EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (23.09.10)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj definicję rzędu macierzy oraz twierdzenie Kroneckera-Capellego
o rozwiązaniach układu równań liniowych.
Oblicz rząd macierzy:







5

−2

0

3

3

−3

4

2

−1

2

−1

6

4

1

7

4

0

−2

5

1







.

Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów w R

3

oraz przy-

kład dwóch niezerowych wektorów, których iloczyn wektorowy jest wektorem zero-
wym.
Wyznacz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny zawierającej prostą k :
(x, y, z) = (1 − t, 2t, 4 + t), t ∈ R i punkt (0, 1, 2).

Zadanie 3. Podaj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego różniczkowal-
nej funkcji dwóch zmiennych oraz przykład funkcji, która takiego ekstremum nie
posiada.
Oblicz wartość najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = xy

2

− xy + y w trójkącie

o wierzchołkach A = (−3, 0), B = (0, 0), C = (0, 3).

Zadanie 4. Co nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego?
Podaj przykład nieliniowego równania różniczkowego rzędu pierwszego.
Rozwiąż problem Cauchy’ego: y

0

+ yctg x = −1, y(

π

4

) = 1.

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (23.09.10)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj definicję rzędu macierzy oraz twierdzenie Kroneckera-Capellego
o rozwiązaniach układu równań liniowych.
Oblicz rząd macierzy:







5

−2

0

3

3

−3

4

2

−1

2

−1

6

4

1

7

4

0

−2

5

1







.

Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów w R

3

oraz przy-

kład dwóch niezerowych wektorów, których iloczyn wektorowy jest wektorem zero-
wym.
Wyznacz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny zawierającej prostą k :
(x, y, z) = (1 − t, 2t, 4 + t), t ∈ R i punkt (0, 1, 2).

Zadanie 3. Podaj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego różniczkowal-
nej funkcji dwóch zmiennych oraz przykład funkcji, która takiego ekstremum nie
posiada.
Oblicz wartość najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = xy

2

− xy + y w trójkącie

o wierzchołkach A = (−3, 0), B = (0, 0), C = (0, 3).

Zadanie 4. Co nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego?
Podaj przykład nieliniowego równania różniczkowego rzędu pierwszego.
Rozwiąż problem Cauchy’ego: y

0

+ yctg x = −1, y(

π

4

) = 1.