Opracowanie zadań z kolokwium AZ termin 1

Zestaw E :
1a : Nie - granica nie istnieje – podciągi parzyste i nie parzyste zbieżne do –1 i 1
1b : Tak – i w dowolnej potędze to i , -1 , -i lub 1 wiec warunek ten jest spełniony
1c : Tak – ten zbiór sprowadza się do nierówności x

2

/3=<y

2

co wyglada jak spłaszczony do 2

wymiarów stożek

co jest zbiorem domkniętym bo zawiera brzeg i nieograniczony w sposób widoczny.

2a Nie : aby spełniona była równość część urojona sin z musi się zerować (Im z : C -> R), a
łatwo rozpisując sin z stwierdzić że się nie zeruje przecież wszędzie

2b Tak :

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

2

2

2

2

2

2

2

⎯

⎯ →

⎯

+

−

=

+

⋅

+

⋅

−

⋅

=

+

⋅

+

−

>

−

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

2c Tak :

1

stronami

dodajemy

i

,

1

1

,

1

,

1

=

+

+

=

+

=

+

=

−

=>

=

+

+

−

=

−

=

y

x

y

x

y

x

η

ξ

η

η

ξ

ξ

η

ξ

ς

η

ς

ξ

ς

η

ς

ξ

3a Tak : zamiast górnego wzoru można pomnożyć licznik i mianownik przez z i mieć

2

3

z

z

, 3

potęga górną pół oś urojoną przeprowadza na dolną , a dolną na górną. Moduł w mianowniku
zmienia tylko odległość od punktu (0,0)

3b Nie – na ta chwilę .... trzeba sprawdzić warunki CR i ciągłość w otoczeniu 0 . Nam wyszło
że CR nie jest spełnione zatem obstawiam że nie. Mogę się mylić

3c Nie – wykonać wykres (wygląda jak sinus) skoro nie ma przecięć wykresu ze sobą to
funkcja jest różnowartościowa więc jest łukiem zwykłym. Ale przyjmuje wartość równą 0
dla t =0 więc nie jest gładki
4a Nie – liczymy promień zbieżności wychodzi 1/3 więc w promieniu 2 nie jest BZW
4b: Tak – ale bez sensownego komentarza
4c Nie : weźmy dwa szeregi o ciągach współczynnikow

ck = 1 dla parzystych i ck=0 dla nieparzystych
dk = 0 dla parzystych i dk=1 dla nieparzystych.
Założenia spełnione a szereg wynikowy to szereg zer o R=+oo

5a tak : intuicyjnie rysujemy kółka dla coraz większych R aż w końcu okrąg się rozprostuje.
Symetria wobec prostej oznacza teraz symetrie wobec osi rzeczywistych.
5b Nie – hmm sporne czy z=oo należy do dziedziny funkcji zespolonej ? wg mnie i wykładu -
nie więc Nie .
5c Tak - odsyłam do pliku image09036 z zeszłorocznego koła
6a : punkt z

0

z wzoru Cauchy’ego równy tu 0 nie należy do wnętrza koła C(2,1) zatem całka

równa 0

6b Nie : parametryzujemy krzywą

3

)

2

(

2

3

)

2

(

2

)

2

(

2

)

2

(

)

2

(

)

(

)

(

)

(

]

1

,

0

[

)

(

2

)

(

:

1

0

3

1

0

i

t

i

dt

i

t

t

xydz

dt

i

dz

t

i

t

iy

t

x

t

z

t

t

t

y

t

t

x

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

+

⋅

=

+

=

+

=

+

=

∈

⎩

⎨

⎧

=

=

Γ

∫

∫

Γ

6c Tak : obrazem h (D) jest pas od –1/4 i do –1/2 i . Jest on węższy niż 2Pi stąd funkcja exp
(normalnie 2kPi * i okresowa) jest różnowartościowa.

Zestaw F:
1a : Nie – dla liczb o dużym module odległość jest ujemna <- bzdura
1b Tak : zauważyć (najlepiej na boku), że

iz

z

i

iz

z

i

e

e

e

e

−

−

=

∧

=

rozpisać tg na sin / cos .

sin i cos na ich postać zespoloną. Potem to samo z drugiej strony i wychodzi to samo
1c Tak granica z prawej strony !! NIE ISTNIEJE !! dla x -> oo przez ujemne exp(x)->0
dla x->oo przez dodatnie exp(x)->+oo. Granica z lewej strony istnieje

2a Nie :

(

i

n

i

n

i

n

n

n

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

3

exp

3

1

lim

3

lim

)

wtedy lewa strona to liczba postaci

(

)

)

0

sin

0

(cos

1

)

1

sin(

)

1

cos(

0

6

3

3

i

e

i

e

e

e

i

+

⋅

=

−

+

−

⋅

=

⋅

−

więc są to liczby o różnych modułach ... zatem są różne
2b Tak : !!SUMA WSZYSTKICH PIERWIASTKÓW LICZBY ZESPOLONEJ
DOWOLNEGO STOPNIA n>1 JEST RÓWNA 0!! Prosta własność sumy wektorowej
2c Nie : rozwiązaniem zbioru jest część płaszczyzny o warunku 1 < (x-1)^2+y^2 , zewnętrze
koła zeC (a oo nie należy) więc brzeg jest niespójny zatem jest niejednospójna (inaczej łuk
zamknięty oplatający to koło jest nieściągalny w tej płaszczyźnie)
3a Nie : f nie jest ciągła po osi OX, więc nie istnieje pochodna cząstkowa po x wiec nie ma
pochodnej zespolonej
3b Nie : na osi OX\{0} jest stała =1 na całej urojonej = 0 ... jasne że róznowartościowa :P
3c Nie : obraz osi urojonej = {0} obraz osi rzeczywistej {0,1} ... który w którym się zawiera ?
4a Tak : E = to koło bez środka ... coś takiego jest spójne więc zachodzi twierdzenie o
jednoznaczności gałęzi logarytmu (treść jak w zadaniu)
4b : lewa strona to exp(ia(z)), logarytmujemy(po zespolonemu) stronami i otrzymujemy że
a(x)=Arg Z + 2kPi
4c Nie : weźmy dwa szeregi o ciągach współczynników
ck = 1 dla parzystych i ck=0 dla nieparzystych
dk = 0 dla parzystych i dk=1 dla nieparzystych.
Założenia spełnione a szereg wynikowy to szereg zer o R=+oo
5a nie : część rzeczywista szeregu jest rozbieżna. Ma minorantę cos(Pi/3) / n rozbieżną.
Zatem szereg zespolony jest rozbieżny
5b Nie : Koła zbieżności to D(1,1) i D(0,1) i nie są rozłączne
5c Nie : brak punktów istotnie osobliwych . Dla x=kPI /=0 bieguny, dla x=0 pozornie
6a: Nie : f regularna tzn ciagła w sensie R^2. Z analizy 2, dla funkcji ciągłych postać
pochodnych cząstkowych mieszanych nie zależy od kolejności różniczkowania stąd to
róznica jest równa 0
6b Nie: Standardowe zadanie na residua. Dwa bieguny krotności 1 i jeden punkt pozorny.
Residua w biegunach równe ‘–i’ i ‘i’ stąd suma residuów = 0
6c Nie : Jeżeli część o RE >0 jest wnętrzem koła a część o RE < 0 zewnętrzem to oś OY jest
osią symetrii dla punktu 0 i oo . Jak widać jednak tej symetrii być nie może. Stąd nie ma
takiej homografii.