Analiza nakładów i wyników - model Leontiewa
Przedmiotem takiej analizy są przepływy międzygałęziowe w złożo-
nych układach gospodarczych.
Wartości przepływów międzygałęziowych ustalane są w oparciu o
statystyczne obserwacje działalności produkcyjnej poszczególnych
gałęzi rozpatrywanego układu w ustalonym okresie.
Zebrane w ten sposób dane, wyrażone w jednostkach pieniężnych,
przedstawione są w postaci tablicy przepływów międzygałęziowych.
Tablica przepływów międzygałęziowych
Numer Przepływ xij Produkt Produkcja
gałęzi z gałęzi i do gałęzi j końcowy globalna
j 1 2 � � � n di xi
i
1 x11 x12 � � � x1n d1 X1
2 x21 x22 � � � x2n d2 X2
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
n xn1 xn2 � � � xnn d1 X1
Macierz współczynników kosztów (współczynników technicznych):
�ł łł
�ł śł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
a21 a22 . . . a2n
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = .
�ł śł
�ł śł
�ł śł
. . . . . . . . . . . .
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
xij
Współczynnik aij = oznacza wartość towaru i niezbędnego do
Xi
wyprodukowania towaru j o wartości 1 jednostki pieniężnej.
Oznaczenia:

d - wektor konsumpcji (produktu końcowego);
- wektor produkcji globalnej;
x
A - wektor nakładów w procesie produkcyjnym niezbędny do uzy-
x
skania wyników określonych przez wektor
x.

Aby zaspokoić ustalony popyt d należy tak dobrać wektor aby
x
było spełnione równanie:

= A + d.
x x
Lewa strona wyraża całkowitą podaż, a prawa - całkowity popyt. Na

popyt składa się nie tylko wektor pożądanej konsumpcji d, lecz także
wielkość A potrzebna jako nakłady w procesie produkcyjnym.
x
Aby obliczyć wektor wyników przy założonym poziomie konsump-
x

cji d należy rozwiązać równanie macierzowe

(I - A) = d.
x
Macierz I-A nazywamy macierzą Leontiewa. Jeśli macierz Leontie-
wa posiada macierz odwrotną to równanie ma rozwiązanie postaci

= (I - A)-1d.
x
Tw. Jeśli suma wyrazów w każdej kolumnie macierzy A jest mniej-
sza niż jeden, to macierz Leontiewa posiada macierz odwrotną.
Przykład:
Pewnien fikcyjny system gospodarczy składa się z trzech gałęzi (np.:
energetyki, hutnictwa, i budownictwa). Poniższa tablica jest tablicą
przepływów międzygałęziowych w tym systemie.
Numer Przepływ xij Produkt Produkcja
gałęzi z gałęzi i do gałęzi j końcowy globalna
j 1 2 3 di xi
i
1 24 9 20 67 120
2 48 27 10 5 90
3 12 18 30 40 100
Z pierwszego wiersza tej tabeli wynika, że na produkcję globalną
pierwszej gałęzi równą 120 składa sie produkt końcowy (konsump-
cja) o wartości 76 oraz produkty zużyte do produkcji w pierwszej,
drugiej i trzeciej gałęzi o wartościach równych odpowiednio 24, 9,
20. Podobne informacje zawiera wiersz drugi i trzeci. Współczynnik
aij = xij/xj oznacza wartość towaru i niezbędnego do wyprodu-
kowania towaru j o wartości 1 jednostki pieniężnej.
Numer Przepływ xij Produkt Produkcja
gałęzi z gałęzi i do gałęzi j końcowy globalna
j 1 2 3 di xi
i
1 24 9 20 67 120
2 48 27 10 5 90
3 12 18 30 40 100
Przedstawmy produkcję globalną i produkt końcowy w postaci wek-
torów i obliczmy macierz kosztów:
�ł łł
�ł łł �ł łł
�ł śł
24 9 20
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
120 67
�ł śł �ł śł
120 90 100
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
48 27 10
�ł śł
= d = A =
x
�ł 90 śł �ł śł
5
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
120 90 100
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
100 40 �ł 12 18 30 �ł
120 90 100
�ł łł �ł łł
�ł śł �ł śł
24 9 20
�ł śł �ł śł
0, 2 0, 1 0, 2
�ł śł �ł śł
120 90 100
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
48 27 10
�ł śł �ł śł
A = =
�ł śł �ł 0, 4 0, 3 0, 1 śł
�ł śł �ł śł
120 90 100
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł 12 18 30 �ł �ł �ł
0, 1 0, 2 0, 3
120 90 100
Macierz Leontiewa :
�ł łł
�ł śł
0, 8 -0, 1 -0, 2
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
I - A =
�ł -0, 4 0, 7 -0, 1 śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
-0, 1 -0, 2 0, 7
Macierz odwrotna do macierzy Leontiewa
�ł łł
�ł śł
�ł śł
1, 48 0, 35 0, 47
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
(I - A)-1 =
�ł 0, 91 1, 70 0, 50 śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
0, 47 0, 54 1, 64
A
atwo sprawdzić, że zachodzą następujące równości:
�ł łł
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
0, 2 0, 1 0, 2
�ł śł
120 120 67
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
= � +
�ł 90 śł �ł 90 śł �ł śł
5
�ł 0, 4 0, 3 0, 1 śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł śł
100 �ł �ł 100 40
0, 1 0, 2 0, 3
oraz
�ł łł
-1
�ł łł �ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
0, 8 -0, 1 -0, 2
�ł śł
120 67
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
= � =
�ł 90 śł �ł śł
5
�ł -0, 4 0, 7 -0, 1 śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
100 �ł �ł 40
-0, 1 -0, 2 0, 7
�ł łł
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
1, 48 0, 35 0, 47
�ł śł
67
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�
�ł śł
5
�ł 0, 91 1, 70 0, 50 śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
�ł �ł 40
0, 47 0, 54 1, 64