Laboratorium PCPS Ćw.6. Sploty liniowy i kołowy. Korelacja i widmo mocy
!
!
!
!
W.Gumiński 1/5
ĆWICZENIE 6
SPLOTY LINIOWY I KOŁOWY. KORELACJA I WIDMO MOCY.
6.1. CEL ĆWICZENIA
Ćwiczenie ma na celu przebadanie podstawowych własności splotu liniowego i
kołowego oraz korelacji i estymaty widma gęstości mocy. Obserwacja sygnałów i ich splotów
oraz widm powinna przybliżyć i utrwalić zależności splotu sygnałów z mnożeniem ich widm
amplitudowych i sumowaniem widm opóźnieniowych, operacji filtracji ze splotem sygnału z
odpowiedzią impulsową filtru. Operacja splotu kołowego w interpretacji aliasu czasowego
powinna przybliżyć to zjawisko. Na przykładzie korelacji sygnałów dopasowanych można
zaobserwować możliwość uzyskania znacznego zysku stosunku sygnału do szumu w
odbiornikach korelacyjnych poprzez zastosowanie filtracji dopasowanej.
6.2. SPLOT LINIOWY
Splot
liniowy
y[n] dwóch ciągów x[n] i h[n], definiuje się następująco:
∞
−
−∞
=
−
=
∗
=
∑
∞
−∞
=
,...,
1
,
0
,
1
,...,
]
[
]
[
ˆ
]
[
]
[
]
[
n
k
n
x
k
h
n
x
n
h
n
y
k
(1)
Dla ciągów przyczynowych i ograniczonych
)
]}
[
{
,
]}
[
{
(
1
0
1
0
−
−
M
L
n
h
n
x
o długościach
odpowiednio L i M otrzymujemy zależność, która jest równocześnie algorytmem
implementacji w dziedzinie czasu:
1
,...,
1
,
0
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
)
,
min(
)
1
,
0
max(
−
+
=
−
=
∗
=
∑
+
−
=
M
L
n
k
n
x
k
h
n
x
n
h
n
y
M
n
L
n
k
(2)
Podstawowe własności splotu
- Splatanie ciągów można wykonywać w dowolnej kolejności:
]
[
]
[
]
[
]
[
n
x
n
h
n
h
n
x
∗
=
∗
(3)
- Splot spełnia zasadę superpozycji zapewniając liniowość operacji splotu.
Dla dowolnego a i b zachodzi równość:
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
])
[
]
[
(
2
1
2
1
n
h
n
bx
n
h
n
ax
n
h
n
bx
n
ax
∗
+
∗
=
∗
+
(4)
- Widmo zespolone splotu dwóch ciągów jest iloczynem widm zespolonych splatanych
ciągów:
)
(
)
(
)
(
]
[
]
[
]
[
ω
ω
ω
H
X
Y
n
h
n
x
n
y
F
⋅
=
⇔
∗
=
(5)
gdzie:
])
[
(
)
(
n
x
F
X
=
ω
])
[
(
)
(
n
h
F
H
=
ω
])
[
(
)
(
n
y
F
Y
=
ω
Laboratorium PCPS Ćw.6. Sploty liniowy i kołowy. Korelacja i widmo mocy
!
!
!
!
W.Gumiński 2/5
6.3. SPLOT KOŁOWY
W splocie kołowym zamiast odwrócenia i przesunięcia sygnałów stosujemy
odpowiednio obrót cykliczny i opóźnienie cykliczne splatanych sygnałów. Dla dwóch ciągów
x[n] i h[n] o identycznej długości N splot kołowy definiujemy jako:
1
,...,
1
,
0
]
mod
)
[(
]
[
ˆ
]
[
]
[
1
0
−
=
−
=
⊗
∑
−
=
N
n
N
k
n
x
k
h
n
x
n
h
N
k
(6)
W efekcie zarówno splatane ciągi jak i ich splot mają określoną i identyczną długość, co
może być interpretowane jako efekt aliasu czasowego dla splotu liniowego. Splot cykliczny
zachowując własność (5) najczęściej bywa realizowany w dziedzinie częstotliwości.
6.4. KORELACJA
Korelacja
sygnałów jest definiowana jako:
∞
−
−∞
=
+
=
∑
∞
−∞
=
,...,
1
,
0
,
1
,...,
]
[
]
[
ˆ
]
[
n
k
n
x
k
h
n
Rhx
k
(7)
∞
−
−∞
=
+
=
∑
∞
−∞
=
,...,
1
,
0
,
1
,...,
]
[
]
[
ˆ
]
[
n
k
n
h
k
x
n
Rxh
k
(7)
Jak łatwo zauważyć korelację Rxh[n] można realizować jako splot sygnału x[n] i
odwróconego w czasie sygnału h[n]. Korelację sygnału z samym sobą Rxx[n] nazywamy
autokorelacją i wykorzystujemy do estymacji widma gęstości mocy.
6.5. WIDMO GĘSTOŚCI MOCY
Widmo
gęstości mocy jest definiowane jako moduł transformaty estymaty ciągu
autokorelacji badanego sygnału.
S
xx
[n]=|F(s
xx
[n])|
(8)
gdzie estymata autokorelacji:
∑
−
−
=
∧
−
=
+
=
1
0
1
,...,
1
,
0
]
[
]
[
1
k
N
k
xx
N
k
k
n
x
n
x
N
s
(9)
Wzór (9) opisuje obciążony estymator ciągu autokorelacji. Innym często stosowanym
estymatorem ciągu autokorelacji jest estymator nieobciążony, w którym uśrednianie jest
dokonywane z uwzględnieniem tylko niezerowych próbek.
∑
−
−
=
∨
−
=
+
−
=
1
0
1
,...,
1
,
0
]
[
]
[
1
k
N
k
xx
N
k
k
n
x
n
x
k
N
s
(10)
6.6. REALIZACJA ĆWICZENIA
Realizację ćwiczenia proponuję rozpocząć od wykorzystania gotowego interfejsu
convgui w celu graficznego zobrazowania metod obliczania splotu i korelacji. Na przykładzie
impulsów rampowych zaobserwuj metodę obliczania i wynik splotu liniowego i kołowego.
Laboratorium PCPS Ćw.6. Sploty liniowy i kołowy. Korelacja i widmo mocy
!
!
!
!
W.Gumiński 3/5
Powtarzając ćwiczenie dla impulsów prostokątnych sprawdź wyniki przygotowania do
ćwiczenia pkt. 6.7.1.
Rys.1. Graficzny interfejs użytkownika convgui.
Badanie
własności czasowych i widmowych splotu i korelacji przeprowadzamy z
wykorzystaniem interfejsu splot.
Rys.2. Graficzny interfejs użytkownika splot.
Laboratorium PCPS Ćw.6. Sploty liniowy i kołowy. Korelacja i widmo mocy
!
!
!
!
W.Gumiński 4/5
Znaczenie parametrów dla poszczególnych sygnałów:
sygnał
pierwszy parametr (K)
drugi parametr (N)
delta pozycja
długość sygnału
prostokąt długość impulsu
długość sygnału
rampa długość impulsu
długość sygnału
sinus pulsacja
sin(pi*K/N)
długość sygnału
impuls dolnopasmowy
ignorowany
długość sygnału
impuls górnopasmowy
ignorowany
długość sygnału
szum ignorowany
długość sygnału
chirp ignorowany
długość sygnału
ciąg delt
ignorowany
długość sygnału
Wykonaj
obserwację przebiegów czasowych, widm amplitudowych i opóźnieniowych
podstawowych sygnałów (delta, sygnał stały, impuls o widmie prostokątnym, sinusoida,
szum) ich sploty i korelacje. Zwróć szczególną uwagę na czas trwania sygnałów i ich splotu,
zależności pomiędzy widmami amplitudowymi i opóźnieniowymi sygnałów i ich splotu.
Zaobserwuj autokorelacje sygnałów.
6.7. PRZYGOTOWANIE DO ĆWICZENIA
6.7.1. Co jest wynikiem splotu dwóch impulsów prostokątnych? Naszkicuj obwiednie
przebiegów czasowych możliwych wyników. Określ długość i maksymalną wartość splotu
dla dowolnych impulsów prostokątnych. Od jakich parametrów impulsów zależą te
wielkości?
6.7.2. Na podstawie definicji i własności splotu liniowego (1)-(5) oraz wcześniej poznanych
własności transformaty Fouriera udowodnij, że splot dowolnego sygnału z deltą realizuje
operację przesunięcia czasowego (opóźnienia).
Laboratorium PCPS Ćw.6. Sploty liniowy i kołowy. Korelacja i widmo mocy
!
!
!
!
W.Gumiński 5/5
Imię i nazwisko ...................................................................
Data ........................
Grupa ..................................
SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 6 SPLOT I KOREALCJA
6.8.1. Co jest wynikiem splotu krótkiego sygnału z ciągiem rzadkich delt?
6.8.2. Na przykładzie splotu liniowego dwóch impulsów prostokątnych określ czasy trwania
stanów przejściowych i stanu ustalonego splotu.
6.8.3. Kiedy stan ustalony splotu jest zerowy? Podaj przykłady par badanych sygnałów wraz z
parametrami, których stan ustalony splotu jest praktycznie zerowy.
6.8.4. Porównaj wynik splotu liniowego i kołowego dwóch identycznych impulsów
prostokątnych. Jaki musi być minimalny zeropadding, aby wynik splotu kołowego był
identyczny ze splotem liniowym?
6.8.5. Co można powiedzieć o widmie gęstości mocy szumu białego, delty i chirpu
obserwując autokorelację długich realizacji tych sygnałów?
6.8.6. Odbiornik korelacyjny – filtracja dopasowana. Obserwując przebiegi czasowe korelacji
zaszumionego impulsu i impulsu badanego określ minimalny stosunek sygnału do szumu, dla
którego można wykryć obecność impulsu w szumie.