EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (26.02.10) IMiR, rok 1E+1F
Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. (T) Podaj twierdzenie Bézouta o pierwiastkach wielomianów. Czy wielomian W ( x) = x 5 − 3 x 3 + 2 x 2 − 10 x − 1 posiada pierwiastki wymierne?
(Z) Przedstaw w postaci sumy ułamków prostych funkcję wymierną
−x 3 + 7 x 2 − x + 10
f ( x) =
.
x 4 + x 3 − 3 x 2 − 4 x − 4
Zadanie 2. (T) Co nazywamy ciągiem geometrycznym? Podaj wzór na n-ty wyraz ciagu geometrycznego.
(Z) Oblicz granicę ciągu
en
lim
.
n→∞ πn + arc tg n
Zadanie 3. (T) Podaj (dowolny) warunek wystarczający istnienia ekstremum lo-kalnego funkcji różniczkowalnej oraz przykład funkcji, która ma dokładnie 2 ekstrema lokalne.
(Z) Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne (określ ich rodzaj) funkcji 1
f ( x) =
.
ex(3 x 2 − 2 x − 2) Zadanie 4. (T) Podaj twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całki ozna-czonej oraz przykład liczb a, b ∈ R i ciągłej funkcji f : < a, b >−→ R takiej, że f ( a) · f ( b) < 0 i R b f ( x) dx > 0.
a
(Z) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 2 cos x oraz y =
2
− 3, dla
cos x
x ∈ ( − π , π ).
2
2
EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (26.02.10) IMiR, rok 1E+1F
Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. (T) Podaj twierdzenie Bézouta o pierwiastkach wielomianów. Czy wielomian W ( x) = x 5 − 3 x 3 + 2 x 2 − 10 x − 1 posiada pierwiastki wymierne?
(Z) Przedstaw w postaci sumy ułamków prostych funkcję wymierną
−x 3 + 7 x 2 − x + 10
f ( x) =
.
x 4 + x 3 − 3 x 2 − 4 x − 4
Zadanie 2. (T) Co nazywamy ciągiem geometrycznym? Podaj wzór na n-ty wyraz ciagu geometrycznego.
(Z) Oblicz granicę ciągu
en
lim
.
n→∞ πn + arc tg n
Zadanie 3. (T) Podaj (dowolny) warunek wystarczający istnienia ekstremum lo-kalnego funkcji różniczkowalnej oraz przykład funkcji, która ma dokładnie 2 ekstrema lokalne.
(Z) Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne (określ ich rodzaj) funkcji 1
f ( x) =
.
ex(3 x 2 − 2 x − 2) Zadanie 4. (T) Podaj twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całki ozna-czonej oraz przykład liczb a, b ∈ R i ciągłej funkcji f : < a, b >−→ R takiej, że f ( a) · f ( b) < 0 i R b f ( x) dx > 0.
a
(Z) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 2 cos x oraz y =
2
− 3, dla
cos x
x ∈ ( − π , π ).
2
2