M[1] 5 Przeksztalcenia elementarne macierzy

background image

1

Przekształcenia elementarne macierzy

Definicje

Przekształceniem elementarnym lub operacją elementarną na macierzy nazywamy:

1.

Zamianę miejscami (przestawienie) dwóch dowolnych wierszy albo dwóch dowolnych

kolumn.

2.

Mnożenie przez liczbę różną od zera wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolum-

ny).

3.

Dodawanie do wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiadających im

(stojących na tych samych miejscach) elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych

przez tę samą liczbę różną od zera.

Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez operacje elementarne to mówimy, że A i B są

macierzami równoważnymi i zapisujemy A ~ B.

Przykład

Macierz M =

3

0

1

2

1

4

5

3

2

1

7

4

przekształcamy następująco:

Zamieniamy miejscami wiersz drugi i wiersz trzeci, otrzymujemy (nowe wiersze za-

znaczamy ‘); piszemy w

2

= w

3

, w

3

= w

2

; otrzymujemy macierz M

1

. Mnożąc wiersz

pierwszy przez -3, piszemy w

1

’ = -3w

1

, macierzy M

1

otrzymujemy macierz M

2.

M

1

=

1

4

5

3

3

0

1

2

2

1

7

4

, M

2

=

1

4

5

3

3

0

1

2

6

3

21

12

.

Do wiersza drugiego dodamy wiersz trzeci pomnożony przez 5 (zapis w

2

’= w

2

+5w

3

):

M

3

=

1

4

5

3

8

20

24

17

6

3

21

12

.

Macierze M, M

1

, M

2

, M

3

są wzajemnie równoważne.

Podobne operacje można wykonywać na kolumnach macierzy.

Operacje elementarne wykorzystujemy przy rozwiązywaniu układów równań linio-

wych, o czym będzie mowa w kolejnych paragrafach kursu.

background image

2

Rząd macierzy

Ujęcie poglądowe

_________________________________________________________________________

Macierz M =

3

0

1

2

1

4

5

3

2

1

7

4

(z przykładu powyżej) można przekształcać wykonując

operacje elementarne, aby otrzymać macierz zero - jedynkową (której wyrazami są 0 lub 1).

W tym celu wybierzmy kolumnę k

2

. Mnożymy ją przez 2 i dodajemy do kolumny k

1

;

symbolicznie k

1

’ = k

1

+ 2k

2

. Kolumnę k

2

mnożymy przez 3 i dodajemy do kolumny k

3

. Otrzy-

mujemy:

M

1

=

0

0

1

0

16

4

5

13

23

1

7

18

.

Wiersz w

3

mnożymy przez 5 i dodajemy do wiersza w

2

; wiersz w

3

mnożymy przez 7 i

dodajemy do wiersza w

1.

Otrzymujemy:

M

2

=

0

0

1

0

16

4

0

13

23

1

0

18

.

Dalej wykonujemy operacje: k

1

’ = k

1

+ 18k

3

; k

4

’ = k

4

+ 18k

3

otrzymujemy:

M

3

=

0

0

1

0

108

4

0

85

0

1

0

0

.

Następnie wykonujemy operacje:

w

2

’ = w

2

+ 4k

1

; k

4

’ = k

4

85

108

k

1

; k

1

’ =

85

1

k

1

; k

3

’ =

k

3

; k

2

’ =

k

2

.

Otrzymujemy M

4

=

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

.

Przestawiając wiersze macierzy M

4

doprowadzimy tę macierz do postaci:

M

4

=

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

, w której pionową linią wydzielono podmacierz jednostkową I

3

stopnia 3. Liczbę 3 nazywa się rzędem macierzy M.

background image

3

_________________________________________________________________________

Ujęcie formalne ogólne

_____________________________________________________________

Twierdzenie

Każdą niezerową macierz wymiaru m x n za pomocą skończonego ciągu operacji ele-

mentarnych można przekształcić w równoważną jej macierz zero – jedynkową postaci:

A

m x n

=

[ ]

r

I

lub A

m x n

=

[

]

0

r

I

lub A

m x n

=

0

r

I

lub A

m x n

=

0

0

0

r

I

,

gdzie I

r

jest macierzą jednostkową stopnia r, zaś 0 macierzą zerową. Kreskami piono-

wymi, poziomymi wyróżniliśmy podmacierze macierzy A

m x n

.

Definicja

Stopień macierzy jednostkowej I

r

występującej w macierzy zero – jedynkowej postaci

A

m x n

=

[ ]

r

I

lub A

m x n

=

[

]

0

r

I

lub A

m x n

=

0

r

I

lub A

m x n

=

0

0

0

r

I

nazywamy

rzędem macierzy A

m x n

.

Rząd macierzy A

m x n

oznaczamy R( A

m x n

) lub krótko R(A). Piszemy R(A) = r.

Twierdzenie

Rząd macierzy niezerowej A

m x n

jest liczbą spełniającą warunek:

1

R( A

m x n

)

min (m, n ), gdzie min (m, n ) jest niewiększą z liczb m, n.

Ćwiczenia

1.

Dane są macierze:

a)

[ ]

3

, b)

3

4

2

3

, c)

1

4

2

3

, d)

5

7

3

6

4

4

0

1

2

,

e)

7

2

3

5

2

5

3

1

4

3

3

1

2

0

1

, f)

2

4

6

3

2

0

9

5

1

5

6

7

4

3

2

, g)

[

]

8

4

0

1

5

3

2

.

Doprowadź każdą z nich do postaci zero – jedynkowej oraz wyznacz jej rząd.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
M[1].5. Przeksztalcenia elementarne macierzy
Elementy macierzy
Przeksztalcenia macierzowe id 4 Nieznany
Macierz sztywności elementu prostokątnego oraz izoparametrycznego - referat
Elementy rachunku macierzowego, uczelnia
Przeksztalcenia macierzowe id 4 Nieznany
Przekształcenia macierzowe
Przeksztalcanie wzorow
Wyk 02 Pneumatyczne elementy
Elementy prawa prawo administracyjne
Ustawa z dnia 25 06 1999 r o świadcz pien z ubezp społ w razie choroby i macierz
7 Mikro i makro elementy naszej diety
Wykład 4 Elementarne zagadnienia kwantowe
Elementy klimatu

więcej podobnych podstron