1. Zapisz równanie na naprężenie normalne w przekroju obciążonym siłą mimośrodową. Skąd bierze się takie równanie

Po zastąpieniu wypadkowej N zaczepionej w punkcie (y_N, z_N) równoważnym układem złożonym z siły podłużnej N zaczepionej w środku ciężkości pręta dwoma momentami My, Mz- otrzymujemy osiowe rozciąganie (ściskanie) i zginanie ukośne. Sumując zgodnie z zasadą superpozycji daje wzór określający te naprężenia.

2. Wykaż, że obciążenie przekroju siłą mimośrodową jest równoważne zginaniu ukośnemu i obciążeniu siłą podłużną

Zgododnie z zasadą de Sant-Venanta statycznie równoważne obciążenia wywołują jednakowe stany naprężenia i odkształcenia, a to pozwala zastąpić wypadkową N, zaczepioną w punkcie (y_N, z_N) równoważnym układem złożonym z siły podłużnej N, zaczepionej w środku ciężkości pręta i dwoma momentami My= N_zn i Mz= Ny_n. W ten sposób otrzymujemy osiowe rozciąganie (ściskanie) i dwa proste zginania (ściskania ukośne) dla których macierze naprężeń są znane.

3. Wyprowadź równanie odcinkowe osi obojętnej dla mimośrodowego rozciągania

-------

4. czy położenie osi obojętnej dla przekroju obciążonego siłą mimośrodową zależy od punktu przyłożenia siły, jej wartości i zwrotu?

Odp: TAK

Równanie osi obojętnej zależne jest od przyłożenia siły poprzecznej. Współrzędne z_n, y_n­ (współrzędne przyłożenia siły.)

Położenie siły	Oś obojętna
W środku ciężkości	W nieskończoności
W rdzeniu	Poza przekrojem
Na krzywej rdzennej	Jest styczna do konturu
Poza rdzeniem wewnątrz konturu	Przechodzi przez przekrój poza rdzeniem
Na konturze zew. Przekroju	Jest styczna do rdzenia
Poza przekrojem	Przecina rdzeń
W nieskończoności	Przechodzi przez środek ciężkości

5. Naszkicuj rozkład naprężeń normalnego przekroju mimośrodowo rozciąganego, jeżeli znane jest położenie osi obojętnej i wskaż punkt maksymalnych bezwzględnych wartości naprężeń normalnych:

1,2 – w tych punktach naprężenia osiągają maksymalne bezwzględna wartości ponieważ są to punkty najdalej oddalone od osi obojętnej

6. Co to jest rdzeń przekroju? Wymień podstawowe właściwości rdzenia przekroju

Rdzeń przekroju to miejsce geometryczne punktów przekroju poprzecznego pręta, w których przyłożona siła równoległa do osi wywołuje naprężenia normalne jednego znaku w całym przekroju

• Własności rdzenia przekroju
  - rdzeń przekroju jest zawsze figurą wypukłą
  - rdzeń przekroju nie może wychodzić poza obrys przekroju, może natomiast wychodzić
  poza sam przekrój

7.W jaki sposób jest tworzony rdzeń przekroju? Uzasadnij metodę konstrukcji.

Konstrukcja krzywej rdzennej wynika bezpośrednio ze wzorów na położenie osi obojętnej dla mimośrodowego rozciągania 1. Jako zależność y_N dla zadanego punktu przyłożenia siłą N (y_{n, ­}z_n) punktowi rdzenia odpowiada więc równanie prostej będącej osią obojętną. 2. Jako zależność położenia siłą (y_{n, ­}z_n) do zadanego punktu położenia osi obojętnej yz punktowi przez który przechodzi pęk prostych będących osiami obojętnymi odpowiada więc prosta pokrywająca się z odcinkiem krzywej i rdzennej.

8. Siła mimośrodowa przyłożona jest w przekroju na jednej z jego osi głównych centralnych, poza rdzeniem. Opisz położenie osi obojętnej

Oś obojętna leży w przekroju ale poza rdzeniem. Oś obojętna jest równoległa do osi na której nie leży siła podłużna, oś obojętna i siła leżą po przeciwnych stronach tej osi.

9. Siła mimośrodowa przyłożona jest w narożu krzywej rdzeniowej. Czy oś obojętna ma jeden punkt styczności z konturem czy też więcej?

Oś obojętna ma więcej niż jeden punkt styczności. Może go mieć najmniej w dwóch punktach, gdy np.: lub nieskończenie wiele punktów styczności

Odcinkowi obrysu odpowiada wierzchołek krzywej rdzennej na odwrót wynika to z dwojakiej interpretacji równania osi obojętnej dla mimośrodowego rozciągania (ściskania)

10.11.12. Naszkicuj kształt rdzenia dla

13. O czym mówi hipoteza płaskich przekrojów (Bernoulliego)?

Przekrój płaski i prostopadła do osi pręta przed przyłożeniem obciążenia pozostaje płaski i prostopadły do ugięcia osi pręta po przyłożeniu siły.

ε = ε₀ + K

14. Zapisz wzór na naprężenia normalne w przekroju zginanym poprzecznie. Gdzie osiągną one największe bezwzględne wartości?

$\max\text{\ σ}_{x} = \frac{maxMy(x)}{\text{Iy}}z$ - największą bezwzględną wartość naprężenia normalnego osiąga w punktach najodleglejszych od osi obojętnej, punkt przekroju poprzecznego w którym występuje
max. moment zginający.

15. Zapisz wzór na uśrednione naprężenia styczne dla przekroju zginanego poprzecznie. Opisz wielkości występujące we wzorze.

$\tau_{\text{xz}} = \pm \frac{Q_{z}\left( x \right)S_{y}(z)}{I_{y}b(x)}$ -τ_xz -średnie naprężenie styczne we włóknach, z=const. w przekroju pręta o współrzędnych x, S(z) – moment styczny względem osi zginania części przekroju ponad włóknami w których wyznacza się naprężenie, b(z) – szerokość przekroju na wysokości z, Q_z(x) – siła poprzeczna w przekroju w którym wyznaczane jest naprężenie, I_y – moment bezwładności względem osi centralnej Y.

16. Jak określić znak naprężenia stycznego w przekroju zginanym poprzecznie?

Przypisanie odpowiedniego znaku jest związane z przyjętym układem odniesienia, co reguluje umowa znakowania naprężeń stycznych, reguła podwójnej zgodności (zwrotów osi układów współrzędnych i zwrotowi normalnej zewnętrznej od płaszczyzny przekroju).
„+”gdy normalna zewnętrzna do przekroju jest zgodna ze zwrotem osi X i zwrot naprężenia stycznego zgodny ze zwrotem osi Z, oraz gdy normalna zewnętrzna do przekroju przecina się ze zwrotem osi X i zwrot naprężenia stycznego przeciwny ze zwrotem osi Z.
„-„dla pozostałych przypadków

łxz < 0 => znak - łxz > 0 => znak +

17. Przedstaw rozkład uśrednionych naprężeń stycznych dla przekroju skrzynkowego (prostokąt z wyciętym prostokątem) zginanego poprzecznie.

18. Przedstaw zależność krzywizny osi pręta do mementu zginającego. Jak nazywa się współczynnik proporcjonalności?

$\frac{1}{p(x)} = \ \frac{|Mg\left( x \right)|}{\text{EIy}}$

Współczynnik proporcjonalności

$$k\left( x \right) = \frac{|w"(x)|}{(1 + w^{'}\left( x \right)^{2/3}}\sim|w"(x)|$$

$$\left| w\mathrm{(x)| =}\frac{\mathrm{|Mg}\left( \mathrm{x} \right)\mathrm{|}}{\mathrm{\text{EIy}}}\mathrm{= > EIy|w}\left( x \right) = \left| \text{Mg}\left( x \right) \right| = > EIyw"(x) = - My(x) \right|$$

w”-współczynnik proporcjonalności

19. Jakie punkty wyznaczają przedziały charakterystyczne metody Clebsha obliczenia ugięć belki?

przyłożona obciążenie ciągłe
siła

moment skupiony obciążenie ciągłe w
połowie

przegub podpora

zmiana sztywności belki

20. Pomiędzy jakimi równaniami zachodzi analogia wykorzystywana w metodzie momentów wtórnych Mohra?

Pomiędzy równaniem różniczkowym momentu zginającego $M"f(x) = - qf(x)$, ze stycznymi warunkami brzegowymi i równaniem różniczkowym linii ugięcia belki $w"(x) = - \frac{M(x)}{\text{EJ}}$, z kinematycznymi warunkami brzegowymi.

$$\begin{Bmatrix} w"(x) = - qf(x) \\ w^{'}\left( x \right) = Qf(x) \\ w\left( x \right) = Mf(x) \\ \end{Bmatrix}$$

21. Co to jest wytężenie? Dlaczego pojęcie to jest tak istotne? Jaki jest zasadniczy cel stosowania hipotez wytężonych?

Wytężenie-granica możliwości materiału przenoszącego obciążenia i stopień zbliżenia się do granicy niebezpiecznej, warunkiem stanu będzie nierówność
W≤Wn, W-miara wytężenia, Wn-jej wartość w stanie niebezpiecznym
Pojęcie to jest ważne gdyż mówi ono jak bardzo się zbliżyliśmy do granicy w której materiał ulega zniszczeniu, lub nadmiernemu odkształceniu które uniemożliwia spełnienie zadań użytkowania.
Hipoteza wytężeniowa podaje sposób obliczenia wytężenia. Celem jest odniesienie założonego stanu naprężenia na stan jednostkowy, w którym możemy określić jednoznacznie stan mechaniczny materiału.

22.Co jest miarą wytężenia w hipotezie HMH a co w CTG?

$$W_{H - M - H} = \frac{1 + v}{\text{σE}}\left\lbrack \left( \sigma_{1} - \sigma_{2} \right)^{2} + \left( \sigma_{2} - \sigma_{3} \right)^{2}\left( \sigma_{3} - \sigma_{1} \right)^{2} \right\rbrack$$

23. Na czym zasadza się hipoteza Mohra dla materiałów kruchych?

Hipoteza Mohra-o zniszczeniu decyduje wektor naprężenia (tzn. naprężenie normalne σ i styczne τ) na tych właśnie powierzchniach. Można więc przyjąć, że wytężenie materiału jest określone pewną funkcją f(σ, τ). Gdy funkcja ta, wyznaczona doświadczalnie, osiągnie wartość graniczną, to materiał ulega zniszczeniu. Wartości σ i τ, odpowiadające granicznej wartości funkcji f(σ, τ), tworzą dla różnych stanów naprężenia pewną krzywą graniczną w przestrzeni (σ, τ), zwaną obwiednią Mohra i stanowiącą granicę obszaru bezpiecznego. Zniszczenie materiału następuje najpierw w tym punkcie i tej płaszczyźnie, dla których naprężenia σ i τ osiągną wartości wyznaczone punktami obwiedni. U podstaw hipotezy Mohra leży analogia związana ze zjawiskami tarcia. Pokonanie sił tarcia w spoczynku zależy od siły przesuwającej i od nacisku normalnego do powierzchni tarcia.

24. Co to jest naprężenie zredukowane? Podaj wzory dla hipotezy HMH i CTG w przypadku jednego naprężenia normalnego i jednego stycznego.

Naprężenie zredukowane – naprężenie w jednoosiowym stanie naprężenia odpowiadające złożonemu stanowi naprężenia; wartość uzyskiwana z porównania miar wytężenia obu przypadków. Naprężenia zredukowane oznaczamy jako σ₀

dla C-T-G:	dla H-M-H:
$$\sigma_{0} = \sqrt{\left( \sigma_{x} \right)^{2} + 4{(\tau_{\text{xz}})}^{2}}$$	$$\sigma_{0} = \sqrt{\left( \sigma_{x} \right)^{2} + 3{(\tau_{\text{xz}})}^{2}}$$

25.Podaj powody dla których utrata stateczności konstrukcji jest tak groźna.

Utrata stateczności czyli utrata równowagi trwałej jest niezwykle groźna ponieważ zachodzi w sposób niesygnalizowany i przebiega w bardzo krótkim czasie (ułamki sekundy), nie dającym szansy na jakąkolwiek reakcję, z reguły oznacza jeśli nie katastrofę to awarię konstrukcji.

26.Co to jest siła krytyczna? Jak ma się ona do obciążenia dopuszczalnego?

Siła krytyczna to taka siła przy której konstrukcja traci stateczność.

w zakresie sprężystym	w zakresie poza liniową sprężystością
$$P_{\text{krytyczne}} = \frac{\pi^{2}\text{EI}_{\min}}{l^{2}w} = \frac{\pi^{2}\text{EA}}{\lambda}$$	Pkrytyczne = A[a − bλ]

gdzie:
lw - długość wyboczenia, A- pole przekroju, a i b – stałe, λ – smukłość
Obciążenie dopuszczalne – końcowe obciążenie pomniejszone o współczynnik bezpieczeństwa n

$$P_{dopuszcalne = \frac{P_{\text{krytyczne}}}{n}}$$

27.Podaj długość wyboczeniową dla podanego schematu statycznego pręta.

Długość wyboczeniowa jest to długość połowy fali wyboczenia , obliczona jest jako iloczyn długości pręta i współczynnika zależnego od schematu statycznego α lw = αl

28. Co to jest smukłość i jaki ma wymiar?

Smukłość jest to stosunek długości wyboczenia do minimalnego promienia bezwładności, bezwymiarowa wielkość w granicach 10-300 (10 dla prętów krępych a 300 dla smukłych)

$\lambda = \frac{\text{lw}}{i_{\min}}$ ,gdzie: lw - długość wyboczeniowa, l – długość pręta, λ – wsp. długości wyboczenia
$i_{\min} = \sqrt{Imin/A}$ - minimalny promień bezwładności przekroju poprzecznego

29.Co to jest smukłość graniczna i skąd taka nazwa?

Smukłość graniczna jest to stała materiałowa, bezwymiarowa, określająca granicę pomiędzy liniowo-sprężystym a sprężysto-plastycznym zakresem pracy pręta.
$R_{\text{graniczne}} = \pi\sqrt{\frac{E}{R_{H}}}$ gdzie E-moduł Younga, R_H – granica sprężystości

30. Podaj wzór na siłę Eulerowską i wg. Tetmajera-Jasińskiego.

Siła Eulera	Siła Tetmajera-Jasińskiego
$$P_{E} = \frac{\pi^{2}\text{EI}}{l^{2}w} = \frac{\pi^{2}\text{EA}}{\lambda}$$	$$P_{T - J} = A\left\lbrack a - b\lambda \right\rbrack = A\left\lbrack R_{e} - \frac{R_{e} - R_{H}}{\lambda_{\text{graniczne}}}\lambda \right\rbrack\left( \sigma\left\lbrack R_{H},R_{e} \right\rbrack \right)$$
A -pole przekroju poprzecznego lw – długość wyboczenia λ - smukłość	A -pole przekroju poprzecznego λ – smukłość λ graniczne– smukłość graniczna Re – granica plastyczności materiału RH – granica sprężystości materiału a,b – stałe materiałowe