E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
WYKA
AD 2
STRUKTURY SYSTEMU PRODUKCYJNEGO
I ANALIZA PRZEPA
YWÓW
Podstawowe oznaczenia przy opisach przepływów:
Qwe, Qwy - wydajność (natężenie przepływu) strumienia wejściowego i
wyjściowego,
q i - wydajność i - tego urządzenia,
i = 1, 2 .... n - numer urządzenia uti,
p ( i ) - prawdopodobieństwo niezawodności działania urządzenia uti
1. Struktura szeregowa
q1 q2 qi qn
Qwe Qwy
ut 1 ut 2 ut i ut n
p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)
Wydajność średnia układu wynosi:
Q sr = Ps (s) * min q i ; i = 1, 2 ...n
przy czym niezawodność układu szeregowego wynosi:
n
Ps (s) = P� {p (i)} ;
i=1
Ponadto:
*� gdy Q WE < min qi
Q WY = Q WE * Ps (s)
2. Struktura równoległa
q 1 p (1)
ut 1
q 2 p (2)
Q WE Q WY
ut 2
q i i p (i)
q n p (n)
ut n
1
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
Wydajność układu wynosi:
n n
*� gdy Q WE > S� q i => Q WY = PR (s) * S� q i
i=1 i=1
n
*� gdy Q WE < S� q i =>
Q WY = PR (s) * Q WE
i=1
przy czym niezawodność układu równoległego wynosi:
n
PR (s) = 1 - P� [ 1 - p (i)] ;
i=1
3. Typowe modele przepływów w procesach produkcyjnych
Z punktu widzenia procesów logistycznych wyróżnia się dwa podstawowe
rodzaje procesów produkcyjnych:
�� procesy aparaturowe (dywergencyjne, dywersyfikujące)
�� procesy obróbczo - montażowe (konwergencyjne, syntetyzujące)
3.1.Procesy aparaturowe (dywergencyjne) - charakteryzują się tym, że z
niewielkiej liczby surowców (półproduktów), w kolejnych etapach produkcji,
wytwarzany jest liczny asortyment wyrobów dostosowany do popytu klientów 
rysunek 1.
Rys. 1. Schemat procesu dywergencyjnego
3.2.Procesy obróbczo  montażowe (konwergencyjne) lub syntetyzujące
charakteryzują się tym, że z wielu materiałów (surowców, półproduktów lub
produktów) wytwarza się ograniczony asortyment wyrobów gotowych  rys. 2.
2
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
Rys. 2. Schemat procesu konwergencyjnego
Ze względu na dużą złożoność procesów konwergencyjnych, a w
szczególności ze względu na  dużą wymiarowość tych procesów (duża liczba
zmiennych decyzyjnych), sterowanie przepływami materiałów oraz informacji w
tych procesach jest bardzo skomplikowane, a do sterowania wykorzystuje się
wiele metod.
Z tego powodu powinno się  klasyfikować przepływy produkcyjne w
ustalone, znane rozwiązania organizacji przepływów.
Są to:
�� linie potokowe stałe zsynchronizowane,
�� linie potokowe stałe niezsynchronizowane,
�� linie potokowe zmienne,
�� gniazda przedmiotowe o produkcji powtarzalnej,
�� gniazda o produkcji niepowtarzalnej.
4. Możliwości zwiększania wydajności struktur zawodnych
�� Niezawodność obiektu to jego zdolność do spełnienia wymagań (czyli jest to
stan obiektu).
�� Niezawodność obiektu jest to prawdopodobieństwo spełnienia przez obiekt
stawianych mu wymagań ( a zatem jest to liczba 0 < P < 1 ).
�� Niezawodność obiektu jest to prawdopodobieństwo, że obiekt będzie sprawny
w okresie (t1 , t2)
Prawdopodobieństwo zdatności P (s)
Do określenia zdatności wykorzystywany jest dodatkowy parametr opisujący
urządzenie - wskaz
nik uszkodzeń k�:
t pn czas postojów nieplanowanych (uszkodzeń)
k� =
t p czas pracy urządzenia
jako wartość średnią wskaz
nika przyjmuje się:
t pn E
k� = �
t p B
E - średnia wartość czasu trwania postoju urządzenia wskutek uszkodzenia
(czas naprawy),
3
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
B - średnia wartość czasu nieprzerwanej pracy urządzenia.
Zwiększanie wydajności następuje najczęściej poprzez:
�� dobór urządzeń o wyższych zdatnościach (niezawodnościach),
�� zastosowanie redundancji, czyli nadmiaru dla całego układu
(tzw. zrównoleglanie układu),
�� zastosowanie redundancji, czyli nadmiaru dla wybranych elementów układu
(tzw. zrównoleglanie składników),
�� zainstalowanie w układzie dodatkowego elementu pojemnościowego -
zbiornika (składu, bufora).
4.1. METODA ZRÓWNOLEGLANIA SKA
ADNIKÓW
Metoda polega na równoległym dołączaniu do poszczególnych urządzeń
elementów nadmiarowych. W ten sposób otrzymujemy  n gałęzi, w których
dołączonych jest  mi elementów nadmiarowych. Jest to układ o strukturze
szeregowej, w którym poszczególne gałęzie posiadają strukturę
równoległą.
Założenia:
Qwe, Qwy - wydajność (natężenie przepływu) strumienia wejściowego i
wyjściowego,
q i - wydajność i - tego urządzenia,
i = 1, 2 .... n - numer urządzenia uti (także "gałęzi")
m i - ilość elementów dołączonych do i - tej "gałęzi",
p ( i ) - prawdopodobieństwo niezawodności działania urządzenia uti
q1 q2 qi qn
Qwe Qwy
1 2 i n
p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)
2
m 2
m i
m n
m 1 - 1
m 1
Niezawodność takiego układu nadmiarowego wynosi:
n mi
Prs (n, m) = P� [ 1 - P� ( 1 - p (i)) ] ;
i=1 i=1
4
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
4.2. METODA ZRÓWNOLEGLANIA UKA
ADU
Metoda polega na równoległym dołączaniu do istniejącej struktury szeregowej
urządzeń struktur nadmiarowych. W ten sposób otrzymujemy  m gałęzi. Jest to
układ o strukturze równoległej, w którym poszczególne gałęzie posiadają
strukturę szeregową.
Założenia:
Qwe, Qwy - wydajność (natężenie przepływu) strumienia wejściowego i
wyjściowego,
q i - wydajność i - tego urządzenia,
i = 1, 2 .... n - numer urządzenia uti,
j = 1, 2 .... m - ilość dołączonych "gałęzi",
p ( i ) - prawdopodobieństwo niezawodności działania urządzenia uti
q1 q2 qi qn
Qwe Qwy
1 2 i n
1
p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)
q1 q2 qi qn
1 2 i n
2
p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)
j
q1 q2 qi qn
1 2 i n
m
p(1) p(2) .... p(i) ... p(n)
Niezawodność takiego układu nadmiarowego wynosi:
m n
Pru (n, m) = 1 - P� [ 1 - P� p (i) ] ;
j=1 i=1
4.3. UKA
AD Z ELEMENTEM POJEMNOŚCIOWYM
Dany jest układ Ł� zastosowano w nim element pojemnościowy o zasobie Z.
5
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
Q DO Q OD
k�1 k�2 k�k k�k+1 k�n
Z
Zadania urządzenia pojemnościowego:
�� podczas uszkodzenia jednego z elementów "części dostarczającej" materiał
do zbiornika, możliwe jest przesyłanie materiału do odbiorcy ze zbiornika,
�� podczas uszkodzenia jednego z elementów "części odbierającej" materiał ze
zbiornika, możliwe jest gromadzenie materiału w zbiorniku, przy czym
odbiorca nie otrzymuje materiału do chwili zakończenia naprawy uszkodzenia.
ANALIZA STANÓW W UKA
ADACH Z ELEMENTEM
POJEMNOŚCIOWYM
Celem analizy jest ustalenie wpływu elementu pojemnościowego
na wydajność układu urządzeń.
Zmiennymi decyzyjnymi w analizie są:
ż� pojemność elementu,
ż� położenie elementu pojemnościowego w strukturze urządzeń.
Schemat układu:
Q DO
dZ
DO
= QDO - QOD
dt
część dostarczająca DO
Z
element pojemnościowy
k�DO
Q OD
OD
część odbierająca OD
k�OD
6
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
1. Analiza możliwych stanów urządzeń
Dla celów analizy wpływu parametrów bufora na sprawność układu
przyjęto, że część dostarczająca i część odbierająca mogą znalez
ć się w
następujących stanach:
�� S  pracuje;
�� A  uszkodzony;
�� P  element w postoju wymuszonym.
Z kolei trzecia część  bufor może przyjąć jeden z trzech poniższych stanów:
�� 1  pusty;
�� 2  częściowo zapełniony;
�� 3  pełny.
S2S
A2S
A1P
A2A
S2A S2S
S3A
P3A
Uogólnienie powyższych założeń dla potrzeb całego układu pozwala
stwierdzić, że liczba stanów w jakich może znalez
ć się układ wynosi:
n 3
3 =� 3 =� 27
Przykładowy opis stanu:
P3A - oznacza, że nie ma przepływu materiału w układzie, gdyż:
a). część odbierająca  OD znajduje się w stanie awarii  A ;
b). bufor jest pełny;
c). część dostarczająca  DO znajduje się w postoju wymuszonym  P .
Przyjęcie założeń upraszczających pozwoliło na redukcję liczby możliwych
stanów do ośmiu, które zebrano w tabeli 1 wraz z możliwymi między nimi
przejściami, które dodatkowo ilustruje graf przejść.
7
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
Tab.1. Tabela możliwych stanów
Stan poprzedni Lp. Stan aktualny Stan następny
4 1 S1S 4,6
5,6 2 S2S 5,6
8 3 S3S 5,8
1,5 4 A1P 1
2,3,7 5 A2S 2,7,4
1,2,7 6 S2A 7,2,8
5,6 7 A2A 6,5
3,6 8 P3A 3
S  sprawny (pracuje);
A  uszkodzenie (awaria); P  postój wymuszony
1, 2, 3  stany zasobnika (pusty,
P3A częściowo zap., pełny) A1P
S1S
S2S
S3S
S2A A2S
A2A
Graf stanów i przejść
2. Algorytm obliczeń przepływu materiału w systemach
z elementem pojemnościowym (buforem)
W obliczeniach część dostarczającą i część odbierającą scharakteryzowana jest
czasem trwania naprawy i czasem pracy do uszkodzenia. Analizie poddane jest
osiem podstawowych stanów układu.
8
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
Zarówno czas pracy jak i czas naprawy są zmiennymi losowymi opisanymi
rozkładem eksploatacyjnym  wykładniczym.
Za dane wejściowe przyjęto poniższe parametry:
�� Wskaz
nik uszkodzeń każdego pojedynczego urządzenia:
k� ;i =� 1,2...n ;
I
�� Pojemność zasobnika:
V = {V1, V2& ..Vi& Vk}
�� Średni czas pracy każdego urządzenia: B(I), B(II);
�� Średni czas naprawy każdego urządzenia E(I), E(II);
E(I ) =� B(I ) �� �I ; E(II ) =� B(II ) �� �II
�� Rzeczywiste czasy trwania stanu (praca, naprawa) są wyliczane z
funkcji gęstości rozkładu wykładniczego:
f (t ) =� e-� t t =� -�l� ln C;
stąd:
gdzie:
l� - wartość średnia B(IS), E(IS)
C �� (0,1)
- zmienna losowa;
STAN S1S
�� MOMENT KOC
CA STANU  TK :
TK = min (TU (I), TU (II) )
�� Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II (czas pracy):
TU(I) = - B(I) * ln C
TU(II) = - B(II) * ln C
�� Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX
�� Produkcja P:
P = P + W * CRS
�� Generowanie czasu naprawy urządzenia I lub II (urządzenia IS):
CN (IS) = - E(IS) * ln C
�� Moment końca naprawy:
TN (IS) = TK + CN (IS)
�� Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TU (I) TK = TU (II)
A1P S2A
STAN S2S
�� MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min ( TU (I), TU (II))
�� Czas pracy systemu CRS:
CRS = TK - TX
�� Produkcja P:
P = P + CRS * W
�� Generowanie czasu naprawy urządzenia IS:
CN(IS) = - E(IS) * ln C
9
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
�� Moment zakończenia naprawy IS:
TN (IS) = TK + CN (IS)
�� Początek następnego stanu :
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TU (I) TK = TU (II)
A2S S2A
STAN S3S
�� MOMENT ZAKOC
CZENIA STANU:
TK = min ( TU(I), TU(II) )
�� Czas pracy systemu CRS:
CRS = TK - TX
�� Produkcja P:
P = P + W * CRS
�� Generowanie czasu naprawy urządzenia, dla którego TK = TU (IS):
CN (IS) = - E (IS) * ln C
�� Moment końca naprawy urządzenia IS:
TN (IS) = TK + CN (IS)
�� Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TU (I) TK = TU (II)
A2S P3A
STAN A1P
�� MOMENT KOC
CA STANU  A1P :
TK = TN (I)
�� Generowanie czasu pracy urządzenia I:
CR (I) = - B(I) * ln C
�� Czas trwania stanu A1P:
CP = TK - TU (I) = CN (I)
�� Poprawa momentów uszkodzeń:
TU (I) = TK + CR (I)
TU (II) = TU (II) + CP
�� Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TN (I)
S1S
STAN A2S
�� Czas do opróżnienia zasobnika CV:
CV = Q / W
�� Moment zakończenia stanu:
TK = min ( TN(I), TU(II), TX + CV )
�� Czas trwania stanu:
CP = TK - TX
10
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
�� Produkcja P P = P + CP * W
�� Stan zasobnika Q: Q = Q - W * CP
�� Generowanie czasu:
- pracy, jeżeli TK = TN (I):
CR (I) = - B (I) * ln C
- naprawy, jeżeli TK = TU (II):
CN (II) = - E (II) * ln C
�� Początek następnego stanu: TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TN (I) TK = TU (II) TK = TX + CV
TU (I) = TK + CR (I) TN (II) = TK + CN (II)
S2S A2A A1P
STAN S2A
�� Czas do zapełnienia zasobnika CV:
CV = ( V - Q ) / W
�� MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )
�� Czas trwania stanu:
CP = TK - TX
�� Zapełnienie zasobnika Q:
Q = Q + W * CP
�� Generowanie czasu:
- naprawy, jeżeli TK = TU (I)
CN (I) = - E (I) * ln C
- moment zakończenia naprawy:
TN (I) = TU (I) + CN (I)
- pracy, jeżeli TK = TN (II)
CR (II) = - B (II) * ln C
- moment zakończenia pracy:
TU (II) = TK + CR (II)
Początek nowego stanu :
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TU (I) TK = TN (II) TK = TX + CV
A2A S2S P3A
3. PRZYKA
AD
Dane:
W = 1,
k� = 0,02
B(I) = B(2) = 30; średni czas pracy do uszkodzenia,
i = 5 - położenie zasobnika,
E(I) = E(II) = (0,02*5)*30 = 3; średni czas naprawy,
V = 2 - pojemność zasobnika,
C - wygenerowana liczba losowa z przedziału (0, 1).
OBLICZENIA
1. Warunki początkowe: TX=0 - czas, P=O - produkcja, Q=0 - zasób.
S1S
11
E. Michlowicz: IMW - Struktury systemu i analiza przepływów
�� MOMENT KOC
CA STANU  TK :
TK = min (TU (I) )
�� Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II:
TU(I) = - B(I) * ln C = - 30 * ln 0.8737 = 4.05
TU(II) = - B(II) * ln C = - 30 * ln 0.7615 = 8.17
�� Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX = 4.05 - 0 = 4.05
�� Produkcja P:
P = P + W * CRS = 0 + 1 * 4.05 = 4.05
�� Generowanie czasu naprawy urządzenia I:
CN (I) = - E(I) * ln C = - 3 * ln 0.6701 = 1.2
�� Początek następnego stanu: A1P (bo zasobnik pusty - 1)
TX = TK = 4.05
2.
A1P
�� MOMENT KOC
CA STANU  A1P :
TK = TX + CN(I) = 4.05 + 1.2 = 5.25
�� Generowanie czasu pracy urządzenia I:
CR (I) = - B(I) * ln C= - 30 * ln 0,0856 = 73.7
�� Czas trwania stanu A1P:
CP = CN (I) = 1.2
�� Poprawa momentów uszkodzeń:
TU (I) = TK + CR (I) = 5.25 + 73.7 = 78.95
TU (II) = TU (II) + CP = 8.17 + 1.2 = 9.37
�� Początek następnego stanu: S1S
TX = TK = 5.25
3.
S1S
�� MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min ( TU ) = TU (II) = 9.37 --> S2A
�� Generowanie czasu naprawy urządzenia II:
CN (II) = - E (II) * ln C = - 3 * ln 0.5329 = 1.89
�� Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX = 9.37 - 5.25 = 4.12
�� Produkcja P:
P = P + W * CRS = 4.05 + 1*4.12 = 8.17
�� Początek następnego stanu: S2A
TX = TK = 9.37
4.
S2A
�� Czas do zapełnienia zasobnika CV:
CV = ( V - Q ) / W = 2/1 = 2
�� MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
12