ZAD. 1
Oblicz pole tego obszaru ograniczonego krzywą
i parabolą
, który znajduje się
w I ćwiartce układu współrzędnych.
Najpierw szukamy punktów, w których te krzywe się przecinają. W tym celu porównujemy ich równania.
Zatem krzywe przecinają się w trzech punktach:
,
i
.
Interesuje nas obszar ograniczony tymi krzywymi i zawarty w pierwszej ćwiartce układu. Jest on opisany
nierównościami
a zatem jego pole równa się
ZAD. 2
Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolami
i
.
Wyznaczmy punkty wspólne danych parabol.
Szkicujemy teraz obrazek.
Z rysunku widać, że szukane pole jest równe
ZAD. 3
Oblicz pole obszaru ograniczonego hiperbolą
i prostą
.
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Widać, że wykresy danych funkcji przetną się w dwóch punktach, sprawdźmy w jakich.
Zatem interesujące nas pole jest równe
ZAD. 4
Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolą
i prostą
.
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Z obrazka widać, że szukane pole jest różnicą pól zawartych poniżej wykresów
i
na przedziale
.
ZAD. 5
Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolą
i prostą
.
Wyznaczmy najpierw punkty wspólne podanych krzywych.
Teraz łatwo wykonać szkicowy rysunek.
Z obrazka widać, że szukane pole jest równe
ZAD. 6
Oblicz pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego krzywą
, prostymi
i
oraz osią
.
Interesujący na obszar leży z pewnością powyżej osi
, więc szukane pole jest równe
ZAD. 7
Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolami
i
.
Wiadomo jak wygląda parabola
, a parabola
powstaje z tej poprzedniej przez symetrię
względem prostej
(zamieniamy role osi
i
).
Gdy zrobimy rysunek to widać, że szukane pole jest równe
ZAD. 8
Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy parabolą
i prostą
.
Aby wyznaczyć punkty przecięcia tych linii rozwiązujemy równanie kwadratowe
Zatem dane krzywe przecinają się w punktach
i
.
Zauważmy, że interesujący nas obszar możemy opisać nierównościami
zatem jego pole równa się
ZAD. 9
Obliczymy pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji
Aby wyznaczyć granice całkowania znajdujemy punkty przecięcia się krzywych rozwiązując układ równań
Dostajemy
Zatem szukane pole D jest wyznaczone przez funkcje f i g na przedziale [-1, 1], na którym zachodzi nierówność
f(x) ≥ g(x) (rys. 10.4).
Rys. 10.4
Obliczamy szukane pole wykorzystując jego symetrię względem osi Oy (parzystość funkcji podcałkowej)
Rozwiązując układ równań
dostajemy punkty przecięcia się krzywych (0, 0) oraz (1, 1).
Rys. 10.5
Na przedziale [0, 1] spełniony jest warunek f
g(x) (rys. 10.5), więc pole figury jest równe
ZAD. 10
Oblicz pole figury ograniczonej liniami o podanych równaniach: y = - x
2
+ 2x + 3 , y = 0;
(-1,0) (3,0)
-x
2
+ 2x + 3 = 0 /(-1)
x
2
– 2x – 3 = 0 Þ x = -1 lub x = 3.
Szukane pole znajduje się pod linią y = - x
2
+ 2x + 3,
nad linią y = 0
ZAD. 11
Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi o podanych równaniach:
y = x
4
– x
3
– x
2
+ x , y = 0;
Obszar, którego pole mamy policzyć zaznaczony jest na rysunku.
Szkicujemy wykres funkcji, wyznaczając miejsca zerowe.
x
4
– x
3
– x
2
+ x = x
3
(x – 1) – x(x – 1) = (x – 1)(x
3
– x) =
= x(x – 1)(x
2
– 1) = x(x + 1)(x – 1)
2
y = 0 x(x + 1)(x – 1) = 0
x = -1 x = 0 x = 1.
ZAD. 12
Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi o podanych równaniach:
y = - x
2
– 2x + 4 , y = x
2
+ 4x + 4
x
2
+ 4x + 4 = -x
2
– 2x + 4 2x
2
+ 6x = 0
2x(x + 3) = 0 x = 0 lub x = - 3
dla x = 0 y = 4
dla x = -3 y = 1
ZAD. 13
Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi o podanych równaniach:
Szukane pole, to pole pod czerwoną linią w przedziale [0 ; 1] + (plus) pole pod niebieską linią w przedziale [1 ;
2]
– (minus) pole pod czarną linią w przedziale [0 ; 2]. Zapis poprawny to:
ZAD. 14 Wyznacz pole powierzchni pod krzywą y = 2x
2
+ 2x -1 w granicach pomiędzy a = 5 i b = 2.
Rozwiązanie:
Trzeba wyznaczyć następującą całkę ∫
5
2
y dx =∫
5
2
(2x
2
+ 2x - 1) dx
Pole powierzchni =∫
5
2
(2x
2
+ 2x - 1) dx = [(2
3
3
x
+ 2
2
2
x
- x)]
5
2
(2
5
)
5
(
5
+ 2
2
)
5
(
2
- 5) – (2
5
)
2
(
5
+ 2
2
)
2
(
2
- 2) =
= [83,33 + 25 - 5] - [ 5,33 + 4 – 2] = 103,33 – 7,33 = 96
ZAD. 15 Pole powierzchni zamknięte dwoma funkcjami.
Rozważmy pole powierzchni zawarte pomiędzy, y = x
2
i y = 2x, które to krzywe możecie zobaczyć na rysunku
13.2.
Rys.13.2.
Rysunek pokazuje, że funkcje przecinają się w punktach (0,0) oraz (2,4). Można to otrzymać rozwiązując dwa
równania równoczesne y = 2x oraz y = x
2
x
2
= 2x
x
2
- 2x = 0
x (x - 2) = 0
i wtedy x = 0 lub x = 2
Jeżeli x = 0 wtedy y = 0 lub, jeżeli x = 2 wtedy to y = 4
Jak jest to pokazane na rysunku 13.2. w postaci zakreskowanej powierzchni. Ta różnicowa powierzchnia jest
równa różnicy pomiędzy całkami oznaczonymi y = 2x i y = x
2
w punktach przecięcia się obydwu funkcji.
Pole powierzchni = ∫
2
0
2x dx - ∫
2
0
x
2
dx
= 2[
2
2
x
-
3
3
x
]
2
0
= (2
2
)
2
(
2
-
3
)
2
(
3
) – (0 – 0) = 4 – 2,66 =
= 1,33 jednostek kwadratowych.
ZAD. 16 Znajdźcie pole powierzchni zawarte pomiędzy krzywą y = -x
2
+ 4x i równaniem prostej y = x + 2.
Rozwiązanie:
W punktach przecięcia się funkcji punkty y mają tą samą wartość. Wartości punktów granicznych można
obliczyć rozwiązując równania równocześnie. I tak:
-x
2
+ 4x = x + 2
co znaczy, że
x
2
- 3x + 2 = 0
lub (x - 1)(x - 2) = 0
wtedy to
x = 1 lub x = 2
Wartości tych punktów oraz obydwie krzywe są przedstawione na rysunku 13.3.
Rys.13.3.
Pole ABC = Pole ABCE - Pole ACDE
=∫
2
1
(- x
2
+ 4x) dx - ∫
2
1
(x + 2) dx = ∫
2
1
(-x
2
+3x -2) dx =
= [-
3
3
x
+ 3
2
2
x
-2x]
2
1
= [-
3
)
2
(
3
+ 3
2
)
2
(
2
-2(2)] – [-
3
)
1
(
3
+ 3
2
)
1
(
2
-2(1)]
= -
3
8
+ 3
2
4
– 4 +
3
1
- 3
2
1
+ 2 = 0,16 jednostek kwadratowych.
