1
Automatyka i sterowanie
Część II
Zestaw ilustracji do wykładu „Automatyka i sterowanie”
kurs 10 godz. dla studiów magisterskich uzupełniających
opracował dr inż. Grzegorz Rogacki
1
Automatyka i sterowanie
Część II
Zestaw ilustracji do wykładu „Automatyka i sterowanie”
kurs 10 godz. dla studiów magisterskich uzupełniających
opracował dr inż. Grzegorz Rogacki
2
Przekształcenie Laplace’a
Symbolicznie
)
(
)
(
s
Y
t
y
⎯
⎯ →
⎯
L
Definicja
[
]
∫
∞
⋅
−
=
0
)
(
)
exp(
)
(
dt
t
y
st
s
Y
3
Przekształcenie Laplace’a
Terminologia
)
(
)
(
s
Y
t
y
⎯
⎯ →
⎯
L
-
przekształcenie, transformacja
t
-
czas, zmienna rzeczywista, zmienna
s
-
zmienna zespolona
y(t) -
oryginał
Y(s) -
obraz, transformata
)
(
)
(
t
y
s
Y
⎯
⎯ →
⎯
1
-
L
-
przekształcenie odwrotne
4
oryginał
obraz
Przekształcenie Laplace’a
Fundamentalne własności
dt
t
dy )
(
2
2
)
(
dt
t
y
d
)
0
(
)
0
(
)
(
2
y
sy
s
Y
s
′
−
−
∫
t
dt
t
y
0
)
(
)
(
1
s
Y
s
)
(
)
(
2
1
t
y
t
y
+
)
(
)
(
2
1
s
Y
s
Y
+
)
(t
y
k
⋅
)
(s
Y
k
⋅
)
0
(
)
(
y
s
sY
−
5
Przekształcenie Laplace’a
Tablica przekształceń Laplace’a
opis funkcji
funkcja
obraz
skok jednostkowy
puls
impuls Diraca
( )
t
δ
1
( )
t
1
s
1
2
2
ω
ω
+
s
t
ω
sin
6
Tablica przekształceń Laplace’a
opis funkcji
funkcja
obraz
inercja I-go rzędu
inercja II-go rzędu
……………….
……….
………
czyste opóźnienie
transportowe
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
T
t
T
exp
1
1
1
+
Ts
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
2
1
1
2
exp
exp
1
T
t
T
t
T
T
(
)(
)
1
1
1
2
1
+
+
s
T
s
T
(
) (
)
0
0
1
t
t
t
t
f
−
⋅
−
(
)
)
(
exp
0
s
F
s
t
−
7
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
te
go
ró
wn
an
ia
ni
e p
ot
ra
fil
iśm
y
sc
ał
ko
wa
ć
)
(
)
(
)
(
t
Q
t
kh
dt
t
dh
A
IN
+
−
=
0
,
0
h
h
t
=
=
L
Q
IN
V, m
3
Q
OUT
h
A, m
2
)
(
)
(
)
(
0
s
Q
s
kh
h
s
Ash
IN
+
−
=
−
8
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
)
(
)
(
)
(
0
s
Q
s
kh
h
s
Ash
IN
+
−
=
−
Q
IN
V, m
3
0
0
=
h
Q
OUT
h
)
(
)
(
)
(
s
Q
s
kh
s
Ash
IN
=
+
A, m
2
(
)
)
(
)
(
s
Q
k
As
s
h
IN
=
+
(
)
k
As
s
Q
s
h
IN
+
=
1
)
(
)
(
1
-
L
?
9
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
(
)
k
As
s
Q
s
h
IN
+
=
1
)
(
)
(
Q
IN
(
)
k
As
s
Q
s
h
IN
+
=
1
)
(
)
(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
1
1
)
(
)
(
s
k
A
k
s
Q
s
h
IN
(
)
1
1
)
(
)
(
+
=
Ts
K
s
Q
s
h
IN
to
jes
t t
ra
ns
m
ita
nc
ja
zb
ior
ni
ka
V, m
3
Q
OUT
h
A, m
2
10
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
Dla zbiornika ze swobodnym wypływem
stosunek transformaty odpowiedzi h(s) do
transformaty zakłócenia Q
IN
nie zależy od
rodzaju zakłócenia i wynosi:
Q
IN
V, m
3
Q
OUT
h
A, m
2
(
)
1
1
)
(
)
(
+
=
Ts
K
s
Q
s
h
IN
)
(t
h
k
Q
OUT
⋅
=
gdzie:
k
A
T
=
k
K
1
=
,
zbiornik
Q
IN
h
11
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
k
A
T
=
k
K
1
=
)
(t
h
k
Q
OUT
⋅
=
,
,
Q
IN
V, m
3
)
(t
h
Q
k
OUT
=
[ ]
2
m
s
K
=
[ ]
s
m
m
s
m
k
2
3
=
=
[ ]
s
s
m
m
T
=
=
2
2
Q
OUT
h
A, m
2
K - współczynnik wzmocnienia
T - stała czasowa
12
Czujnik termometryczny
Czujnik termometryczny jest to urządzenie, które wytwarza łatwy do zmierzenia
sygnał - proporcjonalny do mierzonej temperatury.
ϑ
,°C
cieczowy
wysokość słupka, mm
termopara
napięcie, mV
termometr oporowy
opór, Ω
pneumatyczny
spektroskop
bimetalowy
odkształcenie, mm
ciśnienie, Pa
długość fali, nm
13
Czujnik termometryczny
Bilans ciepła:
ϑ
q
dt
d
mc
p
=
ϑ
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
Kinetyka wnikania ciepła:
(
)
ϑ
ϑ
α
−
=
f
A
q
Razem:
α
(
)
ϑ
ϑ
α
ϑ
−
=
f
p
A
dt
d
mc
0
,
0
ϑ
ϑ
=
=
t
14
Czujnik termometryczny
(
)
ϑ
ϑ
α
ϑ
−
=
f
p
A
dt
d
mc
0
,
0
ϑ
ϑ
=
=
t
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
ϑ
α
(
)
ϑ
ϑ
α
ϑ
−
=
f
p
mc
A
dt
d
f
p
p
mc
A
mc
A
dt
d
ϑ
α
ϑ
α
ϑ
+
−
=
*) patrz slajd 6!
czujnik
f
ϑ
ϑ
15
Czujnik termometryczny
0
,
0
ϑ
ϑ
=
=
t
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
ϑ
α
f
p
p
mc
A
mc
A
dt
d
ϑ
α
ϑ
α
ϑ
+
−
=
L
f
p
p
mc
A
mc
A
s
ϑ
α
ϑ
α
ϑ
ϑ
+
−
=
−
0
f
p
p
mc
A
mc
A
s
ϑ
α
α
ϑ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
0
0
=
ϑ
16
Czujnik termometryczny
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
1
1
s
A
mc
p
f
α
ϑ
ϑ
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
ϑ
α
f
p
s
A
mc
ϑ
α
ϑ
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+1
f
p
p
mc
A
mc
A
s
ϑ
α
α
ϑ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
(
)
2
2
)
(
)
(
m
K
m
W
K
kg
J
kg
A
mc
p
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α
s
m
J
K
kg
s
K
m
J
kg
A
mc
p
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
2
α
17
Czujnik termometryczny
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
ϑ
α
(
)
1
1
+
=
Ts
f
ϑ
ϑ
A
mc
T
p
α
=
*) patrz slajd 9.
Czujnik termometryczny wykazuje dynamikę
członu inercyjnego I-go rzędu.
1. Wzmocnienie wynosi 1.
2. Stała czasowa jest równa stosunkowi pojemności
cieplnej do „podatności” na wymianę ciepła
18
Reaktor zbiornikowy, przepływowy
Bilans masy:
Kinetyka reakcji:
Razem:
rV
QC
QC
dt
dC
V
OUT
IN
+
−
=
0
,
0
C
C
t
=
=
C
k
r
⋅
=
kCV
QC
QC
dt
dC
V
IN
+
−
=
*) patrz slajd 12.
rea
kc
ja
I-g
o r
zęd
u
Q, C
IN
V, C, r
C
OUT
stan idealnego wymieszania
C
OUT
= C
19
Reaktor zbiornikowy, przepływowy
V, C, r
Q, C
IN
C
OUT
kCV
QC
QC
dt
dC
V
IN
+
−
=
• dzielimy przez V
• wyciągamy C przed nawias
•
• zakładamy, że C
0
= 0
• przenosimy C na lewą stronę
• dzielimy przez C
IN
• dzielimy przez…
L
0
,
0
C
C
t
=
=
IN
C
V
Q
C
k
V
Q
dt
dC
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
1
1
1
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
s
k
V
Q
k
V
Q
V
Q
C
C
IN
20
Reaktor zbiornikowy, przepływowy
1
1
1
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
s
k
V
Q
k
V
Q
V
Q
C
C
IN
Q, C
IN
C
OUT
1
3
3
−
=
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
s
sm
m
V
Q
[
]
[ ]
1
3
1
3
−
−
=
→
⋅
=
=
=
s
k
m
kmol
s
s
m
kmol
kC
r
[czas, s}
V, C, r
1
1
+
⋅
=
Ts
K
C
C
IN
21
Reaktor zbiornikowy, przepływowy
V, C, r
C
OUT
Q, C
IN
reaktor
C
IN
C = C
OUT
1
1
+
⋅
=
Ts
K
C
C
IN
k
V
Q
V
Q
K
−
=
k
V
Q
T
−
=
1
,
1. Reaktor zbiornikowy, przepływowy, z idealnym wymieszaniem,
z reakcją chemiczną I-go rzędu zachowuje się jak człon
inercyjny I-go rzędu.
1. Jeśli nie ma reakcji (k = 0) reaktor staje się mieszalnikiem
przepływowym o tej samej dynamice ale ze współczynnikiem
wzmocnienia K = 1 i stałej czasowej równej średniemu czasowi
przebywania (V/Q).
22
Ładowanie kondensatora
Bilans elektryczności (ładunku):
*) patrz slajd 12.
i
V
IN
R
C
Kinetyka elementów:
V
I N
R
C
i
Razem:
i
dt
dq =
iR
V
R
=
C
q
V
C
=
C
R
IN
V
V
V
+
=
RC
q
R
V
i
IN
−
=
IN
V
R
q
RC
dt
dq
1
1
+
−
=
0
,
0
=
=
q
t
23
Ładowanie kondensatora
IN
V
R
q
RC
dt
dq
1
1
+
−
=
0
,
0
=
=
q
t
i
V
IN
C
L
R
+ trochę roboty
(
)
1
1
+
⋅
=
RCs
C
V
q
IN
24
Ładowanie kondensatora
i
V
IN
C
R
(
)
1
1
+
⋅
=
RCs
C
V
q
IN
[ ]
s
A
As
V
C
A
V
F
RC
=
=
=
⋅
Ω
=
(
)
1
1
+
⋅
=
Ts
C
V
q
IN
V
IN
q
T = RC
Obwód szeregowego połączenia pojemności i oporu ma dynamikę
członu inercyjnego I-go rzędu, którego stała czasowa równa jest
iloczynowi oporu R i pojemności C.
25
Małe uogólnienie
Q
IN
V, m
3
Q
OUT
h
A, m
2
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
α
V, C, r
Q, C
IN
C
OUT
i
V
IN
R
C
T = RC
k
V
Q
T
−
=
1
A
mc
T
p
α
=
k
A
T
=
)
(
t
h
k
Q
OUT
⋅
=
R
U
i
=
(
)
ϑ
ϑ
α
−
=
f
A
q
k
1
=
R
A
α
1
=
R
R
=
R
A
=
C
p
mc
=
C
C
=
C
V
=
C
Q
1
=
R
r =kC
26
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
tra
nsm
ita
ncj
a je
st p
o to
,
żeb
y o
blic
za
ć Y
(
)
1
+
=
Ts
K
X
Y
(
)
X
Ts
K
Y
⋅
+
=
1
1. Impuls Diraca
1
)
(
⎯→
⎯
L
t
δ
← slajd 4.
(
)
(
)
1
1
1
+
=
+
=
Ts
K
Ts
K
Y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
T
t
T
K
t
y
exp
)
(
← slajd 5.
27
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
1. Impuls Diraca
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
K = 0.75
T = 1.5
czas
y(
t)
T
28
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
(
)
X
Ts
K
Y
⋅
+
=
1
(
)
1
+
=
Ts
K
X
Y
1. Skok jednostkowy
s
t
1
)
(
1
⎯→
⎯
L
← slajd 4.
(
)
(
)
1
1
1
1
+
=
⋅
+
=
Ts
s
K
s
Ts
K
Y
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
T
t
K
t
y
exp
1
)
(
← tablice.
29
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
2. Skok jednostkowy
0
0.25
0.5
0.75
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
K = 0.75
T = 1.5
T
30
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
(
)
X
Ts
K
Y
⋅
+
=
1
(
)
1
+
=
Ts
K
X
Y
3. Wymuszenie sinusoidalne
2
2
1
sin
ω
ω
+
⎯→
⎯
s
t
L
← slajd 4.
(
)
?
1
2
2
=
+
⋅
+
=
ω
ω
s
Ts
K
Y
(
)(
)
1
:
gdzie
2
2
2
−
=
−
+
=
+
j
j
s
j
s
s
ω
ω
ω
31
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
3. Wymuszenie sinusoidalne c.d.
1. rozkład na ułamki proste
(
)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+
+
+
=
+
⋅
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
j
s
C
j
s
B
T
s
A
T
K
s
Ts
K
Y
1
1
2
2
1
2
−
=
j
2. wyznaczenie stałych A, B, C
…………………..
3. trochę trygonometrii i algebry (poziom maturalny)
(
)
(
)
T
t
T
T
t
T
T
t
y
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
Φ
Φ
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
=
arctan
:
gdzie
sin
1
1
exp
1
)
(
2
2
2
2
32
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
3. Wymuszenie sinusoidalne c.d.
[
]
)
arctan(
sin
1
1
exp
1
)
(
2
2
2
2
T
t
T
T
t
T
T
t
y
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
=
część aperiodyczna część periodyczna
bardzo duża
częstotliwość
-1.571
-0.785
0.000
0.785
1.571
-10
-5
0
5
Przebieg funkcji arctan
2
π
−
=
Φ
∞
→
∞
→
T
ω
bardzo „leniwy”
człon
33
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
3. Wymuszenie sinusoidalne c.d.
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
34
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
3. Wymuszenie sinusoidalne c.d.
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
35
Koniec cz. II