Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. L. 6 

Ćwiczenia laboratoryjne - 6 

 

Dobór optymalnego asortymentu 

produkcji – programowanie 

liniowe 

Typy optymalizacji 

• Istnieją trzy podstawowe typy zadań 

optymalizacyjnych: 

 Optymalizacja statyczna- dotyczy ciągłego procesu 

technologicznego, w którym warunki nie zmieniają 

się w czasie realizacji procesu. 

 Optymalizacja quasistatyczna – dotyczy procesów, 

w których zmiana parametrów w czasie jest bardzo 

wolna i można przyjąć, że nie ulegają one zmianie. 

 Optymalizacja dynamiczna –dotyczy procesów 

zachodzących w reżimie dynamicznym (na przykład 
rozruch instalacji).   

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Programowanie matematyczne 

(optymalizacja statyczna) 

• Programowanie Liniowe  

funkcja celu i funkcje ograniczeń są liniowe

 

 

• Programowanie Nieliniowe 

funkcja celu i/lub funkcje ograniczeń są 
nieliniowe 

Konstrukcja modelu matematycznego 

  Model matematyczny składa się z: 
 

Funkcji celu

 – będącej matematycznym 

zapisem kryterium optymalizacyjnego 

Zbioru zmiennych decyzyjnych

 oraz 

pozostałych parametrów opisujących proces 

Zbioru ograniczeń

 (warunków 

ograniczających) 

Zadanie optymalizacji liniowej 

•      

 

   zbiór zmiennych decyzyjnych zadania 

 

 

 

  optymalizacji  

 

• n=1,...,N               ilość zmiennych zadania 

 

•   

 

           funkcja celu 

 

•                            

 

 

ograniczenia  

 

 

 

 

 

 

równościowe  

•                                      

 

ograniczenia  

 

 

 

 

 

 

nierównościowe 

 

T

n

x

x

}

,...,

{

1



x

)

(x

f

r

j

n

j

dla

h

,...,

1

,

)

(





0

x

n

k

n

k

dla

g

,...,

1

,

)

(





0

x

Postać standardowa Zadania Programowania liniowego  

Alternatywne zapisy

 

Znajdź wektor (x

1

,...,x

n

) który minimalizuje kombinację liniową  

(funkcję celu)  
(1.1) 
Przy ograniczeniach 

n

n

2

2

1

1

x

...

x

x

c

c

c

z









n

m

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

m

n

mn

2

m2

1

m1

2

n

2n

2

22

1

21

1

n

1n

2

12

1

11













































n

j

,...,

2

,

1

,

0

x

j











n

j

c

z

1

j

j

x









n

j

i

j

ij

m

i

b

x

a

1

,...,

2

,

1

,

n

j

,...,

2

,

1

,

0

x

j





przy ograniczeniach 

Zminimalizować

 funkcję 

(1.2) 

(1.3) 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Problem  wyboru  asortymentu  produkcji,  można 

najogólniej  określić  jako  decyzje,  które  wyroby  i  w 

jakich 

ilościach 

powinno 

produkować 

przedsiębiorstwo,  aby  uzyskać  maksymalny  zysk  lub 

dochód  z  ich  sprzedaży,  przy  jednoczesnym  nie 

przekraczaniu 

dostępnych  zasobów  i  środków 

produkcji.  

Dobór optymalnego asortymentu produkcji 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Typowym zagadnieniem optymalnego doboru 
asortymentu produkcji jest: 
 
"Dany zakład może produkować n wyrobów. Do ich 
produkcji zużywane są różne środki produkcji, z 
których część (oznaczona jako m) jest dostępna w 
ograniczonych ilościach. Ustalone są wcześniej normy 
zużycia środków produkcji na jednostkę każdego 
wyrobu. Mamy również dane zasoby środków 
produkcji, a także zyski jednostkowe. 
 
Które wyroby i w jakich ilościach produkować, aby nie 
przekroczyć posiadanych zasobów środków produkcji i 
jednocześnie zmaksymalizować zyski z ich sprzedaży".  

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Ogólny model matematyczny zagadnienia wygląda następująco: 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Przykładowe zadanie 

Należy  dokonać  dobóru  optymalnego  wyboru  asortymentu 

produkcji  dla  odlewni  produkującej  trzy  rodzaje  odlewów 
dwuwarstwowych:  odlew  1,  odlew  2  oraz  odlew  3.  Wsad  metalowy 
do  produkcji  tych  odlewów  przygotowywany  jest  w  dwóch  piecach: 
indukcyjnym PI (rdzeń) i tyglowym PII (warstwa zewnętrzna). Czas 
pracy  tych  pieców  jest  limitowany  i  zależy  od  sposobu  topienia  i 
charakteru  prowadzonych  procesów  technologicznych.  Jednostkowe 
nakłady  czasu  pracy  urządzeń  grzewczych,  ich  normy  zużycia  oraz 
zysk 

jednostkowy 

z 

produkcji 

poszczególnych 

odlewów 

przedstawiono  w  tabeli.  Celem  obliczeń  jest  ustalenie  optymalnego 
asortymentu produkcji zakładu odlewniczego tak, aby osiągnięty zysk 
ze sprzedaży produkowanych odlewów był maksymalny. 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Tabela z danymi 

Rodzaj 

pieca 

Czas pracy urządzeń  [h/ 1 szt. odlewu] 

Limit pracy 

pieca [h] 

Odlew I 

Odlew II 

Odlew III 

PI 

5 

3 

1 

36 000 

PII 

1 

2 

4 

48 000 

Zysk 

1 800 zł / 1 szt.  2 400 zł / 1 szt.  3 000 zł / 1 szt. 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

W  związku  z  pewnymi  ograniczeniami,  wynikającymi  z 

zapotrzebowania odbiorców na poszczególne odlewy, oraz w wyniku 
prowadzonej  gospodarki  magazynowo  –  transportowej  w  odlewni, 
sformułowano kolejne warunki ograniczające: 

 

-  zapotrzebowanie  odbiorców  na  odlew  1  wynosi  nie  więcej  niż 

200 sztuk, 

-  odlewnia  potrzebuje  120  sztuk  odlewu  2  jako  rezerwę  dla 

kooperanta, oraz 

- 60 sztuk odlewu 3 na wywiązanie się z zaległego zamówienia. 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Model matematyczny 

W rozpatrywanym zadaniu, funkcja celu przyjmuje następującą 
postać: 
 

 

 

 
Warunki ograniczające W: 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Rozwiązanie w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel: 

Definicja funkcji celu.: 

 

 

 

 

 

 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Warunki ograniczające wprowadzone do Excela: 
 

 

 

 

 

 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Okno dialogowe Solver – Parametry: 

 

 

 

 

 

 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Okno dialogowe Solver – Parametry: 

 

 

 

 

 

 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Rozwiązanie optymalnego doboru asortymentu produkcji zakładu 

odlewniczego: 

 

 

 

 

 

 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Zadanie 1 

 

 

 

 

 

 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Zadanie 2 

 

 

 

 

 

 

Logistyka w Hutnictwie 
Ćw. 6 

Zadanie 3