EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (26.02.10) IMiR, rok 1E+1F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. (T) Podaj twierdzenie Bézouta o pierwiastkach wielomianów. Czy wielomian W ( x) = x 5 − 3 x 3 + 2 x 2 − 10 x − 1 posiada pierwiastki wymierne?

(Z) Przedstaw w postaci sumy ułamków prostych funkcję wymierną

−x 3 + 7 x 2 − x + 10

f ( x) =

.

x 4 + x 3 − 3 x 2 − 4 x − 4

Zadanie 2. (T) Co nazywamy ciągiem geometrycznym? Podaj wzór na n-ty wyraz ciagu geometrycznego.

(Z) Oblicz granicę ciągu

en

lim

.

n→∞ πn + arc tg n

Zadanie 3. (T) Podaj (dowolny) warunek wystarczający istnienia ekstremum lo-kalnego funkcji różniczkowalnej oraz przykład funkcji, która ma dokładnie 2 ekstrema lokalne.

(Z) Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne (określ ich rodzaj) funkcji 1

f ( x) =

.

ex(3 x 2 − 2 x − 2) Zadanie 4. (T) Podaj twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całki ozna-czonej oraz przykład liczb a, b ∈ R i ciągłej funkcji f : < a, b >−→ R takiej, że f ( a) · f ( b) < 0 i R b f ( x) dx > 0.

a

(Z) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 2 cos x oraz y =

2

− 3, dla

cos x

x ∈ ( − π , π ).

2

2

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (26.02.10) IMiR, rok 1E+1F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. (T) Podaj twierdzenie Bézouta o pierwiastkach wielomianów. Czy wielomian W ( x) = x 5 − 3 x 3 + 2 x 2 − 10 x − 1 posiada pierwiastki wymierne?

(Z) Przedstaw w postaci sumy ułamków prostych funkcję wymierną

−x 3 + 7 x 2 − x + 10

f ( x) =

.

x 4 + x 3 − 3 x 2 − 4 x − 4

Zadanie 2. (T) Co nazywamy ciągiem geometrycznym? Podaj wzór na n-ty wyraz ciagu geometrycznego.

(Z) Oblicz granicę ciągu

en

lim

.

n→∞ πn + arc tg n

Zadanie 3. (T) Podaj (dowolny) warunek wystarczający istnienia ekstremum lo-kalnego funkcji różniczkowalnej oraz przykład funkcji, która ma dokładnie 2 ekstrema lokalne.

(Z) Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne (określ ich rodzaj) funkcji 1

f ( x) =

.

ex(3 x 2 − 2 x − 2) Zadanie 4. (T) Podaj twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całki ozna-czonej oraz przykład liczb a, b ∈ R i ciągłej funkcji f : < a, b >−→ R takiej, że f ( a) · f ( b) < 0 i R b f ( x) dx > 0.

a

(Z) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 2 cos x oraz y =

2

− 3, dla

cos x

x ∈ ( − π , π ).

2

2