L
ABORATORIUM FIZYCZNE
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
ĆWICZENIE
12
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu
właściwego metali
L
ABORATORIUM FIZYCZNE
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
ĆWICZENIE
12
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu
właściwego metali
Ćwiczenie 12
2
ĆWICZENIE
12
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali
Małgorzata Duraj
1. Wprowadzenie
Opór elektryczny (rezystancja), oznaczany najczęściej literą R, jest podstawowym parametrem
makroskopowym substancji przewodzących prąd elektryczny. Definiujemy go jako stosunek przyło-
żonego napięcia U do natężenia prądu I, który popłynie pod wpływem tego napięcia.
(1)
Wielkość ta, wyrażana w omach [Ω]=V/A, jest szczególnie przydatna, kiedy nie zależy ani od na-
pięcia, ani od natężenia prądu (R= const), co ma miejsce dla szerokiej klasy substancji, w szczególno-
ści dla metali. Mówimy, że materiały te spełniają
prawo Ohma
:
(2)
Oznacza to, że wykresem natężenia prądu od napięcia będzie prosta, której współczynnik nachylenia
jest równy 1/R. Przewodniki, spełniające prawo Ohma, nazywamy zatem
przewodnikami liniowymi.
Jeżeli materiał przewodzący uformowany jest w obiekt o dobrze określonych parametrach geo-
metrycznych jak długość l i pole przekroju poprzecznego S oraz ma jednorodny skład chemiczny, jego
opór możliwy jest do opisania prostym wzorem:
(3)
Współczynnik proporcjonalności nosi nazwę
oporu właściwego (rezystywności)
. Opór właściwy
wyrażany w
m jest oporem ciała przewodzącego o jednostkowej długości i jednostko-
wym przekroju.
Jest to stała materiałowa - zależy od rodzaju materiału przewodzącego. Dla danego materiału,
opór właściwy może być funkcją parametrów opisujących warunki zewnętrzne - temperatury, ciśnie-
nia, pola magnetycznego. Dlatego pomiary oporu elektrycznego są przydatne do wyznaczania innych,
nieelektrycznych wielkości fizycznych, co znajduje zastosowanie w czujnikach pomiarowych.
Prąd elektryczny przewodzą zarówno ciała stałe jak i ciekłe (elektrolity) oraz gazy. Pod względem
przewodnictwa elektrycznego, ciała stałe dzielimy na przewodniki, półprzewodniki i izolatory. Charak-
terystyczne dla tych grup zakresy oporu właściwego podaje tabela 1.
Jak widać z tej tabeli, wartości oporu właściwego najlepszego przewodnika (srebro) i najlepszego
izolatora (polistyren) dzieli rozpiętość 29 rzędów, co stanowi rekord w przyrodzie. Półprzewodniki
stanowią grupę pośrednią - ich opór właściwy nie jest, na ogół, tak mały, jak przewodników ani tak
duży, jak izolatorów. Charakterystyczny dla półprzewodników jest spadek oporu ze wzrostem tempe-
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali
3
R
2
R
1
U
1
U
R
R
1
U
U
1
Rys.1. Dzielnik napięcia: a) z opornikami stałymi R
1
i R
2
, b) z
potencjometrem suwakowym R , którego suwak znajduje się
w położeniu R
1
.
a)
b)
ratury, przeciwnie, niż dla przewodników - ich opór rośnie z temperaturą. Wynika to z faktu, że w
półprzewodnikach liczba nośników prądu, biorących udział w przewodnictwie, rośnie wraz z podwyż-
szaniem temperatury. W przewodnikach liczba ta jest praktycznie stała.
Odrębną grupę stanowią nadprzewodniki - substancje, które przy obniżaniu temperatury poniżej
tzw. temperatury krytycznej przechodzą w stan nadprzewodzący. W stanie tym opór elektryczny sta-
je się równy zeru, co oznacza, że prąd raz wzbudzony w nadprzewodzącym obwodzie będzie płynął,
teoretycznie, nieskończenie długo.
Tab. 1. Zakresy oporu właściwego i przykłady materiałów należących do różnych grup przewodnictwa
Rodzaj
Opór właściwy
∙m
Przykład materiału
Przewodnik
miedź, srebro, złoto, glin, żelazo, ołów, grafit
Półprzewodnik
10
-6
<
10
9
krzem, german, arsenek galu GaAs, azotek galu GaN
Izolator
10
9
<
10
20
woda destylowana, olej transformatorowy, szkło, dia-
ment, porcelana, teflon, polistyren
Nadprzewodnik
= 0
rtęć (T < 4 K), ołów (T < 7 K), stop NbTi (T < 9 K), MgB
2
(T < 39 K), ceramika YBa
2
Cu
3
O
7
(T < 93 K)
.
W każdym innym przypadku, przepływ prądu elektrycznego powoduje wydzielanie w obwodzie
ciepła Joule'a - Lenza
, gdzie I oznacza natężenie prądu a R - opór obwodu. Aby prąd płynął,
obwód musi być stale pod napięciem, bowiem wydzielanie ciepła oznacza stratę energii elektrycznej.
Istnienie rezystancji jest zatem przyczyną strat w energetycznych liniach przesyłowych. W innych
przypadkach rezystancja odgrywa pożyteczną rolę, np. przy konstrukcji grzejników elektrycznych. W
obwodach elektronicznych oporniki służą do ograniczania napięcia lub natężenia prądu. Często uży-
wany jest układ zwany
dzielnikiem napięcia
(rys.1.):
Ćwiczenie 12
4
Napięcie zasilające układ wynosi U. Prąd płynący przez oporniki R
1
i R
2
na rys.1a można obliczyć,
korzystając z prawa Ohma:
Napięcie wyjściowe U
1
jest równe spadkowi potencjału na oporniku R
1
:
(4)
Dzielnik napięcia "dzieli" zatem napięcie zasilania w stosunku R
1
/( R
1
+ R
2
). W taki sam sposób
działa układ z rysunku 1b. W tym przypadku dwa oporniki stałe zastąpiono potencjometrem suwa-
kowym. Zmieniając położenie suwaka, zmieniamy wartość rezystancji R
1
między dolnym zaciskiem
potencjometru a suwakiem. W ten sposób można ustawiać napięcie wyjściowe U
1
w przedziale od 0
do U.
Pomiaru oporu elektrycznego można dokonać różnymi metodami, m. in.:
a) miernikiem elektrycznym, zwanym omomierzem, który przepuszcza przez badany opór
prąd o ustalonym natężeniu i mierzy spadek napięcia na tym oporze, podając wynik w
omach, kiloomach lub megaomach,
b) bezpośrednio z definicji – mierząc napięcie U na zaciskach oporu oraz natężenie prądu I
płynącego przez ten opór,
c) metodami mostkowymi (np. mostkiem Wheatstone’a dla średnich wartości oporów),
1.1 Mostek Wheatstone’a - zasada działania
Schemat mostka Wheatstone’a przedstawiony jest na rys. 2a. Obwód mostka składa się z
dwóch równoległych gałęzi ACB i ADB, które można uważać za dwa dzielniki napięć zasilane ze
wspólnego źródła zasilania w punktach A i B. Badany opór oznaczony jest przez R
x
; R
N
oznacza
opór wzorcowy o znanej wartości. Napięcie w punkcie C jest równe:
, zaś napięcie
w punkcie D :
. Między tymi punktami wpięty jest czuły miernik natężenia prądu
(galwanometr), oznaczony na rysunku literą G. Dobierając odpowiednio opory R
1
i R
2
można do-
prowadzić do stanu, w którym przez galwanometr nie będzie płynął prąd. Stan, w którym galwa-
nometr pokazuje zero, nazywa się stanem równowagi mostka. Brak przepływu prądu oznacza, że
napięcia w punktach C i D są wtedy równe:
czyli:
a stąd otrzymujemy:
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali
5
(5)
Jest to warunek równowagi mostka, z którego wynika możliwość obliczenia nieznanego opo-
ru R
x
, jeżeli znamy R
1
, R
2
i R
N
:
(6)
W mostkach Wheatstone'a zwanych laboratoryjnymi, opory R
1
i R
2
są opornicami dekado-
wymi, co umożliwia łatwy odczyt nastawionych wartości.
Inna konstrukcja, zwana mostkiem szkolnym, przedstawiona jest na rysunku 2b. Zamiast
opornic R
1
i R
2
między punktami A i B, na podziałce milimetrowej, rozciągnięty jest kalibrowany
drut oporowy o długości l = 1,000 m. W punkcie D znajduje się suwak, który można przesuwać po
drucie w celu zrównoważenia mostka. W stanie równowagi, suwak dzieli całkowitą długość drutu
l na odcinki a i b. Jeżeli drut można uważać za jednorodny, zachodzi:
,
, przy czym:
Korzystając z tych zależności, możemy stosunek oporów
we wzorze (6) zastąpić
stosunkiem odpowiednich długości drutu oporowego:
(7)
G
R
1
R
2
R
x
R
N
A
B
C
D
U
a)
Rys. 1. Schemat mostka Wheatstone’a: a) ilustracja zasady działania, b) mostek szkolny.
G
R
1
R
2
R
x
R
N
A
B
C
D
U
a
b
b)
R
Ćwiczenie 12
6
B G
(x) (:)
x
1000 100 10
B G
0,1
G
1 0,1
R
x
Rys. 4. Wygląd płyty czołowej mostka
laboratoryjnego MW-78
Dokładność pomiaru oporu mostkiem szkolnym zależy, przede wszystkim, od niepewności
wyznaczenia położenia suwaka a . Można udowodnić, że niepewność względna jest najmniejsza,
kiedy suwak w stanie równowagi mostka znajduje się w połowie długości drutu, czyli kiedy
. Należy zatem starać się tak dobierać opór wzorcowy, aby był bliski orientacyjnej warto-
ści oporu mierzonego, jeśli ją znamy.
1.2 Mostek laboratoryjny
Odmianą mostka Wheatstone’a jest tzw. mostek laboratoryjny, który umożliwia pomiar R
x
z
większą dokładnością, niż mostek szkolny.
Jego schemat przedstawiony jest na rys. 3. Oznaczenia oporów są takie same, jak na po-
przednich rysunkach. Aby zrównoważyć mostek, ustalamy najpierw "mnożnik" (x) R
1
i "dzielnik"
(:) R
2
, a następnie dobieramy dekadowo odpowiedni opór R
N
.
Galwanometr G i bateria (zasilacz) B są przyrządami zewnętrznymi, dołączanymi do odpowied-
nich zacisków płyty czołowej (rys.4). Dwa przełączniki oznaczo-
ne (x) i (:), umożliwiają podział napięcia zasilającego w stosunku
od 1:1000 do 1000:1. Przez wybranie pierwszym (x) i drugim (:)
przełącznikiem oporów R
1
i R
2
równych odpowiednio: 1, 10, 100
lub 1000
zmienia się stosunek: R
1
/R
2
, a tym samym zakres
pomiaru. Przycisk B służy do włączania zasilania.
Przycisk G
0,1
służy do włączania galwanometru przez wewnętrz-
ny szeregowy opornik, który 10-krotnie zmniejsza jego czułość.
Umożliwia to zgrubne doprowadzenie do równowagi mostka. Do
dokładnego ustawienia służy przycisk G, który włącza galwano-
Rys.3. Schemat laboratoryjnego mostka Wheatstone'a typu MW-78.
B
R
1
R
2
1000
1000
100
100
(
X
)
(:)
10
10
1
1
+
G
G
x10
x1
x0,1
50k
x100
R
x
R
N
B
x1000
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali
7
metr już bez opornika - z pełną, dostępną czułością. Pięć przełączników dekadowych umożliwia do-
branie oporu porównawczego R
N
do maksymalnej wartości 11111
z rozdzielczością 0,1
.
Dokładne pomiary oporów, w przedziale od 1Ω do 10 MΩ, przy pomocy mostka Wheatstone’a
były przez ponad sto lat najważniejszą metodą pomiarową. Obecnie częściej stosuje się dokładne
omomierze cyfrowe, wobec powszechnej ich dostępności i niskiej ceny. Sama zasada pomiaru most-
kowego jest jednak stosowana w układach obsługujących czujniki pomiarowe, gdzie interesują nas
pomiary małych zmian oporu, np. w tensometrach (czujnikach naprężeń), ciśnieniomierzach czy
próżniomierzach. Czujniki, umieszczone w jednej z gałęzi mostka, zmieniają swój opór pod wpływem
badanej wielkości nieelektrycznej, a przedmiotem bezpośredniego pomiaru jest napięcie niezrówno-
ważenia mostka.
2. Przebieg ćwiczenia
2.1 Zadanie 1. Wyznaczanie oporu przy pomocy woltomierza i ampe-
romierza
2.1.1
Opis metody pomiarowej
Przedmiotem pomiaru są dostarczone druty oporowe rozpięte na izolatorach. Aby wyznaczyć ich
opór bezpośrednio z definicji (1) potrzebujemy woltomierza, amperomierza i źródła zasilania. Teore-
tycznie możemy je podłączyć na dwa sposoby: tak jak na rysunku 5a lub 5b.
W przypadku idealnych mierników, tzn. woltomierza o nieskończenie wielkim oporze wewnętrz-
nym i amperomierza o oporze równym zeru nie miało by to znaczenia. Rzeczywiste przyrządy mogą
wprowadzić błąd systematyczny związany z ich niedoskonałością. W przypadku 5a, część prądu mie-
rzonego przez amperomierz płynie nie przez badany opór, lecz przez woltomierz. W przypadku 5b,
część mierzonego przez woltomierz napięcia odkłada się na amperomierzu. Znając opory wewnętrz-
ne używanych przyrządów możemy wprowadzić poprawki, wynikające z praw Kirchhoffa, które kom-
pensują te błędy.
W przypadku schematu 5a:
(8)
gdzie R
V
oznacza opór wewnętrzny woltomierza.
W przypadku schematu 5b:
Rys. 5. Schemat obwodu do pomiaru oporu elektrycznego R
x
przy pomocy woltomierza
i amperomierza.
R
R
x
I
A
V
R
x
I
A
V
a)
b)
Ćwiczenie 12
8
(9)
Jeżeli opór woltomierza jest znacznie większy, niż opór badany, bardziej odpowiedni jest schemat
5a, a poprawkę wynikającą ze wzoru (8) można pominąć, stosując wzór:
(10)
W przypadku, kiedy badany opór jest znacznie większy, niż opór amperomierza, a porównywalny
z oporem woltomierza, lepiej zastosować schemat 5b i również, pomijając poprawkę (9) użyć wzoru
(10).
2.1.2
Wykonanie zadania
1. Połączyć układ w/g schematu 5a, używając mierników analogowych. Uzyskać informację o
ich opornościach wewnętrznych.
2. Wykonać kilka pomiarów spadku napięcia na oporze R
x
, zmieniając opornicą suwakową R
wartość natężenia prądu w obwodzie.
3. Wyniki pomiarów zapisać w tabeli 1, wyznaczając opór i obliczając odpowiednie poprawki.
Tabela 1
Lp.
U [V]
I [A]
R
x
*
[
]
R
x
[
]
1
...
*
x
R
= ...
x
R = ...
4. Zastąpić woltomierz analogowy miernikiem cyfrowym. Wykonać 7-8 pomiarów, jak
poprzednio. Wyniki zapisać w tabeli 2. Opór R
x
znaleźć, na podstawie prawa Ohma, jako
współczynnik nachylenia prostej U(I), dopasowanej do danych przy pomocy komputera.
Niepewność standardowa, wynikająca z dopasowania, podawana jest przez program
WYKRESLAB.
Lp.
I [A]
U[V]
1
2
3
...
Tabela 2
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali
9
2.2 Zadanie 2. Wyznaczanie oporu przy pomocy szkolnego mostka
Wheatstone’a
Łączymy układ według schematu przedstawionego na rys. 1b. Przyjmujemy długość l =100,0
cm. Dla każdego drutu wykonujemy trzy pomiary dla różnych wartości R
N
, zbliżonych do orienta-
cyjnej, znanej wcześniej wartości R
x
. Wynik każdego pomiaru obliczamy ze wzoru (6). Wyniki za-
pisujemy w tabeli 3.
Aby oszacować niepewność pomiaru długości a, wyznaczamy przedział graniczny 2Δa przy
pomiarze długości drutu oporowego. Po zrównoważeniu mostka, przesuwamy suwak w niewiel-
kim zakresie w jedną i drugą stronę tak, aby uzyskać widoczną zmianę odczytu wskaźnika rów-
nowagi mostka (galwanometru), np. pół działki. Notujemy położenia suwaka.
Niepewność standardową pomiaru długości znajdujemy jako:
. Niepewność zna-
jomości oporu wzorcowego
, gdzie ΔR
N
= 0.1Ω.
Niepewność złożoną pomiaru oporu obliczamy ze wzoru:
2.3 Zadanie 3. Wyznaczanie oporu właściwego drutu przy użyciu la-
boratoryjnego mostka Wheatstone’a.
1. Podłączamy zasilacz oraz galwanometr do odpowiednich zacisków mostka MW-78.
2. Na podstawie wstępnej znajomości rzędu wielkości badanego oporu, dobieramy właści-
we opory R
1
i R
2
mostka przełącznikami (x) i (:), zgodnie z danymi w tabeli 4.
Tabela 3
Drut 1
Drut 2
Lp.
R
N
[
]
a [cm]
l-a [cm]
R
x
[
]
R
N
[
]
a [cm]
l-a [cm]
R
x
[
]
1
...
x
R
…
...
x
R
…
...
Ćwiczenie 12
10
1. Po połączeniu badanego opornika do zacisków mostka sprawdzamy „0” galwanometru bez
włączania w obwód źródła prądu. Następnie należy nacisnąć przycisk B, potem przycisk G
0,1
i
za pomocą pięciu dekad R
N
, poczynając od najwyższej, doprowadzamy do zrównoważenia
mostka (I
g
= 0).
2. Po zrównoważeniu mostka, przy ograniczonej czułości pomiaru, należy nacisnąć przycisk G i
dokładniej zrównoważyć mostek (przy pełnej czułości pomiaru). Odczytujemy z położenia
przełączników dekadowych wartość mierzonego oporu, uwzględniając mnożnik i dzielnik.
Odczyty dla obu drutów wpisujemy do tabeli 5.
Tabela 5
Drut
R
1
[
]
R
2
[
]
R
N
[
]
1.
2.
3. Dokładność zrównoważenia mostka zależy od stałej prądowej galwanometru, oporów
obwodu i napięcia zasilającego układ. Przedział graniczny odczytu znajdujemy w następu-
jący sposób: po zrównoważeniu mostka badamy, czy zmiana załączonego oporu R
N
o
R
N
= 0,1
powoduje wychylenie wskaźnika galwanometru. Jeśli nie, to próbujemy z więk-
szymi oporami, aż uzyskamy wychylenie o parę działek (
x). Obliczamy wówczas prze-
dział graniczny
R =
R
N
/(2
x), tj. przyrost oporu powodujący wychylenie wskaźnika o
pół działki. Niepewność wyznaczenia równowagi mostka obliczamy ze wzoru:
.
Niepewność pomiaru związaną z klasą mostka (dokładność 0,1%) obliczamy ze wzoru:
Niepewność złożoną pomiaru R
x
obliczamy ze wzoru:
4. Do obliczenia oporu właściwego drutu ze wzoru (3) potrzebna jest jeszcze znajomość je-
go długości l oraz pola przekroju poprzecznego S. Mierzymy pięciokrotnie długość l każ-
Opór mierzony R
x
[
]
(x) R
1
[
]
(:) R
2
[
]
1–10
1
1000
10
–10
2
10
1000
10
2
–10
3
100
1000
10
3
–10
4
1000
1000
Tabela 4
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali
11
dego drutu za pomocą nitki, a śrubą mikrometryczną mierzymy dziesięciokrotnie ich
średnice d. Wyniki pomiarów wpisujemy do tabeli 6.
Tabela 6
Lp.
Drut 1
Drut 2
l [m]
d [mm]
l [m]
d [mm]
Opór właściwy każdego drutu obliczamy ze wzoru:
l
d
R
l
S
R
x
x
x
4
2
Obliczamy niepewności standardowe typu A dla średnicy drutu oraz jego długości.
Niepewność złożoną wyznaczenia oporu właściwego obliczamy ze wzoru:
Aby wykonać te obliczenia, podstawiamy za R
x
, l i d średnie arytmetyczne zmierzonych wielkości.
3. Uzupełnienie
Klasyczną teorię przewodnictwa elektrycznego metali podał Drude, według której elektrony
walencyjne traktowane są jak cząstki swobodne, podlegające prawom klasycznej statystyki
Maxwella-Boltzmanna. Elektrony przewodnictwa zachowują się podobnie, jak cząsteczki gazu do-
skonałego, poruszają się chaotycznie i ciągle się zderzają z drgającymi jonami, tworzącymi sieć
krystaliczną (zderzenia elektronów między sobą są niezmiernie rzadkie), zmieniając prędkości i
kierunki ruchu. Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego o natężeniu chaotyczny ruch
elektronów ulega pewnemu uporządkowaniu i przemieszczają się one w kierunku przeciwnym do
kierunku pola ze stałą prędkością unoszenia
, dając prąd elektryczny. Możemy sobie wyobrazić,
że na poruszające się elektrony, oprócz siły pola elektrycznego:
(e – wartość ładunku
elementarnego), działa dodatkowo siła hamująca ich ruch, a spowodowana zderzeniami elektro-
nów z drgającymi jonami:
e
u
F
ham
. Siły te równoważą się wzajemnie:
E
e
u
e
(1)
i stąd wartość prędkości unoszenia
e
u
wyrażona wzorem:
Ćwiczenie 12
12
E
E
e
u
e
e
(2)
jest stała i jest rzędu kilku cm/s. Występujący we wzorze (13) współczynnik
e
nosi nazwę
ru-
chliwości elektronów.
Ładunek zgromadzony w objętości: V = lS przewodnika dany jest wyrażeniem:
Q = eNV = eNSl
(3)
gdzie: N jest liczbą swobodnych elektronów w jednostce objętości, a S, l – przekrojem i dłu-
gością przewodnika.
Zatem natężenie prądu, które jest równe stosunkowi ładunku Q przepływającego przez prze-
krój poprzeczny przewodnika do czasu przepływu t wyrazi się wzorem:
e
eNSu
t
eNlS
t
Q
I
(4)
gdzie prędkość unoszenia:
e
u
= l/t.
Wyraźmy teraz opór właściwy metali poprzez wielkości mikroskopowe, tj. u
e
, e, N. Wstawia-
jąc
e
u
ze wzoru (13) do wzoru (15) i uwzględniając, że E = U/l otrzymujemy:
l
U
S
N
e
E
S
N
e
I
e
e
(5)
Ze wzoru (16) obliczamy opór:
S
l
eN
I
U
R
e
1
(6)
a następnie podstawiając (17) do wzoru (2) liczymy opór właściwy
:
)
(
1
e
eN
(7)
Widzimy, że wielkość ta jest odwrotnie proporcjonalna do koncentracji elektronów w metalu
i do ich ruchliwości.
Lepszą zgodność z doświadczeniem daje kwantowa teoria przewodnictwa elektrycznego me-
tali oparta na kwantowej statystyce Fermiego-Diraca [1, 2].
Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali
13
4. Literatura
[1] J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inżynierów, cz. 2, WNT, Warszawa 1975.
[2] D. Halliday, R. Resnick, Fizyka, t. 2, PWN, Warszawa 1984.
[3] I.W. Sawieliew, Kurs fizyki, t. 2, PWN, Warszawa 1989.