EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (23.09.10)
IMiR, rok 1E+F
Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj definicję rzędu macierzy oraz twierdzenie Kroneckera-Capellego
o rozwiązaniach układu równań liniowych.
Oblicz rząd macierzy:
5
−2
0
3
3
−3
4
2
−1
2
−1
6
4
1
7
4
0
−2
5
1
.
Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów w R
3
oraz przy-
kład dwóch niezerowych wektorów, których iloczyn wektorowy jest wektorem zero-
wym.
Wyznacz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny zawierającej prostą k :
(x, y, z) = (1 − t, 2t, 4 + t), t ∈ R i punkt (0, 1, 2).
Zadanie 3. Podaj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego różniczkowal-
nej funkcji dwóch zmiennych oraz przykład funkcji, która takiego ekstremum nie
posiada.
Oblicz wartość najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = xy
2
− xy + y w trójkącie
o wierzchołkach A = (−3, 0), B = (0, 0), C = (0, 3).
Zadanie 4. Co nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego?
Podaj przykład nieliniowego równania różniczkowego rzędu pierwszego.
Rozwiąż problem Cauchy’ego: y
0
+ yctg x = −1, y(
π
4
) = 1.
EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (23.09.10)
IMiR, rok 1E+F
Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj definicję rzędu macierzy oraz twierdzenie Kroneckera-Capellego
o rozwiązaniach układu równań liniowych.
Oblicz rząd macierzy:
5
−2
0
3
3
−3
4
2
−1
2
−1
6
4
1
7
4
0
−2
5
1
.
Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów w R
3
oraz przy-
kład dwóch niezerowych wektorów, których iloczyn wektorowy jest wektorem zero-
wym.
Wyznacz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny zawierającej prostą k :
(x, y, z) = (1 − t, 2t, 4 + t), t ∈ R i punkt (0, 1, 2).
Zadanie 3. Podaj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego różniczkowal-
nej funkcji dwóch zmiennych oraz przykład funkcji, która takiego ekstremum nie
posiada.
Oblicz wartość najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = xy
2
− xy + y w trójkącie
o wierzchołkach A = (−3, 0), B = (0, 0), C = (0, 3).
Zadanie 4. Co nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego?
Podaj przykład nieliniowego równania różniczkowego rzędu pierwszego.
Rozwiąż problem Cauchy’ego: y
0
+ yctg x = −1, y(
π
4
) = 1.