Matematyka A, klas´
owka, 13 czerwca 2005
Na rozwia,zanie wszystkich zada´n jest 50 lub 90 minut
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone!
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
11. Niech A = (3, 2, 1) , B = (2, 2, 1) , C = (0, 0, 0) , D = (1, 1, 1) .
a. Znale´z´c na odcinku AB punkt E taki, ˙ze
−→
AE = 3
−−→
EB .
b. Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny prostopad lej do wektora
−−→
AB przechodza
,
cej przez punkt E .
c. Znale´z´c jakikolwiek niezerowy wektor prostopad ly do obu wektor´ow
−−→
AB ,
−−→
CD .
d. Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny r´ownoleg lej do prostej AB , na kt´orej le˙za
,
punkty C i D .
e. Znale´z´c odleg lo´s´c punktu C od prostej AB .
f. Znale´z´c obje
,
to´s´c czworo´scianu ABCD .
12. Napisa´c definicje
,
warto´sci w lasnej i wektora w lasnego. Znale´z´c warto´sci w lasne macierzy
A =
−1
5 −1
−2
5
0
−1
1
3
i wektory w lasne im odpowiadaja
,
ce oraz warto´sci w lasne i wektory w lasne
im odpowiadaja
,
ce macierzy A
−1
oraz A
4
.
22. Znale´z´c wszystkie funkcje x , zmiennej t , dla kt´orych
x
00
(t) + 4x
0
(t) + 8x(t) = 4e
−2t
+ 4te
−2t
+ 40e
2t
+ 4e
−2t
cos(2t) − 8t
2
+ 2 .
23. Znale´z´c wszystkie funkcje x , zmiennej t , dla kt´orych
x
00
(t) + 6x
0
(t) + 9x(t) = 216t
2
e
3t
+ 6te
−3t
+ 169 cos(2t) + 27t
2
.
24. Kt´ore z naste
,
puja
,
cych zbior´ow sa
,
przestrzeniami liniowymi rzeczywistymi lub zespolonymi:
4.1 {(x, y) ∈ R
2
:
y
2
= 2x} ;
4.2 {(x; y) ∈ R
2
:
|y| = 2x} ;
4.3 {(x; y; z) ∈ R
3
:
2x + y + 3z = 0} ;
4.4 {(x; y; z) ∈ R
3
:
x
2
+ (y + z)
2
= 0} ;
4.5 {(x; y) ∈ R
2
:
x
3
+ 27y
3
= 0} ;
4.6 zbi´or wszystkich takich cia
,
g´ow (z
n
) liczb zespolonych, ˙ze r´owno´s´c z
n+2
= z
n+1
+z
n
zachodzi
dla n = 0, 1, 2, . . . ;
4.7 zbi´or wszystkich tych funkcji r´o˙zniczkowalnych f na (−∞; ∞) , dla kt´orych f
00
(1) = 3f (2) .