• Populacja generalna - jest to zbiorowość statystyczna, tzn. zbiór dowolnych elementów, nieidentycznych z punktu widzenia badanej cechy.

• Próba (próbka) - część, tj. podzbiór populacji, podlegający bezpośrednio badaniu ze względu na ustaloną cechę, w celu wyciągnięcia wniosku o kształtowaniu się wartości tej cechy w popu-lacji.

• PODSTAWOWE POJĘCIA
  STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

• Liczebność próby - liczba (jednostek) elementów populacji generalnej wybranych do próby.

Liczebność próby oznacza się zwykle przez n.

Gdy n < 30 to mówi się często o małej próbie.

• Próba losowa - próba, której dobór z całej populacji dokonany był w drodze losowania

(np. za pomocą tablicy liczb losowych),

tzn. w taki sposób, że jedynie przypadek decy-duje o tym, który element populacji generalnej wchodzi do próby, a który nie.

• Próba reprezentacyjna - próba, której struktura pod względem badanej cechy nie różni się istotnie od struktury populacji generalnej.

Próba reprezentacyjna jest jak gdyby „miniaturą” populacji generalnej, daje więc podstawę do wysuwania prawidłowych o niej wniosków. Uzyskiwaniu prób reprezentacyjnych sprzyja dobór właściwego schematu losowania próby.

• Schemat losowania próby - praktyczny sposób losowania elementów populacji generalnej, uwzględniający możliwości techniczne, koszt

i efektywność uzyskiwanych wyników.

• Losowanie niezależne - schemat losowania próby ze zwracaniem każdego wylosowanego elementu w trakcie losowania, tak, że jeden element może zostać wylosowany do próby więcej niż jeden raz.

• Losowanie zależne - schemat losowania próby bez zwracania każdego wylosowanego elementu populacji generalnej, tak, że jeden element populacji może zostać wylosowany do próby tylko raz.

• Wyniki próby - zaobserwowane wartości badanej cechy u tych elementów populacji generalnej, które zostały wybrane do próby.

Wyniki próby losowej o liczebności n stanowią wartość n-wymiarowej zmiennej losowej

(n-wymiarowego wektora losowego).

Wyniki dużej próby grupuje się zwykle w klasy, tworząc tzw. szereg rozdzielczy.

• Przestrzeń próby - zbiór wszystkich możliwych wyników próby o liczebności n.

• Rozkład populacji - rozkład wartości badanej cechy statystycznej w całej zbiorowości.

• Parametry populacji - parametry rozkładu badanej cechu w populacji.

Charakteryzują one ten rozkład.

Do najczęściej używanych parametrów należą tzw. momenty.

Parametry populacji zwykle dzielimy na następujące grupy:

• Miary skupienia - np. średnia arytmetyczna, mediana.

• Miary rozproszenia (rozrzutu) - np. wariancja, odchylenie standardowe.

• Miary asymetrii

• Miary korelacji - przy badaniu populacji ze względu na wiele cech.

• Statystyka z próby - zmienna losowa będąca dowolną funkcją wyników próby losowej, np. średnia arytmetyczna wyników próby , statystyka pozycyjna rzędu 0,5 czyli mediana.

• Rozkład statystyki - teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej będącej statystyką.

Rozkład ten zależy zwykle od rozkładu populacji i schematu losowania n-elementowej próby.

• Rozkład dwupunktowy

(rozkład zero - jedynkowy) –

teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej X o funkcji prawdopodobieństwa określonej wzorem:

dla k = 0 lub k = 1

(0<p<1, q=1-p)

Rozkładu tego w statystyce używa się przy badaniu cech niemierzalnych (jakościowych).

• Rozkład dwumianowy –

rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej X o funkcji prawdopodobieństwa określonej wzorem:

dla k = 0, 1, 2, ... n

(0<p<1, q=1-p)

• Rozkład Poissona –

rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej X o funkcji prawdopodobieństwa określonej wzorem:

dla k = 0, 1, 2, ... n (λ > 0)

• Rozkład jednostajny (rozkład równomierny) - rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X o funkcji gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem:

dla a ≤ x ≤ b

dla x < a oraz x > b

• Rozkład normalny – rozkład zmiennej losowej ciągłej X o funkcji gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem:

dla x ∈ R, σ > 0

Często rozkład normalny oznacza się symbolem N(m,σ), gdzie:

• m - wartość oczekiwana (średnia), m = E(X)

• σ - odchylenie standardowe w tym rozkładzie,

σ² = D²(X)

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

z parametrami m i σ

Własności krzywej gęstości rozkładu normalnego:

• Jest symetryczna względem prostej x=m

• Dla x=m osiąga maksimum równe

• Jej ramiona mają punkty przegięcia dla

x=m-σ oraz x=m+σ

Wpływ parametrów m i σ na położenie

oraz kształt krzywej normalnej

• Rozkład normalny standaryzowany - rozkład normalny N(0,1), tzn. o funkcji gęstości określonej wzorem:

Wykresem tej funkcji gęstości jest tzw. krzywa Gaussa.

Zmienna losowa U mająca rozkład N(0,1) nosi nazwę standaryzowanej zmiennej losowej.

Funkcja gęstości rozkładu N(0,1)

• Rozkład χ² (chi-kwadrat) o k stopniach swobody - rozkład zmiennej losowej ciągłej

o funkcji gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem:

Funkcja Г (gamma)

• Rozkład t-Studenta o k stopniach swobody - rozkład zmiennej losowej ciągłej o funkcji gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem:

• Rozkład F-Snedecora o k₁ i k₂ stopniach swobody - rozkład zmiennej losowej ciągłej

o funkcji gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem:

• Estymator - dowolna statystyka Z służąca do oszacowania nieznanej wartości parametru Θ populacji generalnej.

• Rozkład estymatora - rozkład prawdopodobieństwa statystyki będącej estymatorem parametru Θ.

• Parametry rozkładu estymatora - najważniejsze to wartość oczekiwana E(Z) oraz wariancja D²(Z) w rozkładzie statystyki Z będącej estymatorem jakiegoś parametru Θ populacji.

• Błąd przeciętny szacunku –

pierwiastek z wariancji, tzn. odchylenie standardowe D(Z) w rozkładzie estymatora Z,

za pomocą którego szacuje się parametr Θ populacji generalnej.

• Estymacja punktowa - metoda szacunku nieznanego parametru Θ populacji polegająca

na tym, że jako wartość parametru Θ przyjmuje się wartość estymatora Z tego parametru, otrzymaną z danej n-elementowej próby losowej.

• Estymator nieobciążony –

estymator Z spełniający równość E(Z) = Θ, oznaczającą, że estymator Z szacuje parametr bez błędu systematycznego.

• Estymator efektywny –

estymator Z o możliwie małej wariancji D²(Z).

Stosowanie estymatora efektywnego oznacza popełnianie małego błędu przeciętnego szacunku D(Z).

• Estymator zgodny - estymator Z parametru Θ spełniający warunek:

tzn. estymator, który jest stochastycznie zbieżny do parametru Θ, czyli jest to estymator podlegający działaniu prawa wielkich liczb. Gdy używa się estymatora zgodnego parametru Θ, to stosowanie większych prób poprawia dokładność szacunku tego parametru.

• Estymacja przedziałowa –

estymacja parametru Θ polegająca na budowaniu tzw. przedziału ufności dla tego parametru.

• Przedział ufności –

losowy przedział wyznaczony za pomocą rozkładu estymatora, a mający tę własność, że

z dużym, z góry danym prawdopodobieństwem, pokrywa wartość szacowanego parametru Θ.

Przedział ufności zapisujemy zwykle w postaci

P{a < Θ < b} = 1 - α ,

gdzie: a i b noszą nazwę dolnej i górnej granicy (końca) przedziału ufności,

a prawdopodobieństwo 1 - α jest dane z góry.

• Współczynnik ufności –

prawdopodobieństwo 1 - α występujące po prawej stronie wzoru na przedział ufności, oznaczające prawdopodobieństwo, z jakim parametr Θ jest pokryty tym przedziałem.

Współczynnik ufności w praktyce wybiera się jako dowolnie duże prawdopodobieństwo.

Najczęściej przyjmowanymi wartościami są liczby 0,90; 0,95; 0,99.

Im bliższy 1 jest współczynnik ufności, tym szerszy (więc o mniejszej użyteczności) otrzy-muje się przedział ufności.

Dlatego też bez specjalnej potrzeby nie należy przyjmować zbyt wysokich wartości współczyn-nika ufności.

• DYSTRYBUANTA

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x, zdefinio-waną następująco:

Własności:

  0 ≤ F(x) ≤ 1

  F(x) – funkcja niemalejąca

  F(x) – funkcja przynajmniej lewostronnie ciągła

Dla zmiennej losowej ciągłej dystrybuanta ma postać:

dla

f(x) – funkcja gęstości

F’(x)=f(x)

Dla zmiennej losowej dyskretnej

dla i = 1, 2, …, n

Zmienna losowa X przyjmuje wartości x_i z prawdo-podobieństwem p_i

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej X – zestawienie wszystkich możliwych par (x_i, p_i)

Dystrybuanta ma postać:

Wartość oczekiwana:

Wariancja:

Przedział ufności dla średniej

MODEL I

 

• Z₁: Populacja generalna ma rozkład N(m, σ),

• Z₂: Wartość średnia m jest nieznana,

• Z₃: Odchylenie standardowe σ jest znane,

• Z₄: Z populacji generalnej pobrano próbkę

o liczebności n elementów wylosowaną niezależnie

Wówczas przedział ufności dla średniej m populacji ma postać:

gdzie: x oznacza średnią arytmetyczną obliczoną z próby

1-α jest z góry przyjętym prawdopodobieństwem

i nazywa się współczynnikiem ufności

u_α oznacza wartość zmiennej losowej U mającej rozkład normalny standaryzowany.

Wartość u_α dla danego współczynnika ufności 1-α wyznacza się z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) w taki sposób, by spełniona była relacja: P{-u_α< u < u_α }= 1 - α

MODEL II

 

• Z₁: Populacja generalna ma rozkład N(m, σ),

• Z₂: Wartość średnia m jest nieznana,

• Z₃: Odchylenie standardowe σ jest nieznane,

• Z₄: Z populacji generalnej wylosowano niezależnie małą próbkę o liczebności n elementów

(n ≤ 30).

Wówczas przedział ufności dla średniej m populacji ma postać:

lub wzór równoważny:

gdzie: x oznacza średnią arytmetyczną obliczoną

z próby

S i Ŝ są odchyleniami standardowymi z próby obliczonymi wg wzorów:

t_α oznacza wartość zmiennej t Studenta odczytaną z tablicy tego rozkładu dla

r = n – 1 stopni swobody

w taki sposób, by dla danego z góry prawdopodo-bieństwa 1-α spełniona była relacja:

P{-t_α< t < t_α }= 1 - α

MODEL III

  

• Z₁: Populacja generalna ma rozkład normalny N(m.σ),

• Z₂: Wartość średnia m jest nieznana,

• Z₃: Odchylenie standardowe σ jest nieznane,

• Z₄: Z populacji generalnej wylosowano dużą próbkę o liczebności n elementów (n > 30).

• Z₅: Nie tworzymy szeregu rozdzielczego

• Przedział ufności dla średniej m populacji ma postać:

• x, S – obliczamy jak poprzednio

• u_α z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu N(0,1)

MODEL IV

• Z₁: Populacja generalna ma rozkład normalny N(m,σ),

• Z₂: Wartość średnia m jest nieznana,

• Z₃: Odchylenie standardowe σ jest nieznane,

• Z₄: Z populacji generalnej wylosowano dużą próbkę o liczebności n elementów (n > 30).

• Z₅: Tworzymy szereg rozdzielczy o w klasach

• Przedział ufności dla średniej m populacji ma postać:

• gdzie:

• środek poszczególnych przedziałów klasowych,

• n_j – liczebność w poszczególnych przedziałach klasowych

Gdy liczba w przedziałów klasowych jest mała tzn, gdy długość (h) każdego przedziału klasowego jest duża to do obliczenia S należy stosować tzw. poprawkę na grupowanie: poprawkę Sheparda

Wtedy

h – szerokość przedziału klasowego

• WYZNACZANIE NIEZBĘDNEJ LICZBY
  POMIARÓW DLA PRÓBY

Szacując metodą przedziałową parametr Θ popula-cji generalnej budujemy przedział ufności .

Ma on pewną długość 2d i może się okazać, że że połowa długości przedziału d, która jest miarą maksymalnego błędu szacunku jest tak duża, że dyskredytuje dokonywaną estymację.

Dążymy do zapewniania maksymalnie dobrej dokładności szacunku, np. przez dobranie dostatecznie dużej próby.

Przy budowaniu przedziału ufności dla średniej

m∈(a,b)

Długość przedziału ufności

b – a = 2d

d – max błąd szacowania parametru

MODEL I

 

• Z₁: Populacja generalna ma rozkład normalny N(m,σ) lub zbliżony do normalnego,

• Z₂: Wariancja populacji σ² jest znana,

• Z₃: Przyjmujemy współczynnik ufności 1- α,

• Z₄: Zakładamy max błąd szacunku d (tj. połowa długości przedziału ufności)

• Liczebność próby:

• gdzie:

• u_α jest wartością odczytaną z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1)

MODEL II

• Z₁: Populacja generalna ma rozkład normalny N(m.σ),

• Z₂: Wariancja populacji σ² jest nieznana,

• Z₃: Znana jest wartość statystyki S² uzyskana

z małej próby wstępnej o liczebności n_o,

• Z₄: Przyjmujemy współczynnik ufności 1- α,

• Z₅: Zakładamy max błąd szacunku d

• Niezbędna liczebność próby

• gdzie:

• wariancja próby wstępnej

t_α - wartość zmiennej t Studenta odczytana

z tablicy tego rozkładu dla współczynnika ufności 1 - α i dla n_o – 1 stopni swobody w taki sposób, by P {-t_α < t < t_α} = 1 - α

Jeżeli n ≤ n_o to liczebność próby wstępnej jest wystarczająca,

Jeżeli n > n_o to należy dolosować do właściwej próby n–n_o elementów

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARIANCJI (odchylenia standardowego)

MODEL I

Z₁: Populacja generalna ma rozkład N(m, σ)

o nieznanych parametrach m i σ,

Z₂: Z populacji generalnej wylosowano niezależnie małą próbę (n < 30).

Wówczas przedział ufności dla wariancji ma postać:

lub (wzór równoważny):

gdzie: c₁ i c₂ są wartościami χ² wyznaczonymi

z tablicy tego rozkładu dla r=n-1 stopni swobody i współczynnika ufności 1-α, w taki sposób, by spełnione były relacje:

Ponieważ tablice rozkładu χ² podają prawdopodo-bieństwo P{χ² ≥ χ_α²} zatem dla przyjętego współ-czynnika ufności 1-α, c₁ odczytuje się z tablic

rozkładu χ² dla prawdopodobieństwa ,

a wartość c₂ dla prawdopodobieństwa .

Dla wyznaczenia przedziału ufności dla odchylenia standardowego σ oblicza się pierwiastki kwadratowe z końców przedziału ufności dla wariancji σ²

Przedział ufności nie jest symetryczny względem wartości S².

MODEL II

Z₁: Populacja generalna ma rozkład N(m, σ)

o znanej wartości oczekiwanej m,

Z₂: Z populacji wylosowano niezależnie małą próbę (n < 30).

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARIANCJI (odchylenia standardowego)

Przedział ufności dla wariancji ma postać:

gdzie: c₁ i c₂ są wartościami χ² wyznaczonymi

z tablicy tego rozkładu dla r=n stopni swobody (znane m) i współczynnika ufności 1-α, w taki sposób, by spełnione były relacje:

Ponieważ tablice rozkładu χ² podają prawdopodo-bieństwo P{χ² ≥ χ_α²} zatem dla przyjętego współ-czynnika ufności 1-α, c₁ odczytuje się z tablic

rozkładu χ² dla prawdopodobieństwa ,

a wartość c₂ dla prawdopodobieństwa .

MODEL III

Z₁: Populacja generalna ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego o nieznanych parame-trach m i σ,

Z₂: Z populacji generalnej wylosowano niezależnie próbę o dużej liczebności.

Przedział ufności dla odchylenia standardowego

ma postać:

Wartość u_α odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARIANCJI (odchylenia standardowego)

MODEL IV

Z₁: Populacja generalna ma rozkład N(m, σ)

o znanej wartości oczekiwanej m,

Z₂: Z populacji wylosowano niezależnie

próbę o dużej liczebności (n > 30).

Wówczas rozkład χ² można z niewielkim błędem

zastąpić rozkładem zmiennej

TESTOWANIE HIPOTEZ

Hipoteza statystyczna - jakiekolwiek przypusz-czenie dotyczące rozkładu populacji generalnej.

 

Hipoteza parametryczna - hipoteza statysty-czna precyzująca wartość parametru w rozkła-dzie populacji generalnej znanego typu.

 

Hipoteza nieparametryczna - hipoteza statys-tyczna precyzująca typ rozkładu populacji generalnej.

Hipoteza zerowa - podstawowa hipoteza statys-tyczna sprawdzana danym testem.

Oznacza się ją zwykle symbolem H_o.

 

Hipoteza alternatywna - hipoteza statystyczna konkurencyjna w stosunku do hipotezy zerowej, w tym sensie, ze jeżeli odrzuca się hipotezę zerową, to przyjmuje się hipotezę alternatywną.

Oznacza się ją zwykle symbolem H₁.

Błąd pierwszego rodzaju - możliwy do popeł-nienia błąd przy weryfikacji hipotezy statysty-cznej, polegający na odrzuceniu testowanej hipotezy prawdziwej.

 

Błąd drugiego rodzaju - możliwy do popełnienia błąd przy weryfikacji hipotezy statystycznej, polegający na przyjęciu testowanej hipotezy fałszywej.

Poziom istotności - prawdopodobieństwo popeł-nienia błędu pierwszego rodzaju w postępowaniu testującym hipotezę.

Poziom istotności oznacza się zwykle α i dobiera się go z góry (zwykle jako małe prawdopodobień-stwo).

Do najczęściej przyjmowanych poziomów istot-ności należą prawdopodobieństwa: 0,1; 0,05; 0,01; 0,001.

Test statystyczny - reguła postępowania, która na podstawie wyników próby ma doprowadzić do decyzji przyjęcia lub odrzucenia postawionej hipo-tezy statystycznej.

Za pomocą testu weryfikuje się hipotezę statys-tyczną.

 

Moc testu - prawdopodobieństwo podjęcia decyzji prawidłowej przy weryfikacji hipotezy statystycz-nej danym testem, a polegającej na odrzuceniu testowanej hipotezy fałszywej.

Test istotności - najczęściej używany w prakty-ce statystycznej typ testu, pozwalający na odrzu-cenie hipotezy z małym ryzykiem popełnienia błędu.

Parametryczny test istotności - test istotności weryfikujący hipotezę zerową precyzującą wartość parametru w ustalonym typie rozkładu populacji generalnej.

Nieparametryczny test istotności - test istotności dla hipotezy zerowej precyzujący ogólny typ, postać rozkładu populacji generalnej.

Obszar krytyczny testu - podzbiór przestrzeni próby o tej własności, że jeżeli otrzymamy w pró-bie punkt przestrzeni należący do tego podzbioru, to podejmuje się decyzję odrzucenia hipotezy zerowej.

Obszar krytyczny testu dwustronny - obszar krytyczny złożony z dwu rozłącznych podzbiorów przestrzeni próby (wyznaczony najczęściej syme-trycznie), w rozkładzie odpowiedniej statystyki.

Testu z dwustronnym obszarem krytycznym używa się zwykle, gdy hipoteza alternatywna (parametryczna) jest w postaci nierówności typu ≠.

Obszar krytyczny testu jednostronny - w zależności od hipotezy alternatywnej może być lewo- lub prawostronny.

Jest to obszar krytyczny złożony z jednego podzbioru przestrzeni próby wybranego z jednej strony w rozkładzie odpowiedniej statystyki.

Testu z jednostronnym obszarem krytycznym używa się zwykle wtedy, gdy hipoteza alterna-tywna występuje w postaci nierówności typu < lub >.

TEST
DLA WARTOŚCI ŚREDNIEJ POPULACJI

MODEL I

 

Z₁: Populacja generalna ma rozkład normalny N(m,σ) lub zbliżony do normalnego,

Z₂: Odchylenie standardowe σ jest znane,

Z₃: Hipoteza podstawowa H₀: m= m₀

Z₄: Hipoteza alternatywna H₁: m≠m₀

(m>m₀ lub m<m₀)

Test istotności dla hipotezy H₀ jest następujący:

a: Oblicza się wartość średniej z próby

b: Oblicza się wartość zmiennej normalnej standa-ryzowanej U wg wzoru:

c: Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) odczytuje się wartość krytyczną u_α tak, aby dla założonego z góry poziomu istotności

zachodziła równość

d. Porównuje się obliczoną i odczytaną wartość statystyki U.

Jeżeli dla dwustronnego obszaru krytycznego stosowanego przy hipotezie alternatywnej H₁

w postaci m ≠ m₀ otrzyma się z próby taką

wartość U, że to hipotezę H₀ odrzuca

się na korzyść hipotezy alternatywnej H₁.

Natomiast gdy to nie ma podstaw

do odrzucenia hipotezy H₀.

Jeżeli H₁ : m>m₀ to stosuje się test istotności z prawostronnym obszarem krytycznym.

Wówczas z tablicy dystrybuanty rozkładu normal-nego N(0,1) odczytuje się u_α tak, by spełniona była równość

H₀ odrzuca się, gdy wyznaczona z próby wartość U spełni warunek: U ≥ u_α.

Jeżeli H₁: m<m₀ to stosuje się test istotności

z lewostronnym obszarem krytycznym.

Wówczas odczytuje się u_α tak, by spełniona była równość

H₀ odrzuca się, gdy U ≤ -u_α.

MODEL II

Z₁: Populacja generalna ma rozkład N(m, σ)

Z₂:Odchylenie standardowe σ jest nieznane

Z₃:Z populacji generalnej wylosowano niezależnie małą próbkę n ≤ 30).

Z₄ : Hipoteza podstawowa H₀: m= m₀

Z₅: Hipoteza alternatywna H₁: m≠m₀

(m>m₀ lub m<m₀)

TEST
DLA WARTOŚCI ŚREDNIEJ POPULACJI

Test istotności dla hipotezy H₀ ma postać:

a: Oblicza się wartość średniej z próby

b: Oblicza się wartość s lub

c: Oblicza się wartość statystyki t z wzoru:

lub z wzoru równoważnego:

d: Z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotności α i dla r = n-1 stopni swobody odczytuje się taką wartość t_α, żeby zachodziła równość

e: Porównuje się obliczoną i odczytaną wartość statystyki t.

Dla testu dwustronnego (m ≠ m₀) mogą zaistnieć 2 przypadki:

P₁: Jeżeli to H₀ należy odrzucić na korzyść H₁.

P₂: Jeżeli to nie ma podstaw do odrzucenia H₀. f(t)

Dla lewostronnego testu (H₁: m < m₀) stosuje się lewostronny obszar krytyczny wyznaczany w ten sposób, by

Dla prawostronnego testu (H₁: m>m₀₎ t_α wyznacza się w ten sposób, by zachodziła równość

MODEL III

Z₁: Populacja generalna ma rozkład N(m, σ) lub dowolny inny rozkład o wartości średniej m

Z₂:Odchylenie standardowe σ jest nieznane

Z₃:Z populacji generalnej wylosowano niezależnie dużą próbkę

Z₄ : Hipoteza podstawowa H₀: m= m₀

Z₅: Hipoteza alternatywna H₁: m≠m₀

(m>m₀ lub m<m₀)

a: Oblicza się wartość średniej z próby

b: Oblicza się wartość s

c: Oblicza się wartość statystyki U z wzoru:

d: Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) odczytuje się wartość krytyczną u_α tak, aby dla założonego poziomu istotności zachodziła równość

e: Porównuje się obliczoną i odczytaną wartość statystyki U.

Jeżeli dla dwustronnego obszaru krytycznego stosowanego przy hipotezie alternatywnej H₁ w postaci m≠m₀ otrzyma się z próby taką war-tość U, że to hipotezę H₀ odrzuca się na korzyść hipotezy alternatywnej H₁.

Natomiast gdy to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

Jeżeli H₁: m>m₀ to stosuje się test istotności z prawostronnym obszarem krytycznym.

Wówczas z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) odczytuje się u_α tak, by spełniona była równość

H₀ odrzuca się, gdy wyznaczona z próby wartość U spełni warunek: U ≥ u_α.

Jeżeli H₁: m<m₀ to stosuje się test istotności z lewostronnym obszarem krytycznym.

Wówczas odczytuje się u_α tak, by spełniona była równość

H₀ odrzuca się, gdy U ≤ u_α.

TEST DLA DWÓCH ŚREDNICH
HIPOTEZA O DWÓCH WARTOŚCIACH OCZEKIWANYCH

MODEL I

 Z₁: Badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne N(m₁,σ₁) i N(m₂,σ₂)

Z₂: Odchylenia standardowe tych populacji σ₁ i σ₂ są znane,

Z₃: Wykonano n₁ i n₂ niezależnych prób

Z₄: Stawiamy hipotezę podst. H₀: m₁-m₂ = a

Z₅: Stawiamy hipotezę alternatywną

H₁: m₁-m₂ ≠ a ( m₁-m₂ < a lub m₁-m₂ > a )

Jeżeli a = 0 to m₁ = m₂

Test istotności dla hipotezy H₀ ma postać:

a: Oblicza się wartości średnie z prób ,

b: Oblicza się wartość statystyki u z wzoru:

c: Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) odczytuje się wartość krytyczną u_α tak, aby dla założonego poziomu istotności zachodziła równość

Obszary krytyczne są takie same jak dla jednej wartości średniej.

d: Porównuje się obliczoną i odczytaną wartość statystyki u.

Jeżeli dla dwustronnego obszaru krytycznego stosowanego przy hipotezie alternatywnej H₁ w postaci m₁-m₂≠a otrzyma się z próby taką wartość u, że to hipotezę H₀ odrzuca się na korzyść hipotezy alternatywnej H₁.

Natomiast gdy to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

MODEL II

 Z₁: Badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne N(m₁,σ₁) i N(m₂,σ₂)

Z₂: Odchylenia standardowe tych populacji σ₁ i σ₂ są nieznane,

Z₃: Wykonano n₁ i n₂ niezależnych prób o dużej liczebności n₁, n₂ > 30

Z₄: Stawiamy hipotezę podstawową

H₀: m₁-m₂ = a

Z₅: Stawiamy hipotezę alternatywną

H₁: m₁-m₂ ≠ a ( m₁-m₂ < a ) lub ( m₁-m₂ > a )

Test istotności dla hipotezy H₀ ma postać:

a: Oblicza się wartości średnie z prób ,

b: Oblicza się odchylenia standardowe z próby s₁, s₂

c: Oblicza się wartość statystyki u z wzoru:

d: Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) odczytuje się wartość krytyczną u_α tak, aby dla założonego poziomu istotności zachodziła równość

e: Porównuje się obliczoną i odczytaną wartość statystyki u.

Jeżeli dla dwustronnego obszaru krytycznego stosowanego przy hipotezie alternatywnej H₁ w postaci m₁-m₂≠a otrzyma się z próby taką wartość u, że to hipotezę H₀ odrzuca się na korzyść hipotezy alternatywnej H₁.

Natomiast gdy to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

MODEL III

 Z₁: Badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne N(m₁,σ₁) i N(m₂,σ₂)

Z₂: Odchylenia standardowe σ₁ i σ₂ są nieznane,

Z₃: Wykonano n₁ i n₂ niezależnych prób o małej liczebności n₁, n₂ < 30

Z₄: Stawiamy hipotezę podstawową

H₀: m₁-m₂ = a

Z₅: Stawiamy hipotezę alternatywną

H₁: m₁-m₂ ≠ a ( m₁-m₂ < a lub m₁-m₂ > a )

Test istotności dla hipotezy H₀ ma postać:

a: Oblicza się wartości średnie z prób ,

b: Oblicza się odchylenia standardowe z próby s₁, s₂ lub ,

c: Oblicza się wartość statystyki T z wzoru:

d: Z tablic rozkładu t- Studenta odczytuje się wartość krytyczną t_α dla r = n₁+n₂-2 stopni swobody tak, aby dla założonego poziomu istotności zachodziła równość

e: Porównuje się obliczoną i odczytaną wartość statystyki t.

Jeżeli dla dwustronnego obszaru krytycznego stosowanego przy hipotezie alternatywnej H₁ w postaci m₁-m₂ ≠ a otrzyma się z próby taką wartość t, że to hipotezę H₀ odrzuca się na korzyść hipotezy alternatywnej H₁

Natomiast gdy to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

TEST DLA WARIANCJI

MODEL I

 Z₁: Badana populacja ma rozkład normalny N(m,σ)

Z₂: Z populacji generalnej wybrano niezależnie próbkę o małej liczebności n<30

Z₃:Stawiamy hipotezę podstawową

H₀: σ² = σ²₀

Z₄: Stawiamy hipotezę alternatywną

H₁: σ² ≠ σ²₀ (σ² < σ²₀ lub σ² > σ²₀)

Statystyka określona wzorem ma

rozkład z liczbą stopni swobody r = n-1

Obszary krytyczne

H₁:

H₁:

H₁:

MODEL II

 

Z₁: Badana populacja ma rozkład normalny N(m,σ)

Z₂: Z populacji generalnej wybrano niezależnie próbkę o dużej liczebności n>30

Z₃: Stawiamy hipotezę podstawową

H₀: σ² = σ²₀

Z₄: Stawiamy hipotezę alternatywną

H₁: σ² ≠ σ²₀ (σ² < σ²₀ lub σ² > σ²₀)

Statystyka u określona wzorem

ma rozkład normalny N(0,1).

WERYFIKACJA HIPOTEZ
DLA DWÓCH WARIANCJI

Z₁: Badamy dwie zmienne losowe mające rozkłady normalne N(m₁,σ₁) i N(m₂,σ₂)

n₁ - liczebność jednej zmiennej losowej

n₂ - liczebność drugiej zmiennej losowej

Z₂: Stawiamy hipotezę H₀:

Z₃: Stawiamy hipotezę alternatywną:

H₁: ( lub )

H₁:

r_M i r_m – ilość stopni swobody

H₁:

H₁:

Statystyka F ma rozkład F-Snedecora

Statystyka F-Snedecora

Rozkład F-Snedecora podaje taką wartość Fα, dla której zachodzi równość , tzn dla prawo-stronnego obszaru krytycznego.

Dlatego oznaczenia populacji indeksami (1 i 2) (M i m) należy tak przyjąć, aby w ilorazie dwu wariancji z prób licznik był większy od mianownika.

TEST ZGODNOŚCI λ KOŁMOGOROWA

MODEL I

Z₁: Populacja generalna ma rozkład o ciągłej dystrybuancie F(x)

Z₂: Z populacji wylosowano niezależnie do próby n elementów (n – co najmniej kilkadziesiąt)

Na podstawie wyników tej próby zweryfikować hipotezę, że populacja ma rozkład ciągły określony konkretną, hipotetyczną, ciągłą dystrybuantą F_o(x)

Ho: F(x)=F_o(x)

H₁: F(x)≠F_o(x)

1. Wyniki próby grupujemy w stosunkowo wąskie przedziały o prawych końcach x_j i liczebnościach n_j

2. Dla każdego x_j wyznaczamy wartość tzw. empiry-cznej dystrybuanty F_n(x)

gdzie liczebność skumulowana od początku do x_k

3. Z rozkładu hipotetycznego wyznaczamy dla każdego x_j wartość teoretycznej dystrybuanty F_o(x)

4. Obliczamy wartość statystyk

Statystyka λ ma przy prawdziwości hipotezy H_o rozkład λ Kołmogorowa, niezależny od postaci hipotetycznej dystrybuanty F(x)

Dla ustalonego poziomu istotności α z granicznego rozkładu λ Kołmogorowa odczytujemy taką wartość krytyczną λ_α, aby zachodziło

Następnie porównujemy wartość empiryczną λ z wartością krytyczną λ_α

Jeżeli to hipotezę H_o należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej H₁

Gdy to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H_o

MODEL II

Z₁: Dane 2 populacje generalne o rozkładach z ciągłymi dystrybuantami F₁(x) i F₂(x)

Z₂: Z populacji pobrano losowo 2 duże próby o liczebnościach n₁ i n₂ elementów

Na podstawie wyników tych prób zweryfikować hipotezę, że obie próby pochodzą z tej samej populacji

H_o: F₁(x)=F₂(x)

H₁: F₁(x)≠F₂(x)

Test istotności Smirnowa oparty na statystyce λ Kołmogorowa

Wyniki prób grupujemy w stosunkowo wąskie przedziały klasowe o tych samych końcach x_j

Dla każdego x_j wyznaczamy wartości empirycznych dystrybuant

gdzie n_1sk , n_2sk liczebności skumulowane od po-czątku do x_j

Obliczamy wartość statystyk

Statystyka λ przy prawdziwości hipotezy H_o ma asymptotyczny rozkład λ Kołmogorowa

Dla ustalonego poziomu istotności α z tablic tego rozkładu odczytujemy taką wartość krytyczną λ_α, aby zachodziło

Następnie porównujemy wartość empiryczną λ z wartością krytyczną λ_α

Jeżeli to hipotezę Ho należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej H₁, tzn. próby pochodzą z różnych populacji

Gdy to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H_o

Zmienna losowa standaryzowana

Dystrybuanta empiryczna

gdzie liczebność skumulowana od początku do x_k

TEST ZGODNOŚCI χ²

Z₁: Populacja generalna ma dowolny rozkład o dystrybuancie należącej do pewnego zbioru Ω rozkładów o określonym typie postaci funkcyjnej dystrybuanty

Z₂: Z populacji wylosowano niezależnie dużą próbę n elementów (n – co najmniej kilkadziesiąt)

Na podstawie wyników tej próby zweryfikować hipo-tezę, że populacja generalna ma rozkład typu Ω

H_o: F(x)∈Ω,

gdzie F(x) jest dystrybuantą rozkładu populacji

H₁: F(x) Ω

Wyniki próby dzielimy na r rozłącznych klas o liczebnościach n_j - otrzymujemy w ten sposób rozkład empiryczny

1. Z hipotetycznego rozkładu typu Ω obliczamy dla każdej z r klas wartości badanej cechy X prawdopodobieństwa p_i, że zmienna losowa X o rozkładzie Ω przyjmie wartości należące do klasy o numerze i (i=1,2,…,r).

2. Obliczamy liczebności teoretyczne np_i, które powinny wystąpić w klasie i, gdyby populacja miała rozkład typu Ω, tzn. gdyby hipoteza H_o była prawdziwa.

3. Obliczamy wartość statystyki

Statystyka χ² ma przy prawdziwości hipotezy H_o rozkład asymptotyczny χ² o r-1 stopniach swobo-dy, niezależny od postaci hipotetycznej dystry-buanty F(x)

(Statystyka ma r-k-1 stopni swobody, gdy z próby szacowano k parametrów rozkładu Ω metodą największej wiarygodności)

Obszar krytyczny w tym teście buduje się prawostronnie w oparciu o rozkład χ²

Dla ustalonego poziomu istotności α z tablicy rozkładu χ² przy odpowiedniej ilości stopni swo-body odczytujemy taką wartość krytyczną χ²_α, aby zachodziło

Następnie porównujemy wartość empiryczną χ² z wartością krytyczną χ²_α

Jeżeli to hipotezę Ho należy odrzucić

Gdy to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H_o

Im bliższa zeru jest wartość χ² tym hipoteza jest bardziej wiarygodna

Gdy w rozkładzie empirycznym z próby wystąpi w jakiejś klasie liczebność mniejsza od 8, to nale-ży ją połączyć z sąsiednią uzyskując większą liczebność.

Zmniejszy się wtedy liczba stopni swobody