Nikodem Janik

Dawid Janus

SPRAWOZDANIE Z PODSAW AUTOMATYKI LABORATORIA

Laboratorium nr 1 :

Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami

początkowymi

Równanie które będziemy liczyć metodą symboliczną, numeryczną oraz modelem w Simulinku

dy

dt

+

5

dy

dt

+

6y=0 dla war. Początkowych y(0)=0 , y'(0)=1

1. Metoda symboliczna

●

Kod programu:

syms

y

z

;

%definiuje zmienne symboliczne

z=dsolve(

'D2y + 5*Dy + 6*y = 0'

,

'y(0)=0'

,

'Dy(0)=1'

);

pretty(z);

%wyœwietla rozwi¹zanie

t=0:0.01:9.99;
w=subs(z);

%wartoœci z dla wektrora czasu t

plot(t,w,

'r-'

);

xlabel(

'czas[s]'

);

zlabel(

'amplituda sygnalu'

);

title(

'Wykres rozwiazania rownania rozniczkowego'

);

grid;

●

Działanie programu

Program zwraca rozwiązanie równania exp(-2 t) - exp(-3 t)

oraz wykres

2. Metoda numeryczna Rungego-Kutty(funkcja ode45)

●

Kod programu (równanie stanu) funkcja.m

function

ydot=funkcja(t,y)

ydot=zeros(2,1);
ydot(1)=y(2);
ydot(2)=(-5*y(2)-6*y(1));

●

Kod programu rozw2.m

function

rozw2

t0=0;

clc
disp(

'Funkcja rozwiazuje rownanie rozniczkowe zwyczajne

metoda'

)

disp(

'Rungeg-Kutty i podaje jego interpretacje graficzna:'

);

disp(

' '

);disp(

'Postac rownania:'

);disp(

' '

);

disp(

' y" + 5*y` + 6*y = 0'

);

y01=input (

'Podaj wartosc y01= '

);

y02=input (

'Podaj wartosc y02= '

);

tk=input (

'Podaj czas symulacji tk= '

);

czas_sym=[t0 tk];
war_pocz=[y01 y02];

[t,y]=ode45(

'funkcja'

,czas_sym,war_pocz);

plot(t,y(:,1),

'g-'

);

xlabel(

'czas[s]'

);

ylabel(

'amplituda sygnalu'

);

title(

'Wykres rozwiazania rownania rozniczkowego'

);

grid;

●

Działanie programu

Program zwraca:
Funkcja rozwiazuje rownanie rozniczkowe zwyczajne metoda
Rungeg-Kutty i podaje jego interpretacje graficzna:

Postac rownania:

y" + 5*y` + 6*y = 0
Podaj wartosc y01= 0
Podaj wartosc y02= 1
Podaj czas symulacji tk= 10

3. Model w simulinku

Model równania różniczkowego:

Wynik programu

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

0 . 0 8

0 . 1

0 . 1 2

0 . 1 4

0 . 1 6

c z a s [ s ]

a

m

p

li

tu

d

a

s

y

g

n

a

lu

W y k r e s r o z w i a z a n i a r o w n a n i a r o z n i c z k o w e g o

Scope

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

-6

Gain1

-5

Gain

4. Zestawienie metod

5.Porównanie metod

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

0

0 . 1

0 . 2

M e t o d a s y m b o l i c z n a

a

m

p

li

tu

d

a

s

y

g

n

a

lu

c z a s [ s ]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

0

0 . 1

0 . 2

M e t o d a n u m e r y c z n a

a

m

p

li

tu

d

a

s

y

g

n

a

lu

c z a s [ s ]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

0

0 . 1

0 . 2

M e t o d a z u y c i e m w m o d e l u S i m u l i n k

ż

a

m

p

li

tu

d

a

s

y

g

n

a

lu

c z a s [ s ]

WNIOSKI

Po przeprowadzeniu symulacji można stwierdzić, że wszystkie z wyżej wymienionych metod dają prawie

identyczne rozwiązanie graficzne – niewielką różnicę można zauważyć tylko między wykresami
wykorzystującymi metodę dsolve a metody ode45 i Simulink’a(wykresy metody numerycznej i modelu

Simulink pokrywają się, ponieważ obie wykorzystują do obliczeń metodę ode45). Metoda analityczna jest
najdokładniejsza, gdyż daje rzeczywisty wynik.

Pozostałe metody jako metody numeryczne dają wyniki, które są obarczone błędem wynikającym z przyjętej
dokładności.