AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

1

§ 1.

Przestrzenie liniowe

Klasyczna analiza matematyczna to ”punktowy” spos´

ob pa-

trzenia na funkcje. Analiza funkcjonalna (AF) traktuje funkcje ca-
lo´sciowo jako wektory odpowiednio dobranej przestrzeni liniowej,
np. C([a, b]) - p. liniowa funkcji cia

‘

g lych na [a, b], C

2

((a, b)) - p.

liniowa funkcji z cia

‘

g la

‘

2-ga

‘

pochodna

‘

na (a, b)). Odwzorowania

na funkcjach (wektorach) nazywane sa

‘

w AF operatorami.

Przyk lady

(a) Uk lad r´

owna´

n liniowych: 2x − 3y = 1, 2x + 2y = 3, mo˙zemy

zapisa´c w postaci r´

ownania operatorowego. Macierz

A =

 2 −3

2

2



okre´sla operator A : R

2

→ R

2

wzorem A([x, y]) = A · [x, y] =

[2x − 3y, 2x + 2y]. Uk lad r´

owna´

n ma teraz posta´c operatorowa

‘

:

A(u) = v, gdzie v = [1, 3].

(b) R´ownanie r´

o˙zniczkowe: u

′′

(t) + 2tu

′

(t) = v(t), gdzie v ∈

C((a, b)) tak˙ze mo˙zna zapisa´c w postaci operatorowej. Wz´

or

A(u)(t) = u

′′

(t) + 2tu

′

(t), u ∈ C

2

((a, b)),

okre´sla operator (r´

o˙zniczkowy) z A : C

2

((a, b)) → C((a, b)) a r.r.

ma teraz posta´c operatorowa

‘

: A(u) = v.

(c) R´ownanie ca lkowe u(x) −

R

1

0

k(x, y)u(y) dy = v(x), gdzie k i

v sa

‘

cig le, tak˙ze mo˙zna zapisa´c w postaci operatorowej A(u) = v

definiuja

‘

c operator (ca lkowy) A : C([0, 1]) → C([0, 1]) wzorem

A(u)(x) = u(x) −

R

1

0

k(x, y)u(y) dy.

Przypomnienie

. Przestrzenia

‘

liniowa

‘

(wektorowa

‘

) nazywamy

niepusty zbi´or X z dzia laniami: x + y i λx, x, y ∈ X, λ ∈ R, oraz
wektorem zerowym 0 o w lasno´sciach: x + y = y + x, x + (y + z) =
(x + y) + z, ∀x ∈ X∃ − x ∈ X x + 0 = x, x + (−x) = 0, 1x = x,
λ(x + y) = λx + λy, λ

1

(λ

2

x) = (λ

1

λ

2

)x, (λ

1

+ λ

2

)x = λ

1

x + λ

2

x.

Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami.

AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

2

W przestrzeniach liniowych mamy: x + y = x + z ⇒ y = z

prawo skracania; 0x = 0; −x jest jedyny; (−1)x = −x.

Przyk lady przestrzeni liniowych

(a) R

k

, k = 1, 2, . . . przestrzenie euklidesowe.

(b) s zbi´

or wszystkich cia

‘

g´

ow liczb rzeczywistych,

s = {(t

k

) : t

k

∈ R, k = 1, 2, . . . },

(t

k

) + (s

k

) = (t

k

+ s

k

), λ(t

k

) = (λt

k

), 0 = (0, 0, . . . ).

(c) R

E

zbi´

or wszystkich funkcji x : E → R,

(x + y)(t) = x(t) + y(t), (λx)(t) = λx(t), 0(t) = 0, t ∈ E.

R

N

= s. R

[a,b]

zbi´

or wsz. funkcji x : [a, b] → R. R

{1,2}

= R

2

.

(d) X × Y , gdy X i Y sa

‘

p.liniowymi.

(e) Ka˙zdy zbi´or 1-elementowy: {0} - przestrze´

n zerowa.

Podprzestrzenie liniowe

Niepusty zbi´or Y nazywamy podprzestrzenia

‘

liniowa

‘

przestrzeni

liniowej X, je´sli: 1) Y ⊂ X, 2) x, y ∈ Y ⇒ x + y ∈ Y , 3) x ∈ Y ,
λ ∈ R ⇒ λx ∈ Y . Ka˙zda podprzestrze´

n liniowa jest przestrzenia

‘

liniowa

‘

. W szczeg´

olno´sci, 0 ∈ X jest tak˙ze zerem przestrzeni Y .

Przyk lady

. Ka˙zda prosta y = ax, a ∈ R, jest podprzestrzenia

‘

liniowa

‘

przestrzeni R

2

. Prosta x = 0 jest tak˙ze podprzestrze-

nia

‘

liniowa

‘

w R

2

. Prosta y = 1 nie jest podprzestrzenia

‘

liniowa

‘

przestrzeni R

2

ale jest przestrzenia

‘

liniowa

‘

, gdy przyjmiemy:

(x

1

, 1) + (x

2

, 1) = (x

1

+ x

2

, 1), λ(x, 1) = (λx, 1), 0 = (0, 1).

Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni s sa

‘

zbiory:

l

∞

zb. wsz. cia

‘

g´

ow ograniczonych liczb rzeczywistych,

(t

k

) ∈ l

∞

⇔ ∃M > 0 ∀k |t

k

| ≤ M .

c

zb. wsz. cia

‘

g´

ow zbie˙znych, (t

k

) ∈ c ⇔ ∃t ∈ R t

k

→ t.

c

0

zb. wsz. cia

‘

g´

ow zbie˙znych do zera, (t

k

) ∈ c

0

⇔ t

k

→ 0.

l

p

zb. wsz. cia

‘

g´

ow bezwzgl. sumowalnych z p-ta

‘

pote

‘

ga

‘

,

(t

k

) ∈ l

p

⇔

P

∞
1

|t

k

|

p

< ∞, p > 0.

AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

3

Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R

[a,b]

sa

‘

zbiory:

C([a, b])

zb. wsz. funkcji cia

‘

g lych x : [a, b] → R.

C

k

((a, b)) zb. wsz. funkcji x : [a, b] → R k-krotnie r´

o˙zniczkowal-

nych w spos´

ob cia

‘

g ly.

Przestrzenie ilorazowe

Niech X p.lin, Y ⊂ X podp.lin. Relacja: x ∼ y ⇔ x − y ∈ Y ,

jest relacja

‘

r´

ownowa˙zno´sci w X. Przestrze´

n ilorazowa

X/Y = X/∼ = {[x] : x ∈ X}, gdzie [x] = {y ∈ X : x ∼ y},

jest przestrzenia

‘

liniowa

‘

z dzia laniami: [x] + [y] = [x + y], λ[x] =

[λx] i zerem ˜

0 = [0] = Y .

Dow´

od

. Relacja x ∼ y jest zwrotna, symetryczna i przechodnia:

x ∼ x ⇔ x − x = 0 ∈ Y , x ∼ y ⇔ x − y ∈ Y ⇔ y − x ∈ Y ⇔
y ∼ x, x ∼ y ∧y ∼ z ⇒ x−y, y −z ∈ Y ⇒ x−y +y −z = x−z ∈ Y
⇒ x ∼ z. Definicje dzia la´

n sa

‘

poprawne (nie zale˙za

‘

od wyboru

reprezentant´ow klas abstrakcji). Niech bowiem x ∼ x

′

, y ∼ y

′

.

Nale˙zy pokaza´c, ˙ze [x] + [y] = [x

′

] + [y

′

] oraz λ[x] = λ[x

′

]. Mamy:

x − x

′

∈ Y , y − y

′

∈ Y , x + y − x

′

− y

′

∈ Y , [x + y] = [x

′

+ y

′

].

Zatem [x] + [y] = [x

′

] + [y

′

]. Podobnie otrzymujemy: x − x

′

∈ Y ,

λ(x − x

′

) ∈ Y . Sta

‘

d: λ(x − x

′

) = λx − λx

′

∈ Y , [λx] = [λx

′

].

Zatem λ[x] = λ[x

′

].

Pozostaje sprawdzi´c ( latwe), ˙ze dzia lania wektorowe i wektor

zerowy spe lniaja

‘

aksjomaty p.lin., np.: [x]+[0] = [x+0] = [x]. 

Uwaga

. ˜0 = {x ∈ X : x − 0 ∈ Y } = {x ∈ X : x ∈ Y } = Y .

Liniowa niezale ˙zno´

s´

c wektor´

ow

Wektory x

1

, . . . , x

n

∈ X nazywamy liniowo niezale˙znymi, je´sli

λ

1

x

1

+ . . . + λ

n

x

n

= 0 ⇒ λ

1

= 0, . . . , λ

n

= 0.

Zbi´or {x

1

, . . . , x

n

} ⊂ X nazywamy wtedy liniowo niezale˙znym.

Dowolny P ⊂ X nazywamy liniowo niezale˙znym, jes li ka˙zdy sko´

n-

czony podzbi´or zbioru P jest liniowo niezale˙zny.

AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

4

Przyk lady

(a) {e

1

, . . . , e

n

} ⊂ R

n

jest liniowo niezale˙zny.

(b) Niech P = {(a

k

) : a ∈ (0, 1)}. Wtedy P ⊂ l

1

i P jest liniowo

niezale˙zny.

Dow´

od

. Dla a ∈ (0, 1) mamy

P

∞
1

a

k

< ∞. Zatem (a

k

) ∈ l

1

,

P ⊂ l

1

. Niech a

1

, . . . , a

n

∈ (0, 1), a

i

6= a

j

dla i 6= j. Wystarczy

pokaza´c, ˙ze wektory (a

k

1

), . . . , (a

k

n

) sa

‘

liniowo niezale˙zne. Niech

λ

1

(a

k

1

) + . . . + λ

n

(a

k

n

) = 0. Wtedy

λ

1

a

1

+ . . . + λ

n

a

n

= 0,

λ

1

a

2

1

+ . . . + λ

n

a

2

n

= 0,

...
λ

1

a

n

1

+ . . . + λ

n

a

n

n

= 0,

...

Wystarczy ograniczy´c sie

‘

do uk ladu n pierwszych r´

owna´

n.

Wyznacznik g l´owny tego uk ladu ma posta´c:









a

1

. . .

a

n

a

2

1

. . .

a

2

n

. . .

a

n

1

. . .

a

n

n









=

= a

1

. . . a

n









1

. . .

1

a

1

. . .

a

n

. . .

a

n

−1

1

. . .

a

n

−1

n









wyznacznik

Vandermonde’a

= a

1

. . . a

n

Q

1≤i<j≤n

(a

j

− a

i

) 6= 0.

Zatem

λ

1

= 0, . . . , λ

n

= 0.

AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

5

Wymiar przestrzeni liniowej

W ka˙zdej przestrzeni liniowej X istnieje co najmniej jeden ma-

ksymalny i liniowo niezale˙zny podzbi´

or B. Wszystkie maksymalne

i liniowo niezale˙zne podzbiory w X sa

‘

r´

ownoliczne. Ka˙zdy z nich

nazywamy baza

‘

Hamela

przestrzeni X.

B ⊂ X jest baza

‘

Hamela w X ⇔ ka˙zdy wektor x ∈ X ma

jednoznaczne przedstawienie w postaci x = α

1

b

1

+ . . . + α

n

b

n

dla

pewnego n ∈ N, pewnych b

1

, . . . , b

n

∈ B i pewnych α

1

, . . . , α

n

∈

R

. Wymiarem przestrzeni liniowej X nazywamy moc dowolnej

bazy Hamela tej przestrzeni, tj., dim X = card B, B - dowolna
baza Hamela w X.

Uwagi

1. Je´sli dim X < ∞, to X nazywamy p.sko´

nczenie wymiarowa

‘

.

Je´sli dim X ≥ ℵ

0

, to X nazywamy p.niesko´

nczenie wymiarowa

‘

i

piszemy dim X = ∞.

2. dim X = k < ∞ ⇔ X jest liniowo izomorficzna z R

k

.

Przyk lady

(a) dim{0} = 0.

(b) dim R = 1, dim R

k

= k.

(c) s

0

= {(t

k

) ∈ s : t

k

= 0 dla p.w. k} jest p.liniowa

‘

. dim s

0

=

ℵ

0

. Zatem dim s

0

= ∞.

Dow´

od

. Wektory e

1

= (1, 0, 0, . . . ), e

2

= (0, 1, 0, 0, . . . ), ... ∈ s

0

sa

‘

liniowo niezale˙zne. Sta

‘

d dim s

0

= ∞. s

0

⊂ s. 

(d) dim l

1

= ∞.

Dow´

od

. Niech P = {(a

k

) : a ∈ (0, 1)} ⊂ l

1

. P jest liniowo

niezale˙zny oraz card (P ) = c > ℵ

0

. Sta

‘

d dim l

1

= ∞.