TEMAT:
Równania Lagrange'a II rodzaju
i
i
i
d
L
L
Q
dt
q
q
Gdzie:
Q
i
- siła uogólniona
L - potencjał kinetyczny
i
q - współrzędna uogólniona
i
q - prędkość uogólniona
L
E U
Liczba stopni swobody układu
s
n
w
Gdzie:
s - liczba stopni swobody układu
n - liczba współrzędnych wyjściowych (opisujących ruch wszystkich brył w układzie)
w - liczba więzów kinematycznych
1. Wyznacz przyśpieszenia brył w układzie korzystając z równań Lagrange'a II rodzaju.
r
m
x
Współrzędne wyjściowe:
,
x
Równania więzów:
x
r
Liczba stopni swobody:
2 1 1
s
Współrzędna uogólniona:
q
x
Energia układu:
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
4
4
sin
x
mr
mx
I
mx
r
E
mx
U
mgx
2
3
sin
4
L
mx
mgx
Pochodne:
3
2
L
mx
x
3
2
d
L
mx
dt
x
sin
L
mg
x
Równanie ruchu:
3
sin
0
2
mx mg
2
sin
3
x
g
2. Wyznacz przyśpieszenia brył w układzie korzystając z równań Lagrange'a II rodzaju.
r
1
m
2
m
R
F
1
x
2
x
3
m
Współrzędne wyjściowe:
1
2
,
,
x x
Równania więzów:
1
2
x
R
x
R
Liczba stopni swobody:
3 2 1
s
Współrzędna uogólniona:
1
q
x
Energia układu:
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3 1
1 1
1 1
2 1
2
1
1
3
3
3
3
1
1
2
2
2
2
4
2
2
2
m x
m x
m x
m x
m x
m
I
E
x
m
m
U
m gx
m gx
2
2
1
1
3
3
1
1
2
2
m
L
x
m
m
m gx
Praca wirtualna układu
1
1
x
W
F x
Q
F
Pochodne:
2
1
1
3
1
2
m
L
x
m
m
x
2
1
1
3
1
2
m
d
L
x
m
m
dt
x
3
1
L
m g
x
Równanie ruchu
:
2
1
1
3
3
2
m
x
m
m
m g
F
3
1
2
2
1
3
3
2
1
3
2
2
F
m g
x
x
m
m
m
F
m g
m
R m
m
3. Wyznacz równania ruchu belki korzystając z równań Lagrange'a II rodzaju.
k
m
l
2
l
2
l
k
k
x
Współrzędne wyjściowe:
,
x
Równania więzów:
-
Liczba stopni swobody:
2
0
2
s
Współrzędne uogólnione:
1
2
q
x
q
Energia układu:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
mx
I
E
l
U
mgx
k
x
x
l
x
l
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
mx
I
l
L
mgx
k
x
x
l
x
l
Praca wirtualna układu
1
2
0
0
0
0
x
W
x
x
Q
Q
Pochodne:
L
mx
x
d
L
mx
dt
x
2
3
2
L
l
mg
k x
x
l
x
l
x
L
l
mg
k
x
x
2
3
L
ml
2
3
d
L
ml
dt
2
2
2
2
2
4
9
2
4
L
l
l
k x
xl
l
xl
l
L
l
k x
l
Równanie ruchu
:
2
2
3
0
2
9
0
3
2
4
l
mx mg
k
x
ml
l
k x
l
4. Wyznacz przyśpieszenie masy m
1
oraz m
2
, korzystając z równań Lagrange'a II
rodzaju.
bezmasowe krążki
1
m
4
m
2
m
3
m
2
x
4
x
3
3
x
1
x
r
Współrzędne wyjściowe:
1
2
3
4
3
,
,
,
,
x x x x
Równania więzów:
1
3
3
2
3
3
3
4
x
x
r
x
x
r
x
x
Liczba stopni swobody:
5 2 1
s
Współrzędna uogólniona:
1
1
2
2
q
x
q
x
1
2
3
2
1
3
1
2
4
2
2
2
x
x
x
x
x
r
x
x
x
Energia układu:
2
2
2
2
2
3
3 3
1 1
2
2
4
4
3
3
4
4
2
2
2
2
2
I
m x
m x
m x
m x
E
U
m gx
m gx
2
2
2
2
3
3
4
1 1
2
2
2
1
1
2
3
3
1
2
1
1
2
2
16
8
2
m
m
m
E
m x
m x
x
x
x
x
m
m
U
g x
x
2
2
2
2
3
3
4
3
3
1 1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
16
8
2
m
m
m
m
m
L
m x
m x
x
x
x
x
g x
x
Praca wirtualna układu
1
1
2
2
1
1
2
2
x
x
W
gm x
gm
x
Q
gm
Q
gm
Pochodne:
