EKSTREMA GLOBALNE

Definicja

Niech 

R



U

f :

, gdzie 

n

U

R



oraz niech 

0

P  będzie pewnym punktem zbioru U, 

U

P



0

.

Wtedy

 

0

P

f

 – 

wartość największa 

funkcji f 

 

 

0

:

P

f

P

f

U

P









 

0

P

f

 –

 wartość najmniejsza 

funkcji f 

 

 

0

:

P

f

P

f

U

P









Definicja

Funkcja f  ma w 

0

P

 

ekstremum globalne

, jeśli 

 

0

P

f

 jest wartością największą lub wartością

najmniejszą funkcji f.

Uwaga

Ekstremum lokalne może być ekstremum globalnym.

I. Niech U – obszar w 

n

R , czyli 

n

U

R

Top



.

Jeśli f  ma ekstremum globalne w 

0

P , to f  ma w 

0

P  słabe ekstremum lokalne, a zatem

ekstremów globalnych będziemy poszukiwać w tych punktach, w których istnieją słabe
ekstrema lokalne.

II. Niech U  - obszar domknięty, tzn. U  - domknięcie obszaru U.

Wtedy
 

U

P

U

P

U

P













0

0

0

int

                                                   wnętrze                        brzeg
                                                   obszaru                        obszaru

Zatem f  ma ekstremum globalne w 



0

P

  f ma ekstremum lokalne w 

U

int

 

          lub 

U

P





0

Jeśli dodatkowo przyjmiemy 

założenie: 

     

 

U

C

f



,

to na podstawie tw. Weierstrassa funkcja f osiąga swoje kresy    
istnieje wartość największa i wartość najmniejsza funkcji f     
wystarczy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji f  we wnętrzu 

U

int

 oraz na brzegu 

U



 i

bez badania określoności drugiej różniczki porównać wartości funkcji w tych punktach.

1

Przykład

Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji 

 

2

2

,

y

x

y

x

f





 w obszarze domkniętym

 





1

:

,

2

2

2









y

x

y

x

D

R

int D

D

1

1

x

y

 





 D

C

f

ekstremum globalne

I.  Wyznaczamy punkty stacjonarne we wnętrzu obszaru 

 





1

:

,

int

2

2

2









y

x

y

x

D

R

.

Pochodne cząstkowe muszą być równe 0,

)

0

,

0

(

0

0

0

2

0

2

0

P

y

x

y

y

f

x

x

f











































 - punkt stacjonarny, 

U

P



0

II.  Badamy brzeg obszaru 

 





1

:

,

2

2

2









y

x

y

x

D

R



 

Tworzymy funkcję Lagrange'a 

 





1

,

2

2

2

2











y

x

y

x

y

x





 

Warunek konieczny dla funkcji Lagrange'a:





































1

0

0

2

2

y

x

y

x





 





 





0

,

1

0

,

1

1

,

0

1

,

0

4

3

2

1





P

P

P

P

III. Porównujemy wartości funkcji w punktach 

0

P –

4

P .

 

 

 

 

 

 

1

1

0

4

3

2

1

0













P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

 

Odp.

Funkcja osiąga wartość największą równą 1 w punktach 

3

P  i 

4

P  oraz wartość najmniejszą

równą -1 w punktach 

1

P  oraz 

2

P .

2

Przykład

Aby wyznaczyć ekstrema globalne funkcji określonej w obszarze domkniętym D, którego
brzeg jest łamaną,

badamy:
I.  

D

int

II.  

5

4

3

2

1

K

K

K

K

K

D













 

Funkcję zacieśniamy do poszczególnych krzywych i badamy we wnętrzach tych krzywych

1

int

1)

K  

2

int

2)

K

5

intK

5)



III. Badamy “brzeg brzegu” - wystarczy podać punkty wspólne krzywych 

5

1

,

,

K

K 

: 

       

5

1

,

,

M

M 

IV. Porównujemy wartości funkcji we wszystkich punktach wyznaczonych w częściach 

I, II, III, i wybieramy te w których funkcja przyjmuje wartość największą lub najmniejszą.

opracował Mateusz Targosz

3

D

 

M

2

 

M

3

 

M

4

M

5

M

1

  

K

2

 

K

1

 

K

3

 

K

5

 

K

4

y

x