Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-1
EKSTRAPOLACJA ITEROWANA RICHARDSONA
Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z
parametrem h. Wynikiem jej działania jest F(h). Wartością dokładną jest
F(0). Trudności obliczeniowe rosną, gdy h maleje.
Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia (
....
p
p
p
3
2
1
<
<
)
....
h
a
h
a
h
a
a
)
h
(
F
p
p
p
3
2
1
3
2
1
0
+
+
+
=
F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości
F(h
0
), F(q
-1
h
0
), F(q
-2
h
0
), F(q
-3
h
0
)... q>1
Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu
funkcji
),....
h
(
F
),
h
(
F
),
h
(
F
3
2
1
, którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:
....
h
a
h
a
h
a
a
)
h
(
F
n
n
n
p
n
,
n
p
n
,
n
p
n
,
n
n
2
1
2
1
0
+
+
+
+
+
+
+
=
.
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-2
Sposób obliczeń: dana wartość początkowa h
0
i liczba q>1, stosuje się
wzór rekurencyjny:
....
,
,
n
,
A
)
h
(
F
...,
,
,
k
,
q
A
A
A
A
...
,
,
m
),
h
q
(
F
A
n
,
n
n
p
k
,
m
k
,
m
k
,
m
k
,
m
m
,
m
k
4
3
2
3
2
1
1
2
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
=
=
=
−
−
+
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-3
Schemat obliczeń:
1
1
1
−
−
−
−
=
Δ
k
,
m
k
,
m
A
A
k 0
1
m
1
1
−
Δ
p
q
0
)
h
(
F
A
,
0
0
0
=
1
)
h
q
(
F
A
,
0
1
0
1
−
=
+
1
1
0
0
0
1
−
−
p
,
,
q
A
A
=
)
h
(
F
A
,
0
2
1
1
=
2
)
h
q
(
F
A
,
0
2
0
2
−
=
+
1
1
0
1
0
2
−
−
p
,
,
q
A
A
=
)
h
q
(
F
A
,
0
1
2
1
2
−
=
3
)
h
q
(
F
A
,
0
3
0
3
−
=
+
1
1
0
2
0
3
−
−
p
,
,
q
A
A
=
)
h
q
(
F
A
,
0
2
2
1
3
−
=
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-4
k 0
1
2
3
m
1
1
−
Δ
p
q
1
2
−
Δ
p
q
1
3
−
Δ
p
q
0
A
F h
0 0
0
,
( )
=
1
A
F q h
1 0
1
0
,
(
)
=
−
+
A
A
q
p
1 0
0 0
1
1
,
,
−
−
=
A
F h
1 1
2
0
,
( )
=
2
A
F q h
2 0
2
0
,
(
)
=
−
+
A
A
q
p
2 0
1 0
1
1
,
,
−
−
=
A
F q h
2 1
2
1
0
,
(
)
=
−
+
1
2
1
1
1
2
−
−
p
,
,
q
A
A
=
)
h
(
F
A
,
0
2
2
2
=
3
A
F q h
3 0
3
0
,
(
)
=
−
+
A
A
q
p
3 0
2 0
1
1
,
,
−
−
=
A
F q h
3 1
2
2
0
,
(
)
=
−
+
1
2
1
2
1
3
−
−
p
,
,
q
A
A
=
)
h
q
(
F
A
,
0
1
3
2
3
−
=
+
1
3
2
2
2
3
−
−
p
,
,
q
A
A
=
)
h
(
F
A
,
0
4
3
3
=
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-5
Zastosowanie do różniczkowania numerycznego
L
+
+
+
+
=
+
)
x
(
f
!
h
)
x
(
'
'
f
!
h
)
x
(
'
hf
)
x
(
f
)
h
x
(
f
)
(
0
3
3
0
2
0
0
0
3
2
Różnica progresywna
L
+
+
+
=
−
+
=
)
x
(
f
!
h
)
x
(
'
'
f
!
h
)
x
(
'
f
h
)
x
(
f
)
h
x
(
f
)
h
(
D
)
(
P
0
3
2
0
0
0
0
3
2
...
,
p
,
p
,
p
3
2
1
3
2
1
=
=
=
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-6
Różnica centralna
L
L
L
+
+
+
=
=
⎭
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
−
⎩
⎨
⎧
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
=
−
−
+
=
)
x
(
f
!
h
)
x
(
f
!
h
)
x
(
'
f
)
x
(
f
!
h
)
x
(
'
'
f
!
h
)
x
(
'
hf
)
x
(
f
)
x
(
f
!
h
)
x
(
'
'
f
!
h
)
x
(
'
hf
)
x
(
f
h
h
)
h
x
(
f
)
h
x
(
f
)
h
(
D
)
(
)
(
)
(
)
(
C
0
5
4
0
3
2
0
0
3
3
0
2
0
0
0
3
3
0
2
0
0
0
0
5
3
3
2
3
2
2
1
2
...
,
p
,
p
,
p
6
4
2
3
2
1
=
=
=
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-7
?
e
dx
d
x
x
=
=1
h
e
e
e
dx
d
h
x
x
−
≈
+
=
1
1
h=10
-n
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
n
lo
g10(
b
la
d)
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-8
h
e
e
e
dx
d
h
h
x
x
2
1
1
1
−
+
=
−
≈
h=10
-n
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
n
log10(
b
la
d)
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 4
W4-9
Z Ekstrapolacji Richardsona
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
h
log10(
bl
ad)