WSI-E
Rachunek Wyrównawczy

Temat III

Wyrównanie sieci poziomej.

Mateusz Frydrych

Dane do zadania:

1.Szkic
















2.Współrzędne punktów nawiązania:

Nr

X

Y

A

400,20

100,50

B

300,80

700,80

C

75,60

300,10

3.Wyniki obserwacji:

Przybliżone współrzędne

Nr

X

0

Y

0

1

210,30

300,15

2

405,15

448,35

Kąty

L C P

kąt

obs

1 C 2 26,8279

g

2 1 C 158,7040

g

2 1 B 44,4976

g

A 1 2 92,9910

g

1 2 A 57,7163

g

B 2 C 101,9389

g

długości

i

j

dij

obs

1 2

244,71m

2 B

273,25m

Obliczenia:

1.Pierwszym krokiem będzie wyliczenie przybliżonych wartości odległości z przybliżonych
współrzędnych punktów 1 i 2. Otrzymujemy:

i

j

dij

0

1

2

244,81m

2

B

273,17m

2.Kolejnym krokiem będzie obliczenie przybliżonych wartości kątów, w tym celu musimy
wyznaczyć azymuty poszczególnych odcinków, i tak otrzymujemy:

Azymut

Wartość

1--A

348,4069

g

1--2

41,3956

g

2--A

299,0941

g

2--C

226,9121

g

2--B

124,9530

g

1--B

85,8572

g

C--1

0,0236

g

2--1

241,3956

g

C--2

26,9121

g

1--C

200,0236

g

Mając wartości azymutów możemy już obliczyć przybliżone wartości kątów:

L C P

kąt

0

1 C 2

26,8885

g

2 1 C

158,6280

g

2 1 B

44,4616

g

A 1 2

92,9887

g

1 2 A

57,6985

g

B 2 C

101,9591

g

3.Kiedy mamy już przybliżone wartości długości, azymutów oraz kątów, układamy równania
poprawek:


- dla długości:

- dla kątów:

Gdzie

4.Podstawiamy i dostajemy wyniki:

5.Kiedy mamy już obliczone równania, tworzymy macierze A oraz macierz
wyrazów wolnych L:

6.Tworzymy macierz P w oparciu o dane o błędach dla długości i kątów które wynoszą:
µ

d

= 0,01m, µ

k

= 0,0010

cc

, Następnie pomniejszamy jej wartości o 10

4

. Otrzymujemy:

7. Tak jak w poprzednim ćwiczeniu obliczamy macierze B, B

-1

oraz W. Otrzymujemy:

0,128

0,010

0,012

-0,064

0,010

0,018

-0,012

0,002

0,012 -0,012

0,092

0,027

-0,064

0,002

0,027

0,099

B-1

1,351

-9,066
-2,656

1,942

W

dx1

dy1

dx2

dy2

-0,7959 -0,6054 0,7959 0,6054

0,0000 0,0000 0,3820 -0,9242
0,3248 -0,0478 -0,1574 0,2070

-0,1574 0,2070 -0,0255 -0,2044
-0,0062 0,1728 0,1574 -0,2070
-0,1576 0,6796 0,1574 -0,2070

0,0002 -0,4726 -0,0723 -0,1607
0,0000 0,0000 -0,2877 0,0716

A

0,10

-0,08

-0,0023
-0,0178
-0,0360
-0,0760

0,0606
0,0202

L

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

0

0

100

P

16,152 -15,155 -7,926 12,848

-15,155 76,389 16,577 -15,636

-7,926 16,577 17,077 -10,024

12,848 -15,636 -10,024 21,345

B

Działaniem B

-1

*W obliczamy macierz -∆X, następnie zmieniamy znak i dostajemy korekty do

naszych przybliżonych współrzędnych:

0,07
0,11
0,07

-0,02
∆X

Korekty te dodajemy do przybliżonych współrzędnych i otrzymujemy wyrównane
współrzędne:

Nr

X

Y

1

210,37

300,26

2

405,22

448,33

Teraz możemy obliczyć poprawki dla obserwacji ze wzoru V= A*∆X+L, otrzymujemy:

0,01

-0,04

0,0011

-0,0032
-0,0023

0,0050
0,0047

-0,0003

V

8.Obliczenia te należy skontrolować, wykorzystałem do tego wzory porównawcze. Liczymy
według wzoru: S = L

T

*P*A*∆X + L

T

*P*L:

S= -1,155 + 1,163 = 0,0081

Teraz obliczamy S’ ze wzoru S’= V

T

*P*V ( co jednocześnie powinno dać minimum! )

S’ = 0,0081

Porównujemy do siebie oba równania:

S = S’
0,0081 = 0,0081

Błędy:

Jeżeli nasze obliczenia się zgodziły, przystępujemy do kolejnego kroku czyli do wyliczenia
błędów. Wykorzystamy do tego macierz Q = B

-1

, a dokładniej jej przekątniowe wartości.

0,128

0,010

0,012

-0,064

0,010

0,018

-0,012

0,002

0,012 -0,012

0,092

0,027

-0,064

0,002

0,027

0,099

Q

Aby obliczyć µ

0

wykorzystujemy wzór:

Gdzie: m- liczba obserwacji ( w tym przypadku 8 )

n- liczba niewiadomych ( w tym przypadku 4 )

Podstawiając do wzoru otrzymujemy :

Teraz możemy obliczyć błędy dla poszczególnych współrzędnych i tak otrzymujemy błędy
średnie wyrównanych współrzędnych:

µ

x1

=

0,02m

µ

y1

=

0,01m

µ

x2

=

0,01m

µ

y2

=

0,01m

Oraz błędy położenia punktu:

µ

p1

= 0,02m

µ

p2

= 0,02m

Algorytm Choleskiego - Banachiewicza

Zadanie możemy również rozwiązać metodą Choleskiego – Banachiewicza, potrzebujemy do
tego macierzy B oraz W, które wstawiamy w tabelkę. Dalej postępujemy zgodnie z
algorytmem tej metody:

R

Y

q

B

W

I

4,019

-3,771 -1,972 3,197

0,336

0,249

16,152 -15,155 -7,926 12,848 1,351

1,000

7,885

1,159 -0,454 -0,989

0,119

0,127

76,389 16,577 -15,636 -9,066

0,000

1,000

3,441 -0,928 -0,246

0,103

-0,043

0,291

17,077 -10,024 -2,656

0,000

0,000

1,000

3,171

0,060

-0,204

0,006

0,085

0,315

21,345 1,942

0,000

0,000

0,000

1,000

-0,07

-0,11

-0,07

0,02

-0,07

-0,11

-0,07

0,02

0,128

0,010

0,012

-0,064

0,018

-0,012

0,002

0,092

0,027

0,099

-0,07

-0,11

-0,07

0,02

Dzięki tej metodzie otrzymujemy korekty no naszych przybliżonych współrzędnych tj.: -∆X,
kolejnym krokiem będzie więc dodanie ich odwrotności do przybliżonych współrzędnych.
Otrzymujemy jak poprzednio:

Nr

X

Y

1

210,37

300,26

2

405,22

448,33

Zestawienie wyników

1.Wyrównane współrzędne:

Nr

X

Y

1

210,37

300,26

2

405,22

448,33

2.Wyrównane obserwacje:

3.Błędy

-średnie

- położenia punktu:

µ

p1

= 0,02m

µ

p2

= 0,02m

L

C

P

kąt

wyrównany

1

C

2

26,8326

g

2

1

C

158,7090

g

2

1

B

44,4953

g

A

1

2

92,9921

g

1

2

A

57,7131

g

B

2

C

101,9386

g

i

j

d

wyrównane

1

2

244,72m

2

B

273,21m

µ

x1

=

0,02m

µ

y1

=

0,01m

µ

x2

=

0,01m

µ

y2

=

0,01m