Podstawy logiki i teorii mnogości. Materiały do ćwiczeń
Maria Bulińska

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW -- ZADANIA

1. Odczytaj zdania zakładając, że zakresem zmiennych x,y,z jest zbiór liczb

rzeczywistych:

a)

(

)

(

)

0

0

2

>

≠

∀

x

x

b)

(

)

(

)

0

1

0

2

=

−

<

∃

x

x

c)

(

)

(

)

[

]

1

0

=

∃

→

≠

∀

xy

y

x

x

d)

x

y

x

x

y

=

+

∀

∃

e)

(

)

(

)

[

]

y

z

x

z

y

x

y

x

<

<

∃

→

<

∀

∀

2. Określ, które zdania są prawdziwe, a które fałszywe, jeżeli zakresem zmiennej

x

jest

zbiór liczb rzeczywistych:

a)

(

)

( )

1

3

>

∃

→

>

∃

x

x

x

x

,

b)

(

) ( )

[

]

1

3

>

→

>

∃

x

x

x

,

c)

(

)

(

)

0

0

≤

∀

∨

>

∀

x

x

x

x

d)

(

) (

)

[

]

0

0

≤

∨

>

∀

x

x

x

.

3. Za pomocą kwantyfikatorów, symboli logicznych i symboli działań arytmetycznych

zapisz zdania:

a) Istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 2.
b) Dla wszystkich licz rzeczywistych x,

0

=

− x

x

.

c) Dla pewnej liczby rzeczywistej z,

0

1

4

2

=

−

− z

z

.

d)

Żadna liczba naturalna nie jest mniejsza od 0.

e)

Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna od niej większa.

f)

Nie istnieje największa liczba naturalna.

g)

Układ równań







=

+

=

+

6

5

y

x

y

x

jest sprzeczny.

4.

Jakimi kwantyfikatorami należy poprzedzić formy zdaniowe, aby otrzymać zdania
prawdziwe

a)

11

5

=

+

x

b)

0

3

2

>

+

x

c)

x

x

+

=

+

1

1

d)

0

10

2

2

=

+

+ x

x

5.

Podaj zaprzeczenia poniższych zdań na co najmniej dwa sposoby

a)

Każdy kwadrat jest rombem.

b)

Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła.

c)

Istnieje trójkąt równoramienny, który jest prostokątny lub rozwartokątny.

d)

Istnieje czworokąt, którego nie można wpisać w okrąg.

e)

Jeżeli funkcja jest ciągła, to jest różniczkowalna i rosnąca.

f)

Jeżeli funkcja liniowa ma współczynnik kierunkowy ujemny, to jest rosnąca
lub stała.

g)

Istnieje liczba naturalna mniejsza od pozostałych.

Podstawy logiki i teorii mnogości. Materiały do ćwiczeń
Maria Bulińska

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.

Określ wartość logiczną zadania:

a)

(

)













≤

+

+

−

∈

∀

0

1

5

6

2

2

x

x

x

N

x

b)

(

)













≤

+

+

−

∈

∀

0

1

5

6

2

2

x

x

x

R

x

c)

(

)













≤

+

+

−

∈

∃

0

1

5

6

2

2

x

x

x

R

x

d)

(

)













>

∨

≤

∈

∃

2

1

sin

0

sin

x

x

R

x

e)

(

)

(

)

0

cos

sin

2

2

≥

+

∈

∃

x

x

R

x

f)

(

)

(

)

0

cos

sin

2

2

≥

+

∈

∀

x

x

R

x

g)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

0

30

10

2

>

∨

<

+

−

∈

∃

x

x

x

R

x

h)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

0

30

10

2

>

∧

<

+

−

∈

∃

x

x

x

R

x

i)

(

)(

)(

)

y

x

R

y

R

x

<

∈

∃

∈

∀

j)

(

)(

)

(

)

5

2

2

<

+

∈

∃

∈

∀

y

x

R

y

R

x

k)

(

)(

)

(

)

5

2

<

+

∈

∃

∈

∀

y

x

R

y

R

x

l)

(

)(

)(

)

0

>

+

∈

∃

∈

∀

y

x

R

y

R

x

m)

(

)(

)(

)

0

>

+

∈

∃

∈

∃

y

x

R

y

R

x

n)

(

)(

)(

)

0

>

+

∈

∀

∈

∃

y

x

R

y

R

x