WYBRANE ZAGADNIENIA Z MECHANIKI PŁYNÓW DLA ENERGETYKI-2 (Mgr)
ROZWIĄZANIE PYTAŃ DO ZALICZENIA

1. Jaką zasadę fizyczną przedstawia równanie Naviera-Stokesa? Podaj słownie
interpretację fizyczną poszczególnych członów tego równania.
Równanie Naviera-Stokesa przedstawia równanie zachowania pędu:

[ ]

(

)

D

div

u

div

grad

gradp

f

Dt

u

D

µ

µ

ρ

ρ

2

3

2

+













−

−

=

Gdzie po podstawieniu:

λ

- objętościowy współczynnika lepkości, który zgodnie z hipotezą Stokesa:

µ

λ

3

2

−

=

.

Ostatecznie równanie Naviera-Stokesa w formie wektorowej ma postać:

(

)

[ ]

(

)

D

div

u

div

grad

gradp

f

Dt

u

D

µ

λ

ρ

ρ

2

+

−

−

=

E

D

C

B

A

+

+

+

=

gdzie:

A

- prędkość zmiany pędu elementu płynu

B

- siła masowa

C

- siła powierzchniowa ciśnienia

D

- siła powierzchniowa związana z lepkością płynu, wynikająca ze zmiany objętości

elementu płynu ściśliwego (kompresji lub ekspansji)

E

- siła powierzchniowa związana z lepkością płynu, wynikająca z deformacji liniowej i

postaciowej elementu płynu

2. Napisz równanie Bernoulliego i podaj jego interpretację fizyczną.
Równanie Bernoulliego wyraża zasady zachowania pędu i zachowania energii płynu przy
spełnieniu odpowiednich założeń.
Założenia:

• przepływ jest stacjonarny:

0

=

∂

∂

t

• płyn jest nielepki:

0

=

µ

• płyn jest barotropowy:

( )

p

ρ

ρ

=

• pole sił masowych jest potencjalne:

Π

−

=

grad

f

Równanie Bernoulliego można zapisać dwoma sposobami:
1) Suma energii potencjalnej pola sił masowych, energii ciśnienia oraz energii kinetycznej
płynu jest stała.

const

u

p

gz

=

+

+

2

2

ρ

2) Suma wysokości geometrycznej, wysokości ciśnienia (czyli wysokości, na jaką wzniesie
się słup cieczy pod ciśnieniem p) oraz wysokości prędkości (czyli wysokości, z której
spadający element płynu uzyska prędkość u) jest stała.

const

g

u

g

p

z

=

+

+

2

2

ρ

3. Co to jest masa towarzysząca płynu? Jak wpływa masa towarzysząca płynu na
drgania obiektu zanurzonego w płynie?

W niestacjonarnym ruchu obiektu (ciała stałego) zanurzonego w płynie masa towarzysząca
jest to umowna masa płynu, wykonująca ruch z tą samą prędkością z jaką porusza się obiekt.
Masa towarzysząca zwiększa bezwładność obiektu i przez to wpływa na charakterystyki jego
ruchu.
W rzeczywistości ruch obiektu zanurzonego w płynie wywołuje ruch innej masy płynu ze
zróżnicowanymi prędkościami – większymi blisko obiektu i mniejszymi w większej
odległości od niego. Ta rzeczywista masa płynu w taki sam sposób zwiększa bezwładność
obiektu jak umowna masa towarzysząca.
Przy ruchu ciał stałych w gazach z reguły nie uwzględnia się masy towarzyszącej ze względu
ma niewielką gęstość gazów.

Wpływ masy towarzyszącej na oscylacje ciała sztywnego zanurzonego w płynie – prosty
przykład jednowymiarowy.

m

- masa ciała

c

- współczynnik tłumienia (efekt lepkości płynu)

k

- współczynnik sztywności

x

- przemieszczenie ciała

Masa towarzysząca zwiększa bezwładność ciała, czyli przeciwdziała oscylacjom. Wobec tego
równanie drgań swobodnych ma postać:

x

m

kx

x

c

x

m

a

−

=

+

+

&

&

&

(

)

0

=

+

+

+

kx

x

c

x

m

m

a

&

&

&

0

=

+

+

kx

x

c

x

m

e

&

&

&

gdzie:

a

m - masa towarzysząca

e

m - masa „efektywna”

Częstość własną drgań układu w płynie można wyznaczyć jako:

k

m

c

m

k

f

e

e

n

4

1

2

1

2

−

=

π

Jak widać, zanurzenie obiektu drgającego w płynie powoduje zmniejszenie częstości własnej
drgań.

4. Przedstaw interpretację fizyczną liczb Reynoldsa, Froude’a, Strouhala i Eulera.
Liczba Strouhala:

u

t

l

tu

l

Sh

′

′

′

=

=

Liczba Froude’a wyraża stosunek sił bezwładności do sił masowych:

( )

l

f

u

fl

u

Fr

′′

′

=

=

2

2

2

Liczba Eulera wyraża stosunek sił ciśnienia do sił bezwładności:

2

2

u

p

u

p

Eu

′

′

=

=

ρ

ρ

Liczba Reynoldsa wyraża stosunek sił bezwładności do sił lepkości:

µ

ρ

µ

ρ

′

′

′

′

=

=

l

u

ul

Re

5. Scharakteryzuj przepływy laminarne i turbulentne.
Przepływ laminarny – uporządkowany ruch płynu po torach równoległych, elementy płynu
nie mieszają się ze sobą, działa czysto lepkościowy mechanizm wymiany pędu i energii.
Przepływ ten występuje do wartości Re=2300.
Przepływ turbulentny – chaotyczny ruch płynu o stochastycznym charakterze,
niestacjonarny nawet przy ustalonych warunkach brzegowych, elementy płynu mieszają się ze
sobą, co prowadzi do intensyfikacji wymiany masy, pędu i energii. Przepływ ten występuje
powyżej wartości Re=2300.

6. W jaki sposób uwzględnia się turbulentny charakter przepływu w obliczeniach
numerycznych?
W przepływie turbulentnym wszystkie charakteryzujące go parametry, w tym prędkość i
ciśnienie płynu mogą być przedstawione w postaci sum ich wartości średnich
(wolnozmiennych) oraz fluktuacji turbulentnych.

7. Na czym polega oderwanie warstwy przyściennej i w jakich warunkach może ono
wystąpić?
Oderwanie warstwy przyściennej jest spowodowane przez wystąpienie dodatniego gradientu
ciśnienia wzdłuż warstwy przyściennej (czyli wzrost ciśnienia w kierunku przepływu).
Element płynu przy samej ściance jest hamowany siłami lepkości i siłami ciśnienia, co
powoduje jego zatrzymanie, a następnie ruch w kierunku przeciwnym do przepływu.
Oderwanie może wystąpić zarówno w laminarnej jak i w turbulentnej warstwie przyściennej
(w turbulentnej występuje później, czyli przy wyższym gradiencie ciśnienia). Oderwanie
warstwy przyściennej jest zjawiskiem niekorzystnym, zakłóca pracę maszyn i urządzeń
przepływowych oraz obniża ich sprawność.

8. Kiedy i w jaki sposób chropowatość powierzchni wpływa na opór tarcia obiektu
umieszczonego w przepływie?
Miarą chropowatości powierzchni jest średnia wysokość chropowatości

s

k . Z punktu

widzenia oporu tarcia istotna jest relacja średniej wysokości chropowatości do grubości
podwarstwy lepkiej w turbulentnej warstwie przyściennej. Jeżeli chropowatość mieści się w
tej podwarstwie, to chropowatość nie wywołuje zmiany profilu prędkości w warstwie i nie
wpływa na opór tarcia - powierzchnię nazywamy hydrodynamicznie gładką. Natomiast jeżeli
wysokość chropowatości wykracza poza tę podwarstwę, to jej obecność zmienia profil
prędkości w warstwie i wpływa na wzrost oporu tarcia.

9. Od jakich wielkości zależy prędkość dźwięku w gazie?
Z liniowego równania falowego wynika, że małe zaburzenia propagują się w gazie ze stałą
prędkością. Ponieważ fale dźwiękowe są również małymi zaburzeniami, to prędkość ich
propagacji można interpretować jako prędkość dźwięku:

0

0

ρ

κ

p

a

=

Lokalna prędkość dźwięku określa zależność:

T

R

p

p

a

⋅

⋅

=

=

∂

∂

=

κ

ρ

κ

ρ

gdzie:

v

p

c

c

=

κ

- wykładnik adiabaty Poissona

R

- indywidualna stała gazowa

T

- temperatura

Z powyższej zależności wynika, że prędkość dźwięku jest tym większa im mniej ściśliwy jest
ośrodek. W powietrzu na poziomie morza prędkość dźwięku jest rzędu 340 [m/s], a w wodzie
rzędu 1500 [m/s].

10. Jakie są możliwe rodzaje przepływu przez dyszę de Lavala?
Możliwe przypadki przepływu przez dyszę de Lavala:

1 – przepływ poddźwiękowy – można ich zrealizować nieskończenie wiele w zależności od
wartości ciśnienia na wylocie (czyli tzw. przeciwciśnienia).
2 – w konfuzorze przepływ poddźwiękowy, w gardzieli prędkość dźwięku, w dyfuzorze
przepływ nad- lub poddźwiękowy zależnie od wartości przeciwciśnienia.
3 – gaz wpływa do dyszy już z prędkością naddźwiękową, w konfuzorze jest lekko
przyhamowany, ale w gardzieli jest nadal prędkość naddźwiękowa. W dyfuzorze przepływ
nadal przyspiesza, czyli w całej dyszy mamy przepływ naddźwiękowy.

11. Co to jest fala uderzeniowa? Jak zmieniają się parametry przepływu przy przejściu
przez prostopadła falę uderzeniową?

Fala uderzeniowa jest to występująca w naddźwiękowych przepływach gazu bardzo cienka
(o grubości rzędu kilkunastu mikronów) strefa (powierzchnia) nagłej zmiany parametrów
przepływu.
Fala uderzeniowa:
• powstaje, gdy Ma>1,0
• przy przejściu prostopadłej fali uderzeniowej mamy spadek prędkości, wzrost ciśnienia,
gęstości, temperatury i energii gazu
• prostopadła fala uderzeniowa jest wtedy gdy Ma<1,0.

12. Na czym polega zjawisko kawitacji i w jakich warunkach może wystąpić?
Kawitacja jest to zjawisko powstawania, dynamicznego rozwoju i zaniku pęcherzy parowo-
gazowych w cieczach, wywołane lokalnymi zmianami ciśnienia przy stałej temperaturze.
O przebiegu zjawiska decydują:
• dyfuzja/odgazowanie,
• parowanie/kondensacja,
• bezwładność cieczy,
• napięcie powierzchniowe,
• adhezja,
• lepkość cieczy.
Występowanie kawitacji:
• ciekłe gazy – paliwa silników rakietowych,
• ciekłe metale – chłodziwo reaktorów jądrowych,
• ciecze naturalne – czynniki robocze w maszynach hydraulicznych (na przykład paliwo w
silniku wysokoprężnym),
• krew – w przepływie przez sztuczną zastawkę serca.

13. W jaki sposób można modelować obliczeniowo przepływy potencjalne?
Jeżeli przepływ płynu jest bezwirowy, czyli wszędzie lub prawie wszędzie w polu przepływu
jest

0

=

u

rot

to oznacza, że istnieje funkcja skalarna

(

)

t

z

y

x

,

,

,

ϕ

, taka że

ϕ

grad

u

=

.

Przepływ taki nazywamy przepływem potencjalnym, a funkcję

ϕ

nazywamy potencjałem

prędkości.

Mamy:

x

u

x

∂

∂

=

ϕ

y

u

y

∂

∂

=

ϕ

z

u

z

∂

∂

=

ϕ

W przypadku przepływu potencjalnego płynu nieściśliwego równanie zachowania masy
przekształca się w równanie Laplace’a:

( )

0

0

2

2

2

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∆

=

→

=

+

∂

∂

z

y

x

divgrad

u

div

t

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

Równanie Laplace’a jest liniowe, co oznacza, że suma jego rozwiązań jest również
rozwiązaniem. W praktyce więc można składać bardzo skomplikowane funkcje potencjału,
opisujące złożone przepływy, z funkcji opisujących tzw. przepływy elementarne.

14. Na czym polegają metody różnic skończonych i elementów skończonych w
zastosowaniu do obliczania przepływów?
Metoda różnic skończonych polega na przekształceniu równań różniczkowych w ich
równoważniki różnicowe. Autorstwo metody jest przypisywane B. Taylorowi. W praktyce
spotyka się trzy schematy różnicowe. Jeżeli pochodna funkcji jest określona jako:

(

) ( )

h

x

f

h

x

f

dx

df

dh

df

h

−

+

=

=

→

0

lim

To można ją aproksymować jako:

• Różnicę „w przód”:

(

) ( )

h

x

f

h

x

f

h

f

−

+

=

∆

• Różnicę „wstecz”:

( ) (

)

h

h

x

f

x

f

h

f

−

−

=

∆

• Różnicę centralną:

h

h

x

f

h

x

f

h

f













−

−













+

=

∆

2

1

2

1

O błędach względnych aproksymacji równych odpowiednio:

( )

h

O

dx

df

h

f

=

−

∆

( )

2

h

O

dx

df

h

f

=

−

∆

Metoda elementów skończonych: Analizowany obszar przepływu jest dzielony na części,
tzw. elementy skończone. W wybranych punktach każdego elementu chcemy określić
wartości poszukiwanej funkcji, np. prędkości, ciśnienia itp. Rozkład tej funkcji postulujemy w
postaci funkcji bazowej aproksymującej rozwiązanie. Parametry funkcji aproksymującej
ustalamy przy pomocy metody wariacyjnej.

15. Na czym polega metoda objętości skończonych w zastosowaniu do obliczania
przepływów?
Metoda objętości skończonych polega na przekształceniu równań różniczkowych w
równania algebraiczne poprzez całkowanie tych równań w granicach każdej objętości
skończonej w oparciu o założoną aproksymację zmienności parametrów opisujących
przepływ w granicach objętości (np. liniową, kwadratową itp.).

16. W jaki sposób uwzględnia się straty przepływu w równaniu Bernoulliego
zastosowanym do rurociągu?
Równanie Bernoulliego dla rzeczywistego przepływu ze stratami ma postać:

∫

=













+

+

−













+

+

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

~

2

~

dl

S

C

p

gz

p

u

gz

p

u

ρ

ρ

ρ

τ

albo:

const

H

h

z

g

p

g

u

z

g

p

g

u

s

=

=

+

+

+

=

+

+

2

2

2

2

1

1

2

1

2

~

2

~

ρ

ρ

gdzie:

s

h - wysokość strat

Wysokość strat możemy podzielić na dwa składniki:
• wysokość strat liniowych związanych z tarciem płynu o ścianki przewodu prostoliniowego o
stałym przekroju, wyrażona wzorem:

d

l

g

u

h

s

λ

2

~

2

=

• wysokość strat lokalnych związanych z obecnością zaworów, kolan, zwężeń, rozgałęzień i
innych elementów, wyraża się wzorem:

g

u

g

u

h

s

2

~

2

~

2

2

2

1

ς

ς

′

=

=

Gdzie

ς

jest współczynnikiem strat lokalnych, który może być określony w odniesieniu do

prędkości przed elementem lub prędkości za elementem. Współczynniki

ς

są określane

eksperymentalnie i można je znaleźć w odpowiednich tablicach.

W przypadku gdy przepływ odbywa się w przewodach o znacznej średnicy, równanie
Bernoulliego powinno być jeszcze uzupełnione o współczynnik Coriolisa (lub de Saint-
Venanta)

α

const

H

h

z

g

p

g

u

z

g

p

g

u

s

=

=

+

+

+

⋅

=

+

+

⋅

2

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

~

2

~

ρ

α

ρ

α

Wynika to z faktu, że rzeczywista energia strumienia niejednorodnego różni się od energii
obliczonej według średniej prędkości wydatkowej dla tego strumienia. Wobec tego mamy:

A

u

dA

u

A

⋅

=

∫

3

3

~

α

Współczynnik

α

jest tym większy im bardziej niejednorodne jest pole prędkości przepływu.

17. W jaki sposób średnia prędkość przepływu w kanale otwartym zależy od napełnienia
kanału?
Prędkość przepływu jest proporcjonalna do kwadratu grubości warstwy cieczy, czyli:
prędkość przepływu w kanale otwartym rośnie ze wzrostem stopnia napełnienia kanału.

18. Narysuj i zinterpretuj charakterystyki aerodynamiczne profilu.
Charakterystyki aerodynamiczne profilu to zależność współczynników siły nośnej i siły oporu
(ewentualnie także momentu) od kąta natarcia.

Gdzie:

S

V

P

C

Z

Z

2

2

∞

=

ρ

– współczynnik siły nośnej

S

V

P

C

X

X

2

2

∞

=

ρ

– współczynnik siły oporu

Sl

V

M

C

M

2

2

∞

=

ρ

– współczynnik siły aerodynamicznej

X

Z

C

C

=

ε

– współczynnik doskonałości profilu

S – powierzchnia płata (w przypadku profilu – powierzchnia odcinka o jednostkowej

rozpiętości)

P – wypadkowa siła aerodynamiczna

Z

P

– siła nośna

X

P

– siła oporu

M – moment siły aerodynamicznej

∞

V

– prędkość przepływu

α

– kąt natarcia

19. Co to jest wyróżnik szybkobieżności wirnikowych maszyn przepływowych?
Kinematyczny wyróżnik szybkobieżności maszyny wirnikowej to prędkość obrotowa pompy
geometrycznie podobnej o jednostkowej wysokości hydraulicznej i jednostkowej wydajności:

H

Q

H

n

n

sQ

=

Bezwymiarowy wyróżnik szybkobieżności:

(

)

4

3

2

1

H

g

Q

n

n

sf

⋅

⋅

=

Wyróżnik szybkobieżności jednoznacznie charakteryzuje typ wirnika maszyny. Wartość
wyróżnika wzrasta ze wzrostem wydajności i prędkości obrotowej a maleje ze wzrostem
wysokości hydraulicznej.

20. Jakie czynniki wchodzą w skład zależności opisującej sprawność pompy wirnikowej?
Moc dostarczona do pompy

N jest większa od mocy użytecznej z powodu strat, które dzielimy

na straty hydrauliczne, objętościowe i mechaniczne. Łączny wpływ strat ujmuje sprawność
pompy, którą można przedstawić jako iloczyn sprawności hydraulicznej, sprawności
objętościowej i sprawności mechanicznej:

m

v

h

u

N

N

η

η

η

η

⋅

⋅

=

=

Straty hydrauliczne wywołane są tarciem cieczy o ścianki wirnika i kadłuba pompy oraz tarciem
wewnętrznym.

t

p

p

p

p

h

H

h

h

h

h

∆

=

+

∆

∆

=

η

Gdzie teoretyczna wysokość podnoszenia dla pompy o skończonej liczbie łopatek wynosi:

(

)

u

u

t

v

r

v

r

g

H

1

1

2

2

−

Ω

=

Straty objętościowe są spowodowane przepływem wstecznym pomiędzy wirnikiem a kadłubem
pompy, który sprawia, że rzeczywistyprzepływ przez wirnik jest większy od wydajności pompy.

(

)

w

v

w

t

w

v

w

t

v

w

v

N

N

N

H

Q

g

Q

Q

H

g

Q

Q

Q

Q

Q

−

=

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

+

=

=

ρ

ρ

η

Teraz wzór na sprawność hydrauliczną można zapisać:

(

)

v

w

u

t

v

w

p

h

N

N

N

H

Q

Q

g

h

Q

g

−

=

⋅

−

⋅

⋅

∆

⋅

⋅

⋅

=

ρ

ρ

η

Straty mechaniczne są spowodowane tarciem w łożyskach i uszczelnieniach, a także tarciem
zewnętrznej części wirnika o ciecz.

N

N

N

N

N

w

m

w

w

m

=

−

=

η

Ostatecznie:

m

v

h

w

w

v

w

v

w

u

u

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

η

η

η

η

⋅

⋅

=

⋅

−

⋅

−

=

=

21. Jakie zagrożenia dla pracy maszyn i urządzeń przepływowych niesie kawitacja?
Kawitacja ma na ogół negatywny wpływ na pracę maszyn i urządzeń przepływowych, powodując
następujące niekorzystne zjawiska:
• spadek sprawności maszyn przepływowych,
• erozję elementów maszyn i urządzeń przepływowych,
• generację drgań i emisji akustycznej.