1

Graficzny Zapis

Graficzny Zapis

Konstrukcji

Konstrukcji

Opracowa

ù

:

dr inz. Krzysztof Polakowski

id10720078 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2

Graficzny Zapis Konstrukcji

Graficzny Zapis Konstrukcji



Podstawow

¹

form

¹

zapisu dokumentacji

technicznej tr

ó

jwymiarowych obiekt

ó

w

materialnych tworz

¹

cych dan

¹

konstrukcj

ê

s

¹

g

ùó

wnie

pùaskie dwuwymiarowe rysunki zwane

rzutami

. Istotnym problemem jest zastosowanie

takich

metod odwzorowañ

3D obiekt

ó

w

przestrzennych na p

ù

aszczy

ê

nie 2D, aby spe

ù

nia

ù

y

one nast

ê

puj

¹

ce warunki:

1)

by

ù

y

jednoznaczne

, tzn. przy ustalonej metodzie

odwzorowania jednemu obiektowi przestrzennemu
musi by

ã

przypisany jeden rzut (lub jeden zesp

óù

rzut

ó

w) i na odwr

ó

t - maj

¹

c jeden rzut (lub zesp

óù

rzut

ó

w) powinni

œ

my na jego podstawie m

ó

c

odtworzy

ã

dok

ù

adnie ten sam odwzorowany obiekt

w przestrzeni 3D;

3

Graficzny Zapis Konstrukcji

Graficzny Zapis Konstrukcji

2)

dawa

ù

y mo

¿

liwo

ϋ

restytucji

, tzn.

¿

e znaj

¹

c rzut (lub

zesp

óù

rzut

ó

w) obiektu 3D powinni

œ

my mie

ã

mo

¿

liwo

ϋ

dokonania analizy jego w

ù

asno

œ

ci

geometrycznych (kszta

ù

t

ó

w geometrycznych,

wymiar

ó

w itp.)



Istnieje wiele metod jednoznacznego
odwzorowywania obiekt

ó

w przestrzennych na

p

ù

aszczyzn

ê

. Jedna z nich nosi nazw

ê

rzutowania

œrodkowego

. Wykorzystuje on

aparat projekcyjny

rzutowania

œ

rodkowego sk

ù

adaj

¹

cy si

ê

z

umieszczonych w 3D przestrzeni euklidesowej:
p

ù

aszczyzny



zwanej

rzutni¹

i wyznaczaj

¹

cego

kierunek

oraz niele

¿¹

cego na rzutni

punktu

wùaœciwego S

– tzw.

œrodka rzutowania

, z kt

ó

rego

biegn

¹

(tworz

¹

c p

ê

k prostych) promienie rzutuj

¹

ce

odwzorowuj

¹

ce w punktach przebicia z rzutni

¹

punkty przestrzeni przez kt

ó

re przebiegaj

¹

.

4

Rzutowanie

Rzutowanie

Ú

Ú

rodkowe

rodkowe



Aparat projekcyjny rzutowania œrodkowego

5

Elementy Niew

ù

a

œ

ciwe



Do tr

ó

jwymiarowej przestrzeni euklidesowej mo

¿

na

doda

ã

tzw.

elementy niewùaœciwe

:

1)

ka

¿

da prosta posiada

punkt niew

ù

a

œ

ciwy

uto

¿

samiany z

kierunkiem tej prostej

, a wi

ê

c

wszystkie proste r

ó

wnoleg

ù

e posiadaj

¹

wsp

ó

lny

punkt niew

ù

a

œ

ciwy;

2)

ka

¿

da p

ù

aszczyzna zawiera

prost¹ niewùaœciw¹

,

b

ê

d

¹

c

¹

zbiorem punkt

ó

w niew

ù

a

œ

ciwych wszystkich

prostych le

¿¹

cych na tej p

ù

aszczy

ê

nie lub

r

ó

wnoleg

ù

ych do tej p

ù

aszczyzny; wszystkie

p

ù

aszczyzny r

ó

wnoleg

ù

e posiadaj

¹

wsp

ó

ln

¹

prost

¹

niew

ù

a

œ

ciw

¹

, a prosta r

ó

wnoleg

ù

a do p

ù

aszczyzny

przebija te p

ù

aszczyzn

ê

w punkcie niew

ù

a

œ

ciwym,

le

¿¹

c

¹

cym na prostej niew

ù

a

œ

ciwej tej p

ù

aszczyzny;

6

Elementy Niew

ù

a

œ

ciwe

3)

prosta niew

ù

a

œ

ciwa jest zbiorem samych tylko

punkt

ó

w niew

ù

a

œ

ciwych; je

¿

eli do prostej nale

¿

y

chocia

¿

jeden punkt w

ù

a

œ

ciwy, to ca

ù

a ta prosta jest

w

ù

a

œ

ciwa (posiada ona tylko jeden punkt w

ù

a

œ

ciwy);

dwa r

ó¿

ne punkty niew

ù

a

œ

ciwe jednoznacznie

wyznaczaj

¹

prost

¹

niew

ù

a

œ

ciw

¹

;

4)

do ca

ù

ej przestrzeni 3D do

ù¹

czy

ã

mo

¿

na jedn

¹

pùaszczyznê niewùaœciw¹

, b

ê

d

¹

c

¹

zbiorem punkt

ó

w

niew

ù

a

œ

ciwych i prostych niew

ù

a

œ

ciwych wszystkich

prostych i p

ù

aszczyzn przestrzeni.



Tr

ó

jwymiarowa przestrze

ñ

euklidesowa

uzupe

ù

niona elementami niew

ù

a

œ

ciwymi tworzy

przestrzeñ rzutow¹

.

7

Rzut R

ó

wnoleg

ù

y



Rzutem równolegùym

nazywamy jednoznaczne

przekszta

ù

cenie geometryczne przestrzeni

tr

ó

jwymiarowej 3D na dwuwymiarow

¹

2D przy

pomocy utworzonego w przestrzeni rzutowej

aparatu rzutowania r

ó

wnoleg

ù

ego

- zbudowanego z

p

ù

aszczyzny



zwanej

rzutni¹

oraz nie nale

¿¹

cego

do rzutni



(nier

ó

wnoleg

ù

ego do rzutni



)

punktu

niewùaœciwego

uto

¿

samianego z

kierunkiem

rzutowania

. Promienie rzutuj

¹

ce biegn

¹

c od punktu

niew

ù

a

œ

ciwego b

ê

d

¹

wi

ê

c ustawione do siebie

r

ó

wnolegle a w punktach przebicia z rzutni

¹ 

odwzorowa

ã

b

ê

d

¹

one rzuty r

ó

wnoleg

ù

e punkt

ó

w

przestrzeni, przez kt

ó

re przebiegaj

¹

.

8

Rzut R

ó

wnoleg

ù

y



Aparat rzutowania równolegùego

9

Rzut R

ó

wnoleg

ù

y



Rzutowanie

œ

rodkowe i r

ó

wnoleg

ù

e realizuj

¹

odwzorowania jednoznaczne obiekt

ó

w przestrzeni 3D

w figury p

ù

askie 2D le

¿¹

ce na rzutni, ale odwzorowania

te nie s

¹

jednoznaczne, a wi

ê

c nie s

¹

odwracalne.



Aparat rzutowania z do

ù¹

czon

¹

umowa o odwracalno

œ

ci

nazywamy

rzutem stosowanym

. W ramach tego

wyk

ù

adu zapoznamy si

ê

bardzo skr

ó

towo z dwoma

rodzajami rzut

ó

w stosowanych zbudowanych za

pomoc

¹

aparatu rzutowania r

ó

wnoleg

ù

ego:

aksonometriami i rzutami Monge

’

a. Poniewa

¿

wi

ê

cej

czasu po

œ

wi

ê

cimy rzutom stosowanym r

ó

wnoleg

ù

ym, to

musimy w pierwszej kolejno

œ

ci pozna

ã

te w

ù

asno

œ

ci

geometryczne obiekt

ó

w przestrzennych, kt

ó

re

zachowuj

¹

si

ê

w procesie tworzenia rzut

ó

w

stosowanych i pos

ù

ugiwania si

ê

nimi, a wiec

przys

ù

ugiwa

ã

b

ê

d

¹

ich obrazom, czyli rzutom. Te

w

ù

asno

œ

ci rzutowania nazywamy

niezmiennikami rzutu

równolegùego

.

10

Niezmienniki Rzutu R

ó

wnoleg

ù

ego

1.

Niezmiennik o

zachowaniu wspóùliniowoœci

.



Rzutem równolegùym prostej (a) w poùo¿eniu ogólnym

wzglêdem aparatu rzutowania jest prosta (a’). Je¿eli

prosta l jest równolegùa do kierunku rzutowania k

h

(przechodzi przez punkt niewùaœciwy K

h

) to jej rzutem

równolegùym jest punkt l’.

11

Niezmienniki Rzutu R

ó

wnoleg

ù

ego

2.

Niezmiennik o

zachowaniu przynale¿noœci elementów



Rzut równolegùy punktu nale¿¹cego do zbioru

punktów (Aa) przynale¿y do rzutu równolegùego tego

zbioru (A’a’).

(Aa) (A’a’)

12

Niezmienniki Rzutu R

ó

wnoleg

ù

ego

3.

Niezmiennik o

zachowaniu równolegùoœci prostych

.



Rzutem równolegùym prostych równolegùych bêd¹cych

w poùo¿eniu ogólnym wzglêdem aparatu rzutowania

(nieprzechodz¹cych przez punkt niewùaœciwy K

h

) s¹

proste równolegùe.

(ab) (a’b’)

13

Niezmienniki Rzutu R

ó

wnoleg

ù

ego

4.

Niezmiennik o

zachowaniu dùugoœci odcinków

równolegùych

.



Dla ka¿dej pary odcinków równolegùych (lecz

nierównolegùych do kierunku rzutowania) stosunek ich

dùugoœci jest równy stosunkowi dùugoœci ich rzutów

'

'

'

'

D

C

B

A

CD

AB 

14

Niezmienniki Rzutu R

ó

wnoleg

ù

ego

5.

Niezmiennik o

zachowaniu stosunku podziaùu

.



Dla ka¿dej prostej przestrzeni nie przechodz¹cej przez

punkt niewùaœciwy K



, na której obrano odcinki o

dùugoœciach w okreœlonym stosunku ich rzut zachowa

stosunek podziaùu.

'

'

'

'

C

B

C

A

BC

AC 

15

Niezmienniki Rzutu R

ó

wnoleg

ù

ego

6.

Niezmiennik o

zachowaniu dùugoœci odcinków

równolegùych do rzutni

.



Dùugoœã rzutu równolegùego ka¿dego odcinka

równolegùego do rzutni jest równa dùugoœci tego

odcinka.

AB=A’B’

16

Niezmienniki Rzutu R

ó

wnoleg

ù

ego

7.

Niezmiennik o

zachowaniu miary k¹ta o obu

ramionach równolegùych do rzutni

.



Rzutem równolegùym k¹ta o obu ramionach

równolegùych do rzutni jest k¹t o tej samej mierze.

’=

17

Niezmienniki Rzutu R

ó

wnoleg

ù

ego

8.

Niezmiennik o zachowaniu zwi¹zków miarowych

pùaszczyzn równolegùych do rzutni.



Dla ka¿dej figury pùaskiej F le¿¹cej w pùaszczyênie 

równolegùej do rzutni  jej rzut F’(A’B’C’D’) jest figur¹

przystaj¹c¹ do F(ABCD). F’(A’B’C’D’)= F(ABCD).

18

Rzuty Aksonometryczne



Rzutem aksonometrycznym

nazywamy

rzut stosowany - powsta

ù

y przez dodanie do

rzutu r

ó

wnoleg

ù

ego umowy o

r

ó

wnoczesnym rzutowaniu na rzutni

ê 

opr

ó

cz odwzorowywanego obiektu

przestrzennego tak

¿

e osi 0, x, y, z (uk

ù

adu

kartezja

ñ

skiego) i odcink

ó

w jednostkowych

na tych osiach, co pozwala na podstawie
uzyskanego rzutu jednoznacznie odtworzy

ã

te obiekty w przestrzeni. O tym,

¿

e mo

¿

na

tworzy

ã

praktycznie dowolny uk

ù

ad

aksonometryczny m

ó

wi twierdzenie

Pohlke

’

go.

19

Rzuty Aksonometryczne



Rzut aksonometryczny. Liczby 

x

, 

y

, 

z

nazywamy stosunkami skrótów osi ukùadu.

Rzut P’ nazywamy aksonometria punktu P a

rzut P’

xy

nazywamy aksonometri¹ rzutu

prostok¹tnego P

xy

punktu P na pùaszczyznê

(x,y).

z

z

z

y

y

y

x

x

x

01

'

1

'

0

,

01

'

1

'

0

,

01

'

1

'

0













20

Rzuty Aksonometryczne

 Twierdzenie Pohlke’go:

 dla z góry zadanego w przestrzeni czworoœcianu

ABCD i z góry zadanego na rzutni



czworok¹ta

zupeùnego A

1

B

1

C

1

D

1

mo¿na tak dobraã ustawienie

rzutni



i kierunek rzutowania równolegùego K

h

, ¿e

rzutem równolegùym czworoœcianu ABCD z

kierunku K

h

na rzutniê



bêdzie czworok¹t zupeùny

A

1

B

1

C

1

D

1

podobny do z góry zadanego czworok¹ta

zupeùnego A

1

B

1

C

1

D

1 .



Czworok

¹

t zupe

ù

ny to geometryczna figura p

ù

aska, kt

ó

rej

wierzcho

ù

kami s

¹

cztery dane punkty, za

œ

bokami (6) s

¹

wszystkie odcinki powsta

ù

e przez

ù¹

czenie par punkt

ó

w tej

czw

ó

rki.



Z twierdzenia Pohlke

’

go wynika,

¿

e osie uk

ù

adu

wsp

óù

rz

ê

dnych prostok

¹

tnych przestrzeni mog

¹

rzutowa

ã

si

ê

na dowolne wsp

óù

p

ê

kowe proste rzutni



a stosunki skr

ó

t

ó

w

mog

¹

by

ã

dowoln

¹

tr

ó

jk

¹

rzeczywistych dodatnich liczb



x

,



y

,



z

czyli,

¿

e mo

¿

na dowolnie dobra

ã

uk

ù

ad aksonometryczny

.

21

Rzuty Aksonometryczne



Nale¿y zauwa¿yã, ¿e punkt 0 i koñce

odcinków jednostkowych osi 1

x,

1

y,

1

z

na

poprzednim rysunku tworz¹ równie¿ w

przestrzeni czworoœcian 01

x

1

y

1

z

, który w

rzucie aksonometrycznym jest rzutowany

jako czworok¹t zupeùny 0’1’ 1’ 1’ na rzutni

22

Rzuty Aksonometryczne



Poniewa

¿

twierdzenie Pohlke

’

go daje pe

ù

n

¹

swobod

ê

w sposobie wyboru rzutu

aksonometrycznego, to mo

¿

na by

ù

oby

stworzy

ã

dowolny uk

ù

ad aksonometryczny.

W praktyce in

¿

ynierskiej najpowszechniej

stosowane s

¹

cztery uk

ù

ady

aksonometrii

ukoœnej

(w kt

ó

rych kierunek rzutowania

r

ó

wnoleg

ù

ego jest uko

œ

ny wzgl

ê

dem rzutni):

aksonometria izometryczna, dimetria

kawalerska, dimetria wojskowa i dimetria

prawieprostokatna

.

23

Rzuty Aksonometryczne



Aksonometria izometryczna

Osie uk

ù

adu wsp

óù

rz

ê

dnych 0 (x, y, z)

rzutuj

¹

si

ê

na trzy wsp

óù

p

ê

kowe proste

0

’

(x

’

y

’

z

’

)tworz

¹

ce mi

ê

dzy sob

¹

k

¹

ty po

120

o

. Stosunki skr

ó

t

ó

w osi s

¹

r

ó

wne i z

dok

ù

adno

œ

ci

¹

do podobie

ñ

stwa mo

¿

na je

przyj

¹ã 

x

=

y

=

z

=1

24

Rzuty Aksonometryczne



Aksonometria izometryczna P’ punktu

P

25

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria kawalerska

Rzuty osi y i z ustawione s

¹

pod katem

prostym a stosunki skr

ó

t

ó

w na tych osiach

przyjmujemy



y

=



z

=1. Zgodnie z

niezmiennikami (6i7) rzutowania
p

ù

aszczyzna (y

’

,z

’

) ustawiona jest wi

ê

c

r

ó

wnolegle do rzutni i b

ê

d

¹

w niej oraz

wszystkich p

ù

aszczyznach do niej

r

ó

wnoleg

ù

ych zachowane zwi

¹

zki miarowe

p

ù

aszczyzny (y,z) oraz p

ù

aszczyzn do niej

r

ó

wnoleg

ù

ych. Rzut osi x nachylony jest pod

k

¹

tem 135

o

do y

’

i z

’

a skr

ó

ty wynosz

¹

na

niej



x

=0.5

26

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria kawalerska P’ punktu P

(ukùad prawoskrêtny) oraz rury

walcowej o danych wymiarach

(dùugoœã, œrednica zewnêtrzna i

wewnêtrzna) z wyciêt¹ ãwiartk¹ rury

27

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria wojskowa

Rzuty osi x i y ustawione s

¹

pod katem

prostym a stosunki skr

ó

t

ó

w na tych osiach

przyjmujemy



x

=



y

=1. Zgodnie z

niezmiennikami (6i7) rzutowania
p

ù

aszczyzna (x

’

,y

’

) ustawiona jest wi

ê

c

r

ó

wnolegle do rzutni i b

ê

d

¹

w niej oraz

wszystkich p

ù

aszczyznach do niej

r

ó

wnoleg

ù

ych zachowane zwi

¹

zki miarowe

p

ù

aszczyzny (x,y) oraz p

ù

aszczyzn do niej

r

ó

wnoleg

ù

ych. Rzut osi z nachylony jest pod

k

¹

tem 135

o

do x

’

i y

’

a skr

ó

ty wynosz

¹

na

niej



z

=0.5

28

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria wojskowa: jej osie i skróty

oraz dimetria wojskowa bryùy

przestrzennej o okreœlonych

wymiarach

29

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria prawieprostok

¹

tna

Rzut z

’

osi z przyjmujemy pionowo w p

ù

aszczy

ê

nie

rysunku (rzutni). Z punktu 0

’

nale

¿¹

cego do z

’

kre

œ

limy prost

¹

prostopad

ù¹

do z

’

i odmierzamy na

niej osiem odcink

ó

w o tej samej d

ù

ugo

œ

ci m. Przez

punkt 8 wyznaczaj

¹

cy koniec ostatniego

ó

smego

odcinka kre

œ

limy prost

¹

r

ó

wnoleg

ù¹

do z

’

i

odmierzamy na niej w d

óù

odcinek o d

ù

ugo

œ

ci m,

za

œ

w g

ó

r

ê

siedem takich samych odcink

ó

w.

£¹

czymy otrzymane punkty (-1) i 7 tej prostej z

punktem 0

’

. P

óù

prosta 0

’

(-1) jest rzutem dodatniej

p

óù

osi 0y, p

óù

prosta 0

’

7

–

rzutem ujemnej p

óù

osi 0x.

Przyjmujemy stosunki skr

ó

t

ó

w:



y

=



z

=1 oraz



x

=2/3. Taki uk

ù

ad aksonometryczny nazywamy

dimetri

¹

prawieprostok

¹

tn

¹

.

30

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria prawieprostok¹tna

31

Rzuty Aksonometryczne



Wykre

œ

lanie odcink

ó

w uwzgl

ê

dniaj

¹

c stosunek skr

ó

tu



x

=2/3



W dimetrii prawieprostok

¹

tnej istnieje konieczno

ϋ

skracania wymiar

ó

w obiekt

ó

w (o d

ù

ugo

œ

ci a) r

ó

wnolegle

ustawionych do osi x

’

w stosunku



x

=2/3. Dla

osi

¹

gni

ê

cia tego celu korzystne jest stworzenie tr

ó

jk

¹

ta

skr

ó

t

ó

w dla skr

ó

tu w stosunku 2/3. W celu jego

stworzenia na dowolnie przyj

ê

tej p

óù

prostej 0m

odmierzamy trzy r

ó

wne odcinki i zakre

œ

lamy z punktu 0

okr

¹

g promieniem r

ó

wnym d

ù

ugo

œ

ci tych odcink

ó

w.

Nast

ê

pnie z punktu 3 p

óù

prostej 0m zakre

œ

lamy okr

¹

g

promieniem r

ó

wnym d

ù

ugo

œ

ci dw

ó

ch odcink

ó

w. Przez

punkt N przeci

ê

cia

ù

uk

ó

w tych okr

ê

g

ó

w kre

œ

limy

p

óù

prosta 0n. W celu skr

ó

cenia dowolnego odcinka a w

stosunku 2/3 zakre

œ

lamy okr

¹

g o

œ

rodku 0 i promieniu

a. Ci

ê

ciwa tego okr

ê

gu wyci

ê

ta przez p

óù

proste 0m i 0n

jest odpowiednim skr

ó

tem odcinka a. (Dow

ó

d

konstrukcji wynika z w

ù

asno

œ

ci tr

ó

jk

¹

t

ó

w podobnych.)

32

Rzuty Aksonometryczne



Wyznaczanie odcinka o dùugoœci

(2/3)a

33

Rzuty Aksonometryczne



Do wykre

œ

lania w aksonometrii przekroj

ó

w bry

ù

p

ù

aszczyznami przydatne jest

twierdzenie o

punkcie wsp

ó

lnym trzech p

ù

aszczyzn

:



trzy p

ù

aszczyzny

nie tworz

¹

ce p

ê

ku p

ù

aszczyzn

maj

¹

jeden punkt wsp

ó

lny

w miejscu, gdzie

spotykaj

¹

si

ê

kraw

ê

dzie przeci

ê

cia si

ê

parami

tych p

ù

aszczyzn (np. pocz

¹

tek uk

ù

adu

kartezja

ñ

skiego);



w przypadku p

ê

ku p

ù

aszczyzn maj

¹

one jedn

¹

wsp

ó

ln

¹

prost

¹

(kraw

ê

d

ê

przeci

ê

cia si

ê

p

ê

ku

p

ù

aszczyzn).



Zadanie 1

: wykre

œ

li

ã

w dimetrii kawalerskiej

przekr

ó

j bry

ù

y w postaci sze

œ

cianu z wyci

ê

t

¹ ¼

p

ù

aszczyzn

¹ 

okre

œ

lon

¹

tr

ó

jk

¹

niewsp

óù

liniowych punkt

ó

w (P,Q,R)

34

Rzuty Aksonometryczne

 1.2

Przez punkty P,Q i P,R oraz ich

prostok¹tne rzuty na pùaszczyznê(x,y)

prowadzimy proste. Wyznaczamy punkty (I,

II) przebicia prostych PQ i PR z pùaszczyzn¹

(x,y) w miejscu przeciêcia siê tych prostych

z ich prostok¹tnymi rzutami. £¹cz¹c punkty I

i II uzyskujemy krawêdê k przeciêcia siê

G

H

E

P'

Q'

F

R'

B

D

C

A

R'

Q'

P'

xy

xy

xy







z'

y'

x'

b

bxy

a

a xy

k =



1

I'

II'






= (P' Q' R')

= (A B C D)

= (B C G F)

35

Rzuty Aksonometryczne

 1.3

Prostak nie przecina krawêdzi bryùy.

Przedùu¿amy doln¹ krawêdê bryùy do

przeciêcia z prost¹ k w punkcie III, który

ù¹czymy z R. Uzyskujemy punkty 1 i 2.

Punkty te ù¹czymy z Q i R (dalsze punkty

przekroju: 3, 4)

P'

Q'

R'

R'

Q'

P'

xy

xy

xy

z'

y'

x'

k =



1

2'

1'

K 3

III'

I'

II'

k =



1

k =



1

k k = III'

1

k =



3

k III'

3

2

Twierdzenie o punkcie wsp

ólnym trójki pùaszczyzn

36

Rzuty Aksonometryczne

 1.4

P'

Q'

R'

R'

Q'

P'

xy

xy

xy

z'

y'

x'

k =



1

2'

1'

K3

III'

I'

K (P' 1')

G

x

K K

4

1

K K

5

3

3'

4'

37

Rzuty Aksonometryczne

 1.7

Pùaszczyznê przekroju

ogranicza wielok¹t 1234 a bryùê

po obciêciu pùaszczyzn¹ (P,Q,R)

przedstawiono z prawej strony

rysunku.

P'

Q'

R'

R'

Q'

P'

xy

xy

xy

z'

x'

2'

1'

3'

4'

y'

P'

Q'

R'

R'

Q'

P'

xy

xy

xy

z'

x'

2'

1'

3'

4'

y'

38

Rzuty Aksonometryczne

 1.1

Zaùo¿enia do zadania: dimetria

kawalerska szeœcianu z wyciêt¹ ¼ i

pùaszczyzny przekroju (P,Q,R) oraz

rzutów prostok¹tnych punktów

(P,Q,R) na pùaszczyznê (x,y)

39

Rzuty Aksonometryczne

 1.2

Przez punkty P,Q i P,R oraz ich

prostok¹tne rzuty na pùaszczyznê(x,y)

prowadzimy proste. Wyznaczamy punkty (I,

II) przebicia prostych PQ i PR z pùaszczyzn¹

(x,y) w miejscu przeciêcia siê tych prostych

z ich prostok¹tnymi rzutami. £¹cz¹c punkty I

i II uzyskujemy krawêdê k przeciêcia siê

40

Rzuty Aksonometryczne

 1.3

Prostak przecina krawêdzie bryùy

w punktach 1i2. Punkty te ù¹czymy z

Q i R (dalsze punkty przekroju: 3, 4)

41

Rzuty Aksonometryczne

 1.4

Przedùu¿aj¹c prost¹ k do

przeciêcia z osi¹ x uzyskujemy punkt

5. £¹czymy punkty 5 i 3 – prosta ta

przecina górn¹ krawêdê bryùy w

punkcie 6, który ù¹czymy z P i

uzyskujemy punkt 7.

42

Rzuty Aksonometryczne

 1.5

Przedùu¿aj¹c pionowe krawêdzie

œcianki bocznej do przeciêcia z

krawêdziami bryùy przy podstawie

uzyskujemy punkty 8 i 9. Prosta

ù¹cz¹ca te punkty przecina prost¹ k w

punkcie 10.

43

Rzuty Aksonometryczne

 1.6

Prosta ù¹cz¹ca punkty 10 i 7

przecina krawêdê bryùy w punkcie 8,

który mo¿emy poù¹czyã z punktem 4.

Uzyskany wielok¹t 1,3,6,7,11,4,2,1

stanowi rozwi¹zanie zadania.