WSI-E
Rachunek Wyrównawczy
Temat III
Wyrównanie sieci poziomej.
Mateusz Frydrych
WSI-E
Rachunek Wyrównawczy
Temat III
Wyrównanie sieci poziomej.
Mateusz Frydrych
Dane do zadania:
1.Szkic
2.Współrzędne punktów nawiązania:
Nr
X
Y
A
400,20
100,50
B
300,80
700,80
C
75,60
300,10
3.Wyniki obserwacji:
Przybliżone współrzędne
Nr
X
0
Y
0
1
210,30
300,15
2
405,15
448,35
Kąty
L C P
kąt
obs
1 C 2 26,8279
g
2 1 C 158,7040
g
2 1 B 44,4976
g
A 1 2 92,9910
g
1 2 A 57,7163
g
B 2 C 101,9389
g
długości
i
j
dij
obs
1 2
244,71m
2 B
273,25m
Obliczenia:
1.Pierwszym krokiem będzie wyliczenie przybliżonych wartości odległości z przybliżonych
współrzędnych punktów 1 i 2. Otrzymujemy:
i
j
dij
0
1
2
244,81m
2
B
273,17m
2.Kolejnym krokiem będzie obliczenie przybliżonych wartości kątów, w tym celu musimy
wyznaczyć azymuty poszczególnych odcinków, i tak otrzymujemy:
Azymut
Wartość
1--A
348,4069
g
1--2
41,3956
g
2--A
299,0941
g
2--C
226,9121
g
2--B
124,9530
g
1--B
85,8572
g
C--1
0,0236
g
2--1
241,3956
g
C--2
26,9121
g
1--C
200,0236
g
Mając wartości azymutów możemy już obliczyć przybliżone wartości kątów:
L C P
kąt
0
1 C 2
26,8885
g
2 1 C
158,6280
g
2 1 B
44,4616
g
A 1 2
92,9887
g
1 2 A
57,6985
g
B 2 C
101,9591
g
3.Kiedy mamy już przybliżone wartości długości, azymutów oraz kątów, układamy równania
poprawek:
- dla długości:
- dla kątów:
Gdzie
4.Podstawiamy i dostajemy wyniki:
5.Kiedy mamy już obliczone równania, tworzymy macierze A oraz macierz
wyrazów wolnych L:
6.Tworzymy macierz P w oparciu o dane o błędach dla długości i kątów które wynoszą:
µ
d
= 0,01m, µ
k
= 0,0010
cc
, Następnie pomniejszamy jej wartości o 10
4
. Otrzymujemy:
7. Tak jak w poprzednim ćwiczeniu obliczamy macierze B, B
-1
oraz W. Otrzymujemy:
0,128
0,010
0,012
-0,064
0,010
0,018
-0,012
0,002
0,012 -0,012
0,092
0,027
-0,064
0,002
0,027
0,099
B-1
1,351
-9,066
-2,656
1,942
W
dx1
dy1
dx2
dy2
-0,7959 -0,6054 0,7959 0,6054
0,0000 0,0000 0,3820 -0,9242
0,3248 -0,0478 -0,1574 0,2070
-0,1574 0,2070 -0,0255 -0,2044
-0,0062 0,1728 0,1574 -0,2070
-0,1576 0,6796 0,1574 -0,2070
0,0002 -0,4726 -0,0723 -0,1607
0,0000 0,0000 -0,2877 0,0716
A
0,10
-0,08
-0,0023
-0,0178
-0,0360
-0,0760
0,0606
0,0202
L
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
100
0
0
0
0
0
0
0
0
100
0
0
0
0
0
0
0
0
100
0
0
0
0
0
0
0
0
100
0
0
0
0
0
0
0
0
100
0
0
0
0
0
0
0
0
100
P
16,152 -15,155 -7,926 12,848
-15,155 76,389 16,577 -15,636
-7,926 16,577 17,077 -10,024
12,848 -15,636 -10,024 21,345
B
Działaniem B
-1
*W obliczamy macierz -∆X, następnie zmieniamy znak i dostajemy korekty do
naszych przybliżonych współrzędnych:
0,07
0,11
0,07
-0,02
∆X
Korekty te dodajemy do przybliżonych współrzędnych i otrzymujemy wyrównane
współrzędne:
Nr
X
Y
1
210,37
300,26
2
405,22
448,33
Teraz możemy obliczyć poprawki dla obserwacji ze wzoru V= A*∆X+L, otrzymujemy:
0,01
-0,04
0,0011
-0,0032
-0,0023
0,0050
0,0047
-0,0003
V
8.Obliczenia te należy skontrolować, wykorzystałem do tego wzory porównawcze. Liczymy
według wzoru: S = L
T
*P*A*∆X + L
T
*P*L:
S= -1,155 + 1,163 = 0,0081
Teraz obliczamy S’ ze wzoru S’= V
T
*P*V ( co jednocześnie powinno dać minimum! )
S’ = 0,0081
Porównujemy do siebie oba równania:
S = S’
0,0081 = 0,0081
Błędy:
Jeżeli nasze obliczenia się zgodziły, przystępujemy do kolejnego kroku czyli do wyliczenia
błędów. Wykorzystamy do tego macierz Q = B
-1
, a dokładniej jej przekątniowe wartości.
0,128
0,010
0,012
-0,064
0,010
0,018
-0,012
0,002
0,012 -0,012
0,092
0,027
-0,064
0,002
0,027
0,099
Q
Aby obliczyć µ
0
wykorzystujemy wzór:
Gdzie: m- liczba obserwacji ( w tym przypadku 8 )
n- liczba niewiadomych ( w tym przypadku 4 )
Podstawiając do wzoru otrzymujemy :
Teraz możemy obliczyć błędy dla poszczególnych współrzędnych i tak otrzymujemy błędy
średnie wyrównanych współrzędnych:
µ
x1
=
0,02m
µ
y1
=
0,01m
µ
x2
=
0,01m
µ
y2
=
0,01m
Oraz błędy położenia punktu:
µ
p1
= 0,02m
µ
p2
= 0,02m
Algorytm Choleskiego - Banachiewicza
Zadanie możemy również rozwiązać metodą Choleskiego – Banachiewicza, potrzebujemy do
tego macierzy B oraz W, które wstawiamy w tabelkę. Dalej postępujemy zgodnie z
algorytmem tej metody:
R
Y
q
B
W
I
4,019
-3,771 -1,972 3,197
0,336
0,249
16,152 -15,155 -7,926 12,848 1,351
1,000
7,885
1,159 -0,454 -0,989
0,119
0,127
76,389 16,577 -15,636 -9,066
0,000
1,000
3,441 -0,928 -0,246
0,103
-0,043
0,291
17,077 -10,024 -2,656
0,000
0,000
1,000
3,171
0,060
-0,204
0,006
0,085
0,315
21,345 1,942
0,000
0,000
0,000
1,000
-0,07
-0,11
-0,07
0,02
-0,07
-0,11
-0,07
0,02
0,128
0,010
0,012
-0,064
0,018
-0,012
0,002
0,092
0,027
0,099
-0,07
-0,11
-0,07
0,02
Dzięki tej metodzie otrzymujemy korekty no naszych przybliżonych współrzędnych tj.: -∆X,
kolejnym krokiem będzie więc dodanie ich odwrotności do przybliżonych współrzędnych.
Otrzymujemy jak poprzednio:
Nr
X
Y
1
210,37
300,26
2
405,22
448,33
Zestawienie wyników
1.Wyrównane współrzędne:
Nr
X
Y
1
210,37
300,26
2
405,22
448,33
2.Wyrównane obserwacje:
3.Błędy
-średnie
- położenia punktu:
µ
p1
= 0,02m
µ
p2
= 0,02m
L
C
P
kąt
wyrównany
1
C
2
26,8326
g
2
1
C
158,7090
g
2
1
B
44,4953
g
A
1
2
92,9921
g
1
2
A
57,7131
g
B
2
C
101,9386
g
i
j
d
wyrównane
1
2
244,72m
2
B
273,21m
µ
x1
=
0,02m
µ
y1
=
0,01m
µ
x2
=
0,01m
µ
y2
=
0,01m