1
Przekształcenia elementarne macierzy
Definicje
Przekształceniem elementarnym lub operacją elementarną na macierzy nazywamy:
1.
Zamianę miejscami (przestawienie) dwóch dowolnych wierszy albo dwóch dowolnych
kolumn.
2.
Mnożenie przez liczbę różną od zera wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolum-
ny).
3.
Dodawanie do wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiadających im
(stojących na tych samych miejscach) elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych
przez tę samą liczbę różną od zera.
Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez operacje elementarne to mówimy, że A i B są
macierzami równoważnymi i zapisujemy A ~ B.
Przykład
Macierz M =
−
−
3
0
1
2
1
4
5
3
2
1
7
4
przekształcamy następująco:
Zamieniamy miejscami wiersz drugi i wiersz trzeci, otrzymujemy (nowe wiersze za-
znaczamy ‘); piszemy w
2
’
= w
3
, w
3
’
= w
2
; otrzymujemy macierz M
1
. Mnożąc wiersz
pierwszy przez -3, piszemy w
1
’ = -3w
1
, macierzy M
1
otrzymujemy macierz M
2.
M
1
=
−
−
1
4
5
3
3
0
1
2
2
1
7
4
, M
2
=
−
−
−
−
1
4
5
3
3
0
1
2
6
3
21
12
.
Do wiersza drugiego dodamy wiersz trzeci pomnożony przez 5 (zapis w
2
’= w
2
+5w
3
):
M
3
=
−
−
−
1
4
5
3
8
20
24
17
6
3
21
12
.
Macierze M, M
1
, M
2
, M
3
są wzajemnie równoważne.
Podobne operacje można wykonywać na kolumnach macierzy.
Operacje elementarne wykorzystujemy przy rozwiązywaniu układów równań linio-
wych, o czym będzie mowa w kolejnych paragrafach kursu.
2
Rząd macierzy
Ujęcie poglądowe
_________________________________________________________________________
Macierz M =
−
−
3
0
1
2
1
4
5
3
2
1
7
4
(z przykładu powyżej) można przekształcać wykonując
operacje elementarne, aby otrzymać macierz zero - jedynkową (której wyrazami są 0 lub 1).
W tym celu wybierzmy kolumnę k
2
. Mnożymy ją przez 2 i dodajemy do kolumny k
1
;
symbolicznie k
1
’ = k
1
+ 2k
2
. Kolumnę k
2
mnożymy przez 3 i dodajemy do kolumny k
3
. Otrzy-
mujemy:
M
1
=
−
−
0
0
1
0
16
4
5
13
23
1
7
18
.
Wiersz w
3
mnożymy przez 5 i dodajemy do wiersza w
2
; wiersz w
3
mnożymy przez 7 i
dodajemy do wiersza w
1.
Otrzymujemy:
M
2
=
−
−
0
0
1
0
16
4
0
13
23
1
0
18
.
Dalej wykonujemy operacje: k
1
’ = k
1
+ 18k
3
; k
4
’ = k
4
+ 18k
3
otrzymujemy:
M
3
=
−
−
0
0
1
0
108
4
0
85
0
1
0
0
.
Następnie wykonujemy operacje:
w
2
’ = w
2
+ 4k
1
; k
4
’ = k
4
−
85
108
k
1
; k
1
’ =
85
1
k
1
; k
3
’ =
−
k
3
; k
2
’ =
−
k
2
.
Otrzymujemy M
4
=
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
.
Przestawiając wiersze macierzy M
4
doprowadzimy tę macierz do postaci:
M
4
=
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
, w której pionową linią wydzielono podmacierz jednostkową I
3
stopnia 3. Liczbę 3 nazywa się rzędem macierzy M.
3
_________________________________________________________________________
Ujęcie formalne ogólne
_____________________________________________________________
Twierdzenie
Każdą niezerową macierz wymiaru m x n za pomocą skończonego ciągu operacji ele-
mentarnych można przekształcić w równoważną jej macierz zero – jedynkową postaci:
A
m x n
=
[ ]
r
I
lub A
m x n
=
[
]
0
r
I
lub A
m x n
=
0
r
I
lub A
m x n
=
0
0
0
r
I
,
gdzie I
r
jest macierzą jednostkową stopnia r, zaś 0 macierzą zerową. Kreskami piono-
wymi, poziomymi wyróżniliśmy podmacierze macierzy A
m x n
.
Definicja
Stopień macierzy jednostkowej I
r
występującej w macierzy zero – jedynkowej postaci
A
m x n
=
[ ]
r
I
lub A
m x n
=
[
]
0
r
I
lub A
m x n
=
0
r
I
lub A
m x n
=
0
0
0
r
I
nazywamy
rzędem macierzy A
m x n
.
Rząd macierzy A
m x n
oznaczamy R( A
m x n
) lub krótko R(A). Piszemy R(A) = r.
Twierdzenie
Rząd macierzy niezerowej A
m x n
jest liczbą spełniającą warunek:
1
≤
R( A
m x n
)
≤
min (m, n ), gdzie min (m, n ) jest niewiększą z liczb m, n.
Ćwiczenia
1.
Dane są macierze:
a)
[ ]
3
, b)
3
4
2
3
, c)
−
1
4
2
3
, d)
−
−
5
7
3
6
4
4
0
1
2
,
e)
−
−
7
2
3
5
2
5
3
1
4
3
3
1
2
0
1
, f)
−
−
2
4
6
3
2
0
9
5
1
5
6
7
4
3
2
, g)
[
]
8
4
0
1
5
3
2
−
.
Doprowadź każdą z nich do postaci zero – jedynkowej oraz wyznacz jej rząd.