EKSTREMA GLOBALNE

Definicja

Niech

R



U

f :

, gdzie

n

U

R



oraz niech

0

P będzie pewnym punktem zbioru U,

U

P



0

.

Wtedy

 

0

P

f

–

wartość największa

funkcji f

 

 

0

:

P

f

P

f

U

P









 

0

P

f

–

wartość najmniejsza

funkcji f

 

 

0

:

P

f

P

f

U

P









Definicja

Funkcja f ma w

0

P

ekstremum globalne

, jeśli

 

0

P

f

jest wartością największą lub wartością

najmniejszą funkcji f.

Uwaga

Ekstremum lokalne może być ekstremum globalnym.

I. Niech U – obszar w

n

R , czyli

n

U

R

Top



.

Jeśli f ma ekstremum globalne w

0

P , to f ma w

0

P słabe ekstremum lokalne, a zatem

ekstremów globalnych będziemy poszukiwać w tych punktach, w których istnieją słabe
ekstrema lokalne.

II. Niech U - obszar domknięty, tzn. U - domknięcie obszaru U.

Wtedy

U

P

U

P

U

P













0

0

0

int

wnętrze brzeg
obszaru obszaru

Zatem f ma ekstremum globalne w



0

P

f ma ekstremum lokalne w

U

int

lub

U

P





0

Jeśli dodatkowo przyjmiemy

założenie:

 

U

C

f



,

to na podstawie tw. Weierstrassa funkcja f osiąga swoje kresy 
istnieje wartość największa i wartość najmniejsza funkcji f 
wystarczy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji f we wnętrzu

U

int

oraz na brzegu

U



i

bez badania określoności drugiej różniczki porównać wartości funkcji w tych punktach.

1

Przykład

Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji

 

2

2

,

y

x

y

x

f





w obszarze domkniętym

 





1

:

,

2

2

2









y

x

y

x

D

R

int D

D

1

1

x

y

 





 D

C

f

ekstremum globalne

I. Wyznaczamy punkty stacjonarne we wnętrzu obszaru

 





1

:

,

int

2

2

2









y

x

y

x

D

R

.

Pochodne cząstkowe muszą być równe 0,

)

0

,

0

(

0

0

0

2

0

2

0

P

y

x

y

y

f

x

x

f











































- punkt stacjonarny,

U

P



0

II. Badamy brzeg obszaru

 





1

:

,

2

2

2









y

x

y

x

D

R



Tworzymy funkcję Lagrange'a

 





1

,

2

2

2

2











y

x

y

x

y

x





Warunek konieczny dla funkcji Lagrange'a:





































1

0

0

2

2

y

x

y

x





 





 





0

,

1

0

,

1

1

,

0

1

,

0

4

3

2

1





P

P

P

P

III. Porównujemy wartości funkcji w punktach

0

P –

4

P .

 

 

 

 

 

1

1

0

4

3

2

1

0













P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

Odp.

Funkcja osiąga wartość największą równą 1 w punktach

3

P i

4

P oraz wartość najmniejszą

równą -1 w punktach

1

P oraz

2

P .

2

Przykład

Aby wyznaczyć ekstrema globalne funkcji określonej w obszarze domkniętym D, którego
brzeg jest łamaną,

badamy:
I.

D

int

II.

5

4

3

2

1

K

K

K

K

K

D













Funkcję zacieśniamy do poszczególnych krzywych i badamy we wnętrzach tych krzywych

1

int

1)

K

2

int

2)

K

5

intK

5)



III. Badamy “brzeg brzegu” - wystarczy podać punkty wspólne krzywych

5

1

,

,

K

K 

:

5

1

,

,

M

M 

IV. Porównujemy wartości funkcji we wszystkich punktach wyznaczonych w częściach

I, II, III, i wybieramy te w których funkcja przyjmuje wartość największą lub najmniejszą.

opracował Mateusz Targosz

3

D

M

2

M

3

M

4

M

5

M

1

K

2

K

1

K

3

K

5

K

4

y

x