Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4
W4 - 1
Liniowe zadanie aproksymacji średniokwadratowej
funkcja przybliżana
)
x
(
f
,
siatka węzłów
)
x
(
f
f
,
m
,...,
i
,
x
i
i
i
=
= 0
dane: punkty węzłowe
m
,...,
i
)
f
,
x
(
i
i
0
=
współczynniki wagowe
m
,...,
i
w
i
0
0
=
>
funkcje
bazowe
n
,...,
i
)
x
(
i
0
=
ϕ
funkcja aproksymująca
∑
=
=
n
i
i
i
*
)
x
(
c
)
x
(
f
0
ϕ
szukane stałe
i
c
takie by
min
w
)
f
)
x
(
f
(
i
i
i
*
m
i
→
−
∑
=
2
0
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4
W4 - 2
Notacja:
dla dowolnych funkcji
),
(
g
),
(
f
⋅
⋅
przy danej siatce
węzłów i wsp. wagowych
i
i
m
i
i
w
)
x
(
g
)
x
(
f
:
g
,
f
∑
=
=
0
Jeżeli
0
=
g
,
f
to funkcje
),
(
g
),
(
f
⋅
⋅
nazywamy
ortogonalnymi.
Jeżeli
0
=
j
i
f
,
f
dla
j
i
≠
i
0
≠
i
i
f
,
f
to funkcje
,...
,
i
),
(
f
i
2
1
=
⋅
układem (rodziną) funkcji
ortogonalnych.
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4
W4 - 3
Twierdzenie
Jeżeli funkcje bazowe są liniowo niezależne to liniowe
zadanie aproksymacji średniokwadratowej ma jedyne
rozwiązanie. Rozwiązanie to spełnia układ równań
normalnych;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
n
n
n
n
n
n
n
f
f
f
c
c
c
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
"
#
"
"
"
"
"
"
"
Jeżeli funkcje bazowe są rodziną funkcji ortogonalnych to
rozwiązanie upraszcza się do:
n
,...,
i
,
,
,
f
c
i
i
i
i
0
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4
W4 - 4
Przykład
n
,...,
i
,
x
)
x
(
i
i
0
=
=
ϕ
1
1
0
1
0
=
=
=
m
x
,
...
,
m
x
,
x
, m=10
m
,...,
i
,
w
i
0
1
=
=
n
el. max. mac. odwr.
1 0.9
2 12.5
3 375
4 9
874
5 252
828
6
8 771 904
7 3.9133e+008
n
el. max. mac. odwr.
8 1.9908e+010
9 1.4199e+012
10 2.4218e+014
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4
W4 - 5
Wielomiany Czebyszewa
,...
,
n
,
x
)
x
cos
arc
n
cos(
)
x
(
T
n
1
0
1
1
=
≤
≤
−
=
,...
,
n
)
x
(
T
)
x
(
xT
)
x
(
T
,
x
)
x
(
T
)
x
(
T
n
n
n
2
1
2
1
1
1
1
0
=
−
=
=
=
−
+
Współczynnik wiodący wielomianu
)
x
(
T
n
jest równy
2
n-1
dla n=1,2,.
)
x
(
T
)
(
)
x
(
T
n
n
n
1
−
=
−
Wielomian
)
x
(
T
n 1
+
ma n+1 zer
,....
,
n
,
n
,...,
,
k
,
)
n
(
)
k
(
cos
x
k
1
0
1
0
1
2
1
2
=
=
+
+
=
π
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4
W4 - 6
Układ wielomianów
)
x
(
T
),...,
x
(
T
),
x
(
T
n
1
0
jest
ortogonalny względem wag
1
=
i
w
i węzłów
i
x
, które są
zerami wielomianu
)
x
(
T
n 1
+
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
+
≠
=
+
≠
=
0
1
0
2
1
0
j
i
dla
n
j
i
dla
n
j
i
dla
T
,
T
j
i
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4
W4 - 7
-1
-0.5
0
0.5
-1
0
1
T4
(x
)
-1
-0.5
0
0.5
-1
0
1
T
10(
x)
-1
-0.5
0
0.5
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
-1
0
1
T3
0
(x
)
-1
-0.5
0
0.5
-1
0
1
T6
0
(x
)
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numerycznew Inżynierii wykład 4
W4 - 8
Zadanie wielomianowej aproksymacji jednostajnej
funkcja przybliżana
)
x
(
f
,
siatka węzłów
)
x
(
f
f
,
m
,...,
i
,
x
i
i
i
=
= 0
dane: punkty węzłowe
m
,...,
i
)
f
,
x
(
i
i
0
=
funkcja aproksymująca
∑
=
=
n
i
i
i
*
x
a
)
x
(
f
0
ma być
wielomianem stopnia co najwyżej n
szukane stałe
i
a
takie by
min
f
)
x
(
f
max
i
i
*
i
→
−
Tw. Weierstrassa
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w skończonym przedziale
[ ]
b
,
a
, to dla każdego
0
>
ε
istnieje wielomian
)
x
(
P
n
stopnia n, taki że dla każdego
[ ]
b
,
a
x
∈
,
ε
<
−
)
x
(
P
)
x
(
f
n