1

1 Struktury algebraiczne

1.1 Grupa

Definicja 1.1

Działaniem w zbiorze niepustym A nazywamy każde

odwzorowanie

f : A × A → A.

Definicja 1.2

Działanie ◦ określone w zbiorze A jest łączne, jeżeli

∀

a,b,c∈A

(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).

Definicja 1.3

Działanie ◦ określone w zbiorze A jest przemienne,

jeżeli

∀

a,b∈A

a ◦ b = b ◦ a.

Definicja 1.4

Element e ∈ A nazywa się elementem neutralnym

działania ◦, jeżeli

∀

a∈A

a ◦ e = e ◦ a = a.

Twierdzenie 1.1

W zbiorze A, w którym określone jest działanie

◦, istnieje co najwyżej jeden element neutralny działania ◦.

Definicja 1.5

Niech działanie ◦ określone w zbiorze A posiada ele-

ment neutralny e. Element a

0

∈ A nazywamy elementem odwrotnym

do elementu a ∈ A, jeżeli

a ◦ a

0

= a

0

◦ a = e.

Definicja 1.6

Zbiór V , w którym określone jest działanie ◦, nazy-

wamy grupą, jeżeli spełnione są następujące warunki:

1. działanie ◦ jest łączne

2. istnieje element neutralny e ∈ V działania ◦

3. dla każdego a ∈ V istnieje element odwrotny

2

Definicja 1.7

Grupa, w której działanie jest przemienne, nazywa

się grupą abelową (przemienną).

Twierdzenie 1.2

W dowolnej grupie V dla każdego a ∈ V istnieje

dokładnie jeden element odwrotny.

1.2 Ciało

Definicja 1.8 Niech dany będzie zbiór A z dwoma działaniami ⊕, .

Mówimy, że działanie  jest rozdzielne względem działania ⊕, jeżeli

∀

a,b,c∈A

a  (b ⊕ c) = (a  b) ⊕ (a  c) ∨ (b ⊕ c)  a = (b  a) ⊕ (c  a)

Definicja 1.9

Zbiór V , w którym określone są dwa działania ⊕, ,

nazywamy ciałem, jeżeli spełnione są następujące warunki:

1. V jest grupą abelową względem działania ⊕

2. V \{e

⊕

} jest grupą względem działania 

3. działanie  jest rozdzielne względem działania ⊕

Twierdzenie 1.3

Jeżeli (K, +, ·) jest ciałem, to

∀

a∈K

a · e

+

= e

+

· a = e

+

.

3

2 Ciało liczb zespolonych

Definicja 2.1

Rozważmy zbiór C = R × R. W zbiorze C określamy

dwa działania ⊕, , które będziemy nazywali dodawaniem i mnoże-

niem:

1. (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)

2. (a, b)  (c, d) = (ac − bd, ad + bc),

gdzie działania po prawych stronach równości są zwykłymi działaniami

na liczbach rzeczywistych. Elementy zbioru C, w którym określone są

działania ⊕, , będziemy nazywali liczbami zespolonymi, a zbiór C

zbiorem liczb zespolonych.

Twierdzenie 2.1

Zbiór liczb zespolonych jest ciałem względem dzi-

ałań ⊕, .

Definicja 2.2

Niech z = a + bi będzie dowolną liczbą zespoloną.

Liczbę sprzężoną z liczbą z nazywamy liczbę zespoloną ¯

z = a − bi.

Twierdzenie 2.2

1. ¯

z = z

2. z

1

+ z

2

= z

1

+ z

2

3. z

1

− z

2

= z

1

− z

2

4. z

1

z

2

= z

1

· z

2

5.



z

1

z

2



=

z

1

z

2

(z

2

6= 0).

Definicja 2.3

Niech z = a + bi. Modułem liczby zespolonej z, który

oznaczamy przez |z|, nazywamy liczbę rzeczywistą

√

a

2

+ b

2

Twierdzenie 2.3 Niech z

1

= |z

1

|(cos ϕ

1

+i sin ϕ

1

) oraz z

2

= |z

2

|(cos ϕ

2

+

i sin ϕ

2

). Wówczas

4

1. z

1

z

2

= |z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

+ ϕ

2

)),

tzn. |z

1

z

2

| = |z

1

||z

2

| oraz arg(z

1

z

2

) = arg z

1

+ arg z

2

2.

z

1

z

2

=

|z

1

|

|z

2

|

(cos(ϕ

1

− ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

− ϕ

2

)),

tzn.





z

1

z

2





=

|z

1

|

|z

2

|

oraz arg



z

1

z

2



= arg z

1

− arg z

2

.

Definicja 2.4

(wzór de Moivre’a)

[|z|(cos ϕ + i sin ϕ)]

n

= |z|

n

(cos nϕ + i sin nϕ)

Twierdzenie 2.4

Dla dowolnych liczb zespolonych z

1

i z

2

zachodzi

nierówność

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|

Definicja 2.5

Niech n ∈ N . Pierwiastkiem stopnia n liczby ze-

spolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w o tej własności, że

w

n

= z.

Twierdzenie 2.5 Każda różna od zera liczba zespolona z = |z|(cos ϕ+

i sin ϕ) ma dokładnie n pierwiastków stopnia n postaci:

p|z|(cos ϕ + i sin ϕ) =

n

p|z|(cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

),

gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1.

Twierdzenie 2.6 Jeżeli w

k

, gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1, są pierwiastka-

mi stopnia n z liczby z, to

w

k

= w

0



cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n



5

3 Wielomiany

Definicja 3.1 Wielomianem rzeczywistym (zespolonym) stopnia n ∈

N ∪ {0} nazywamy funkcję W : R −→ R

(W : C −→ C) określoną wzorem

W (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

1

x + a

0

gdzie a

k

∈ R (a

k

∈ C) dla 0 ≤ k ≤ n oraz a

n

6= 0. Liczby a

k

nazywamy

współczynnikami wielomianu W .

Definicja 3.2 Mówimy, że wielomian S jest ilorazem, a wielomian R

resztą z dzielenia wielomiany P przez wielomian Q, jeżeli dla każdego

x ∈ R (x ∈ C) spełniony jest warunek

P (x) = Q(x)S(x) + R(x)

oraz stopień reszty R jest mniejszy od reszty dzielnika Q. Jeżeli R(x) ≡

0 to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomian Q.

Definicja 3.3

Liczbę rzeczywistą (zespoloną) x

0

nazywamy pier-

wiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W , jeżeli W (x

0

) =

0.

Twierdzenie 3.1 (B´

ezout) Liczba x

0

jest pierwiastkiem wielomianu

W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że

W (x) = (x − x

0

)P (x)

Definicja 3.4

Liczba x

0

jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu

W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że

W (x) = (x − x

0

)

k

P (x)

6

oraz P (x

0

) 6= 0

Twierdzenie 3.2

Niech

W (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

1

x + a

0

będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba

całkowita p 6= 0 będzie pierwiastkiem wielomianu. Wtedy p jest dziel-

nikiem wyrazu wolnego a

0

.

Twierdzenie 3.3

Niech

W (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

1

x + a

0

będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia n oraz

niech liczba wymierna

p
q

, gdzie p i q są liczbami całkowitymi względnie

pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W . Wtedy p jest dziel-

nikiem współczynnika a

0

a q jest dzielnikiem współczynnika a

n

tego

wielomianu.

Twierdzenie 3.4

(zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomi-

an zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek

zespolony.

Twierdzenie 3.5

Każdy wielomian stopnia n ∈ N ma dokładnie n

pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).

Twierdzenie 3.6

Niech W będzie wielomianem o współczynnikach

rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z

0

jest k-krotnym pierwiastkiem

wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba

z

0

jest pierwiastkiem

k-krotnym tego wielomianu.

Definicja 3.5 Funkcją wymierną rzeczywistą (zespoloną) nazywamy

iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych).

7

Definicja 3.6

Funkcje wymierną nazywamy właściwą, jeżeli stopień

wielomianu w liczniku ułamka określającego tę funkcję jest mniejszy

od stopnia wielomianu w mianowniku.

Definicja 3.7

(ułamki proste)

1. Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy zespolona funkcję

wymierną postaci

A

(z + a)

n

gdzie a, A ∈ C, n ∈ N

2. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy

rzeczywistą funkcję wymierną postaci

A

(x + a)

n

gdzie a, A ∈ R, n ∈ N

3. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy

rzeczywistą funkcję wymierną postaci

Ax + B

(x

2

+ px + q)

n

gdzie p, q, A, B ∈ R, n ∈ N przy czym

∆ = p

2

− 4q < 0.

Twierdzenie 3.7

Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista

(zespolona) jest sumą rzeczywistych (zespolonych) ułamków prostych.

Przedstawienie to jest jednoznaczne.

1. zespolona funkcja wymierna właściwa

P (z)

a

n

(z − z

1

)

k

1

(z − z

2

)

k

2

. . . (z − z

m

)

k

m

jest sumą k

1

+ k

2

+ . . . + k

m

zespolonych ułamków prostych,

przy czym czynnikowi (z − z

i

)

k

i

odpowiada suma k

i

ułamków

prostych postaci:

8

A

1

z − z

i

+

A

2

(z − z

i

)

2

+ . . . +

A

k

i

(z − z

i

)

k

i

,

gdzie A

1

, A

2

, . . . , A

k

i

∈ C dla 1 ≤ i ≤ m.

2. rzeczywista funkcja wymierna właściwa

P (x)

a

n

(x − x

1

)

k

1

. . . (x − x

r

)

k

r

(x

2

+ p

1

x + q

1

)

l

1

. . . (x

2

+ p

s

x + q

s

)

l

s

jest sumą k

1

+ k

2

+ . . . + k

r

rzeczywistych ułamków prostych I

rodzaju oraz l

1

+ l

2

+ . . . + l

s

rzeczywistych ułamków prostych

II rodzaju, przy czym

•

czynnikowi (x − x

i

)

k

i

odpowiada suma k

i

ułamków prostych

I rodzaju postaci:

A

1

x − x

i

+

A

2

(x − x

i

)

2

+ . . . +

A

k

i

(x − x

i

)

k

i

,

gdzie A

1

, A

2

, . . . , A

k

i

∈ R dla 1 ≤ i ≤ r.

•

czynnikowi (x

2

+ p

j

x + q

j

)

l

j

odpowiada suma l

j

ułamków

prostych II rodzaju postaci:

B

1

x + C

1

(x

2

+ p

j

x + q

j

)

+

B

2

x + C

2

(x

2

+ p

j

x + q

j

)

2

+ . . . +

B

l

j

x + C

l

j

(x

2

+ p

j

x + q

j

)

l

j

,

gdzie B

1

, B

2

, . . . , B

l

j

, C

1

, C

2

, . . . , C

l

j

∈ R

dla 1 ≤ i ≤ s.

9

4 Przestrzeń liniowa

4.1 Definicja i własności przestrzeni liniowej

Definicja 4.1 Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy odw-

zorowanie f : F × A −→ A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.

Definicja 4.2 Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem (K, +, ·)

nazywamy strukturę algebraiczną (V, K, ⊕, ) złożoną ze zbiorów V i

K, działania ⊕ : V × V −→ V i działania zewnętrznego  : K × V −→

V , która spełnia warunki:

1. (V, ⊕) jest grupą abelową

2. ∀

x∈V

1  x = x (1 oznacza jedynkę ciała K)

3. ∀

α∈K

∀

x,y∈V

α  (x ⊕ y) = α  x ⊕ α  y

4. ∀

α,β∈K

∀

x∈V

(α + β)  x = α  x ⊕ β  x

5. ∀

α,β∈K

∀

x∈V

(α · β)  x = α  (β  x)

Twierdzenie 4.1

Niech dana będzie przestrzeń liniowa (V, K, +, ·).

Wówczas

1. ∀

α∈K

∀

x∈V

αx = θ ⇔ α = 0 ∨ x = θ

2. ∀

α∈K

∀

x∈V

α(−x) = (−α)x = −αx

3. ∀

α∈K

∀

x,y∈V

α(x − y) = αx − αy

4. ∀

α,β∈K

∀

x∈V

(α − β)x = αx − βx

4.2 Podprzestrzeń przestrzeni wektorowej

Definicja 4.3

Zbiór W ⊂ V nazywamy podprzestrzenią liniową

przestrzeni V nad ciałem K, jeżeli spełnione są warunki:

1. ∀

x,y∈W

x + y ∈ W

2. ∀

α∈K

∀

x∈W

αx ∈ W

10

Twierdzenie 4.2

Niech U i W będą podprzestrzeniami przestrzeni

liniowej V nad ciałem K.

1. U ∩ W jest podprzestrzenią przestrzeni V

2. U ∪ W jest podprzestrzenią przestrzeni V ⇐⇒ U ⊂ W lub

W ⊂ U

4.3 Powłoka liniowa

Definicja 4.4

Niech (x

1

, x

2

, . . . , x

k

) będzie skończonym układem

wektorów przestrzeni liniowej (V, K, +, ·). Wektor

x = α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

k

x

k

,

gdzie (α

1

, α

2

, . . . , α

k

) jest układem skalarów ciała K, nazywamy kombi-

nacja liniową wektorów x

1

, x

2

, . . . , x

k

. Skalary α

1

, α

2

, . . . , α

k

nazywamy

współczynnikami kombinacji liniowej. O wektorze x mówimy też, że

wyraża się on liniowo przez wektory x

1

, x

2

, . . . , x

k

.

Definicja 4.5

Niech V będzie przestrzenią liniowa nad ciałem K i

niech x

1

, x

2

, . . . , x

k

∈ V . Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wek-

torów x

1

, x

2

, . . . , x

k

nazywamy powłoką liniową rozpiętą na wektorach

x

1

, x

2

, . . . , x

k

lub powłoką na zbiorze {x

1

, x

2

, . . . , x

k

} i oznaczmy przez

Lin{x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

Definicja 4.6

Jeżeli B = LinA, to mówimy, że zbiór B jest gen-

erowany przez zbiór A. Elementy zbioru A nazywamy wtedy genera-

torami zbioru B.

Twierdzenie 4.3

Niech A, B ⊂ V , gdzie V jest przestrzenią liniowa

nad ciałem K.

11

1. A ⊂ B =⇒ LinA ⊂ LinB

2. zbiór LinA jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V i jest to

najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca zbiór A

4.4 Liniowa zależność i niezależność wektorów

Definicja 4.7 Układ wektorów (x

1

, x

2

, . . . , x

k

) przestrzeni (V, K, +, ·)

nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli dla dowolnego układu skalarów

(α

1

, α

2

, . . . , α

k

) spełniony jest warunek:

k

X

i=1

α

i

x

i

= θ =⇒ ∀

1≤i≤k

α

i

= 0

Definicja 4.8 Układ wektorów (x

1

, x

2

, . . . , x

k

) przestrzeni (V, K, +, ·)

nazywamy liniowo zależnym, jeżeli nie jest liniowo niezależny, tzn. jeżeli

istnieje nietrywialna kombinacja liniowa wektorów tego układu równa

θ.

Twierdzenie 4.4 Układ wektorów (x

1

, x

2

, . . . , x

k

) przestrzeni (V, K, +, ·),

gdzie k > 1, jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego

r = 1, 2, . . . , k wektor x

r

jest kombinacją liniową pozostałych wektorów

tego układu.

Twierdzenie 4.5

Układ (x), składający się z jednego wektora, jest

liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy x = θ.

Twierdzenie 4.6

Układ wektorów (x

1

, x

2

, . . . , x

k

), zawierający po-

dukład liniowo zależny jest liniowo zależny.

Wniosek 4.1

Układ wektorów zawierający wektor zerowy jest lin-

iowo zależny.

12

Twierdzenie 4.7

(Steinitza) Niech x

1

, x

2

, . . . , x

k

∈ V , gdzie V jest

przestrzenią liniową. Jeżeli wektory

y

1

, y

2

, . . . , y

n

∈ Lin{x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

są liniowo niezależne, to n ≤ k.

Definicja 4.9

Nieskończony układ wektorów przestrzeni liniowej

jest liniowo zależny, jeżeli każdy jego skończony podzbiór jest liniowo

niezależny. W przeciwnym wypadku nazywamy go liniowo zależnym.

4.5 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

Definicja 4.10 Bazą przestrzeni liniowej (V, K, +, ·) nazywamy zbiór

B liniowo niezależnych wektorów taki, że LinB = V .

Twierdzenie 4.8

Jeżeli przestrzeń liniowa (V, K, +, ·) ma bazę n-

elementową, to każda baza tej przestrzeni składa się z n elementów.

Definicja 4.11

Jeżeli przestrzeń liniowa V ma bazę skończoną, to

liczbę elementów tej bazy nazywamy wymiarem przestrzeni V i oz-

naczamy przez dimV .

Definicja 4.12 Przestrzeń liniowa nie mająca skończonej bazy nazy-

wa się przestrzenią nieskończenie wymiarową. Piszemy wówczas dimV =

∞.

4.6 Współrzędne wektora w bazie

Twierdzenie 4.9 Niech B = {x

1

, x

2

, . . . , x

n

} będzie bazą przestrzeni

liniowej V nad ciałem K oraz niech y będzie dowolnym wektorem tej

przestrzeni. Wtedy przedstawienie wektora y w postaci kombinacji lin-

iowej wektorów z bazy B jest jednoznaczne, tzn. istnieją jednoznacznie

określone skalary α

i

∈ K, gdzie 1 ≤ i ≤ n, takie, że

13

y = α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

n

x

n

Definicja 4.13

Niech B = {x

1

, x

2

, . . . , x

n

} będzie bazą przestrzeni

liniowej V nad ciałem K. Współrzędnymi wektora y ∈ V w bazie B

nazywamy współczynniki α

i

∈ K, gdzie 1 ≤ i ≤ n, kombinacji liniowej

przedstawiającej ten wektor w tej bazie:

y = α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

n

x

n

Współrzędne wektora y w ustalonej bazie zapisujemy w postaci:

[α

1

, α

2

, . . . , α

n

]