Matematyka A, klas´

owka, 13 czerwca 2005

Na rozwia,zanie wszystkich zada´n jest 50 lub 90 minut

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

11. Niech A = (3, 2, 1) , B = (2, 2, 1) , C = (0, 0, 0) , D = (1, 1, 1) .

a. Znale´z´c na odcinku AB punkt E taki, ˙ze

−→

AE = 3

−−→

EB .

b. Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny prostopad lej do wektora

−−→

AB przechodza

,

cej przez punkt E .

c. Znale´z´c jakikolwiek niezerowy wektor prostopad ly do obu wektor´ow

−−→

AB ,

−−→

CD .

d. Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny r´ownoleg lej do prostej AB , na kt´orej le˙za

,

punkty C i D .

e. Znale´z´c odleg lo´s´c punktu C od prostej AB .

f. Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu ABCD .

12. Napisa´c definicje

,

warto´sci w lasnej i wektora w lasnego. Znale´z´c warto´sci w lasne macierzy

A =





−1

5 −1

−2

5

0

−1

1

3



 i wektory w lasne im odpowiadaja

,

ce oraz warto´sci w lasne i wektory w lasne

im odpowiadaja

,

ce macierzy A

−1

oraz A

4

.

22. Znale´z´c wszystkie funkcje x , zmiennej t , dla kt´orych

x

00

(t) + 4x

0

(t) + 8x(t) = 4e

−2t

+ 4te

−2t

+ 40e

2t

+ 4e

−2t

cos(2t) − 8t

2

+ 2 .

23. Znale´z´c wszystkie funkcje x , zmiennej t , dla kt´orych

x

00

(t) + 6x

0

(t) + 9x(t) = 216t

2

e

3t

+ 6te

−3t

+ 169 cos(2t) + 27t

2

.

24. Kt´ore z naste

,

puja

,

cych zbior´ow sa

,

przestrzeniami liniowymi rzeczywistymi lub zespolonymi:

4.1 {(x, y) ∈ R

2

:

y

2

= 2x} ;

4.2 {(x; y) ∈ R

2

:

|y| = 2x} ;

4.3 {(x; y; z) ∈ R

3

:

2x + y + 3z = 0} ;

4.4 {(x; y; z) ∈ R

3

:

x

2

+ (y + z)

2

= 0} ;

4.5 {(x; y) ∈ R

2

:

x

3

+ 27y

3

= 0} ;

4.6 zbi´or wszystkich takich cia

,

g´ow (z

n

) liczb zespolonych, ˙ze r´owno´s´c z

n+2

= z

n+1

+z

n

zachodzi

dla n = 0, 1, 2, . . . ;

4.7 zbi´or wszystkich tych funkcji r´o˙zniczkowalnych f na (−∞; ∞) , dla kt´orych f

00

(1) = 3f (2) .