Matematyka ZP plan wynikowy

óó

∏∏oo

iiss

llii

jjii

rroo

rraa

((

rree

ttaa

))

llaa

ALGEBR

II..

llee

ttyy

iikk

ttee

ttyy

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

Zdania

Negacja zdania (zaprzecze-

nie)

Tautologie (prawa rachunku

zdaƒ)

ormy zdaniowe proste i

z∏o-

˝one

Kwantyfikatory

, zdania z

kwan-

tyfikatorami i

ich negacja

oj´cie zdania w

logice, wartoÊciowanie

zdania, funktory zdaniotwórcze, zdania

z∏o˝one, wartoÊciowanie zdaƒ z∏o˝o-

nych.

Negacje zdania prostego i

zdaƒ z∏o˝o-

nych.

odstawowe prawa rachunku zdaƒ

(prawa de Morgana, prawo podwójnej

negacji, prawo sprzecznoÊci i

wy∏àczo-

nego Êrodka, prawo negacji implikacji,

prawo kontrapozycji).

Definicja formy zdaniowej prostej – przy-

k∏ady i

formy zdaniowe z∏o˝one, dziedzi-

na formy zdaniowej.

oznanie kwantyfikatorów: ogólnego

iszczegó∏owego; zdania z

kwantyfikato-

rami i

ich negacja.

iadomoÊci:

–

podaje przyk∏ady zdaƒ w

sensie logicznym

zdaƒ, które takimi nie sà (WP)*.

Umiej´tnoÊci:

–

ocenia wartoÊç logicznà tych zdaƒ (UP)**;

–

tworzy zdania z∏o˝one i

je wartoÊciuje (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

tworzy zaprzeczenia zdaƒ prostych i

zdaƒ

z∏o˝onych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

sprawdza metodà zero-jedynkowà tautolo-

gicznoÊç wyra˝eƒ (UP).

iadomoÊci:

–

omawia okreÊlenie formy zdaniowej i

jej

dziedziny (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje przyk∏ady form zdaniowych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

ocenia wartoÊç logicznà zdania z

kwantyfika-

torem oraz uk∏ada zaprzeczenia (UPP)***.

ybiera z

listy rozmaitych zdaƒ zdania

logiczne i

ocenia ich wartoÊç logicznà;

uczeƒ poznaje zdania z∏o˝one (koniunk-

cj´, alternatyw´, implikacj´, równowa˝-

noÊç) i

dedukuje ich wartoÊciowanie na

podstawie przyk∏adów takich zdaƒ z∏o-

˝onych.

yrabia i

çwiczy u

uczniów umiej´tnoÊç

zaprzeczania zdaƒ, odwo∏ujàc si´ do

konkretnych przyk∏adów takich zdaƒ

ich zaprzeczeƒ.

odaje podstawowe prawa rachunku

zdaƒ i

ich dowody metodà zero-jedyn-

kowà.

odaje definicj´ formy zdaniowej i

jej

dziedziny oraz przyk∏ady; tworzy formy

zdaniowe z∏o˝one.

Zapoznaje uczniów z

kwantyfikatorami

u˝ywaniem ich do zapisu zdaƒ; oce-

nia wartoÊç logicznà zdaƒ z

wantyfika-

torem oraz tworzy negacje takich zdaƒ.

* WP – wiadomoÊci podstawowe ** UP – umiej´tnoÊci podstawowe *** UPP – umiej´tnoÊci ponadpodstawowe

IIII

iioo

rróó

IIII

II..

llgg

rraa

iicc

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

Zbiory i

dzia∏ania na nich

Prawa dzia∏aƒ na zbiorach

oj´cie zbioru; przyk∏ady zbiorów; rela-

cja nale˝enia i

zawierania; dzia∏ania: ilo-

czynu, sumy i

ró˝nicy zbiorów

oznanie praw rachunku zbioru: prawa

przemiennoÊci koniunkcji i

alternatywy

prawa ∏àcznoÊci koniunkcji i

alternaty-

, prawa rozdzielnoÊci alternatywy

wzgl´dem koniunkcji i

koniunkcji wzgl´-

dem alternatywy; prawa de Morgana.

iadomoÊci:

–

podaje przyk∏ady zbiorów (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

porównuje zbiory (UP);

–

wykonuje dzia∏ania na zbiorach (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

sprawdza s∏usznoÊç podanych praw dzia-

∏aƒ na zbiorach (UPP) (przynajmniej na tzw

diagramach V

enne’a (UP)).

Akcentuje, ˝e poj´cie zbioru, relacja

nale˝enia do zbioru, to poj´cia pierwot-

ne; uczniowie podajà przyk∏ady zbio-

rów

, ustalajà relacje mi´dzy zbiorami,

wykonujà dzia∏ania na podanych zbio-

rach itp.

odaje prawa rachunku zbiorów; ucz-

niowie sprawdzajà je na diagramach

enne’a, (w

miar´ mo˝liwoÊci) odwo∏u-

jàc si´ do odpowiednich praw rachunku

zdaƒ.

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

åwiczenia w

dzia∏aniach na

u∏amkach

Obliczenia procentowe

Dzia∏ania ∏àczne na u∏amkach w

oblicza-

niu wartoÊci wyra˝eƒ; rozwiàzywanie

równaƒ o

wspó∏czynnikach u∏amko-

wych; rozwiàzywanie zadaƒ teksto-

wych.

Obliczanie procentu danej liczby; wy-

znaczanie liczby

, gdy dany jest jej pro-

cent; obliczanie, jakim procentem danej

liczby jest inna liczba.

Umiej´tnoÊci:

–

çwiczy sprawnoÊç rachunkowà w

dzia∏aniach

na u∏amkach (UP).

iadomoÊci:

–

utrwala poj´cie procentu (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje obliczenia procentowe w

zadaniach

˝ycia codziennego (oprocentowania kre-

dytu, oszcz´dnoÊci, obni˝ki i

podwy˝ki cen

itp.) (UP).

ykonuje wiele çwiczeƒ w

dzia∏aniach

na u∏amkach; rozwiàzuje zadania tek-

stowe.

Przypomina poj´cie procentu; zamienia

u∏amki na procenty i

odwrotnie; wyko-

nuje obliczenia procentowe w

zada-

niach nawiàzujàcych do ˝ycia codzien-

nego.

IIVV

iióó

llii

iiss

ttyy

ot´gowanie i

pierwiastkowa-

nie liczb rzeczywistych

åwiczenia w

dzia∏aniach na

pot´gach i

pierwiastkach

Wzory skróconego mno˝enia,

przekszta∏canie wyra˝eƒ alge-

braicznych

Przypomnienie poj´cia pot´gi o

wyk∏ad-

niku ca∏kowitym oraz pierwiastka aryt-

metycznego z

liczby nieujemnej, a

tak˝e

w∏asnoÊci dzia∏aƒ na pot´gach i

na pier-

wiastkach.

åwiczenia i

przyk∏ady na obliczanie po-

t´gi oraz pierwiastków

Wzory skróconego mno˝enia typu:

)

dla

2, 3;

– b

dla

2, 3;

+ b

oraz przyk∏ady ich

zastosowaƒ do uproszczonych rachun-

ków i

przekszta∏ceƒ wyrazów algebra-

icznych.

iadomoÊci:

–

definiuje pot´g´ liczby rzeczywistej o

k∏adniku naturalnym i

ca∏kowitym (WP);

–

definiuje pierwiastek arytmetyczny (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

omawia w∏asnoÊci dzia∏aƒ na pot´gach

ipierwiastkach (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

podnosi do pot´gi liczby rzeczywiste (UP);

–

wyciàga

pierwiastki z liczb rzeczywistych

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje wzory do wykonywania obliczeƒ

przekszta∏ceƒ wyra˝eƒ algebraicznych

(UP).

odaje definicj´ pot´gi o

wyk∏adniku na-

turalnym i

ca∏kowitym oraz w∏asnoÊci

dzia∏aƒ na pot´gach (z

dowodem niektó-

rych z

nich), a

tak˝e definicj´ pierwiastka

iw∏asnoÊci dzia∏aƒ na pierwiastkach.

Przypomina definicje pot´gi o

wyk∏adni-

ku naturalnym i

ca∏kowitym, pierwiastka

arytmetycznego z

liczby nieujemnej,

w∏asnoÊci dzia∏aƒ na pot´gach i

ier-

wiastkach, przekszta∏canie wyra˝eƒ

pot´gami i

pierwiastkami.

Przypomina wzory skróconego mno˝e-

nia: (

- b

(znane uczniom

lekcji matematyki w

gimnazjum); roz-

szerza znajomoÊç wzorów skróconego

mno˝enia o

wzory: (

)

, a

(stara si´ stosowaç te wzory do takich

przyk∏adów dzia∏aƒ na liczbach i

wyra-

˝eniach, aby poznane wzory rzeczywi-

Êcie upraszcza∏y rachunki).

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

Liczby naturalne i

ca∏kowite

Zbiór liczb wymiernych

W∏asnoÊci zbioru liczb naturalnych

zbioru liczb ca∏kowitych, o

podzielno-

Êci w

zbiorze liczb ca∏kowitych.

oj´cie liczby wymiernej, dzia∏ania na licz-

bach wymiernych, równoÊç liczb wymier-

nych, liczby wymierne na osi liczbowej.

iadomoÊci:

–

wyjaÊnia poj´cie liczby naturalnej i liczby

ca∏kowitej (WP);

–

omawia podstawowe wiadomoÊci z

teorii po-

dzielnoÊci w

zbiorze liczb ca∏kowitych (WP).

iadomoÊci:

–

wskazuje liczby wymierne (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

porównuje liczby wymierne (UP);

Nawiàzuje do wiedzy z

gimnazjum,

nast´pnie poszerza jà o

nowe wiado-

moÊci.

ybiera spoÊród ró˝nych liczb te, które

sà wymierne; konstruuje niektóre liczby

wymierne (z

zastosowaniem twierdze-

nia T

alesa) i

zaznacza na osi – çwiczenia

Zbiór liczb niewymiernych

Rozwini´cia dziesi´tne liczb

rzeczywistych

5. Uporzàdkowanie zbioru liczb

rzeczywistych

artoÊç bezwzgl´dna (mo-

du∏) liczby rzeczywistej

oj´cie liczby niewymiernej, wykonywa-

nie dzia∏aƒ na liczbach niewymiernych,

konstruowanie niektórych liczb niewy-

miernych i

zaznaczanie ich na osi licz-

bowej, usuwanie niewymiernoÊci z

mia-

nownika u∏amka.

Rozwini´cia dziesi´tne liczb wymier-

nych i

niewymiernych.

orównywanie liczb rzeczywistych, w∏a-

snoÊci równoÊci i

nierównoÊci w

zbiorze

liczb rzeczywistych.

Definicja wartoÊci bezwzgl´dnej, wnio-

ski wynikajàce z

definicji, podstawowe

w∏asnoÊci wartoÊci bezwzgl´dnej i

jej in-

terpretacja geometryczna, proste rów-

nania i

nierównoÊci z

wartoÊcià bez-

wzgl´dnà.

–

zaznacza na osi liczbowej liczby wymierne

(UP);

–

wykonuje dzia∏ania na liczbach wymier-

nych (UP).

iadomoÊci:

–

okreÊla liczb´ niewymiernà (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

wskazuje liczb´ niewymiernà wÊród poda-

nych liczb (UP);

–

wykazuje niewymiernoÊç niektórych liczb

(np.

3) (UPP);

–

usuwa niewymiernoÊç z

mianownika u∏am-

ka (UP);

–

zaznacza liczb´ niewymiernà na osi liczbo-

wej (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

zamienia u∏amek dziesi´tny skoƒczony lub

nieskoƒczony okresowy na u∏amek zwyk∏y

(UP);

–

podaje przybli˝one rozwini´cie dziesi´tne

liczb niewymiernych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

porównuje dwie liczby rzeczywiste, liczb´

wymiernà z

liczbà niewymiernà, dwie liczby

niewymierne (UP).

iadomoÊci:

–

pos∏uguje si´ wartoÊcià bezwzgl´dnà (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

omawia jej w∏asnoÊci i

interpretacj´ geome-

trycznà (UP);

–

stosuje jà do rozwiàzywania równaƒ typu

| ax + b

= c

ierównoÊci typu

| ax + b

)

| ax + b

)

(UPP)

sprawnoÊci rachunkowej na liczbach

wymiernych.

ybiera, poprzez ró˝ne çwiczenia, licz-

by niewymierne spoÊród podanych

liczb; dowodzi niewymiernoÊci

oraz podaje ich konstrukcj´ (z

zasto-

sowaniem twierdzenia Pitagorasa); usu-

wa niewymiernoÊç z

mianowników

u∏amków (akcentujàc tutaj zastosowa-

nie poznanych wzorów skróconego

mno˝enia).

odaje (bez dowodu) twierdzenie o

roz-

wini´ciach dziesi´tnych liczb rzeczywi-

stych; çwiczy przedstawianie liczby wy-

miernej w

postaci u∏amków dziesi´t

nych, zamienia u∏amki dziesi´tne na

u∏amki zwyk∏e itp.

odaje w∏asnoÊci relacji równoÊci i

rela-

cji nierównoÊci w

zbiorze liczb rzeczywi-

stych.

odaje definicj´ wartoÊci bezwzgl´dnej

liczby rzeczywistej, wyznacza wartoÊç

bezwzgl´dnà danych liczb, interpretuje

wartoÊç bezwzgl´dnà na osi liczbowej

oraz rozwiàzuje równania i

nierównoÊci

wartoÊcià bezwzgl´dnà.

OÊ liczbowa, przedzia∏y licz-

bowe i

dzia∏ania na nich

B∏àd przybli˝enia, szacowanie

wartoÊci liczbowych

Przypomnienie wiadomoÊci o

osi liczbo-

wej (znanych uczniom z

gimnazjum),

okreÊlenie przedzia∏ów liczbowych

ograniczonych i

nieograniczonych, dzia-

∏ania na przedzia∏ach.

oj´cie b∏´du przybli˝enia liczb, b∏àd

bezwzgl´dny i

wzgl´dny

, regu∏a zaokrà-

glania przybli˝eƒ.

Umiej´tnoÊci:

–

pos∏uguje si´ osià liczbowà (UP);

–

zaznacza na osi liczby i

przedzia∏y liczbowe

oraz wyniki dzia∏aƒ mnogoÊciowych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

przeprowadza obliczenia, pos∏ugujàc si´

przybli˝eniami liczb (zarówno wymiernych,

jak i

niewymiernych) (UP).

os∏uguje si´ osià liczbowà, podaje

opis przedzia∏ów i

ykonuje na nich

dzia∏ania: koniunkcji, alternatywy

, ró˝ni-

cy i

dope∏nienie przedzia∏ów do ca∏ej osi

(jako przestrzeni) – nawiàzuje przy tym

do wiedzy ucznia z

nauki matematyki

gimnazjum.

odaje definicj´ b∏´du przybli˝enia, b∏´-

du bezwzgl´dnego i

b∏´du wzgl´dnego;

omawia regu∏y zaokràglania; szacowa-

nie wartoÊci liczbowych.

jjee

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

oj´cie funkcji, funkcja liczbo-

wa i

jej wykres

Sposoby okreÊlania funkcji

ich zastosowanie do opisu

zale˝noÊci w

przyrodzie, go-

spodarce i

˝yciu codziennym

Dziedzina funkcji, zbiór warto-

Êci

Definicja funkcji jako odwzorowania

zbioru w

zbiór

, argument funkcji, dzie-

dzina funkcji, wartoÊç funkcji w

punkcie,

wykres funkcji jako zbiór par

OkreÊlanie na ró˝ne sposoby funkcji:

opis s∏owny

, graf

, tabelka, wzór jawny

wykres.

yznaczanie dziedziny i

zbioru wartoÊci

podanych przyk∏adów funkcji, w

tym

przede wszystkim funkcji liczbowych.

iadomoÊci:

–

utrwala poj´cie funkcji (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

wskazuje, które z

odwzorowaƒ zbioru

zbiór jest funkcjà, a

które nie (UP);

–

podaje

podstawowe terminy zwiàzane

funkcjà (UP).

iadomoÊci:

–

poznaje ró˝ne sposoby okreÊlania funkcji

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

opisuje za pomocà funkcji zale˝noÊci wyst´pujà-

ce w

ró˝nych dziedzinach ˝ycia.

iadomoÊci:

–

podaje dziedzin´ i

zbiór wartoÊci funkcji,

majàc jà okreÊlonà na ró˝ny sposób (WP).

Akcentuje, które odwzorowanie zbioru

zbiór jest funkcjà; u˝ywa kwantyfika-

torów do zdefiniowania funkcji; rozpa-

truje ró˝ne przyk∏ady funkcji, w

tym

funkcji liczbowych; uczy ucznia j´zyka

zwiàzanego z

poj´ciem funkcji.

OkreÊla funkcje ró˝nymi sposobami

oraz opisuje nimi ró˝ne zale˝noÊci

przyrodzie, gospodarce i

˝yciu co-

dziennym.

yznacza dziedzin´ i

zbiór wartoÊci

funkcji (dobiera takie przyk∏ady funkcji

liczbowych, aby mieç okazj´ wykorzy-

staç zdobyte wczeÊniej wiadomoÊci, np.

Miejsce zerowe funkcji, war-

toÊç funkcji w

danym punkcie,

punkt sta∏y

artoÊç najmniejsza i

naj-

wi´ksza funkcji w

przedziale

Ogólne w∏asnoÊci funkcji licz-

bowych

Przekszta∏cenia wykresu funk-

cji

8. Sporzàdzanie wykresów funk-

cji, odczytywanie w∏asnoÊci

funkcji z

wykresu

Znajdowanie miejsc zerowych, punktów

sta∏ych funkcji okreÊlonych na ró˝ne

sposoby

OkreÊlanie najwi´kszej i

najmniejszej

wartoÊci funkcji; wyznaczanie ich (o

ile

istniejà) dla funkcji okreÊlonych w

da-

nym przedziale, pos∏ugujàc si´ jej wzo-

rem lub wykresem.

Ró˝nowartoÊciowoÊç, monotonicznoÊç,

okresowoÊç, parzystoÊç i

nieparzy-

stoÊç.

Przesuni´cie równoleg∏e wykresu funk-

cji, odbicia wykresu funkcji wzgl´dem

osi uk∏adu wspó∏rz´dnych.

Sporzàdzanie wykresów rozmaitych funk-

cji elementarnych okreÊlonych wzorem,

odczytywanie z

wykresu danej funkcji jak

najwi´cej istotnych w∏asnoÊci tej funkcji.

Umiej´tnoÊci:

–

wyznacza wa˝ne dla funkcji punkty (UP);

–

oblicza wartoÊç funkcji w

danym punkcie

(UP);

–

wyznacza liczb´, dla której funkcja przyj-

muje okreÊlonà wartoÊç (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje wartoÊç najmniejszà i

najwi´kszà

funkcji okreÊlonej w

przedziale, na przyk∏ad

pos∏ugujàc si´ wykresem albo wzorem

funkcji (stosujàc w∏asnoÊci nierównoÊci

zbiorze liczb rzeczywistych) (UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

okreÊla, czy dana funkcja (okreÊlona gra-

ficznie albo wzorem jawnym) odpowiada

wymienionym w∏asnoÊciom (UPP).

iadomoÊci:

–

przekszta∏ca wykres danej funkcji (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje przekszta∏cenia do sporzàdzania

wykresów funkcji:

(x–p

)

+ q, y

| f

)

(| x

|),y

= | f

(| x

)

(UP)

majàc wykres funkcji

)

(UPP)

Umiej´tnoÊci:

–

sporzàdza wykresy funkcji i

odczytuje

nich w∏asnoÊci tych funkcji

(UP)

wartoÊci bezwzgl´dnej, o

pierwiast-

kach); akcentuje przy tym, ˝e wyznacza-

nie dziedziny funkcji liczbowych okreÊlo-

nych wzorem wià˝e si´ z

wykonalnoÊcià

dzia∏aƒ w

zbiorze liczb rzeczywistych.

yznacza miejsca zerowe funkcji oraz

jej wartoÊç w

unktach (çwiczy przy tym

sprawnoÊç rachunkowà uczniów

dzia∏aniach na liczbach rzeczywi-

stych).

Akcentuje, ˝e funkcja w

danym prze-

dziale mo˝e mieç obie te wartoÊci, jed-

nà z

nich albo nie osiàgaç ˝adnej.

odaje definicje: ró˝nowartoÊci, mono-

tonicznoÊci, okresowoÊci, parzystoÊci

nieparzystoÊci, a

nast´pnie rozwa˝a

przyk∏ady funkcji majàcych te w∏asnoÊci.

Omawia wymienione przekszta∏cenia wy-

resu funkcji oraz stosuje je do sporzà-

dzania wykresów funkcji.

Akcentuje w∏asnoÊç wykresu funkcji pa-

rzystej, nieparzystej, okresowej.

II..

jjaa

iinn

iioo

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

W∏asnoÊci funkcji liniowej i

jej

wykres

Równania i

nierównoÊci linio-

we z

jednà niewiadomà

Zadania prowadzàce do rów-

naƒ i

nierównoÊci liniowych

jednà niewiadomà

Równania liniowe i

nierów-

noÊç liniowa z

dwiema nie-

wiadomymi

Uk∏ad dwóch równaƒ liniowych

dwiema niewiadomymi: za-

le˝ny

, niezale˝ny

, sprzeczny

Definicja funkcji liniowej, dziedzina

izbiór wartoÊci funkcji liniowej, monoto-

nicznoÊç funkcji liniowej, miejsca zero-

we i

wykres funkcji liniowej.

oj´cie równania liniowego i

nierówno-

Êci liniowej z

jednà niewiadomà; równa-

nia równowa˝ne, nierównoÊci równo-

wa˝ne.

Zadania tekstowe rozwiàzywane za po-

mocà równaƒ i

nierównoÊci liniowych

jednà niewiadomà.

oj´cie równania liniowego z

dwiema

niewiadomymi i

jego wykres; nierówno-

Êci liniowej z

dwiema niewiadomymi i

jej

interpretacja geometryczna.

Metody rozwiàzywania uk∏adów dwóch

równaƒ liniowych z

dwiema niewiadomy-

mi (podstawiania, przeciwnych wspó∏-

czynników

, graficzna) oraz klasyfikacja

iadomoÊci:

–

definiuje funkcj´ liniowà i rozpoznaje jà na

podstawie wzoru (WP);

–

podaje przyk∏ad funkcji liniowej rosnàcej,

malejàcej i

sta∏ej (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

wykonuje wykres funkcji liniowej (UP);

–

podaje miejsce zerowe funkcji liniowej

(UP);

–

okreÊla monotoniczoÊç funkcji liniowej

(UP);

–

zapisuje wzór funkcji liniowej na podstawie

okreÊlonych danych (UP).

iadomoÊci:

–

podaje przyk∏ady równaƒ i nierównoÊci li-

niowych z

jednà niewiadomà (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje liniowe równania i

nierównoÊci

jednà niewiadomà (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

uk∏ada równanie lub nierównoÊç na pod-

stawie analizy tekstu zadania i

je rozwiàzuje

(UPP).

iadomoÊci:

–

rozpoznaje równanie i

nierównoÊç liniowà

dwiema niewiadomymi (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

interpretuje geometrycznie równania i nie-

równoÊci liniowe z

dwiema niewiadomymi

(UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje uk∏ad dwóch równaƒ liniowych

dwiema niewiadomymi ka˝dà z

trzech po-

danych metod (UP);

Nawiàzuje do wiedzy ucznia o

funkcji li-

niowej z

lekcji matematyki w

gimna-

zjum; akcentuje zwiàzek monotoniczno-

Êci funkcji z

jej wspó∏czynnikiem kierun-

kowym; stosuje ró˝norodne çwiczenia

utrwalajàce wiedz´ o

funkcji liniowej.

odaje definicj´ równania i

nierównoÊci

liniowej z

jednà niewiadomà; rozwiàzuje

równania i

nierównoÊci liniowe metodà

równaƒ i

nierównoÊci równowa˝nych.

Rozwiàzuje zadania z

ró˝nych dziedzin

prowadzàce do równaƒ i

ierównoÊci li-

niowych z

jednà niewiadomà.

Sporzàdza wykresy równaƒ liniowych

dwiema niewiadomymi oraz podaje ilu-

stracje geometryczne nierównoÊci linio-

wych z dwiema niewiadomymi.

odaje klasyfikacj´ uk∏adów dwóch

równaƒ liniowych z

dwiema niewiado-

mymi oraz ich interpretacje geome-

Zadania prowadzàce do uk∏a-

dów dwóch równaƒ liniowych

dwiema niewiadomymi

Uk∏ad nierównoÊci liniowych

dwiema niewiadomymi

uk∏adów dwóch równaƒ liniowych

dwiema niewiadomymi.

Zadania tekstowe z

ró˝nych dziedzin

prowadzàce do uk∏adów dwóch równaƒ

liniowych z

dwiema niewiadomymi.

Geometryczna ilustracja uk∏adu dwóch

iwi´cej nierównoÊci liniowych z

dwiema

niewiadomymi.

–

okreÊla, jakiego typu jest to uk∏ad równaƒ

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje zadania tekstowe z

ró˝nych

dziedzin, tworzàc uk∏ady równaƒ liniowych

dwiema niewiadomymi (UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

ilustruje geometrycznie uk∏ad nierównoÊci

liniowych z

dwiema niewiadomymi (UPP).

tryczne, rozwiàzuje te uk∏ady trzema

sposobami.

Rozwiàzuje jak najwi´cej zadaƒ teksto-

wych.

Analizuje jak najwi´cej uk∏adów nierów-

noÊci liniowych z

dwiema niewiadomy-

mi.

GEOMETRIA

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

Odleg∏oÊç dwóch punktów

Odleg∏oÊç punktu od prostej

Okràg i

ko∏o

Odleg∏oÊç dwóch punktów jako d∏ugoÊç

odcinka, wzór analityczny na odleg∏oÊç

dwóch punktów

, warunek wspó∏liniowo-

Êci i

niewspó∏liniowoÊci trzech punktów

OkreÊlenie odleg∏oÊci punktu od zbioru

(intuicyjnie), poj´cie odleg∏oÊci punktu

od prostej.

Definicja okr´gu i

ko∏a, poj´cia zwiàza-

ne z

okr´giem i

ko∏em (promieƒ, Êredni-

ca, ci´ciwa); równanie okr´gu, nierów-

noÊç ko∏a.

iadomoÊci:

–

okreÊla odleg∏oÊç dwóch punktów na pro-

stej (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

oblicza odleg∏oÊç dwóch punktów na pro-

stej ze wzoru analitycznego (UP);

–

sprawdza wspó∏liniowoÊç i

niewspó∏linio-

woÊç trzech punktów (UPP).

iadomoÊci:

–

okreÊla odleg∏oÊç punktu od prostej (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

oblicza

odleg∏oÊç punktu od prostej

p∏aszczyênie kartezjaƒskiej

(UP).

iadomoÊci:

–

definiuje ko∏o i

okràg, majàc równanie okr´-

gu (nierównoÊç ko∏a) (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

wyznacza Êrodek okr´gu (ko∏a) i

promieƒ

(UP).

Omawia poj´cie odleg∏oÊci w

zbiorze,

nast´pnie odleg∏oÊç dwóch punktów;

wyprowadza wzór analityczny na odle-

g∏oÊç pary punktów (w

metryce pitago-

rejskiej); omawia tak˝e warunki wspó∏li-

niowoÊci i

niewspó∏liniowoÊci trzech

punktów

OkreÊla odleg∏oÊç punktu od zbioru i

prostej; rozwiàzuje zadania z

odleg∏o-

Êcià punktu od prostej.

Definiuje okràg i

ko∏o, wyprowadza rów-

nanie (nierównoÊç) okr´gu (ko∏a) w

staci kanonicznej, z

której ∏atwo odczytaç

wspó∏rz´dne Êrodka i

promieƒ.

Wzajemne po∏o˝enie okr´gu

prostej

Wzajemne po∏o˝enie dwóch

okr´gów

Kàty w

kole

rójkàt i jego punkty szcze-

gólne

wierdzenie T

alesa i

doƒ od-

wrotne

Zastosowania twierdzenia T

lesa

arunki konieczne i

wystarczajàce na

ka˝de z

trzech po∏o˝eƒ wzajemnych

okr´gu i

prostej, twierdzenie o

tycznej

do okr´gu i

promieniu poprowadzonym

do punktu stycznoÊci.

arunki konieczne i

wystarczajàce na

ka˝de z

po∏o˝eƒ dwóch okr´gów wzgl´-

dem siebie.

Kàty wpisane w

ko∏o i

kàty Êrodkowe

kole oraz zale˝noÊç mi´dzy nimi.

Twierdzenie o

przecinaniu si´ w

ka˝dym

trójkàcie: dwusiecznych kàtów

, syme-

tralnych boków

, wysokoÊci.

Sformu∏owanie twierdzenia T

alesa

twierdzenia doƒ odwrotnego oraz do-

wód (z

zastosowaniem wzoru na pole

trójkàta), wnioski z

twierdzenia T

alesa

(równowa˝ne proporcje).

Zadania rachunkowe (np. zwiàzane

cieniem drzewa), zastosowanie w

geo-

metrii (twierdzenie o

dwusiecznej kàta

trójkàcie, twierdzenie o

rodkowych).

Umiej´tnoÊci:

–

rozstrzyga, kiedy okràg i

prosta majà dwa

punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub

sà roz∏àczne (tak˝e korzystajàc ze wzorów

analitycznych) (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozstrzyga, kiedy dwa okr´gi sà do siebie

styczne, kiedy si´ przecinajà, a

kiedy sà

roz∏àczne (UPP).

iadomoÊci:

–

omawia twierdzenia o

kàtach wpisanych

ko∏o i

kàtach Êrodkowych (WP).

iadomoÊci:

–

zna twierdzenie o

istnieniu wymienionych

szczególnych punktów trójkàta (WP);

–

wykazuje twierdzenie o

istnieniu wymienio-

nych szczególnych punktów trójkàta meto-

dà miejsc geometrycznych (WPP)*.

Umiej´tnoÊci:

–

wpisuje w

trójkàt okràg i opisuje na trójkà-

cie okràg (UP).

iadomoÊci:

–

formu∏uje twierdzenie T

alesa i

doƒ odwrot-

ne (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

zapisuje ró˝ne równowa˝ne proporcje

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

tosuje twierdzenie T

alesa przede wszyst-

kim do zadaƒ z

˝ycia codziennego, zadaƒ

trójkàtami (UP).

Bada wzajemne po∏o˝enie okr´gu i

pro-

stej oraz okreÊla warunki konieczne

wystarczajàce (szczególnie du˝o cza-

su poÊwi´ca na stycznà do okr´gu).

Bada wzajemne po∏o˝enie dwóch okr´-

gów oraz okreÊla warunki konieczne

wystarczajàce (korzystamy tak˝e ze

wzorów analitycznych).

Dowodzi zale˝noÊci mi´dzy kàtem Êrod-

kowym i

kàtem wpisanym opartym na

tym samym ∏uku okr´gu oraz wyciàga

wnioski z

otrzymanych zale˝noÊci (inne

twierdzenia o

kàtach w

kole).

Charakteryzuje jako miejsca geome-

tryczne punktów dwusiecznà kàta, sy-

metralnà odcinka, a

nast´pnie za pomo-

cà tej metody dowodzi twierdzenia

przecinaniu si´ dwusiecznych kàtów

symetralnych boków trójkàta itp.

Zaczyna od najprostszej konfiguracji: ra-

miona kàta przeci´te dwiema równoleg∏y-

mi. Nast´pnie rozwa˝a dwie proste przeci-

najàce si´ i

równoleg∏e przecinajàce je po

jednej stronie punktu przecinania si´ tych

dwóch prostych oraz – po ró˝nych stronach

punktu przecinania si´ tych dwóch pro-

stych; zapisuje ró˝ne proporcje odcinków

Rozwiàzuje mo˝liwie jak najwi´cej za-

daƒ nie tylko rachunkowych, ale te˝ na

dowodzenie i

konstrukcyjnych.

* WPP – wiadomoÊci ponadpodstawowe

10.

Czworokàt wpisany w

okràg

11.

Czworokàt opisany na okr´gu

12.

Rodzaje czworokàtów

wierdzenie o

czworokàcie wpisanym

okràg i

doƒ odwrotne (równoÊç sum

przeciwleg∏ych kàtów czworokàta).

wierdzenie o

zworokàcie, w

tóry

mo˝na wpisaç okràg (równoÊç sum d∏u-

goÊci przeciwleg∏ych boków).

Klasyfikacja czworokàtów i

charaktery-

zacje niektórych z

nich (równoleg∏oboki,

trapezy równoramienne).

iadomoÊci:

–

okreÊla jednà (podstawowà) charakteryza-

cj´ wpisywalnoÊci czworokàta w

okràg

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozstrzyga, czy dany czworokàt mo˝na wpi-

saç w

dany okràg, czy nie (UP).

iadomoÊci:

–

okreÊla charakteryzacj´ wpisywalnoÊci okr´-

gu w

czworokàt (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

sprawdza, czy w

dany czworokàt mo˝na

wpisaç okràg (UP).

iadomoÊci:

–

okreÊla w∏asnoÊci czworokàtów (WP).

Pyta uczniów

, czy ka˝dy trójkàt mo˝na

wpisaç w

okràg. Nast´pnie przechodzi

do omawiania czworokàtów

, stawiajàc

to samo pytanie; formu∏uje warunek ko-

nieczny i

wystarczajàcy (warto nie rezy-

gnowaç z

dowodzenia tego twierdze-

nia).

Pyta uczniów

, czy w

ka˝dy trójkàt mo˝-

na wpisaç okràg. Nast´pnie bada,

tóry czworokàt mo˝na wpisaç okràg.

ormu∏uje twierdzenie i

twierdzenie doƒ

odwrotne oraz próbuje przeprowadziç

dowód.

Dokonuje klasyfikacji czworokàtów i

daje charakteryzacje niektórych z

nich,

na przyk∏ad trapezów równoramien-

nych, równoleg∏oboków (warto podjàç

próby ich dowodów).

FUNK

CJE TRYGONOMETRY

CZNE

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

unkcje trygonometryczne kà-

ta ostrego w

trójkàcie prosto-

kàtnym

oj´cie kàta i

jego uogólnienie

Definicje funkcji trygonometrycznych

kàta ostrego w

trójkàcie prostokàtnym,

wartoÊci tych funkcji dla kàtów 30

, 45

, podstawowe to˝samoÊci i

wzory

redukcyjne.

Kàt jako miara obrotu.

iadomoÊci:

–

okreÊla sinus, cosinus, tangens i

cotangens

kàta w

trójkàcie prostokàtnym (WP);

–

ustala zwiàzki mi´dzy funkcjami tego sa-

mego kàta

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

oblicza wartoÊci funkcji trygonometrycz-

nych dla kàtów 30

, 45

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

uto˝samia kàt dowolnej miary stopniowej

kàtem o

mierze stopniowej z

przedzia∏u

, 360

)

(UP).

OkreÊla funkcje trygonometryczne kàta

trójkàcie prostokàtnym i

wykorzystu-

je do wyznaczania wartoÊci tych funkcji

dla kàtów 30

, 45

oraz ustalenia

zwiàzków mi´dzy funkcjami tego same-

go kàta.

Omawia poj´cie miary kàta i

jego uogól-

nienie (nawiàzuje do twierdzenia o

dzie-

leniu z

resztà – dowolne liczby stopnia

dzieli nie tylko przez 360

, ale te˝ przez

180

unkcje trygonometryczne do-

wolnego kàta

Miara ∏ukowa kàta

unkcje trygonometryczne zmie-

nnej rzeczywistej

W∏asnoÊci funkcji trygonome-

trycznych zmiennej rzeczywi-

stej

Wzory redukcyjne

Zwiàzki mi´dzy funkcjami try-

gonometrycznymi tego same-

go argumentu

Wspó∏rz´dne punktów na koƒcowym

ramieniu kàta, okreÊlenia funkcji trygo-

nometrycznych dowolnego kàta.

OkreÊlenie miary ∏ukowej kàta, zamiana

miary kàta w

stopniach na miar´ ∏ukowà

odwrotnie.

Przeformu∏owanie definicji funkcji trygo-

nometrycznych dowolnego kàta na defi-

nicje funkcji trygonometrycznych do-

wolnej zmiennej rzeczywistej.

Znaki funkcji trygonometrycznych w

szczególnych çwiartkach uk∏adu

parzystoÊç i

nieparzystoÊç funkcji trygo-

nometrycznych, okresowoÊç funkcji try-

gonometrycznych.

Wprowadzamy wzory redukcyjne, do-

wodzàc niektórych i

dedukujàc pozosta-

∏e jako wniosek.

Tak zwane jedynki trygonometryczne

zale˝noÊci mi´dzy tangensem, sinu-

sem i

cotangensem.

iadomoÊci:

–

okreÊla funkcje trygonometryczne dowol-

nego kàta

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje funkcje trygonometryczne do wyzna-

czenia wartoÊci funkcji dla ca∏kowitych wielo-

krotnoÊci kàta prostego

(UP).

iadomoÊci:

–

omawia poj´cie miary ∏ukowej kàta

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

zamienia miar´ ∏ukowà na miar´ kàtowà

oraz odwrotnie

(UP).

iadomoÊci:

–

okreÊla funkcje trygonometryczne kàta jako

funkcje zmiennej rzeczywistej

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

oblicza wartoÊci funkcji dla kàtów o

mierze

radianowej

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

kreÊla w∏asnoÊci funkcji trygonometrycz-

nych jako funkcji zmiennej rzeczywistej

(UP).

iadomoÊci:

–

wyprowadza wzory redukcyjne

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje wzory redukcyjne do przekszta∏ca-

nia wyra˝eƒ trygonometrycznych

(UP).

iadomoÊci:

–

okreÊla zwiàzki mi´dzy funkcjami trygono-

metrycznymi tego samego argumentu (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje zwiàzki mi´dzy funkcjami trygono-

metrycznymi w

owodzeniu prostych to˝-

samoÊci trygonometrycznych

(UP).

Wprowadza definicje funkcji trygonome-

trycznych dowolnego kàta i

wyznacza

wartoÊci tych funkcji dla kàtów:

, 90

, 180

, 270

, 360

Wprowadza poj´cie miary ∏ukowej kàta,

radiany oraz wykonuje du˝o çwiczeƒ po-

legajàcych na zamianie miary stopniowej

kàta na ∏ukowà i

odwrotnie.

Definiuje funkcje trygonometryczne

zmiennej rzeczywistej oraz wykonuje

du˝o çwiczeƒ.

OkreÊla w∏asnoÊci funkcji trygonome-

trycznych zmiennej rzeczywistej, odwo-

∏ujàc si´ do w∏asnoÊci funkcji trygono-

metrycznych kàta.

yprowadza wzory redukcyjne i

wyko-

nuje z

nimi jak najwi´cej çwiczeƒ.

yprowadza zwiàzki mi´dzy funkcjami

trygonometrycznymi tego samego ar-

gumentu rzeczywistego oraz stosuje je

do dowodzenia prostych to˝samoÊci

trygonometrycznych.

ykresy funkcji trygonome-

trycznych

10.

Proste równania i

nierównoÊci

trygonometryczne

ykresy funkcji trygonometrycznych

odczytywanie w∏asnoÊci tych funkcji

ich wykresów

Wzory na rozwiàzanie równaƒ trygono-

metrycznych elementarnych, rozwiàzy-

wanie równaƒ i

nierównoÊci trygonome-

trycznych z

wykorzystaniem otrzymanych

wzorów

iadomoÊci:

–

omawia wykresy sinusa, cosinusa, tangen-

sa i

cotangensa

(WPP).

Umiej´tnoÊci:

–

odczytuje z

ykresu w∏asnoÊci funkcji t

gonometrycznych

(miejsca zerowe, wartoÊç

najmniejszà i

najwi´kszà itp.)

(UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje proste równania trygonome-

tryczne, wykorzystujàc poznane wzory

(UP);

–

pos∏uguje si´ wykresami funkcji trygono-

metrycznych w

rozwiàzywaniu nierównoÊci

trygonometrycznych

(UPP).

Sporzàdza wykresy funkcji trygonome-

trycznych, pos∏ugujàc si´ ko∏em trygo-

nometrycznym oraz niektórymi wzorami

redukcyjnymi, z

tórych odczytuje w∏a-

snoÊci wykresów i

metod´ ich otrzyma-

nia.

Rozpoczyna od geometrycznej interpre-

tacji równania

)

= g

) i

nierównoÊci

)

> g

), gdzie

sà funkcjami

zmiennej rzeczywistej, a

nast´pnie roz-

wiàzuje elementarne równania i

nierów-

noÊci trygonometryczne. Przy rozwiàzy-

waniu równaƒ korzysta ze wzorów na

rozwiàzania równaƒ trygonometrycz-

nych elementarnych, a

przy rozwiàzy-

waniu nierównoÊci – z

wykresów funkcji

trygonometrycznych.

llaa

ALGEBR

II..

rróó

jjmm

iiaa

rraa

ttoo

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

ostaç ogólna i

postaç kano-

niczna trójmianu kwadrato-

wego

ykres funkcji kwadratowej

Definicja funkcji kwadratowej, dziedzina,

postaç kanoniczna trójmianu kwadrato-

wego.

ykres funkcji kwadratowej

) =

)

= ax

+ c

oraz funkcji

) =

bx + c

iadomoÊci:

–

rozpoznaje na podstawie wzoru funkcj´

kwadratowà (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

przedstawia trójmian kwadratowy w

posta-

ci kanonicznej (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

sporzàdza wykres dowolnej funkcji

kwadra-

towej, przedstawiajàc jà w

postaci kano-

nicznej,

znajdujàc w

ten sposób wspó∏rz´d-

ne wierzcho∏ka paraboli

(UP).

Wprowadza definicj´ funkcji kwadrato-

wej, odczytuje ze wzoru wspó∏czynniki

funkcji kwadratowej oraz przedstawia

trójmian w

postaci kanonicznej.

Sporzàdza wykres funkcji

, (

0),

bada jej w∏asnoÊci, nast´pnie na pods

wie przedstawienia funkcji kwadratowej

postaci kanonicznej ustala wspó∏rz´d-

ne wektora translacji, dzi´ki czemu

otrzyma ˝àdany wykres.

Ekstremum funkcji kwadrato-

wej oraz jej wartoÊç najmniej-

sza i

najwi´ksza w

przedziale

Zadania prowadzàce do eks-

tremum funkcji kwadratowej

Miejsca zerowe i

znak funkcji

kwadratowej

Wzory Vi`

ete’a

Równania i

nierównoÊci kwa-

dratowe

Zadania prowadzàce do rów-

naƒ i

nierównoÊci kwadrato-

wych

oj´cie ekstremum funkcji kwadratowej,

jego zwiàzek ze wspó∏czynnikiem przy

oraz wspó∏rz´dnymi wierzcho∏ka pa-

raboli, wartoÊç najwi´ksza i

najmniejsza

funkcji kwadratowej w

przedziale.

Ekstremum funkcji kwadratowej w

zada-

niach z

ró˝nych dziedzin (algebraiczne,

geometryczne, o

charakterze praktycz-

nym).

arunki istnienia pierwiastków rzeczy-

wistych trójmianu kwadratowego i

wzo-

ry na te pierwiastki, przedzia∏y

, w

któ-

rych funkcja kwadratowa jest sta∏ego

znaku.

Suma i

iloczyn pierwiastków trójmianu

kwadratowego.

OkreÊlenie równania kwadratowego

nierównoÊci kwadratowej, równania

nierównoÊci zupe∏ne i

niezupe∏ne.

Zadania tekstowe z

ró˝nych dziedzin,

zadania z

parametrem.

Umiej´tnoÊci:

–

wyznacza ekstremum funkcji kwadratowej

oraz jej wartoÊç najmniejszà i

najwi´kszà

przedziale (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje rozmaite zadania prowadzàce

do ekstremum funkcji kwadratowej (UP)*.

iadomoÊci:

–

rozstrzyga, kiedy trójmian kwadratowy ma

pierwiastki rzeczywiste (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

oblicza pierwiastki rzeczywiste (UP);

–

wyznacza przedzia∏y

, w

tórych funkcja

kwadratowa jest dodatnia, a

których

ujemna (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje pierwiastki trójmianu kwadratowego

na podstawie wzorów Vi`

ete’a (UP);

–

okreÊla znaki pierwiastków trójmianu kwa-

dratowego (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje równania i

nierównoÊci kwadra-

towe, stosujàc: wzory na pierwiastki, wzory

Viete’a, twierdzenie o

znaku funkcji kwadra-

towej, wykres funkcji kwadratowej (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

uk∏ada równania i

nierównoÊci do zadaƒ

tekstowych oraz je rozwiàzuje (UPP);

–

analizuje równania i

nierównoÊci kwadrato-

we z

parametrem (UPP).

yznacza ekstremum funkcji kwadrato-

wej, korzystajàc z

jej postaci kanonicznej;

znajduje wartoÊç najmniejszà i

najwi´k-

szà funkcji kwadratowej w

przedziale

(warto rozwa˝aç przedzia∏y nie tylko do-

mkni´te, aby uczeƒ uÊwiadomi∏ sobie, ˝e

funkcja kwadratowa mo˝e nie mieç

przedziale ˝adnej z

tych wartoÊci).

Rozwiàzuje ró˝nego typu zadania z

stosowaniem ekstremum funkcji kwa-

dratowej.

os∏ugujàc si´ postacià kanonicznà trój-

mianu kwadratowego, bada istnienie

pierwiastków rzeczywistych w

zale˝no-

Êci od znaku wyró˝nika oraz wprowa-

dza wzory na pierwiastki, bada znak

funkcji kwadratowej.

yprowadza wzory Vi`

ete’a

oraz stosuje

je do ró˝nych zadaƒ, na przyk∏ad do wy-

znaczania wartoÊci wyra˝eƒ algebraicz-

nych bez obliczania pierwiastków trój-

mianu kwadratowego.

Rozwiàzuje jak najwi´cej równaƒ i

nierów-

noÊci (zupe∏nych i

niezupe∏nych), stosujàc

ró˝ne metody – przy rozwiàzywaniu nie-

równoÊci kwadratowych pos∏uguje si´ tak-

˝e wykresami funkcji kwadratowych.

Rozwiàzuje zadania tekstowe prowa-

dzàce do równaƒ i

nierównoÊci kwadra-

towych z

ró˝nych dziedzin oraz zadania

parametrem.

* ró˝nicujàc stopieƒ trudnoÊci zadaƒ, osiàgamy cele z zakresu UPP

IIII

iiee

lloo

iiaa

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

ielomian jednej zmiennej

Dzia∏ania na wielomianach

Dzielenie wielomianów

wierdzenie Bézouta i

sche-

mat Hornera

Rozk∏ad wielomianów na czyn-

niki

Równania wielomianowe

oj´cie wielomianu jednej zmiennej i

je-

go stopnia, równoÊç dwóch wielomia-

nów

OkreÊlamy sum´, ró˝nic´ i

iloczyn

dwóch wielomianów oraz ustalamy za-

le˝noÊç stopnia sumy

, ró˝nicy i

iloczynu

dwóch wielomianów od stopni tych wie-

lomianów

wierdzenie o

dzieleniu z

resztà, po-

dzielnoÊç wielomianu przez wielomian.

wierdzenie o

reszcie i

ilorazie z

dziele-

nia wielomianu przez dwumian

oraz

wniosek z

tego twierdzenia.

Elementarne metody rozk∏adu wielomia-

nu na czynniki: wy∏àczanie wspólnego

czynnika przed nawias, grupowanie wy-

razów

, wzory skróconego mno˝enia.

oj´cie równania wielomianowego, roz-

wiàzywanie równaƒ wielomianowych.

iadomoÊci:

–

rozpoznaje wielomian jednej zmiennej (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

okreÊla stopieƒ wielomianu

(UP);

–

porównuje dwa wielomiany

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

wykonuje dzia∏ania na wielomianach

(UP);

–

ustala zale˝noÊç stopnia sumy i

ró˝nicy

wielomianów od stopni sk∏adników

, a

ilo-

czynu – od stopni czynników

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

wykonuje dzielenie wielomianu przez wielo-

mian

(UP);

–

ustala podzielnoÊç wielomianu przez wielo-

mian

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje twierdzenie Bézouta i

schemat Hor-

nera do ustalania, czy dana liczba jest pier-

wiastkiem wielomianu

(UP);

–

ustala podzielnoÊç wielomianu przez dwu-

mian

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozk∏ada wielomiany na czynniki, stosujàc

elementarne metody

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje proste równania wielomianowe

(UP).

Wprowadza poj´cie wielomianu jednej

zmiennej, jego stopnia, podaje du˝o

przyk∏adów

, formu∏uje twierdzenie

równoÊci dwóch wielomianów oraz

rozwiàzuje zwiàzane z

tym zadania.

ykonuje du˝o çwiczeƒ w

dzia∏aniach

na wielomianach (okreÊlajàc dzia∏ania

na wielomianach, warto nawiàzywaç do

wiedzy ucznia z

gimnazjum).

Zaczyna od przypomnienia twierdzenia

dzieleniu z

resztà liczb ca∏kowitych.

Nast´pnie, analogicznie do tego, formu-

∏uje twierdzenie o

dzieleniu wielomia-

nów

, wykonuje jak najwi´cej çwiczeƒ

dzieleniem wielomianów

Nawiàzuje do twierdzenia o

dzieleniu

resztà i

na podstawie twierdzenia

równoÊci dwóch wielomianów otrzy-

muje tzw

. schemat Hornera i

twierdzenie

Bézouta, wykonuje du˝o çwiczeƒ zwià-

zanych z

tymi zagadnieniami.

Rozk∏ada wielomiany na czynniki, pre-

zentujàc na przyk∏adach ka˝dà z

metod

rozk∏adu.

Przyst´puje do jak najwi´kszej liczby

çwiczeƒ w

rozwiàzywaniu równaƒ, po

wprowadzeniu poj´cia równania wielo-

mianowego.

NierównoÊci wielomianowe

oj´cie nierównoÊci wielomianowej,

metoda „siatki” znaków oraz szkicowa-

nie wykresu.

Umiej´tnoÊci:

–

pos∏uguje si´ dwiema metodami w

rozwià-

zywaniu nierównoÊci wielomianowych (UP).

Omawia dok∏adnie obie metody rozwià-

zywania nierównoÊci wielomianowych,

nast´pnie çwiczy je na wielu przyk∏a-

dach.

IIII

II..

jjee

iiee

rrnn

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

unkcje wymierne i

dzia∏ania

na nich

Przekszta∏canie wyra˝eƒ wy-

miernych

unkcja homograficzna

Równania i

nierównoÊci wy-

mierne

Zadania prowadzàce do rów-

naƒ wymiernych

Definicja funkcji wymiernej, dziedzina

dzia∏ania na funkcjach wymiernych.

Dzia∏ania ∏àczne na funkcjach wymier-

nych.

Definicja funkcji homograficznej, dziedzi-

na tej funkcji, wykres i

w∏asnoÊci (miejsce

zerowe i

znak funkcji homograficznej).

oj´cie równania wymiernego i

nierów-

noÊci wymiernej, równania i

nierównoÊci

wymierne z

funkcjà homograficznà; inne

równania i

nierównoÊci wymierne.

Zadania tekstowe z

ró˝nych dziedzin

prowadzàce do równaƒ wymiernych.

iadomoÊci:

–

rozpoznaje funkcj´ wymiernà (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

wyznacza dziedzin´ funkcji wymiernej

(UP);

–

wykonuje dzia∏ania arytmetyczne na

funkcji

wymiernej,

Êlajàc warunki wykonywal-

noÊci tych dzia∏aƒ (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

dodaje, odejmuje, mno˝y i

dzieli wyra˝enia

wymierne, przyjmujàc stosowne za∏o˝enia

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

sporzàdza wykresy funkcji homograficz-

nych i

odczytuje z

nich w∏asnoÊci funkcji

(UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje równanie wymierne i

nierów-

noÊç wymiernà (UP);

–

omawia rozwiàzalnoÊç równania z

parame-

trem (UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje zadania tekstowe prowadzàce

do prostych równaƒ wymiernych (UP).

Wprowadza poj´cie funkcji wymiernej,

wyznacza jej dziedzin´, okreÊla rów-

noÊç dwóch funkcji wymiernych oraz

dzia∏ania arytmetyczne. Nawiàzuje przy

tym do dzia∏aƒ na liczbach wymiernych

ukazuje analogie.

ykonuje jak najwi´cej çwiczeƒ w

dzia-

∏aniach na funkcjach wymiernych.

Sporzàdza wykresy funkcji homogra-

ficznych, wykorzystujàc przesuni´cie

równoleg∏e p∏aszczyzny

Rozwiàzuje jak najwi´cej przyk∏adów

równaƒ i

nierównoÊci, w

tym równie˝

równaƒ z

parametrem, po wprowadze-

niu poj´ç równania wymiernego i

nie-

równoÊci wymiernej.

Rozwiàzuje ró˝ne zadania prowadzàce

do równaƒ wymiernych.

IIVV

iiàà

llii

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

oj´cie ciàgu i

ciàgu liczbowe-

go, sposoby okreÊlania cià-

gów liczbowych

MonotonicznoÊç ciàgu liczbo-

wego

Ciàg arytmetyczny

Zadania z

ciàgiem arytme-

tycznym

Definicja ciàgu i

ciàgu liczbowego, spo-

soby okreÊlania ciàgów liczbowych:

wzorem jawnym, wzorem rekurencyj-

nym, opisem s∏ownym.

Definiujemy monotonicznoÊç ciàgu

(przypomnienie monotonicznoÊci funk-

cji liczbowej) i

badamy monotonicznoÊç

ciàgów liczbowych.

Definicja ciàgu arytmetycznego, przy-

k∏ady ciàgów arytmetycznych, monoto-

nicznoÊç ciàgu arytmetycznego, wzór

-ty wyraz ciàgu arytmetycznego,

wzór na sum´

pierwszych wyrazów

ciàgu arytmetycznego.

Proste przyk∏ady z

ciàgiem arytmetycz-

nym (wyznaczanie ciàgu); równania,

których wyst´puje ciàg arytmetyczny;

zadania tekstowe z

ciàgiem arytmetycz-

nym.

iadomoÊci:

–

okreÊla ciàg, w

tym ciàg liczbowy (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje przyk∏ady ciàgów (UP);

–

wypisuje kolejne wyrazy ciàgu (UP);

–

podaje nast´pne wyrazy ciàgu, majàc kilka

poczàtkowych wyrazów (UP);

–

podaje wzór na

-ty wyraz ciàgu (UPP).

iadomoÊci:

–

definiuje ciàg rosnàcy

, malejàcy

, sta∏y

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje przyk∏ady ciàgów monotonicznych

(UP);

–

sprawdza, czy dany ciàg liczbowy jest

mono-

toniczny (UP).

iadomoÊci:

–

rozpoznaje ciàg arytmetyczny (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje przyk∏ady ciàgów arytmetycznych (UP);

–

bada monotonicznoÊç ciàgu arytmetyczne-

go (UP);

–

oblicza sum´ wyrazów ciàgu arytmetyczne-

go (UP);

–

wyznacza ciàg arytmetyczny

, majàc typo-

we dane (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje proste przyk∏ady z

ciàgiem aryt-

metycznym (UP).

odaje definicj´ ciàgu nieskoƒczonego

skoƒczonego, okreÊla ciàgi na ró˝ne

sposoby

, wypisuje kilka poczàtkowych

wyrazów ciàgu i

odgaduje kolejne wyra-

zy bàdê te˝ wzór ogólny

åwiczy sprawdzanie, czy dany ciàg jest

monotoniczny

, po zdefiniowaniu mono-

tonicznoÊci ciàgu.

odaje definicj´ ciàgu arytmetycznego,

rozpatruje przyk∏ady ciàgów arytmetycz-

nych, bada monotonicznoÊç ciàgu aryt-

metycznego, odgaduje wzór na

-ty wy-

raz ciàgu arytmetycznego, wyprowadza

wzór na sum´

pierwszych wyrazów cià-

gu arytmetycznego.

Rozwiàzuje rozmaite zadania z

ciàgiem

arytmetycznym, w

tym zadania rachun-

kowe, na dowodzenie i

zadania teksto-

we z

ró˝nych dziedzin.

Ciàg geometryczny

Zadania z

ciàgiem geome-

trycznym

Procent sk∏adany

oj´cie ciàgu geometrycznego, przyk∏a-

dy ciàgów geometrycznych, wzór na

-ty wyraz ciàgu geometrycznego, mo-

notonicznoÊç ciàgu geometrycznego,

wzór na sum´

pierwszych wyrazów

ciàgu geometrycznego.

Proste zadania na wyznaczanie ciàgu

geometrycznego, zadania tekstowe

ciàgiem geometrycznym.

Omówienie procentu sk∏adanego i

jego

zwiàzku z

ciàgiem geometrycznym.

iadomoÊci:

–

rozpoznaje ciàg geometryczny (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje przyk∏ady ciàgów geometrycznych

(UP);

–

wyznacza ciàg geometryczny na podstawie

typowych danych (UP);

–

bada monotonicznoÊç ciàgu geometrycz-

nego (UP);

–

blicza sumy wyrazów ciàgów geometrycz-

nych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

wyznacza ciàgi geometryczne, majàc typowe

(UP);

–

rozwiàzuje zadania tekstowe z

ró˝nych dzie-

dzin z

ciàgiem geometrycznym

(UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

pos∏uguje si´ ciàgiem geometrycznym do

obliczeƒ zwiàzanych z

procentem sk∏ada-

nym, z

oprocentowaniem kredytów i

lokat

bankowych (UP).

odaje definicj´ ciàgu geometrycznego,

rozwa˝a przyk∏ady ciàgów geometrycz-

nych, odgaduje wzór na

-ty wyraz cià-

gu geometrycznego, bada monotonicz-

noÊç ciàgu geometrycznego i

wyprowa-

dza wzór na sum´

pierwszych wyra-

zów danego ciàgu geometrycznego.

Rozwiàzuje rozmaite zadania z

ciàgiem

geometrycznym: rachunkowe, na dowo-

dzenie, tekstowe z

ró˝nych dziedzin.

Omawia procent sk∏adany i

jego zwiàzek

ciàgiem geometrycznym oraz stosuje

go do obliczeƒ zwiàzanych z

oprocento-

waniem lokat i

kredytów bankowych.

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

Twierdzenie sinusów

Sformu∏owanie twierdzenia sinusów (i

je-

go dowód z

zastosowaniem w∏asnoÊci

kàtów wpisanych w

ko∏o oraz zastosowa-

niem definicji funkcji trygonometrycz-

nych kàta w

trójkàcie prostokàtnym).

iadomoÊci:

–

formu∏uje twierdzenie sinusów (WP).

Umiej´toÊci:

–

wyjaÊnia dowód tego twierdzenia (przypo-

mni sobie wiadomoÊci z

geometrii z

klasy

pierwszej) (UP).

rmu∏uje twierdzenie sinusów i

dowo-

dzi go (stosuje definicj´ funkcji trygono-

metrycznych kàta w

trójkàcie prostokàt-

nym i

jeden ze wzorów redukcyjnych).

GEOMETRIA

II..

iiàà

iiaa

rroo

Zastosowanie twierdzenia si-

nusów

Twierdzenie cosinusów

Zastosowania twierdzenia co-

sinusów

Zastosowania twierdzenia co-

sinusów – c.d.

Twierdzenie sinusów w

zadaniach zwià-

zanych z

rozwiàzywaniem trójkàtów

oraz w

zadaniach na dowodzenie zwiàz-

ków miarowych w

trójkàcie (np. wzór na

pole trójkàta

S=abc

Twierdzenie cosinusów i

jego dowód

zastosowaniem definicji funkcji trygono-

metrycznych kàta w

trójkàcie prostokàt-

nym), zastosowanie twierdzenia cosinu-

sów do wyprowadzenia charakteryzacji

ostrokàtnoÊci, prostokàtnoÊci i

rozwarto-

kàtnoÊci trójkàta.

Wzór Herona na pole trójkàta, twierdze-

nie Ptolemeusza o

czworokàcie wpisa-

nym w

okràg, twierdzenie o

równoleg∏o-

boku.

Rozwiàzujemy trójkàty oraz stosujemy

twierdzenie cosinusów do innych zadaƒ

rachunkowych z

geometrii.

Umiej´toÊci:

–

rozwiàzuje ka˝dy trójkàt z

astosowaniem

twierdzenia sinusów (UP);

–

dowodzi zwiàzków miarowych w

trójkàcie

(UPP).

iadomoÊci:

–

formu∏uje treÊç twierdzenia cosinusów

(WP).

Umiej´toÊci:

–

dowodzi twierdzenia cosinusów (jest Êwia-

domy

, ˝e jest to uogólnienie twierdzenia Pi-

tagorasa) (UP).

iadomoÊci:

–

poznaje nowe fakty

, które otrzymuje przez

zastosowanie twierdzenia cosinusów (WPP).

Umiej´toÊci:

–

ktywnie uczestniczy w

wyprowadzaniu

dowodów (UPP).

Umiej´toÊci:

–

stosuje twierdzenie cosinusów w

prostych

zadaniach rachunkowych z

geometrii

(rozwiàzywanie trójkàtów) (UP).

Rozwiàzuje trójkàty oraz dowodzi roz-

maitych zwiàzków miarowych w

trójkà-

cie.

rmu∏uje twierdzenie cosinusów

, do-

wodzi go (przez rzutowanie wierzcho∏-

ków trójkàta na jego boki i

zastosowanie

definicji funkcji trygonometrycznych kà-

ta w

trójkàcie prostokàtnym) oraz wycià-

ga wnioski z

tego twierdzenia.

okazuje liczne zastosowania twierdze-

nia cosinusów w

geometrii.

Rozwiàzuje rozmaite zadania rachunko-

we z

geometrii, na przyk∏ad wyznaczanie

d∏ugoÊci Êrodkowych trójkàta, dwusiecz-

nych kàtów trójkàta w

zale˝noÊci od d∏u-

goÊci boków

IIII

ttoo

rryy

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

ektor

, wektor swobodny

dzia∏ania na wektorach

oj´cie wektora, jego kierunku, zwrotu

d∏ugoÊci, równoÊç dwóch wektorów

wektor swobodny

, dodawanie i

odejmo-

wanie wektorów

iadomoÊci:

–

wyjaÊnia poj´cie wektora zwiàzanego (WP);

–

wyjaÊnia poj´cie wektora swobodnego (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

porównuje dwa wektory (UP);

–

dodaje i

odejmuje wektory (UP).

Wprowadza poj´cie wektora i

jego para-

metry (bazuje tutaj na intuicji, gdy defi-

niuje zwrot wektora), pokazuje w∏asnoÊç

dodawania wektorów (przemiennoÊç,

∏àcznoÊç).

IIII

II..

rrzz

ttaa

∏∏cc

iiaa

ttrr

∏∏aa

êê

iiee

Iloczyn wektora przez liczb´

Zastosowania wektorów do

geometrii

Iloczyn skalarny wektorów

Zastosowania iloczynu skalar-

nego wektorów do geometrii

Mno˝enie wektora przez skalar

, w∏asno-

Êci tego dzia∏ania, charakteryzacja rów-

noleg∏oÊci wektorów

wierdzenie T

alesa (raz jeszcze), twier-

dzenia o

odcinku ∏àczàcym Êrodki bo-

ków trójkàta, twierdzenie o

linii Êrodko-

wej czworokàta.

Definicja kàta dwóch wektorów

, defini-

cja iloczynu skalarnego wektorów

, naj-

prostsze w∏asnoÊci tego iloczynu.

wierdzenie o

przecinaniu si´ wysoko-

Êci w

trójkàcie, twierdzenie cosinusów

(po raz drugi), rozwiàzywanie trójkàtów

iadomoÊci:

–

interpretuje mno˝enie wektora przez liczb´

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozpoznaje wektory do siebie równoleg∏e (UP);

–

przedstawia wektor w

postaci liniowej kom-

binacji pary wektorów

(UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje w∏asnoÊci dzia∏aƒ na wektorach do

dowodzenia prostych faktów z

geometrii

(UPP).

iadomoÊci:

–

yjaÊnia poj´cie iloczynu skalarnego (WPP).

Umiej´tnoÊci:

–

tosu

w∏asnoÊci iloczynu skalarnego do

przekszta∏cania prostych wyra˝eƒ

(UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje w∏asnoÊci iloczynu skalarnego do

dowodzenia znanych mu ju˝ twierdzeƒ

oraz do rozwiàzywania trójkàtów

(UPP).

Wprowadza poj´cie iloczynu wektora

przez liczb´ oraz pokazuje w∏asnoÊci te-

go iloczynu.

okazuje, w

jaki sposób wykorzystywaç

w∏asnoÊci iloczynu wektora przez liczb´

do dowodzenia twierdzeƒ znanych ju˝

uczniowi, z

wczeÊniejszej nauki.

Wprowadza iloczyn skalarny wektorów

jego w∏asnoÊci (warto dowodziç przy-

najmniej niektórych), pokazuje zastoso-

wanie tego iloczynu do prostych prze-

kszta∏ceƒ.

okazuje zastosowania iloczynu skalar-

nego do geometrii (warto przy tym wra-

caç do twierdzeƒ wczeÊniej dowodzo-

nych innà metodà).

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

Ogólne wiadomoÊci o

prze-

kszta∏ceniach geometrycznych

oj´cie przekszta∏cenia geometryczne-

go (przekszta∏cenie geometryczne jako

funkcja), przyk∏ady przekszta∏ceƒ, sk∏a-

danie przekszta∏ceƒ, przekszta∏cenie

to˝samoÊciowe, przekszta∏cenie od-

wrotne do danego.

iadomoÊci:

–

okreÊla przekszta∏cenie geometryczne (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje przyk∏ady przekszta∏ceƒ geome-

trycznych (UP);

–

sprawdza, czy przekszta∏cenie geome-

tryczne ma punkty sta∏e, czy mo˝na je od-

wróciç (UPP);

–

sk∏ada przekszta∏cenia (UPP).

Nawiàzuje do wiedzy ucznia o

funkcjach

tym kontekÊcie mówi o

przekszta∏ce-

niach, ilustrujàc poruszone zagadnienia

przyk∏adami.

Przekszta∏cenia izometryczne

figury przystajàce

Cechy przystawania trójkàtów

Obrazy figur w

izometrii

Symetria osiowa

OÊ symetrii figury

, figury osio-

wo symetryczne

Symetria Êrodkowa i

jej w∏a-

snoÊci

Definicja przekszta∏cenia izometryczne-

go, punkty sta∏e izometrii, przyk∏ady izo-

metrii, przystawanie figur

Sformu∏owanie cech przystawania trój-

kàtów

, zastosowanie tych cech do pro-

stych zadaƒ na dowodzenie.

Obraz odcinka, prostej i

pó∏prostej, okr´-

gu (ko∏a), figury wypuk∏ej, kàta, wielokàta.

Badanie przekszta∏cenia, które ma dwa

punkty sta∏e, obrazu punktu w

tym prze-

kszta∏ceniu, definicja symetrii osiowej,

obraz figury w

symetrii osiowej.

Definicja osi symetrii figury i

figury osio-

wo symetrycznej, przyk∏ady takich figur

OkreÊlenie symetrii wzgl´dem punktu,

w∏asnoÊci symetrii Êrodkowej, obraz fi-

gury w

symetrii Êrodkowej.

Umiej´tnoÊci:

–

wskazuje wÊród przyk∏adów przekszta∏ceƒ

geometrycznych te, które zachowujà odle-

g∏oÊç (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

tosu

cechy przystawania trójkàtów do

prostych zadaƒ na dowodzenie (UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

otrzymuje

obrazy typowych figur geometrycz-

nych w

izometrii

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rysuje obraz figury w

symetrii osiowej (UP);

–

konstruuje obraz punktu, obraz okr´gu,

wielokàta w

symetrii osiowej (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

wskazuje figur´ majàcà oÊ symetrii (UP);

–

podaj

przyk∏ady figur osiowo symetrycz-

nych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozpoznaje symetri´ Êrodkowà (UP);

–

przekszta∏ca figur´ przez symetri´ Êrodko-

wà i

rysuje obraz tej figury (UPP).

Bada, czym jest izometria majàca dwa

punkty sta∏e (podaje model takiego

przekszta∏cenia) i

czym jest, gdy ma trzy

niewspó∏liniowe punkty sta∏e; sk∏ada

odwraca izometrie, definiuje przysta-

wanie figur i

bada, jakie w∏asnoÊci ma ta

relacja.

ormu∏uje cechy przystawania trójkà-

tów

, nawiàzujàc do twierdzenia o

struk-

turze izometrii (warto o

tym twierdzeniu

chocia˝ wspomnieç), dowodzi innych

twierdzeƒ z

zastosowaniem cech przy-

stawania trójkàtów

Bada obrazy typowych figur geome-

trycznych w

izometrii.

Omawia w∏asnoÊci symetrii osiowej; ba-

dajàc jà, zwraca uwag´ na rysowanie

obrazów figur w

symetrii; nawiàzuje do

„odbicia lustrzanego” (warto te˝ omó-

wiç symetri´ wzgl´dem osi uk∏adu

wspó∏rz´dnych).

odaje przyk∏ady figur majàcych oÊ sy-

metrii (z

ró˝nych dziedzin, tak˝e w

chitekturze, sztuce malarskiej).

Definiuje symetri´ Êrodkowà i

bada jej

w∏asnoÊci, zwraca uwag´ na rysowanie

obrazów figur w

symetrii Êrodkowej, oma-

wia tak˝e symetri´ wzgl´dem poczàtku

uk∏adu wspó∏rz´dnych oraz wzgl´dem

dowolnego punktu w

tym uk∏adzie.

Ârodek symetrii figury

, figury

Êrodkowo symetryczne

Obrót p∏aszczyzny

10.

ranslacja p∏aszczyzny

11.

Sk∏adanie symetrii osiowych

12.

Metoda przekszta∏ceƒ geome-

trycznych w

zadaniach

13.

Jednok∏adnoÊç p∏aszczyzny

Definicja Êrodka symetrii figury

, figury

Êrodkowo symetrycznej, przyk∏ady figur

Êrodkowo symetrycznych.

Kàt skierowany

, obrót p∏aszczyzny wo-

kó∏ ustalonego jej punktu, sk∏adanie ob-

rotów wokó∏ tego samego punktu.

Definicja translacji, w∏asnoÊci translacji,

wzór analityczny na translacj´.

Sk∏adanie dwóch symetrii osiowych

badanie, czym jest to z∏o˝enie.

Zastosowanie symetrii osiowej, symetrii

Êrodkowej obrotu i

translacji do zadaƒ

konstrukcyjnych i

na dowodzenie.

Definicja jednok∏adnoÊci, obrazy figur

jednok∏adnoÊci, sk∏adanie jednok∏ad-

noÊci o

wspólnym Êrodku, jednok∏ad-

noÊç we wspó∏rz´dnych kartezjaƒskich.

Umiej´tnoÊci:

–

wskazuje figur´ majàcà Êrodek symetrii (UP);

–

podaje przyk∏ady figur Êrodkowo syme-

trycznych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

omawia obrót i

jego w∏asnoÊci

(UP);

–

wyjaÊnia poj´cie kàta skierowanego

(UP);

–

sk∏ada obroty wokó∏ tego samego punktu

(UPP);

–

bada obrazy figur w

obrocie

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

znajduje obraz figury w

translacji

(UP);

–

podaje wspó∏rz´dne obrazu punktu w

trans-

lacji (UP);

–

podaje wspó∏rz´dne wektora translacji, ma-

jàc wspó∏rz´dne punktu i

jego obrazu

translacji (UP).

iadomoÊci:

–

wyjaÊnia, czym jest z∏o˝enie dwóch syme-

trii osiowych w

zale˝noÊci od konfiguracji

osi (WPP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje w∏asnoÊci przekszta∏ceƒ izometrycz-

nych w

zadaniach konstrukcyjnych (UP)

dowodzenie (UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

rysuje obraz figury w

jednok∏adnoÊci (od-

cinka, kàta, wielokàta, okr´gu) (UP);

–

odnajduje niezmienniki jednok∏adnoÊci

(UPP);

–

znajduje wspó∏rz´dne obrazu punktu, ma-

jàc wspó∏rz´dne punktu i

Êrodka jedno-

k∏adnoÊci (UP).

odaje przyk∏ady figur majàcych Êrodek

symetrii (pochodzàcych z

ró˝nych dzie-

dzin, np. w

architekturze, sztuce malar-

skiej).

Omawia poj´cie kàta skierowanego

oraz dzia∏ania na kàtach skierowanych

(nawiàzujàc do poj´cia wektora i

dzia∏aƒ

dodawania i

dejmowania wektorów –

warto podkreÊliç pewne analogie), defi-

niuje obrót p∏aszczyzny i

bada jego w∏a-

snoÊci.

Nawiàzuje do poj´cia wektora i

wektora

swobodnego, okreÊla translacj´ p∏asz-

czyzny oraz bada jej w∏asnoÊci, rysuje

obrazy figur w

translacji.

Bada z∏o˝enie dwóch symetrii osiowych

najpierw graficznie, po czym przechodzi

do formalnych dowodów i

faktów otrzy-

manych na drodze empirycznej.

Rozwiàzuje rozmaite zadania, w

tym

charakterze praktycznym (np. wybór

miejsca pod budow´ mostu przez rzek´,

tak aby otrzymaç najkrótszà drog´ z

jed-

nego miasta do drugiego).

Wprowadzajàc poj´cie jednok∏adnoÊci,

podaje je jako przyk∏ad przekszta∏cenia,

które nie jest izometrià. Zwraca uwag´

na podstawowy niezmiennik, jakim jest

wspó∏liniowoÊç punktów i

tosunek d∏u-

goÊci odcinków

14.

Figury jednok∏adne

15.

odobieƒstwo

16.

dobieƒstwo figur

, cechy po-

dobieƒstwa trójkàtów

17.

Zastosowanie jednok∏adnoÊci

podobieƒstwa

Definicja jednok∏adnoÊci figur i

w∏asnoÊci

tej relacji, przyk∏ady figur jednok∏adnych.

Definicja i

w∏asnoÊci podobieƒstwa.

odobieƒstwo figur i

jego w∏asnoÊci.

odobieƒstwo trójkàtów

. P

odobieƒstwa

wielokàtów

. Stosunek pól figur podob-

nych. T

wierdzenie T

alesa i

jego zwiàzek

podobieƒstwem.

Zastosowanie jednok∏adnoÊci i

podo-

bieƒstwa do: zadaƒ konstrukcyjnych,

zadaƒ na dowodzenie, zadaƒ na obli-

czanie wielkoÊci geometrycznych.

Umiej´tnoÊci:

–

podaje przyk∏ady figur jednok∏adnych

(UP);

–

konstruuje Êrodki jednok∏adnoÊci pary

okr´gów (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozpoznaje figury podobne (UP);

–

rysuje figury podobne (UP);

–

okreÊla w∏asnoÊci figur podobnych (UP);

–

podaje przyk∏ady podobieƒstw (UP).

iadomoÊci:

–

okreÊla podobieƒstwo trójkàtów i wielokàtów

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

wskazuje figury podobne (UP);

–

oblicza pola obrazów wielokàtów w

podo-

bieƒstwie (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

stosuje zdobyte wiadomoÊci (w∏asnoÊci

jednok∏adnoÊci i

podobieƒstwa, a

tak˝e ce-

chy podobieƒstwa trójkàtów) nie tylko do

zagadnieƒ teoretycznych (UPP), ale i

prak-

tycznych (UP).

Zwraca uwag´ na konstrukcj´ Êrodków

jednok∏adnoÊci figur jednok∏adnych

(odcinków

, wielokàtów

, okr´gów).

Zwraca uwag´ na to, ˝e podobieƒstwo

jest uogólnieniem znanych ju˝ prze-

kszta∏ceƒ: izometrii i

jednok∏adnoÊci.

Stara si´, aby uczniowie nabyli do-

Êwiadczenia w

akresie stosowania

zdobytej wiedzy i

umiej´tnoÊci tak˝e

sytuacjach praktycznych (powi´ksza-

nie, zmniejszanie figur).

Rozwiàzuje jak najwi´cej rozmaitych za-

daƒ, pokazujàc przydatnoÊç zdobytej

wiedzy i

umiej´tnoÊci.

llaa

IIII

ALGEBR

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

ot´ga o

wyk∏adniku ca∏kowi-

tym

Przypomnienie wiadomoÊci o

pot´dze

wyk∏adniku ca∏kowitym: definicja po-

t´gi o

wyk∏adniku naturalnym i

ca∏kowi-

tym, dzia∏ania na pot´gach.

iadomoÊci;

–

podaje poj´cie pot´gi liczby rzeczywistej

wyk∏adniku ca∏kowitym (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

wykonuje dzia∏ania na tych pot´gach (UP).

Przypomina wiadomoÊci o

pot´dze

klasy pierwszej, wykonuje jak najwi´-

cej çwiczeƒ w

dzia∏aniach na pot´gach.

ot´ga o

wyk∏adniku wymier-

nym

Dzia∏ania na pot´gach o

k∏adniku wymiernym

unkcja pot´gowa o

wyk∏ad-

niku wymiernym

Równania i

nierównoÊci pot´-

gowe

unkcja wyk∏adnicza, jej w∏a-

snoÊci i

wykres

Równania i

nierównoÊci wy-

k∏adnicze

Logarytmy i

ich w∏asnoÊci

Przypomnienie wiadomoÊci o

pierwiast-

kowaniu liczb rzeczywistych i

dzia∏a-

niach na pierwiastkach; pot´ga liczby

rzeczywistej o

wyk∏adniku wymiernym

dzia∏ania na tych pot´gach.

Dzia∏ania ∏àczne na pot´gach, porówny-

wanie pot´g.

Przyk∏ady funkcji pot´gowych o

yk∏ad-

niku: naturalnym, ca∏kowitym, ujemnym,

wymiernym postaci 1/

, ich w∏asnoÊci

wykres.

OkreÊlanie równania pot´gowego i

nie-

równoÊci pot´gowej, proste przyk∏ady

takich równaƒ i

nierównoÊci.

Definicja funkcji wyk∏adniczej, jej dzie-

dzina, wykres i

w∏asnoÊci.

OkreÊlenie równania wyk∏adniczego

inierównoÊci wyk∏adniczej, rozwiàzywa-

nie równaƒ i

ierównoÊci wyk∏adni-

czych.

Definicja logarytmu, w∏asnoÊci logaryt-

mów

, logarytmowanie wyra˝eƒ.

Umiej´tnoÊci:

–

podnosi do pot´gi wymiernej liczb´ rzeczy-

wistà (UP);

–

wykonuje dzia∏ania na pot´gach o

wyk∏ad-

niku wymiernym (UP);

–

orównuje pot´gi o

wyk∏adniku wymiernym

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

osiàga wpraw´ w

dzia∏aniach na pot´gach

ich porównywaniu (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

sporzàdza wykresy prostych funkcji pot´-

gowych (UP);

–

odczytuje w∏asnoÊci funkcji pot´gowych

wykresów

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje proste równania i

nierównoÊci

pot´gowe (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

sporzàdza wykresy funkcji wyk∏adniczych

(UP);

–

odczytuje z vwykresów w∏asnoÊci funkcji wy-

k∏adniczych (miejsca zerowe, ró˝nowartoÊcio-

woÊç, monotonicznoÊç, zbiór wartoÊci) (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje proste równania i

nierównoÊci

wyk∏adnicze (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

ykonuje podstawowe obliczenia przy u˝y-

ciu logarytmów (UP).

Przypomina poj´cie pierwiastka arytme-

tycznego liczby nieujemnej oraz jego

w∏asnoÊci, a

nast´pnie rozszerza poj´-

cie pot´gi oraz bada w∏asnoÊci dzia∏aƒ

na pot´gach o

wyk∏adniku wymiernym.

Rozwiàzuje jak najwi´cej ró˝norodnych

çwiczeƒ podnoszàcych sprawnoÊç ra-

chunkowà ucznia.

odaje proste przyk∏ady funkcji pot´go-

wych, sporzàdza ich wykresy i

je oma-

wia.

Rozwiàzuje ró˝ne przyk∏ady prostych

równaƒ i

ierównoÊci pot´gowych, sto-

suje zarówno przekszta∏cenia równo-

wa˝ne, jak i

podstawienia.

Sporzàdza wykresy funkcji wyk∏adni-

czych i

omawia w∏asnoÊci tych funkcji.

Stosuje w∏asnoÊç ró˝nowartoÊciowoÊci

funkcji wyk∏adniczej do rozwiàzywania

równaƒ, zaÊ monotonicznoÊç – do roz-

wiàzywania nierównoÊci.

Wprowadza poj´cie logarytmu (podkre-

Êla przy tym, ˝e podstawa logarytmu mu-

si byç liczbà dodatnià, ró˝nà od 1, a

licz-

unkcja logarytmiczna

10.

Proste równania i

nierównoÊci

logarytmiczne

Definicja funkcji logarytmicznej, dziedzi-

na, zbiór wartoÊci, wykres, ró˝nowarto-

ÊciowoÊç i

onotonicznoÊç funkcji lo-

garytmicznej.

OkreÊlenie równania logarytmicznego

oraz nierównoÊci logarytmicznej, roz-

wiàzywanie równaƒ i

ierównoÊci loga-

rytmicznych.

Umiej´tnoÊci:

–

sporzàdza wykresy funkcji logarytmicznych

(UP);

–

odczytuje z

wykresów w∏asnoÊci funkcji lo-

garytmicznych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje proste równania i

nierównoÊci

logarytmiczne (UP).

ba logarytmowana – dodatnia), dowodzi

prostych w∏asnoÊci logarytmu i

wykonu-

je çwiczenia z

ich zastosowaniem.

Definiuje funkcj´ logarytmicznà i

bada

jej w∏asnoÊci, sporzàdza wykresy funkcji

logarytmicznych.

OkreÊla równanie i

nierównoÊç logaryt-

micznà; rozwiàzuje równania, korzystajàc

równowartoÊciowoÊci funkcji logaryt-

micznej i

nierównoÊci, korzystajàc z

notonicznoÊci funkcji logarytmicznej.

GEOMETRIA ANALITY

CZNA

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

Odleg∏oÊç dwóch punktów na

p∏aszczyênie kartezjaƒskiej

Równanie (nierównoÊç) okr´-

gu (ko∏a)

Wzór na odleg∏oÊç dwóch punktów

Przypomnienie definicji okr´gu (ko∏a)

oraz równanie (nierównoÊç) okr´gu

(ko∏a).

Umiej´tnoÊci:

–

wyznacza odleg∏oÊç dwóch punktów

, majàc

ich wspó∏rz´dne (UP);

–

wykonuje inne zadania, pos∏ugujàc si´ wzo-

rem (np. sprawdza, czy dany punkt nale˝y do

odcinka, czy jest jego Êrodkiem itp.) (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

odczytuje z

równania (nierównoÊci) okr´gu

(ko∏a) wspó∏rz´dne Êrodka okr´gu (ko∏a)

promieƒ

(UP);

–

zapisuje równanie (nierównoÊç) okr´gu

(ko∏a), majàc wspó∏rz´dne Êrodka i

pro-

(UP);

–

rozstrzyga, czy dany punkt le˝y wewnàtrz,

na brzegu czy na zewnàtrz ko∏a

(UP).

yprowadza wzór na odleg∏oÊç dwóch

punktów

, korzystajàc z

twierdzenia Pita-

gorasa, rozwiàzuje jak najwi´cej zadaƒ

çwiczeƒ z

zastosowaniem tego wzoru.

yprowadza równanie (nierównoÊç)

okr´gu (ko∏a) oraz rozwiàzuje jak naj-

wi´cej zadaƒ z

tym zwiàzanych.

STEREOMETRIA

Prosta na p∏aszczyênie karte-

zjaƒskiej

Prostopad∏oÊç i

równoleg∏oÊç

dwóch prostych na p∏aszczyê-

nie kartezjaƒskiej

Odleg∏oÊç punktu od prostej

Prosta i

okràg na p∏aszczyênie

kartezjaƒskiej

NierównoÊç opisujàca pó∏-

p∏aszczyzn´

Ró˝ne postaci równania prostej: ogólna,

kierunkowa, odcinkowa.

arunki prostopad∏oÊci i

równoleg∏oÊci

prostych o

równaniach: ogólnych, kie-

runkowych.

Wzór na odleg∏oÊç punktu od prostej

równaniu ogólnym.

Zadania z

geometrii analitycznej zwiàza-

ne z

prostà i

okr´giem.

Ilustracja geometryczna nierównoÊci li-

niowej z

dwiema niewiadomymi.

Umiej´tnoÊci:

–

zapisuje równanie prostej, majàc dwa ró˝-

ne punkty

, które jà wyznaczajà

(UPP);

–

zapisuje równanie prostej, majàc jej kàt na-

chylenia do osi

punkt

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozpoznaje równania prostych do siebie,

prostopad∏ych, równoleg∏ych lub pokrywa-

jàcych si´

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

oblicza odleg∏oÊç punktu od prostej

(UP);

–

rozstrzyga wzajemne po∏o˝enie na przy-

k∏ad prostej wzgl´dem okr´gu, majàc rów-

nanie tej prostej oraz okr´gu

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje zadania z

prostà i

okr´giem (np.

zapisuje równanie okr´gu opisanego na trój-

kàcie) (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

ilustruje na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej

zbiory opisane za pomocà nierównoÊci li-

niowych z

dwiema niewiadomymi (

UPP).

Omawia poj´cie kàta nachylenia prostej

do osi

, nast´pnie ogólnà postaç

równania prostej, wykonuje du˝o çwi-

czeƒ w

pisaniu równaƒ prostych na

podstawie ró˝nych danych.

odaje warunki prostopad∏oÊci i

równo-

leg∏oÊci prostych zadanych równaniami:

ogólnymi, kierunkowymi, rozwiàzuje

wiele zwiàzanych z

tym zadaƒ.

yprowadza wzór na odleg∏oÊç punktu

od prostej oraz rozwiàzuje zadania z

stosowaniem tego wzoru.

ykorzystuje zdobyte wiadomoÊci z

geo-

metrii

analitycznej do rozwiàzywania

zadaƒ z

okr´giem i

prostà.

odaje ilustracje geometryczne na p∏asz-

czyênie kartezjaƒskiej zbiorów punktów

wspó∏rz´dnych spe∏niajàcych danà

nierównoÊç liniowà z

dwiema niewiado-

mymi.

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

oj´cie graniastos∏upa, rodza-

je graniastos∏upów

Definicje graniastos∏upa i

klasyfikacja

graniastos∏upów

, poj´cie wysokoÊci

graniastos∏upa, wzory na obj´toÊç i

le powierzchni graniastos∏upa.

iadomoÊci:

–

definiuje poj´cie graniastos∏upa (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozpoznaje graniastos∏upy proste, prawi-

d∏owe (UP);

–

oblicza obj´toÊç i

pole powierzchni ca∏ko-

witej graniastos∏upa (UP).

Kszta∏tuje wyobraêni´ przestrzennà, roz-

wa˝a

ró˝ne rodzaje graniastos∏upów

omawia wysokoÊç graniastos∏upa, obli-

cza obj´toÊç i

pole powierzchni ca∏kowi-

tej na podstawie podanych wzorów

oj´cie ostros∏upa, rodzaje

ostros∏upów

Wzajemne po∏o˝enie kraw´-

dzi i

Êcian graniastos∏upów

ostros∏upów

Bry∏y obrotowe

Siatki bry∏

Zadania z

bry∏ami z

zastoso-

waniem trygonometrii

Definicja ostros∏upa i

klasyfikacja ostro-

s∏upów

, wysokoÊç ostros∏upa, wzory na

obj´toÊç i

pole powierzchni ostros∏upa,

ostros∏up Êci´ty oraz wzór na jego obj´-

toÊç.

Kàty nachylenia: Êciany bocznej; kraw´-

dzi bocznej do p∏aszczyzny podstawy;

kàt mi´dzy wysokoÊciami Êcian bocz-

nych, kraw´dzie skoÊne czworoÊcianu,

przekàtne skoÊne.

oj´cie bry∏y obrotowej i

przyk∏ady takich

bry∏: walec, sto˝ek, kula; wzory na ich

obj´toÊç i

pole powierzchni ca∏kowitej.

Siatki graniastos∏upów

, ostros∏upów

bry∏ obrotowych.

Zadania na: obliczanie obj´toÊci i

pól po-

wierzchni ca∏kowitych wybranych bry∏;

wyznaczanie miar kàtów nachylenia, kà-

tów dwuÊciennych itp.; dowodzenie pro-

stych zale˝noÊci mi´dzy elementami bry∏.

iadomoÊci:

–

definiuje poj´cie ostros∏upa (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozpoznaje ostros∏up prawid∏owy (UP);

–

oblicza obj´toÊç i

pole powierzchni ca∏ko-

witej ostros∏upa (UP);

–

oblicza obj´toÊç ostros∏upa Êci´tego

(UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

wskazuje: kàty nachylenia liniowych ele-

mentów graniastos∏upów i

ostros∏upów do

p∏aszczyzny podstawy; kàty mi´dzy tymi

elementami; kàty dwuÊcienne Êciany bocz-

nej i

podstawy oraz Êcian bocznych

(UPP).

iadomoÊci:

–

rozpoznaje bry∏y obrotowe (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

oblicza obj´toÊç i

pole powierzchni ca∏ko-

witej bry∏ obrotowych (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

wykonuje siatki bry∏ (UP);

–

rozpoznaje bry∏´ na podstawie jej siatki

(UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje ró˝ne proste zadania ze stereo-

metrii, pos∏ugujàc si´ wiedzà z

geometrii

p∏aszczyzny i

trygonometrià (UP).

Rozwa˝a ró˝ne rodzaje ostros∏upów; ry-

suje ich modele; omawia wysokoÊç ostro-

s∏upa, badajàc, gdzie znajduje si´ jego

spodek; wyprowadza wzór na obj´toÊç

ostros∏upa Êci´tego, korzystajàc ze wzoru

na obj´toÊç ostros∏upa.

Bada po∏o˝enie kraw´dzi i

Êcian grania-

stos∏upów oraz ostros∏upów na mode-

lach tych bry∏, a

tak˝e na ich rysunkach.

Dà˝y do tego, aby przy obliczaniu obj´-

toÊci i

pól powierzchni ca∏kowitej bry∏

uczniowie stosowali funkcje trygonome-

tryczne i

elementy geometrii p∏aszczyzny

ykonuje çwiczenia, które powinny do-

prowadziç do tego, aby uczniowie potrafili

narysowaç siatk´ odpowiedniego modelu

bry∏y i na podstawie przedstawionej siatki

umieli rozpoznaç bry∏´ bàdê stwierdziç, ˝e

nie odpowiada ˝adnej z

poznanych bry∏.

rozwiàzywaniu zadaƒ ze stereometrii

odnosi si´ do przyk∏adów z

˝ycia co-

dziennego, np. kubatury budynków

, po-

jemnoÊci basenów itp.

CHUNEK PR

WDOPODOBIE¡STW

Has∏o

Realizowane treÊci

Cele kszta∏cenia i osiàgni´cia ucznia

UCZE¡:

Procedury osiàgania celów

UCZY

CIEL:

oj´cie silni, permutacji zbioru

Symbol Newtona

ombinacje i

wariacje

Proste zadania kombinato-

ryczne

Zdarzenie elementarne, zda-

rzenie i

dzia∏ania na zdarze-

niach

oj´cie prawdopodobieƒstwa

jego w∏asnoÊci

Definicja silni, permutacji zbioru, liczba

permutacji zbioru.

OkreÊlenie symbolu Newtona oraz dowo-

dzenie jego podstawowych w∏asnoÊci.

OkreÊlenie kombinacji zbioru oraz wa-

riacji z

powtórzeniami i

bez powtórzeƒ.

Rozwiàzywanie zadaƒ zwiàzanych z

j´ciami kombinatorycznymi.

J´zyk rachunku prawdopodobieƒstwa;

poj´cie zdarzenia i

dzia∏ania na zdarze-

niach: koniunkcja, alternatywa, ró˝nica,

zdarzenie przeciwne do danego.

oj´cie cz´stoÊci zdarzenia i

jej zwiàzek

prawdopodobieƒstwem; definicja

prawdopodobieƒstwa i

jego w∏asnoÊci.

Umiej´tnoÊci:

–

oblicza i

przekszta∏ca wyra˝enia z

silnià (UP);

–

wyznacza permutacje zbiorów i

ich liczby

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

pos∏uguje si´ symbolem Newtona

(UP).

iadomoÊci:

–

odró˝nia wariacje z

powtórzeniami i

bez po-

wtórzeƒ elementów danego zbioru (WP);

–

odró˝nia kombinacje od wariacji

(WP).

Umiej´tnoÊci:

–

wyznacza kombinacje zbioru skoƒczonego

(UP);

–

wyznacza liczb´ kombinacji i

wariacji

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje zadania kombinatoryczne

(UP).

iadomoÊci:

–

rozumie j´zyk rachunku prawdopodobieƒ-

stwa i

kojarzy poj´cie zdarzenia oraz dzia∏ania

na nich z

poj´ciami nauki o

zbiorach (WP).

Umiej´tnoÊci:

–

podaje przyk∏ady zdarzeƒ

(UP).

iadomoÊci:

–

definiuje prawdopodobieƒstwo

(WP);

–

poznaje

funkcj´, której argumentami sà

zbiory (zdarzenia)

(WPP).

ykonuje jak najwi´cej çwiczeƒ.

Wprowadza symbol Newtona i jego pod-

stawowe w∏asnoÊci oraz wykonuje çwi-

czenia rachunkowe.

Stara si´, aby uczeƒ zrozumia∏ nowe

poj´cia, umia∏ odró˝niaç oraz wyzna-

czaç kombinacje i

wariacje (warto usta-

liç zale˝noÊç mi´dzy liczbà kombinacji

danego zbioru a

liczbà wariacji bez po-

wtórzeƒ tego zbioru).

Odnosi si´ do zadaƒ z

ró˝nych dzie-

dzin, na przyk∏ad zwiàzane z

grami licz-

bowymi, talià kart do gry

, numeracjà ta-

blic rejestracyjnych itp.

Stara si´ nawiàzywaç (w

realizacji za-

gadnieƒ) do wiadomoÊci z

teorii zbio-

rów; rozwa˝a jak najwi´cej przyk∏adów

Bada w∏asnoÊci poj´cia cz´stoÊci, defi-

niuje (za K

o∏mogorowem) prawdopodo-

bieƒstwo i

dowodzi jego podstawowych

Klasyczna definicja prawdo-

podobieƒstwa

Zadania z

zastosowaniem kla-

sycznej definicji prawdopodo-

bieƒstwa

Elementy statystyki opisowej

wierdzenie o

rozk∏adzie prawdopodo-

bieƒstwa, klasyczna definicja prawdo-

podobieƒstwa; obliczanie prawdopodo-

bieƒstw w

skoƒczonych przestrzeniach

probabilistycznych.

ermutacje, kombinacje, wariacje z

wtórzeniami i

bez powtórzeƒ w

zada-

niach z

zastosowaniem klasycznej defi-

nicji prawdopodobieƒstwa.

Ârednia arytmetyczna, Êrednia wa˝ona,

mediana, wariacje i

odchylenia standar-

dowe.

Umiej´tnoÊci:

–

wykazuje proste jego w∏asnoÊci

(UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje najprostsze zadania (z

rzutem

kostkà, dwiema kostkami, monetà, dwiema

monetami, kostkà i

monetà) z

zastosowa-

niem klasycznej definicji prawdopodobieƒ-

stwa (UP).

Umiej´tnoÊci:

–

rozwiàzuje zadania z

rachunku prawdopo-

dobieƒstwa z

zastosowaniem elementów

kombinatoryki i

klasycznej definicji prawdo-

podobieƒstwa (UPP).

Umiej´tnoÊci:

–

odczytuje dane statystyczne z

tabel, dia-

gramów i

wykresów (UP);

–

przedstawia dane empiryczne w

postaci ta-

bel, diagramów i

wykresów (UP);

–

przeprowadza analiz´ iloÊciowà przedsta-

wianych danych (UP);

–

oblicza Êrednie danych liczbowych oraz

odchylenia od nich (UP).

w∏asnoÊci; rozwiàzuje tak˝e proste za-

dania zwiàzane z

nowym z

poj´ciem.

ormu∏uje twierdzenie o

rozk∏adzie praw-

dopodobieƒstwa, a

nast´pnie rozwa˝a

przypadek jednakowo prawdopodob-

nych zdarzeƒ elementarnych, otrzymujàc

klasycznà definicj´ prawdopodobieƒ-

stwa.

rozwiàzywanych zadaniach zwraca

uwag´ na: opis przestrzeni zdarzeƒ ele-

mentarnych (mo˝liwych wyników do-

Êwiadczenia losowego), wyznaczanie ich

liczby

, opis interesujàcego zdarzenia,

wyznaczanie liczby zdarzeƒ elementar-

nych sprzyjajàcych temu zdarzeniu.

Interpretuje jakoÊciowo informacje za-

warte w

tabelach, diagramach i

wykre-

sach oraz ustala i

formu∏uje proste za-

le˝noÊci mi´dzy nimi; wykorzystuje te

informacje w

toku badania typowych sy-

tuacji problemowych.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Nowa Matematyka 2001 - plan wynikowy do klasy 2 gimnazjum - edycja, Przydatne do szkoły, matemetyka
1 PLAN WYNIKOWY DLA KLASY III GIMNAZJUM, Matematyka, Gimnazjum kl 3, Plany Rozkłady PSO
plan wynikowy matematyka kl IV, NAUKA
plan wynikowy matematyka kl V, NAUKA
plan wynikowy biologia zp
MwNNE GIM 2 plan wynikowy 151626
Biologia 2ZR plan wynikowy
PLAN WYNIKOWY DLA KLAS 1 wdr, Studia, Wychowanie do życia w rodzinie
PLAN WYNIKOWY naucz ind Kopia (2)
plan wynikowy dla klasy II
wzór-plan wynikowy 2012-AM, dla NAUCZYCIELI
plan wynikowy lzk 4 6
plan wynikowy 2, GEOGRAFIA
Plan wynikowy I gimnazjum
plan wynikowy tydzień III
Biologia 3ZR plan wynikowy
Plan wynikowy Zagro enia w Ťrodowisku pracy
PLAN WYNIKOWY naucz ind

więcej podobnych podstron