KINEMATYKA

Dział fizyki zajmujący się opisem ruchu i jego zmian

– bez wnikania w przyczyny tych zmian.

Układ odniesienia

– ciało lub grupa ciał względem siebie nieruchomych,

względem których podajemy położenie danego ciała w przestrzeni.

Układ współrzędnych

– związany z układem odniesienia zespół osi

umożliwiający jednoznaczne określenie położenia punktu w przestrzeni.

Trajektoria ruchu, tor ruchu

– krzywa w przestrzeni, opisująca zmianę położenia

ciała.

Punkt materialny

– ciało obdarzone masą, którego rozmiary i kształty możemy

w danym zagadnieniu pominąć.

Ruch

– zmiana położenia ciała w przestrzeni.

Ruch jest pojęciem względnym -

charakter ruchu ciała jest różny w

zależności od układu odniesienia.

WEKTOR WODZĄCY

– WEKTOR POŁOŻENIA

y

x

 

t

r



Jest to wektor określający położenie ciała na trajektorii.

 

t

r



Zmiana wektora położenia w przedziale czasu



t

oznacza ruch ciała – jego

przemieszczenie

.

r





r









t

t

r







W trakcie ruchu ciała wektor położenia ulega zmianie.

PRĘDKOŚĆ

Prędkość

– określa szybkość zmian wektora położenia

ciała w czasie.

Prędkość średnią

obliczamy jako stosunek zmiany

wektora położenia do czasu w którym nastąpiło.

t

r

V

śr











y

x

 

t

r



 

t

r











t

t

r







y

x

 

t

r



r



d





t

t

r

d





Aby obliczyć prędkość ciała w konkretnej chwili czasu t,
trzeba przyjąć przyrost czasu dążący do zera:

t

r

V

d

d







y

x

 

t

r



 

dt

r

d







dt

t

r





Aby obliczyć prędkość ciała w konkretnej chwili czasu t,
trzeba przyjąć przyrost czasu dążący do zera:

t

r

V

d

d







Prędkość (prędkość chwilowa) jest pochodną

z wektora położenia względem czasu.

PRĘDKOŚĆ

1

r



d

1

r



2

r



4

r



3

r



3

r



d

3

V



Kierunek i zwrot wektora prędkości jest taki sam jak kierunek i zwrot
wektora przemieszczenia

które lokalnie odbywa się wzdłuż trajektorii (toru)

V



r



d

Prędkość jest zawsze styczna do toru.

r

t

V





d

d

1



1

V



Vt

S



V

S

t

V

t

S

DROGA

2

2

1

1

2

1

t

V

t

V

S

S

S

















1

V

1

t



2

V

2

t



S





























n

i

i

i

n

i

i

n

n

t

V

S

t

V

t

V

S

1

1

1

1

...

1

t



2

t



2

V

1

V

1

V

...

t

1



n

t



n

V



V

t

S

t

d







n

i

i

i

t

V

S

1

d





1

0

d

t

t

t

V

t

V

dS

d



Aby obliczyć dokładną wartość przebytej drogi, trzeba przeprowadzić
sumowanie po bardzo małych odcinkach czasu

Sumowanie malutkich kawałeczków nazywamy całkowaniem i oznaczamy
symbolem:



2

2

1

1

t

V

t

V

S









1

V



1

t



)

(

1

1

2

2

2

t

V

t

V

V









2

t



1

V



1

t



1

2

V

V









1

t



1

V



1

t



2

V



2

t



2

2

1

1

t

V

t

V

r



















1

t

t

t

V

r

0

d





1

1

1

1

1

1

2

t

V

t

V

t

V

S













droga:

położenie:

2

2

1

1

t

V

t

V

r



















1

0

t

d

t

t

V

S

Droga jest całką z szybkości (wartości wektora prędkości).

Położenie jest całką z wektora prędkości.

Prędkość - pochodna wektora położenia po czasie







1

0

t

d

t

t

a

V











1

0

d

t

t

t

V

r





'

V

V

t

V

a















d

d

Przyspieszenie - pochodna wektora prędkości po czasie

r

r

t

r

V

















d

d





t

V

r

d

d







Przyspieszenie – druga pochodna wektora położenia po czasie

Prędkość określa szybkość zmiany położenia

Szybkość zmiany prędkości określa przyspieszenie

t

V

a

d

d







t

t

r

t

V

a

d

d

d

d

d

d





















































t

r

t

t

t

r

t

V

a

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d









2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

t

r

t

r

t

t

t

r

t

V

a











































O

P

Δt

ΔV

lim

a

0

Δt

d





Δt

Δr

Δr

ΔV

lim

Δt

ΔV

lim

a

0

Δt

0

Δt

d









Q

r

r

r

V

a

2

d









Δt

Δr

r

V

lim

Δt

Δr

Δr

ΔV

lim

Δt

ΔV

lim

a

0

Δt

0

Δt

0

Δt

d













Δt

Δr

lim

r

V

Δt

Δr

r

V

lim

Δt

Δr

Δr

ΔV

lim

Δt

ΔV

lim

a

0

Δt

0

Δt

0

Δt

0

Δt

d

















r

V

Δt

Δr

lim

r

V

Δt

Δr

r

V

lim

Δt

Δr

Δr

ΔV

lim

Δt

ΔV

lim

a

2

0

Δt

0

Δt

0

Δt

0

Δt

d



















 

t

r



 

t

V







t

t

r











t

t

V









  

t

r

t

t

r

r

















r







  

t

V

t

t

V

V

















 

t

V





V





V

t

a











1

a





w ruchu po okręgu zawsze

występuje

przyspieszenie

dośrodkowe

d

a



s

a



a



V



s

a





przyspieszenie styczne

r

r

r

V

a

2

d









d

a





przyspieszenie dośrodkowe

V

V

t

V

s





d

d

a



a





przyspieszenie wypadkowe

d

s

a

a

a











d

a



a



V



s

a



Oblicz:



,



,



,

,



,

,

 

2

2

3

4

t

t

t

x







 

0

x

 

2

x

 

0

V

 

2

V

 

0

a

 

2

a

 

t

V

 

t

a





2

0



śr

a





2

0



śr

V

 

const





a

t

a





PRZYKŁAD 1

 

2

2

1

0

0

t

a

t

V

r

t

r















 





 

 

t

t

a

t

t

V

t

r

t

t

a

t

V

r

t

r

t

V

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

2

2

1

0

0

2

2

1

0

0































 

t

a

V

t

V











0

 





t

t

a

t

V

r

t

r

t

V

d

d

d

d

2

2

1

0

0



















 

t

r

t

V

d

d







0



0

V





t

a





 



  

 

t

t

a

t

V

t

t

a

V

t

V

t

a

d

d

d

d

d

d

d

d

0

0























 





t

t

a

V

t

V

t

a

d

d

d

d

0















 

t

V

t

a

d

d







0



a





const

-

,

,

0

0

a

V

r







 

a

t

a







 

 

 

2

1

0

0

2

0

const

r t

r

V t

at

V t

V

at

a t

 



















 

 

 

2

1

0

0

2

0

const

r t

r

V t

at

V t

V

at

a t

 



















Równania opisujące zmiany położenia, prędkości i przyspieszenia w
ruchu ze stałym przyspieszeniem



ruchu jednostajnie zmiennym:

a

V

a

V





jednostajnie przyspieszonym , gdy

a

V

a

V

 



jednostajnie opóźnionym , gdy

0

0

0

x

x

x

x

x

V t

V

V

a





 



 



0

0

0

y

y

y

V

a

 

 



 



2

1

0

2

0

z

z

z

z

z

V t

gt

V

V

gt

a

g

 



  



  















0

0

0

0

0, 0, 0

, 0,

0, 0,

x

z

r

V

V

V

a

g









gdy:

 

 

 

2

1

0

0

2

0

const

r t

r

V t

at

V t

V

at

a t

 



















0 x

x

t

V





wzdłuż osi y – ciało nie porusza się



wzdłuż osi x – ruch jednostajny



wzdłuż osi z – ciało porusza się początkowo ruchem jednostajnie

opóźnionym, a następnie jednostajnie przyspieszonym

2

0

2

0

2

z

x

ox

V

g

z

x

x

V

V

 





ciało porusza się po paraboli

– jest to tzw. rzut ukośny

 

 

 

2

1

0

0

2

0

const

r t

r

V t

at

V t

V

at

a t

 



















Ruch postępowy
jednostajnie zmienny.

 

 

 

2

1

0

0

2

0

const

t

t

t

t

t

t



 





 

























Ruch obrotowy
jednostajnie zmienny.



– położenie kątowe (kąt obrotu)



– prędkość kątowa



– przyspieszenie kątowe

























Ruch obrotowy
przyspieszony.

Ruch obrotowy
przyspieszony.

Ruch obrotowy
opóźniony.

Ruch obrotowy
przyspieszony.

 

 





 





t

t

A

t

t

A

t

V

t

a

d

sin

d

d

sin

d

d

d

0

0

0

0



















 

 





t

t

A

t

V

t

a

d

sin

d

d

d

0

0











 

t

V

t

a

d

d



 

t

x

t

V

d

d



 

 





t

t

A

t

x

t

V

d

cos

d

d

d

0







PRZYKŁAD 2

 

 

t

A

t

x

0

cos





 

 





 





t

t

A

t

t

A

t

x

t

V

d

cos

d

d

cos

d

d

d

0

0











 

 

t

A

t

V

0

0

sin









const

,

0





A

 

 

t

A

t

a

0

2

0

cos









2

2

d

d

x

a

t



   

t

x

t

A



0

cos



x

t

x

2

0

2

2

d

d







x

t

x

2

0

2

2

d

d







– gdy przyspieszenie jest zawsze wprost
proporcjonalne do wartości położenia, lecz
przeciwnie skierowane.

to położenie ciała zmienia się zgodnie z
równaniem

 

 

t

A

t

x

0

cos





Mamy wówczas do czynienia z

ruchem harmonicznym prostym

czyli

nietłumionym ruchem drgającym

o amplitudzie A, oraz

okresie

0

π

2





T

Jeśli mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi, to spełniona
musi być relacja:







2

0

2





2

d

d

t







2

0







Zaznaczyć kierunek i zwrot wektorów:

 

M

