PODSTAWY
ANALIZY
NIEZAWODNOŚCI
dr inż. Marek Matyjewski
Politechnika Warszawska
Wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa
PODSTAWY
ANALIZY
NIEZAWODNOŚCI
dr inż. Marek Matyjewski
Politechnika Warszawska
Wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa
Ryzyko w systemie C-T-O
⋅
=
zagrożenia
miara
zawodności
miara
ryzyka
miara
Człowiek
Technika
Środowisko
PODSTAWOWE POJĘCIA
Zdarzenie niepożądane jest to zdarzenie, którego
zajście w rozpatrywanym systemie C-T-O wywołuje w
efekcie zagrożenie dla chronionych dóbr.
Niesprawność jest to zdarzenie niepożądane
pojawiające się w ramach podsystemu C-T.
Niesprawność obiektu jest to każde zdarzenie
uniemożliwiające fizycznie lub umownie spełnianie
przewidzianych dla niego funkcji.
Uszkodzenie, awaria
PODSTAWOWE POJĘCIA
Niezawodność - zdolność obiektu do prawidłowego
funkcjonowania w określonym czasie bez niesprawności.
System C-T
Człowiek (np. operator)
Zespół ludzi
Obiekt techniczny
Podzespół obiektu technicznego
Element obiektu technicznego
…
Stan niezawodnościowy obiektu
stan zdatno
stan zdatno
ś
ś
ci, stan niezdatno
ci, stan niezdatno
ś
ś
ci
ci
Czas funkcjonowania -
τ
Czas odnawiania
-
ϑ
Trwałość
-
t
rw
Przebieg procesu eksploatacji
obiektu
obiekt
nie
odnawiany
Przebieg procesu eksploatacji
obiektu
obiekt odnawiany
MIARY NIEZAWODNOŚCI
R(t) = P{
R(t) = P{
T
T
> t}
> t}
Przykłady realizacji czasu funkcjonowania
obiektu do wystąpienia niesprawności
MIARY NIEZAWODNOŚCI
R(t) = P{
R(t) = P{
T
T
> t}
> t}
Q(t) = 1 - R(t)
o
n
)
(
b
1
)
(
Rˆ
t
t
−
=
estymator funkcji niezawodno
estymator funkcji niezawodno
ś
ś
ci
ci
n
o
- liczebność próbki
b(t)
- liczba uszkodzonych obiektów do chwili t
Intensywność niesprawności
Intensywność niesprawności
λλλλ
λλλλ
to prawdopodobieństwo
wystąpienia niesprawności obiektu w jednostce czasu
następującej bezpośrednio po chwili
t
t, pod warunkiem że w chwili
t
t obiekt jest zdatny do funkcjonowania.
Intensywność niesprawności
( )
∫
=
−
t
τ
τ
0
)
(
d
e
t
R
λ
Gdy
λλλλ=const
t
)
(
λ
−
= e
t
R
Rozkład wykładniczy
( )
( )
( )
;
1
;
1
;
;
1
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
=
=
−
=
=
−
−
−
VT
ET
e
t
f
e
t
Q
e
t
R
t
t
t
krzywa gęstości rozkładu wykładniczego
w zależności od parametru
λ = const.
Intensywność niesprawności
Estymator
intensywności niesprawności
n(t) - liczebność próbki w chwili t
b(t,t+
∆t) - liczba obiektów, które uległy niesprawnościom
w okresie (t,t+
∆t)
( )
( )
t
t
n
t
t
t
b
t
∆
⋅
∆
+
=
)
,
(
ˆ
λ
Przebieg intensywności
niesprawności
Typowy przebieg intensywności niesprawności obiektu technicznego
Zadanie
Intensywność uszkodzeń przekładni zębatej jest
stała (obiekt się nie starzeje) i wynosi 10
-5
[1/h].
Przewidywany czas pracy przekładni 10 000 [h].
Jakie jest prawdopodobieństwo funkcjonowania
przekładni bez uszkodzeń w ciągu:
•Pierwszych 100 h
•Przewidywanego czasu pracy
•Ostatnich 100 h
0,999
0,9048
0,999
t
)
(
λ
−
= e
t
R
999
0
001
0
100
00001
0
,
)
(
,
,
=
=
=
−
⋅
−
e
e
t
R
Przebieg intensywności
niesprawności
Przebieg intensywności zgonów mężczyzn (— 1978, --- 1994)
i kobiet (— 1978, 1994) w Polsce
MTTF & MTBF
∫
∫
∞
∞
=
⋅
=
0
0
)
(
)
(
dt
t
R
dt
t
f
t
EΤ
E
E
T
T
–
–
M
M
ean
ean
T
T
ime
ime
T
T
o
o
F
F
ailure
ailure
Dla obiektów
nie
odnawianych
E
E
T
T
–
–
M
M
ean
ean
T
T
ime
ime
B
B
etween
etween
F
F
ailures
ailures
T – zmienna losowa,
w analizie niezawodności
time
time
-
-
to failure
to failure
Dla obiektów odnawianych
Miary niezawodności charakterystyczne
dla obiektów odnawianych
Gotowo
Gotowo
ść
ść - ważna cecha systemów
przeciwdzia
przeciwdzia
ł
ł
ania
ania
zagro
zagro
ż
ż
eniom
eniom
(np. systemów ratownictwa)
Wsp
Wsp
ó
ó
ł
ł
czynnik gotowo
czynnik gotowo
ś
ś
ci
ci
K
K –
prawdopodobieństwo przebywania obiektu w stanie
zdatności w dowolnej chwili
ET i E
θθθθ
- wartości oczekiwane (średnie) czasów przebywania
obiektu w stanie zdatności i w stanie niezdatności
MTTF =
12
,
λ =
0.083
[1/rok]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
5
10
15
20
R(t)
czas [lata]
12
t
e
−
Zadanie
Zauważono, że średni czas użytkowania zakrętomierzy
w szybowcach wynosi 12 lat. Wiedząc, że czas
zdatności tych zakrętomierzy ma rozkład wykładniczy
należy określić:
czas, po którym niezawodność zakrętomierzy spadnie
do 0,5 (zapas zdatności)
niezawodność zakrętomierzy w ciągu 5 lat
R(
5
) =
0.66
t (
0.5
) =
8.32
lat
Zadanie
Samolot bezzałogowy musi mieć niezawodność powyżej
0,99
w czasie misji trwającej
10 godzin
.
Jaki powinien mieć co najmniej średni czas do
uszkodzenia (
MTTF
), przy założeniu rozkładu
wykładniczego ?
R(
10
)
≥
0.99
ET =1/
λ ≥
995 h
STRUKTURA
NIEZAWODNOŚCIOWA
Struktura niezawodno
Struktura niezawodno
ś
ś
ciowa
ciowa określa zależność
niezawodności obiektu od niezawodności jego
elementów
Sposoby graficznego przedstawiania struktur
niezawodnościowych:
•
schematy blokowe
•
drzewa niesprawności
STRUKTURA
NIEZAWODNOŚCIOWA
Podstawowe struktury niezawodnościowe
¾
szeregowe
¾
równoległe
¾
„k z m”
¾
z rezerwą
Struktura szeregowa
T, T
i
(i = 1, 2, ..., m)
Przykłady: ..., pracownik-obrabiarka, zespół ludzi wykonujących
określone zadanie, ...
Przykład struktury szeregowej
Przykład:
5
identycznych żarówek o ET
i
=
100 h
ET = 100/5 = 20 h
m
ET
ET
i
=
Struktura równoległa
∏
=
=
m
i
t
1
i
Q
Q(t)
)
(
Przykład struktury równoległej
Przykład:
5
identycznych żarówek o ET
i
=
100 h
ET = 100(1+1/2+1/3+1/4+1/5) = 228 h
+
+
+
+
+
=
m
ET
ET
i
1
...
4
1
3
1
2
1
1
Struktura z rezerwą
elementy rezerwowe
element podstawowy
Rezerwa nieobci
Rezerwa nieobci
ąż
ąż
ona
ona
Przykład struktury z rezerwą
Przykład:
5
identycznych żarówek o ET
i
=
100 h
ET = 5*100 = 500 h
ET
m
ET
s
⋅
=
Struktura z rezerwą
elementy rezerwowe
element podstawowy
Rezerwa obci
Rezerwa obci
ąż
ąż
ona
ona
Rezerwa ulgowa
Przykłady: ...; systemy, w których niesprawności mogą stwarzać
duże zagrożenie (duże instalacje chemiczne,
elektrownie jądrowe, systemy ratownictwa)
Zadanie
System o strukturze szeregowej składa się z m
identycznych elementów o niezawodności
R(t
k
)=
0,95
. Z ilu elementów może składać się ten
system, aby jego niezawodność R
s
(t
k
)>=
0,8
?
m = ?
m = 5.47,
m = 5
Zadanie
System składa się z 2 identycznych elementów o
intensywności λ=
0,01
[1/h]. Określić wartości
oczekiwane czasów zdatności oraz niezawodności
systemu dla czasu t=
24
[h] dla struktury:
•Szeregowej
•Równoległej
ET=100 h, R (24)=0,787
Sz. ET
s
=100/2 = 50 h, R
s
=0,619
R. ET
s
= 150 h, R
s
=0,954
Procedura modelowania
struktury niezawodnościowej obiektu
1. dokonanie dekompozycji obiektu (podziału na elementy)
2. ustalenie kryteriów niesprawności obiektu
(definicji niesprawności obiektu)
3. wybór struktury niezawodnościowej
zespoły
podzespoły
elementy
fragmenty elementów
głę
boko
ść
deko
m
poz
yc
ji
METODY DRZEW
W ANALIZACH RYZYKA
Do opisu i analiz
Do opisu i analiz
zawodności
zagrożeń
stosuje się także
drzewa niesprawności
metody drzew
drzewa zdarzeń
ryzyka
Drzewo niesprawności
Drzewo niesprawności - graficzny sposób przedstawiania
kombinacji zdarzeń niepożądanych (w tym niesprawności),
jako przyczyn rozpatrywanego zdarzenia niepożądanego
Podstawowe symbole zdarzeń i operacji logicznych:
a)
a) sumy logicznej („lub"),
b)
b) iloczynu logicznego („i"),
c)
c) zdarzenia
podstawowego,
d)
d) zdarzenia pośredniego będącego rezultatem
operacji logicznych,
e)
e) przeniesienia kontynuacji drzewa,
f)
f) zdarzenia chwilowo nierozwijanego
Iloczyn zdarzeń
Suma zdarzeń
Przykład
tworzenia drzewa niesprawności
Instalacja chemiczna
Instalacja chemiczna
1 - czujnik temperatury,
2 - regulator temperatury,
3 - przewód
Wskazanie analizowanego zdarzenia niepożądanego A
(k)
,
którego prawdopodobieństwo Q
(k)
(1) zamierza się określić
A
A
(k)
(k)
=
=
(
(
T
T
>
>
T
T
dop
dop
)
)
Przykład drzewa niesprawności
Przykład drzewa niesprawności
Drzewo niesprawności
opis struktury niezawodno
opis struktury niezawodno
ś
ś
ciowej
ciowej
Zalety
S
prócz informacji graficznej informacja słowna
S
zawiera postacie zdarzeń niepożądanych, które
mogą się pojawiać we fragmentach obiektu
(elementów)
S
bardziej szczegółowy opis niezawodności
obiektu
Zastosowanie metody drzewa
niesprawności
T
jakościowa analiza niezawodności, prowadzona
w celu eliminowania przyczyn niesprawności
T
ilościowe szacowanie i analiza niezawodności, ...
T
szacowanie i analiza ryzyka
prawdopodobieństwa zdarzeń na
najniższym poziomie
Drzewo zdarzeń
Drzewo zdarzeń - graficzny sposób przedstawienia
chronologicznego ciągu zdarzeń, istotnych ze względu na
funkcjonowanie obiektu, występujących po wybranej
niesprawności.
niesprawność instalacji chemicznej
Drzewo zdarzeń dla
instalacji chemicznej
Modelowanie zagrożeń
przy użyciu techniki drzewa zdarzeń
Przykład
ρ
k
- liczba sekwencji w drzewie zdarzeń,
q
(k
ν
)
- prawdopodobieństwo zajścia v-tej sekwencji
Przykład
Przykład obliczeń
prawdopodobieństwa
zdarzenia
szczytowego
Przykład obliczeń prawdopodobieństwa
zdarzenia szczytowego (cd.)
Potrzebne dane liczbowe:
np.
p
p
1
1
,p
,p
2
2
, p
, p
3
3
, p
, p
4
4
Metody pozyskiwania danych:
• statystyczne
• eksperckie
literatura
internet
rejestry wypadków
Przykład obliczeń prawdopodobieństwa
zdarzenia szczytowego (cd.)
Np.
p
1
= 0,008 = 8
⋅10
-3
w 1 roku
p
2
= 0,10
p
3
= 0,005 = 5
⋅10
-3
w 1 roku
p
4
= 0,020 = 20
⋅10
-3
w 1 roku
Q(1)
Q(1) = p
1
+ p
2
p
3
+ p
4
= 8
⋅10
-3
+ 0,5
⋅10
-3
+20
⋅10
-3
=
28,5
28,5
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
10
10
-
-
3
3
Koncepcja metody
modelowania i analizy ryzyka
przy użyciu technik drzew
Przykład zastosowania metod drzew do
modelowania i analizy ryzyka powodziowego
• Szacowanie ryzyka
• Analiza wpływu czynników
uwzględnionych w modelu na
ryzyko strat
podstawa decyzji, np.
o rozsunięciu wałów
MODELOWANIE NIEZAWODNOŚCI
Niezawodno
Niezawodno
ś
ś
ciowy model obiektu
ciowy model obiektu
- układ, który pod
względem niezawodności odwzorowuje obiekt
rzeczywisty i zastępuje go w planowanych analizach
niezawodności
1. Model struktury niezawodnościowej
S
w formie schematu blokowego
Np.
R(t) = R
4
(t)
⋅
{1-[1- R
3
(t)][1- R
1
(t)R
2
(t)]}
S
w formie drzewa niesprawności
MODELOWANIE NIEZAWODNOŚCI
2. Modele niezawodności człowieka
3. Modele zjawisk, które mogą prowadzić do
niesprawności
m
p
X
t
X
Lt
v
t
<
+
=
)
(
)
(
c
X
X
0
}
)
(
{
}
{
)
(
m
X
t
P
t
P
t
R
<
=
>
=
X
T
+
−
−
Φ
=
2
)
)(
(
)
(
)
(
Lt
v
V
V
Lt
v
E
E
X
t
R
p
p
m
c
X
c
X
0
0
Łożysko ślizgowe
shaft
housing
bushing
m
p
X
t
X
Lt
v
t
<
+
=
)
(
)
(
0
c
X
X
METODY SZACOWANIA
I BADAŃ NIEZAWODNOŚCI
METODY SZACOWANIA
I BADAŃ NIEZAWODNOŚCI
Metody oparte na modelach mogą być stosowane
między innymi do badań niezawodności systemów:
S
zapobiegania zdarzeniom niepożądanym
S
przeciwdziałania zagrożeniom
S
ratownictwa
Np. badania symulacyjne różnych wariantów akcji
ratowniczych w celu oceny ich niezawodności itd.
W analizach ryzyka zawodowego
Metody
Metody
•
wykorzystujące modele niezawodności (zawodności)
• statystyczne
• eksperckie
Metody wykorzystujące modele
T
Stosowane głównie do analizy wpływu czynników
uwzględnianych przez model na niezawodność
T
Trudniejsze niż metody statystyczne i metody
eksperckie
T
Mogą być używane zwłaszcza do stanowisk pracy,
z którymi związane są duże zagrożenia
Metody statystyczne
Oparte na danych statystycznych o zdarzeniach
literatura
internet
raporty PIP, GUS
rejestr wypadków w przedsiębiorstwie
W(
∆τ) - zarejestrowana liczba wypadków, spowodowanych przez
zdarzenia A w okresie
∆τ na N rozważanych stanowiskach pracy
f - współczynnik wypadkowości (f < 1)
Metody eksperckie
Opinie ekspertów
Zespół ekspertów
Ankiety
wiedza
doświadczenie
intuicja
Metoda bezpośredniego szacowania
Cel --> Q(1) dla zdarzenia A
Opinie o częstości występowania zdarzenia A
w
w
i
i
= 3
= 3
razy w ciągu 10 lat
n - liczba ekspertów
w
e
- częstość podana przez e. eksperta
WYBÓR POZIOMU NIEZAWODNOŚCI
Zale
Zale
ż
ż
no
no
ść
ść
wydatk
wydatk
ó
ó
w od niezawodno
w od niezawodno
ś
ś
ci
ci
wy
d
at
ki
0
Λ
c
(1) = Q(1) · Z(c)
Pożądany poziom niezawodności
WYBÓR POZIOMU NIEZAWODNOŚCI
ZAGADNIENIA ODNOWY
Rodzaje odnawiania:
Y
po wystąpieniu niesprawności
Y
profilaktyczne
Cel odnawiania profilaktycznego:
zmniejszanie możliwości powstania niesprawności
ZAGADNIENIA ODNOWY
Wpływ odnawiania profilaktycznego na niezawodność obiektu
* Analiza sensowności przeprowadzania odnawiania
profilaktycznego
* Optymalizacja strategii odnawiania
Przykład drzewa zdarzeń