Rozwiązywanie obwodów nieliniowych Zadanie:
W obwodzie przedstawionym na rysunku, rezystor nieliniowy ma charakterystykę prądowo-napięciową podaną w tablicy. Obliczyć prąd I, jeżeli E=20V, R 1=2kΩ, R 2=3kΩ, R 3=0,5kΩ.
R 1
a
E 1
R 2
R 3
b
U [V] 0 2 4 6 8 10
12 16
I [mA]
0 1,68 2,83 3,83 4,76 5,62 6,45 8,00
Rozwiązanie:
• w lewo od strony zacisków a-b obwód zastępujemy zastępczym źródłem napięcia (stosujemy tw. Thevenina) o charakterystyce liniowej i parametrach: E
20
1
U = E −
⋅ R = 20 −
⋅ 2 = 20 − 8 = 12V
0
1
1
R + R
2 + 3
1
2
R ⋅ R
2 ⋅
R
= R + 1
2 = 5
,
0 +
3 = 5,
0 + ,
1 2 = 7
,
1
Ω
k
w
3
R + R
2 + 3
1
2
• wyznaczamy punkty przecięcia charakterystyki źródła napięcia na charakterystyce prądowo-napięciowej rezystora RN
U
12
U = U = 12 V ; 0
I = I
=
=
= 06
,
7
mA
0
zw
R
7
,
1
w
Graficzne rozwiązanie zadania: z wykresu odczytujemy współrzędne punktu A przecięcia charakterystyk I=3,5mA U ab=5,9V
I [mA]
10
8
R
6
N
4
I=3,5A
A
2
U=5,9V
0
4
8
12
16
20 U[V]
U0
Zadanie:
Do źródła napięcia o E=40V i rezystancji wewnętrznej R w=15Ω włączono szeregowo rezystor nieliniowy o charakterystyce napięciowo-prądowej przedstawionej na rysunku. Jaką wartość powinien mieć rezystor R, aby w punkcie pracy rezystancja dynamiczna rezystora nieliniowego miała wartość maksymalną? Obliczyć prąd i spadki napięć na rezystorach liniowym i nieliniowym.
R=?
a
E
RN
RW
b
40
R dyn
RN
30
20
19,6V
A
10
12
Izw =0,72A
0
0,2
0,37 0,4
0,6
0,8
1
I [A]
Izw
• Wykreślamy styczną do charakterystyki rezystancji nieliniowej o maksymalnym kącie nachylenia α
• Wykreślamy charakterystykę lewej części liniowej obwodu prowadząc prostą przez punkty: E=40V i punkt A.
• Prosta przecina os prądu w punkcie I zw=0,72 A, zatem możemy napisać: E = I
( R +
)
zw
Rw
po przekształceniu otrzymujemy
= E
R
−
= 40 V
R
−15 =
Ω
40
w
I
72
,
0
A
zw
Rezystor R powinien mieć wartość 40Ω.
Sprawdzenie
Współrzędne punktu pracy obwodu mają następujące wartości: I=0,37A, U RN=19,6V
Zatem możemy napisać:
E − I ( R + R) =
w
U RN
40-0,37(15+40)=19,6
40-20,4=19,6 V
Rezystancję o nieliniowej charakterystyce R(I) połączono równolegle z rezystancją liniową R1 = 20 Ω. Jaką wartość ma zastępcza rezystancja statyczna rezystorów przyłączonych do napięcia U = 10V ?
1
R
I 1
RN
I 2
I
U
Rozwiązanie
Zadanie rozwiązujemy metodą charakterystyki wypadkowej;
• Wykreślamy charakterystykę wypadkową dla dwóch rezystorów połączonych równolegle; przy stałym napięciu prąd jest sumą prądów przepływających przez rezystory – przy stałej rzędnej odcięta charakterystyki wypadkowej jest sumą odciętych charakterystyk składowych;
• Zadanemu napięciu U = 10 V odpowiadają prądy I1 = 0,5 A, I2 = 1,0 A i wypadkowy prąd I = 1,5 A.
U[V]
10
R
1
R
N
8
6
R IIR
1
N
4
2
0
0,5
1,0
1,5
I[A]
• Zastępczą rezystancję statyczną wyliczamy z zależności
R
=
10
=
Ω
66
,
6
z
I +
5
,
0 + 0
,
1
1
I 2
Odp. Rezystancja statyczna układu oporników przy zasilaniu napięciem U = 10 V ma wartość 6,66Ω.
Zadania do rozwiązania
1. Zadanie
Opornik o nieliniowej charakterystyce R(I) połączono szeregowo z opornikiem liniowym R1
= 2,0 Ω. Jaką wartość ma prąd I przepływający w gałęzi, oraz jakie są spadki napięć na opornikach, napięcie na zaciskach gałęzi wynosi U = 6,0 V ?
R
1
R
N
I
Δ U
U
Δ
1
N
U
U[V]
10
8
6
RN
4
1
R
2
0
0,5
1,0
1,5
I[A]
Odp.; ΔU1 = 1.8 V, ΔUN = 4,2 V.
2. Zadanie
Obliczyć wartość prądu I oraz napięcia U na rezystancji nieliniowej RN(I), której charakterystykę przedstawiono na rysunku. Dane E = 10 V, RW = 1 Ω, R2 = 4Ω, R3 = 1Ω.
1
R
3
R
a
E
R
RN
2
R
W
b
U[V]
7,5
6,0
4,5
3,0
1,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
I[A]
Odp.: I = 0,6 A, U = 2,3 V.