkcji f okreÊlonej wzorem ( )
log
f x
x
4
2
=
+
a
k
jest zbiór:
A.
,
R
2 2
[ -
#
-
B.
,
,
2
2
,
3
3
-
-
+
_
_
i
i
C.
,
2 2
-
_
i
D. R
Zadanie 12. (1 pkt)
Zbiorem wartoÊci funkcji f okreÊlonej wzorem ( )
f x
2
x
1
=
-
jest zbiór:
A. ,
0 1
_
i
B. ,
0
3
+
_
i
C.
,
1
3
-
+
_
i
D. ,
1
3
+
_
i
Zadanie 13. (1 pkt)
Dany jest ciàg o wzorze na ogólny wyraz a
n
2
7
n
=
-
. Ten ciàg:
A. ma nieskoƒczenie wiele wyrazów dodatnich
B. ma 14 wyrazów dodatnich
C. ma 13 wyrazów dodatnich
D. nie ma wyrazów dodatnich
Zadanie 14. (1 pkt)
Liczby
,
3
2
3
2
1
+
+
`
j
sà poczàtkowymi wyrazami ciàgu arytmetycznego. Trzeci wyraz tego
ciàgu jest równy:
A. 3
3 2
-
B. 3
3 2
+
C. 2 3
2
-
D. 3
2
+
Zadanie 15. (1 pkt)
W ciàgu geometrycznym pierwszy wyraz a
256
1
=
, a iloraz q
2
1
= -
. Siódmy wyraz tego ciàgu jest
równy:
A. 4
-
B. 2
-
C. 2
D. 4
Zadanie 16. (1 pkt)
Suma n poczàtkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:
A. S
n
n
2
=
B. S
n
n
n
2
=
+
C. S
n
2
n
2
=
D. S
n
n
2
2
n
2
=
+
Zadanie 17. (1 pkt)
Liczba cos 46c jest:
A. mniejsza od
2
1
B. wi´ksza od
2
2
C. mniejsza od
2
3
D. wi´ksza od cos 44c
Zadanie 18. (1 pkt)
Wyra˝enie
sin
cos
W
1
2
=
-
a
a mo˝na zapisaç w postaci:
A. 1
B. sin
a
C. cos
a
D.
sin
1
a
Zadanie 19. (1 pkt)
Przyprostokàtne trójkàta prostokàtnego majà d∏ugoÊci 3 i 4. Wynika stàd, ˝e tangens mniejszego z kà-
tów ostrych jest równy:
A.
5
4
B.
5
3
C.
4
3
D.
3
4
4
Zadanie 20. (1 pkt)
Stosunek pól dwóch kó∏ jest równy 4. Wynika stàd, ˝e promieƒ wi´kszego ko∏a jest wi´kszy od
promienia mniejszego ko∏a:
A. o 4
B. o 2
C. 4 razy
D. 2 razy
Zadanie 21. (1 pkt)
Dana jest prosta l o równaniu y
x
3
2
7
=
-
. Prosta k jest prostopad∏a do prostej l i przechodzi przez punkt
,
P
6 1
= -
_
i
. Prosta k ma wzór:
A. y
x
3
2
3
= -
-
B. y
x
2
3
10
= -
-
C. y
x
3
2
4
= -
-
D. y
x
2
3
8
= -
-
Zadanie 22. (1 pkt)
Dana jest prosta l o równaniu y
x
3
5
2
= -
+
. Prosta k o równaniu y
a x
1
3
5
= - -
-
_
i
jest równoleg∏a do
prostej l. Wynika stàd, ˝e:
A. a
9
2
=
B. a
9
8
=
C. a
2
= -
D. a
9
8
= -
Zadanie 23. (1 pkt)
Odleg∏oÊç punktu
,
A
7 3
=
`
j
od poczàtku uk∏adu wspó∏rz´dnych jest równa:
A. 3
B. 7
C. 10
D. 4
Zadanie 24. (1 pkt)
Pole powierzchni bocznej sto˝ka o kàcie rozwarcia 60c i wysokoÊci h
6 3
=
jest równe:
A. 144
r
B. 72
r
C. 108
r
D. 216
3
r
Zadanie 25. (1 pkt)
Rzucamy dwiema szeÊciennymi kostkami do gry. Prawdopodobieƒstwo tego, ˝e suma wyrzuconych
oczek wyniesie co najwy˝ej 8, jest równe:
A.
36
28
B.
36
26
C.
36
15
D.
36
5
Matematyka. Poziom podstawowy
5
Matematyka. Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 26. do 33. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod
treÊcià zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e liczba a
3
3
27
29
=
+
jest podzielna przez 30.
Zadanie 27. (2 pkt)
Roz∏ó˝ na czynniki mo˝liwie najni˝szego stopnia wielomian ( )
W x
x
x
x
5
16
80
3
2
=
+
-
-
.
6
Zadanie 28. (2 pkt)
Sprawdê, czy równe sà wielomiany:
( )
W x
x
x
x
2
2
3 2
3
1
3
=
+
-
+
-
_
_
_
i
i
i
i W x
x
x
x
x
5
1
7
11
22
2
2
2
=
-
+
+
+
+
_
_
a
i
i
k
.
Zadanie 29. (2 pkt)
Dana jest funkcja f okreÊlona wzorem ( )
f x
x
x
2
2
=
+ -
. Wyznacz dziedzin´ i zbiór wartoÊci tej
funkcji.
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 30. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e nie istnieje kàt
a, taki, ˝e cos
5
3
=
a
i tg
4
3
=
a
.
8
Zadanie 31. (5 pkt)
Trzy liczby, których suma jest równa 45, tworzà ciàg arytmetyczny. JeÊli drugà liczb´ powi´kszymy
o 3, a trzecià liczb´ powi´kszymy o 9, to otrzymamy ciàg geometryczny. Wyznacz te liczby.
Matematyka. Poziom podstawowy
9
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 32. (5 pkt)
Zewn´trznie styczne okr´gi o Êrodkach ,
S S
1
2
i promieniach ,
r r
1
2
( >
)
r
r
1
2
sà styczne do prostej l. Kàt
mi´dzy prostà przechodzàcà przez Êrodki okr´gów i prostà l ma miar´ 30c. Wyznacz d∏ugoÊci
promieni okr´gów, jeÊli wiadomo, ˝e ich suma jest równa 24.
10
Zadanie 33. (5 pkt)
Podstawà graniastos∏upa jest trójkàt prostokàtny równoramienny o ramieniu d∏ugoÊci 9. Kàt mi´dzy
przekàtnà najwi´kszej Êciany bocznej i wysokoÊcià graniastos∏upa jest równy 60c. Oblicz pole
powierzchni bocznej i obj´toÊç tego graniastos∏upa.
Matematyka. Poziom podstawowy
11