Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4

W4 - 1

Liniowe zadanie aproksymacji średniokwadratowej

funkcja przybliżana

)

x

(

f

,

siatka węzłów

)

x

(

f

f

,

m

,...,

i

,

x

i

i

i

=

= 0

dane: punkty węzłowe

m

,...,

i

)

f

,

x

(

i

i

0

=

współczynniki wagowe

m

,...,

i

w

i

0

0

=

>

funkcje

bazowe

n

,...,

i

)

x

(

i

0

=

ϕ

funkcja aproksymująca

∑

=

=

n

i

i

i

*

)

x

(

c

)

x

(

f

0

ϕ

szukane stałe

i

c

takie by

min

w

)

f

)

x

(

f

(

i

i

i

*

m

i

→

−

∑

=

2

0

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4

W4 - 2

Notacja:

dla dowolnych funkcji

),

(

g

),

(

f

⋅

⋅

przy danej siatce

węzłów i wsp. wagowych

i

i

m

i

i

w

)

x

(

g

)

x

(

f

:

g

,

f

∑

=

=

0

Jeżeli

0

=

g

,

f

to funkcje

),

(

g

),

(

f

⋅

⋅

nazywamy

ortogonalnymi.

Jeżeli

0

=

j

i

f

,

f

dla

j

i

≠

i

0

≠

i

i

f

,

f

to funkcje

,...

,

i

),

(

f

i

2

1

=

⋅

układem (rodziną) funkcji

ortogonalnych.

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4

W4 - 3

Twierdzenie

Jeżeli funkcje bazowe są liniowo niezależne to liniowe
zadanie aproksymacji średniokwadratowej ma jedyne
rozwiązanie. Rozwiązanie to spełnia układ równań
normalnych;

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

n

n

n

n

n

n

n

n

f

f

f

c

c

c

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

"

#

"

"

"

"

"

"

"

Jeżeli funkcje bazowe są rodziną funkcji ortogonalnych to
rozwiązanie upraszcza się do:

n

,...,

i

,

,

,

f

c

i

i

i

i

0

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4

W4 - 4

Przykład

n

,...,

i

,

x

)

x

(

i

i

0

=

=

ϕ

1

1

0

1

0

=

=

=

m

x

,

...

,

m

x

,

x

, m=10

m

,...,

i

,

w

i

0

1

=

=

n

el. max. mac. odwr.

1 0.9
2 12.5
3 375
4 9

874

5 252

828

6

8 771 904

7 3.9133e+008

n

el. max. mac. odwr.

8 1.9908e+010
9 1.4199e+012
10 2.4218e+014

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4

W4 - 5

Wielomiany Czebyszewa

,...

,

n

,

x

)

x

cos

arc

n

cos(

)

x

(

T

n

1

0

1

1

=

≤

≤

−

=

,...

,

n

)

x

(

T

)

x

(

xT

)

x

(

T

,

x

)

x

(

T

)

x

(

T

n

n

n

2

1

2

1

1

1

1

0

=

−

=

=

=

−

+

Współczynnik wiodący wielomianu

)

x

(

T

n

jest równy

2

n-1

dla n=1,2,.

)

x

(

T

)

(

)

x

(

T

n

n

n

1

−

=

−

Wielomian

)

x

(

T

n 1

+

ma n+1 zer

,....

,

n

,

n

,...,

,

k

,

)

n

(

)

k

(

cos

x

k

1

0

1

0

1

2

1

2

=

=

+

+

=

π

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4

W4 - 6

Układ wielomianów

)

x

(

T

),...,

x

(

T

),

x

(

T

n

1

0

jest

ortogonalny względem wag

1

=

i

w

i węzłów

i

x

, które są

zerami wielomianu

)

x

(

T

n 1

+

:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

+

≠

=

+

≠

=

0

1

0

2

1

0

j

i

dla

n

j

i

dla

n

j

i

dla

T

,

T

j

i

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4

W4 - 7

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

T4

(x

)

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

T

10(

x)

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

T3

0

(x

)

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

T6

0

(x

)

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4

W4 - 8

Zadanie wielomianowej aproksymacji jednostajnej

funkcja przybliżana

)

x

(

f

,

siatka węzłów

)

x

(

f

f

,

m

,...,

i

,

x

i

i

i

=

= 0

dane: punkty węzłowe

m

,...,

i

)

f

,

x

(

i

i

0

=

funkcja aproksymująca

∑

=

=

n

i

i

i

*

x

a

)

x

(

f

0

ma być

wielomianem stopnia co najwyżej n
szukane stałe

i

a

takie by

min

f

)

x

(

f

max

i

i

*

i

→

−

Tw. Weierstrassa

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w skończonym przedziale

[ ]

b

,

a

, to dla każdego

0

>

ε

istnieje wielomian

)

x

(

P

n

stopnia n, taki że dla każdego

[ ]

b

,

a

x

∈

,

ε

<

−

)

x

(

P

)

x

(

f

n