Część 1 10. METODA SIA - RAMA 1
10. Ł
10. METODA SIA - RAMA
Sposób rozwiązywania zadań metodą sił przeanalizujemy szczegółowo na konkretnych
przykładach liczbowych.
Zadanie 1
Wykonać wykresy sił wewnętrznych od obciążeń rzeczywistych układu statycznie niewyznaczalnego:
4 2
P = 54 kN
EJ
EJ
2 EJ
4
q = 9 kN/m
[m]
3 3
Rys. 10.1. Układ rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny. Wybieramy jeden z możliwych układów
podstawowych. Odrzucamy myślowo dwie podpory prętowe (pozostawiając jedynie utwierdzenie) i
zastępujemy je niewiadomymi siłami X i X .
1 2
4 2
P = 54 kN
EJ EJ
X2
X1
2 EJ
4
q = 9 kN/m
3 3
[m]
Rys. 10.2. Układ podstawowy z niewiadomymi siłami X i X
1 2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 2
Aby układ ten był równoważny układowi rzeczywistemu należy go uzupełnić o układ równań
kanonicznych opisujących warunek identyczności kinematycznej:
ą11"X ąą12"X ąą1 P=0
1 2
(10.1)
{
ą21"X ąą22"X ąą2 P=0
1 2
W celu obliczenia przemieszczeń , wykonujemy wykresy momentów od sił jednostkowych
ik
przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X i X , oraz od obciążenia zewnętrznego (rys. 10.2). Wykresy
1 2
0
te nazwiemy kolejno M (rys. 10.3), M (rys. 10.4), M (rys. 10.5).
1 2 P
3 3
3
3
X1 = 1
X2 = 1
4
4
M1 [m]
M2 [m]
[m]
[m]
3 3
3 3
Rys. 10.3. Wykres momentów od siły jednostkowej Rys. 10.4. Wykres momentów od siły jednostkowej
przyłożonej w miejsce niewiadomej X przyłożonej w miejsce niewiadomej X
1 2
54
54
4
MP0 [kN/m]
126
[m]
3 1 2
Rys. 10.5. Wykres momentów od obciążenia zewnętrznego
Mając gotowe wykresy momentów możemy przystąpić do obliczania współczynników równań
kanonicznych (10.1) przy wykorzystaniu metody Maxwella-Mohra. Uwzględniając jedynie momenty zginające
przemieszczenie obliczamy ze wzoru:
M M
i k
ąik= ds (10.2)
"+"
EJ
j
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 3
Dla uproszczenia całkowania skorzystamy z numerycznej metody Wereszczagina Mohra
1 1 "3 "3 "2 "3 ą 1 m3
ą11 = [4 "3 "3]=27
[ ]
EJ 2 3 2 EJ EJ
1 1 "3 "3 "2 "3 ą 1 m3
ą22= "[4 "3 "3 ]=27
[ ]
EJ 2 3 2 EJ EJ
1 m3
ą12=ą21=- [4 "3 "3]=-18
2 EJ EJ
1 126 ą54"4 "3 -2"9 "42"4 "3 =468 kNm3
ą1 P=
[ ]
2 EJ 2 3 8 EJ
1 1 1 2"9 "42"4 "3 - 126ą54"4 "3 =-540 kNm3
ą2 P= "1 "54 " -2"3 -1"2 ą
śą źą [ ]
[ ]
EJ 2 3 3 2 EJ 3 8 2 EJ
Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:
27 "X - 18 "X ą 468
=0
1 2
EJ EJ EJ
-18 27 540
{ "X ą "X - =0
1 2
EJ EJ EJ
Z rozwiązania powyższego układu równań otrzymamy następujące wyniki:
X =-7,2 kN
1
{
X =15,2 kN
2
Warto przy tym zadaniu zastanowić się nad sensem wprowadzania niewiadomych w postaci grupy sił.
Rys. 10.6 przedstawia układ podstawowy dla tego zadania przyjęty jak poprzednio, z tą różnicą, że zamiast
niewiadomych sił X i X wprowadzono grupy sił Z i Z .
1 2 1 2
4 2
P = 54 kN
EJ
Z1
Z1
Z2
Z2
2 EJ
4
q = 9 kN/m
[m]
3 3
Rys. 10.6. Układ podstawowy z niewiadomymi Z i Z
1 2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 4
Wykonajmy zatem ponownie wykresy momentów, tym razem od grup sił Z i Z . Wykresy te nazwiemy
1 2
kolejno M ' (rys. 10.7) i M ' (rys. 10.8). Tym razem układ równań kanonicznych ma postać:
1 2
ą'11"Z1ąą '12"Z2ąą'1 P=0
{
ą'21"Z1ąą'22"Z ąą'2 P=0
2
3
3
3 Z2 = 1 Z2 = 1
Z1 = 1 Z1 = 1
6
4
4
M1' [m]
M2' [m]
[m]
[m]
3 3
3 3
Rys. 10.8. Wykres momentów od sił jednostkowych
Rys. 10.7. Wykres momentów od sił jednostkowych
przyłożonych w miejsce niewiadomych Z
przyłożonych w miejsce niewiadomych Z 2
1
Przyglądając się wykresom M ' i M ' można zauważyć, że niektóre przemieszczenia będą zerowe.
1 2
Spróbujmy zatem sprawdzić czy nasze spostrzeżenia są słuszne i obliczmy ponownie przemieszczenia z
układu równań kanonicznych:
1 m3
ą'11 = 2 "1 "3 "3 "2 "3 =18
śą źą
EJ 2 3 EJ
1 1
ą'12=ą21= "3 "3 "2 -1 "3 "3 "2 =0
śą źą
EJ 2 3 2 3
1 1 m3
ą'22= "18 ą "śą4 "6 "6 źą=90
EJ 2 EJ EJ
1 1 "1 "54 " 1 "2 ą2 "3 =-72"kNm3
ą'1 P=- "
śą źą
[ ]
EJ 2 3 3 EJ
72 1 2 "4 "9 "42"6 =1008 kNm3
ą'2 P= - " 6 "4 "1 "śą126ą54źą-
[ ]
EJ 2 EJ 2 3 8 EJ
Po podstawieniu do równań kanonicznych otrzymujemy dwa równania z jedną niewiadomą:
18 "Z ą0 "Z2 - 72
=0
1
EJ EJ
{0 "Z1 ą90 "Z2 ą1008 =0
EJ EJ
Po rozwiązaniu równań otrzymujemy wyniki:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 5
Z1 =4 kN
{
Z =-11,2 kN
2
Wydaje się, że wyniki są różne, ale analizując rys. 10.2 i rys. 10.6 okazuje się, że niewiadome X są
i
odpowiednimi sumami zmiennych Z :
i
X =Z1 ąZ =4ąśą-11,2źą=-7,2 kN
1 2
X =Z1-Z =4-śą-11,2źą=15,2 kN
2 2
czyli uzyskaliśmy takie same wyniki unikając rozwiązywania skomplikowanego układu równań.
4 2
P = 54 kN
EJ
7,2 kN 15,2 kN
2 EJ
4
q = 9 kN/m
[m]
3 3
Rys. 10.9. Stan obciążenia siłami zewnętrznymi oraz nadliczbowymi siłami X i X
1 2
Po otrzymaniu wartości niewiadomych X i X dokonujemy analizy końcowej zadania, czyli tworzymy
1 2
wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w układzie podstawowym, obciążonym zewnętrznie oraz przez siły
X i X (rys. 10.9). Wartości sił wewnętrznych możemy określić w oparciu o zasadę superpozycji. Sumując
1 2
wykresy momentów w układach podstawowych od obciążenia zewnętrznego M0 (rys. 10.5) i wykresy
P
jednostkowe M (rys. 10.3), M (rys. 10.4) przemnożone przez rzeczywiste wartości nadliczbowych X i X .
1 2 1 2
Podobnie możemy postąpić przy wyznaczaniu sił tnących i normalnych :
n
śąnźą O
M =M ą M "X
"
P P i i
i =1
n
nźą 0
TśąP =T ą T "X (10.3)
"
P i i
i =1
n
śąnźą 0
N =N ą N "X
"
P P i i
i ą1
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 6
21,6
8,4
13,2
30,4
4
MP(n) [kN/m]
58,8
3 1 2
(n)
Rys. 10.10. Wykres momentów rzeczywistych M
P
Ponieważ nie dysponujemy wykresami normalnych i tnących ani w układzie podstawowym, ani w
układach od stanów X = 1 i X = 1, wykresy tych funkcji możemy narysować tradycyjnie korzystając z
1 2
obciążeń na rys. 10.9 lub inaczej, korzystając z wykresu momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym
(rys. 10.10). W tym celu dzielimy układ na pojedyncze pomocnicze fragmenty i dla nich pomocą wyznaczamy
wartości sił tnących w poszczególnych przekrojach.
21,6
Mp(n) [kNm]
8,4
30,4
Mp(n) [kNm]
2
1
3
54 kN
8,4 kNm
ą
ł
ą
ł
21,6 kNm
7,2 kN
15,2 kN
13,2 kNm
MP(n) [kN/m]
13,2
4
q = 9 kN/m
x
58,8
58,8 kNm
Rys. 10.11. Rysunki pomocnicze do wykonania wykresu sił tnących
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 7
T =-15,2 [kN ]
ą
T =38,8 [kN ]
ą
T =-7,2 [kN ]
ąą
T =36 -9 x
ą
38,8
+
_
_
-7,2
-15,2
4
TP(n) [kN]
+
36,0
3 1 2
(n)
Rys. 10.12. Wykres rzeczywistych sił tnących T
P
Wartości sił normalnych można wyznaczyć równoważąc węzły układu (równowaga sił w węzłach)
7,2 kN 38,8 kN
N
Rys. 10.13. Równowaga sił w węzle ramy
Y =0 Śą N =-46 kN
"
ą
_
4
-46,0
NP(n) [kN]
3 1 2
(n)
Rys. 10.14. Wykres rzeczywistych sił normalnych N
P
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 8
10.1. Sprawdzenia poprawności obliczeń
10.1.1. Sprawdzenie globalne
Sprawdzenie to polega na zbudowaniu pewnego fikcyjnego wykresu momentów MS, będącego sumą
wszystkich wykresów jednostkowych ( M1, M2, ..., Mi):
n
M = M (10.4)
"
S i
i=1
Na podstawie tak sporządzonego wykresu obliczamy współczynnik SS ze wzoru:
2
M
S
(10.5)
ąSS= "ds
+"
EJ
Okazuje się że wartość współczynnika SS równa jest sumie wszystkich współczynników macierzy podatności:
n n
ąSS= ąik (10.6)
""
i =1 k=1
Można to udowodnić w następujący sposób:
M "M
1
S S
ąSS= "ds= "śąM ąM ą...ąM źą2"ds
+" +"
1 2 n
EJ EJ
S S
M "M M "M M "M
1 1 1 2 1 n
= "dsą "dsą...ą "dsą
+" +" +"
EJ EJ EJ
S S S
M "M M "M M "M
2 1 2 2 2 n
ą "dsą "dsą...ą "dsą
+" +" +"
EJ EJ EJ
S S S
M "M M "M M "M
n 1 n 2 n n
ą "dsą "dsą...ą "ds=
+" +" +"
EJ EJ EJ
S S S
n n
=ą11 ąą12 ą...ąąnn= ąik
""
i =1 k=1
W ten sposób otrzymaliśmy możliwość sprawdzenia poprawności wyliczeń wszystkich uzyskanych
współczynników ik (z pominięciem "iP). Jeżeli powyższa równość jest spełniona przeprowadzone dotychczas
obliczenia są prawidłowe. Jeżeli nie, to lokalizujemy błąd sprawdzeniem lokalnym.
10.1.2. Sprawdzenie lokalne
Sprawdzenie to, zwane także wierszowym lub kolumnowym, polega na zlokalizowaniu błędu, przez
odrębne rozpatrywanie elementów danego wiersza macierzy podatności (lub danej kolumny, bo macierz ta jest
symetryczna). Sumowania te wyrażone są wzorem:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 9
n
M "M
i S
ąis= ds= ąik (10.7)
+" "
EJ
k=1
S
Gdzie i to numer wykresu jednostkowego (dla X = 1) oraz numer sprawdzanego wiersza macierzy.
i
Sprawdzenie poprawności wartości obliczeń wyrazów wolnych "iP przeprowadza się wzorem:
0 0
n
M "M
S P
ąSP= ds= ąiP (10.8)
+" "
EJ
i=1
S
Dowód na skuteczność zależności (10.7) i (10.8) jest analogiczny jak dla sprawdzenia globalnego.
Po zlokalizowaniu i poprawieniu błędu przystępujemy do dalszej analizy wyników.
10.1.3. Sprawdzenie wartości niewiadomych sił
Sprawdzenie to polega na podstawieniu wyznaczonych wielkości X do równań kanonicznych i
k
stwierdzeniu, czy układ równań jest spełniony.
10.1.4. Sprawdzenie statyczne
To sprawdzenie mówi nam, czy przy wyznaczonych siłach wewnętrznych spełnione są warunki
statycznej równowagi (ŁX=0, ŁY=0, ŁM=0). Polega ono na wykazaniu, że spełnione są równania równowagi
dla całości układu jak również dla wybranych jego części. Warto zaznaczyć, że sprawdzenie to nie bada
poprawności wyliczonych Xk, a jedynie sprawdza poprawność wykresów sił wewnętrznych od obciążeń
zewnętrznych i nadliczbowych (niekoniecznie prawidłowych).
10.1.5. Sprawdzenie kinematyczne
Sprawdzenie to jest najważniejsze, gdyż tak naprawdę to dopiero ono mówi nam czy uzyskane wyniki
są prawidłowe. Polega ono na wykazaniu, że dla wybranych punktów (na ogół punktów, które nie doznają
przemieszczeń w układzie statycznie niewyznaczalnym) przemieszczenia są równe wartościom rzeczywiście
tam występującym.
Zagadnienie wyznaczania przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych wydaje się
stosunkowo złożone, gdyż zgodnie z uniwersalną zasadą pracy wirtualnej w celu określenia przemieszczenia,
należy znalezć wykresy sił wewnętrznych w układzie statycznie niewyznaczalnym zarówno dla stanu
rzeczywistego jak i wirtualnego.
śąnźą śąnźą
M "M
P
ą
1 "ą = "ds
"+"
j
EJ
S
Żeby uzyskać wykres momentów od obciążeń zewnętrznych trzeba było rozwiązać układ równań
kanonicznych.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 10
n
ąik"X ąąiP=0 (10.9)
"
k
k=1
Podobnie w celu stworzenia wykresu momentów wirtualnych w układzie statycznie niewyznaczalnym
musimy najpierw wyznaczyć reakcje nadliczbowe:
n
ąik"X ąąiP=0
"
k
k=1
ąiP
Obliczamy mnożąc wykres ze stanu X i wykres momentów od obciążenia wirtualnego w
1
układzie podstawowym.
10.2. Twierdzenia redukcyjne
W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym należy
wykorzystać zasadę prac wirtualnych wprowadzając do równania funkcje sił wewnętrznych, wynikających z
obciążenia wirtualnego oraz z obciążenia rzeczywistego. Jednak można jedną z tych funkcji (wirtualną lub
rzeczywistą) wyznaczyć stosując dowolny układ podstawowy (statycznie wyznaczalny).
śąnźą śąnźą śąnźą śą0źą śą0źą śąnźą
M "M M "M M "M
P P P
ą
1 "ąśąnźą= "ds= "ds= "ds (10.10)
"+" "+" "+"
EJ EJ EJ
S S S
Zadanie 2
Wyznaczyć przemieszczenie pionowe punktu znajdującego się w miejscu przyłożenia siły P
(rys. 10.1) stosując trzy różne układy podstawowe (statycznie wyznaczalne) dla obciążenia wirtualnego.
a) Przy wykorzystaniu zależności (10.10) do rozwiąznia potrzebne nam będą dwa wykresy: wcześniej
(n)
sporządzony wykres momentów rzeczywistych M z rys. 10.10, oraz wykres momentów w przyjętym
P
układzie podstawowym obciążonym siłą wirtualną (po kierunku poszukiwanego przemieszczenia).
21,6
EJ 1
8,4
13,2
2
1
30,4 3
4 2 EJ
3 4
MP(n) [kN/m]
0
[m]
M
58,8
2
[m]
[m]
3 1 2
3 1 2
3
Przemieszczenie wyznaczamy korzystając z twierdzenia redukcyjnego:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 11
śąnźą śą0źą
M "M
nźą P
ą
1 "ąśąP = "ds
"+"
EJ
S
1 1"1 "2 " 2 "30,4 -1 "8,4 ą1 "2 "2 "2 "30,4 =19,33śą3źą
nźą
ąśąP = "
śą źą
[ ]
EJ 2 3 3 3 2 3 3 EJ
b) Obliczamy przemieszczenie po przyjęciu innego układu podstawowego dla obciążenia wirtualnego
21,6
EJ
1
8,4
1
13,2
1
30,4
4 3
2 EJ
4
MP(n) [kN/m]
0
[m]
M
58,8
4
[m]
[m]
3 1 2 3
3 1 2
Przemieszczenie wyznaczone ze wzoru (10.10) ma wartość :
śąnźą śą0źą
M "M
nźą P
ą
1 "ąśąP = "ds
"+"
EJ
S
1 1"1 "1 " 2 "8,4 - 1 "30,4 ą1 "3 "1 "2 "21,6 =19,33śą3źą
nźą
ąśąP = "
śą źą
[ ]
EJ 2 3 3 2 3 EJ
c) Na koniec sprawdzamy rachunki dla jeszcze innego układu podstawowego:
21,6
1
1
EJ
8,4
13,2
30,4
2 EJ
4 1 4
MP(n) [kN/m]
0
[m]
M
58,8
[m]
[m]
3 1 2
3 1 2
Wartość przemieszczenia wyznaczamy mnożąc i całkując powyższe wykresy :
śąnźą śą0źą
M "M
nźą P
ą
1 "ąśąP = "ds
"+"
EJ
S
1 1 2 "8,4 -1 "30,4 ą 1 1 "śą58,8-13,2źą"4 "1 -2 "9 "42"4 "1 =19,33śą3źą
nźą
ąśąP = " "1 "1 " "
śą źą [ ]
[ ]
EJ 2 3 3 2 EJ 2 3 8 EJ
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 12
We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy identyczne wartości przemieszczeń co dowodzi, że układ
podstawowy może być przyjęty dowolnie.
10.2.1. Dowód pierwszego twierdzenia redukcyjnego
Dowód twierdzenia przytoczymy uwzględniając w obliczeniach przemieszczeń jedynie wpływ
momentów zginających. Spróbujemy dowieść prawdziwości twierdzenia:
śąnźą śąnźą śąnźą śą0źą
M "M M "M
P P
"ds= "ds (10.11)
"+" "+"
EJ EJ
S S
Zgodnie z zasadą superpozycji można zapisać, że :
śąnźą śą0źą
M =M ą X "M ą X "M ą...ą X "M
P P 1 1 2 2 n n
(10.12)
śąnźą śą0źą
M =M ą X "M ą X "M ą...ą X "M
1 1 2 2 n n
śąnźą
śąnźą
Funkcje M i podstawiamy do wyrażenia pod pierwszą całką:
M
p
śąnźą śąnźą śą0źą śą0źą
M "M =śąM ą X "M ą X "M ą...ą X M źą"śąM ą X "M ą X "M ą...ą X M źą=
P P 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
0 śą0źą
=M "śąM ą X "M ą X "M ą...ą X M źąą
P 1 1 2 2 n n
śą0źą 2
ą X "śąM "M ą X "M ą X "M "M ą...ą X M M źąą (10.13)
1 P 1 1 1 2 2 1 n n 1
śą0źą
ą X "śąM "M ą X "M "M ą X "M "M ą...ą X M M źąą...ą
2 P 2 1 1 2 2 2 2 n n 2
śą0źą 2
ą X "śąM "M ą X "M "M ą X "M "M ą...ąM "X źą
n P n 1 1 n 2 2 n n n
Biorąc pod uwagę, że całka z iloczynu momentów podzielonego prze sztywność jest odpowiednim
przemieszczeniem :
2
M
1
ą11 = "ds
+"
EJ
S
2
M
2
ą22 = "ds (10.14)
+"
EJ
S
2
M
n
ąnn= "ds
+"
EJ
S
M "M
1 2
ą12=ą21 = "ds
+"
EJ
S
M "M
1 n
ą1 n=ąn1= "ds (10.15)
+"
EJ
S
M "M
2 n
ą2 n=ąn2= "ds
+"
EJ
S
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 13
0
M "M
1 P
ą1 P= "ds
+"
EJ
S
0
M "M
2 P
ą2 P= "ds (10.16)
+"
EJ
S
0
M "M
n P
ąnP= "ds
+"
EJ
S
Wykorzystując to we wzorze (10.13) zapiszemy:
śąnźą śąnźą
M "M
P
1 "ą = "ds= X "śą X "ą11 ą X "ą12 ą..ą X "ą1 nąą1 Pźąą
+"
j 1 1 2 n
EJ
S
ą X "śą X "ą21 ą X "ą22 ą...ą X "ą2 nąą2 Pźąą
(10.17)
2 1 2 n
śą0źą śąnźą
M "M
P
ą X "śą X "ąn1ą X "ąn2ą...ą X "ąnnąąnPźąą "ds
+"
n 1 2 n
EJ
S
Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są równe zeru. Ostatecznie
twierdzenie (10.11) zostało udowodnione.
śąnźą 0
śąnźą śąnźą
M "M
M "M
P
1 "ą = "ds= "ds (10.18)
+" +"
j
EJ EJ
S S
10.2.2. Dowód drugiego twierdzenia redukcyjnego
W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym, wystarczy
rozwiązać układ ten od obciążenia wirtualnego, zaś rzeczywisty stan obciążeń określić dla dowolnego układu
podstawowego statycznie wyznaczalnego.
śąnźą śąnźą śą0 źą śąnźą
M "M M "M
P P
1 "ą = "ds= "ds (10.19)
+" +"
j
EJ EJ
S S
Warto zaznaczyć, że dzięki twierdzenia redukcyjnemu w rozważanym układzie można przeprowadzić
bardzo dużo sprawdzeń kinematycznych, gdyż możemy przyjąć wiele różnych układów podstawowych.
Reasumując, kontrole kinematyczną najlepiej przeprowadzać stosując inny układ podstawowy niż
wykorzystywany przy liczeniu niewiadomych, ponieważ efektem tego sprawdzenia byłoby tylko wykazanie
poprawności równania kanonicznego.
Uwzględniając w obliczeniach przemieszczeń jedynie wpływ momentów zginających udowodnimy
twierdzenie redukcyjne w postaci:
śąnźą śąnźą śą0 źą śąnźą
M "M M "M
P P
1 "ą = "ds= "ds
+" +"
j
EJ EJ
S S
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 14
Zgodnie z zasadą superpozycji moment w układzie statycznie niewyznaczalnym jest równy:
śąnźą śą0źą
M =M ą X "M ą X "M ą...ą X "M
P P 1 1 2 2 n n
śąnźą śą0źą
M =M ą X "M ą X "M ą...ą X "M
1 1 2 2 n n
śąnźą
śąnźą
Funkcje M i podstawiamy do wyrażenia podcałkowego:
M
P
śąnźą śąnźą śą0źą śą0źą
M "M =śąM ą X "M ą X "M ą...ą X M źą"śąM ą X "M ą X "M ą... .ą X M źą=
P P 1 1 2 2 n n P 1 1 2 2 n n
0 śą0źą
=M "śąM ą X "M ą X "M ą....ą X M źąą
p 1 1 2 2 n n
śą0źą 2
ą X "śąM "M ą X "M ą X "M "M ą....ą X M M źąą (10.20)
1 1 1 1 2 2 1 n n 1
śą0źą
ą X "śąM "M ą X "M "M ą X "M "M ą....ą X M M źąą...ą
2 2 1 1 2 2 2 2 n n 2
śą0źą 2
ą X "śąM "M ą X "M "M ą X "M "M ą...ąM "X źą
n n 1 1 n 2 2 n n n
Biorąc pod uwagę wyrażenia (10.14), (10.15), (10.16) oraz (10.20) otrzymamy :
śąnźą śąnźą
M M
P
1 "ą = ds=X "śą X "ą11 ą X "ą12 ą..ą X "ą1 nąą1 Pźąą
+"
j 1 1 2 n
EJ
S
ąX "śą X "ą21 ą X "ą22 ą...ą X "ą2 nąą2 Pźąą
(10.21)
2 1 2 n
śą0źą śąnźą
M "M
P
ąX "śą X "ąn1ą X "ąn2ą...ą X "ąnnąąnPźąą "ds
+"
n 1 2 n
EJ
S
Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są równe zeru.
Po ich wyeliminowaniu otrzymujemy twierdzenie redukcyjne:
śąnźą śąnźą śą0źą śąnźą
M "M M "M
P P
1 "ą = "ds= "ds
+" +"
j
EJ EJ
S S
Zadanie 3
Dokonać sprawdzenia obliczeń układu statycznie niewyznaczalnego z rys. 10.1
Obliczone wcześniej przemieszczenia (współczynniki macierzy podatności) mają wartość:
ą1 1=18
EJ
ą1 2=ą2 1=0
ą2 2=90
EJ
ą1 P=-72
EJ
ą2 P=1008
EJ
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 15
a) Sprawdzenie globalne
Sumujemy wykresy Z i Z aby otrzymać wykres M
1 2 s.
3
6
3
3
Z1 = 1 Z1 = 1
Z2 = 1 Z2 = 1
6
6
4 4 4
Ms [m]
M1' [m]
M2' [m]
[m] [m] [m]
3 3 3 3 1 2
3
Rys. 10.17. Zestawienie wykresów momentów od stanu Z i Z
1 2
Przy wykorzystaniu wzoru (10.5) otrzymujemy wartość współczynnika SS.
1 1 "6 "3 "2 "6 ą 1 108
ąSS= " "śą6 "4 "6 źą=
śą źą
EJ 2 3 2 EJ EJ
Aby sprawdzić nasze obliczenia według (10.6) musimy znalezć jeszcze drugą stronę równania:
n n
18ą0ą0ą90
ąik=ą1 1ąą1 2ąą2 1ąą2 2= =108
""
EJ EJ
i =1 k=1
Sprawdzenie globalne jest spełnione ponieważ :
n n
ąSS= ąik
""
i=1 k=1
108 108
=
EJ EJ
b) Sprawdzenia lokalne
6
3
Z1 = 1 Z1 = 1
6
4 4
Ms [m]
M1' [m]
[m]
2 [m]
3
3 3
1
Rys. 10.18. Wykres momentów w stanie M' i M
1 s
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 16
Dla rozważanego przykładu suma współczynników pierwszego wiersza macierzy podatności wynosi:
n
18
ą1 k=ą1 1ąą1 2=18ą0 =
"
EJ EJ
k=1
Aby sprawdzić obliczenia musimy znalezć jeszcze wartość współczynnika . W tym celu należy przemnożyć
1S
wykresy M ' i M .
1 S
M "M
1 1 "3 "3 "2 "6 = 18
1 S
ą1 S= ds=
+"
[ ]
EJ EJ 2 3 EJ
S
Ponieważ:
2
18 18
ąiS= = ą1 k=
"
EJ EJ
k=1
Równanie (10.7) jest spełnione dla wiersza pierwszego.
W celu sprawdzenia kolumny wyrazów wolnych, zgodnie ze wzorem (10.8) obliczamy sumę:
n
936
ąk P=ą1 Pąą2 P=-72 ą1008 =
"
EJ EJ
k=1
A następnie współczynnik " na podstawie wykresów:
SP
54
6
54
6
4 4
MP [kN/m]
Ms [m]
126
2 [m]
[m]
3 1 2 3
1
Rys. 10.19. Wykres momentów w stanie P i M
s
M "M
1 54 ą126"4 "6 - 2 "9 "42"4 "6 = 936
S P
ąSP= ds=
+"
[ ]
EJ 2 EJ 2 3 8 EJ
S
Równanie (10.8) jest spełnione ponieważ:
n
M "M
S P
ąSP= ds= ąiP
+" "
EJ
i =1
S
936 936
=
EJ EJ
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 17
c) Sprawdzenie wartości niewiadomych sił
Aby upewnić się, że układ równań został poprawnie rozwiązany należy wartości niewiadomych X
i
podstawić do równań:
18 0 śą-72źą
"4ą "śą-11,2źąą =0
EJ EJ EJ
0 90 "śą-11,2źąą1008
{ "4 ą =0
EJ EJ EJ
0 =0
{
0 =0
Wartości nadliczbowych spełniają układ równań.
d) Sprawdzenie statyczne
Dysponując wszystkimi siłami wewnętrznymi odcinamy myślowo ramę od podpór i przykładamy siły
przypodporowe (reakcje).
P = 54 kN
K
7,2 kN 15,2 kN
4
q = 9 kN/m
36 kN
58,8 kNm 46 kN
[m]
3 1 2
Rys. 10.20. Rama zawieszona na wewnętrznych siłach przypodporowych
Obciążenie zewnętrzne wraz z reakcjami musi spełniać równania równowagi.
X : 9 "4 -36=0 !0=0
"
Y : -7,2 -54ą15,2 ą46=0 ! 0=0
"
M : -58,8 -7,2 "3 ą9 "4 "2 ą54 "1 -15,2 "3=0 ! 0=0
"
e) Sprawdzenie kinematyczne
Skorzystamy z twierdzenia redukcyjnego i obliczymy przemieszczenie mnożąc rzeczywisty wykres
(n)
momentów M przez wykres wirtualny utworzony w nowym układzie podstawowym.
P
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 18
Żeby dokonać sprawdzenia musimy policzyć znane przemieszczenie. W układzie podstawowym na
rys. 10.21 znamy przemieszczenie pionowe i kąt obrotu przekroju w dolnej podporze. W rzeczywistości jest
tam utwierdzenie, tak więc wszystkie przemieszczenia są równe zero. Liczymy kąt obrotu przekroju
(przykładamy wirtualny moment):
21,6
0,5
EJ
8,4
0,5
13,2
1 1
30,4
1
2 EJ
4
6 6
4
MP(n) [kN/m]
0
1 [-]
[m]
M
58,8
[m]
[m]
3 1 2
2
3 1
Rys. 10.21. Wykresy momentów zginających od: obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym (statycznie
niewyznaczalnym) oraz od jedynkowej siły w innym układzie podstawowym
Uwzględniając tylko wpływ momentów otrzymujemy:
1 1 "3 "21,6 "2 "1 1 "1 "8,4 " 2 "1 1 "1
1 "ą= " - ą ą
śą źą
[
EJ 2 3 2 2 3 2 3 3
1 "1 "30,4 " 1 "1 2 "1 1 "2 "30,4 "2 "1
ą ą ą
śą źą
]
2 3 2 3 3 2 3 3
1 2 "9 "42"4 "1 = 0
ą " -1 "4 "58,8 "1 ą1 "4 "13,2 "1 ą =0 rad
[ ]
2 EJ 2 2 3 8 EJ
Wynik jest poprawny.
10.3. Metoda sił dla innych typów obciążeń
Podstawową różnicą pomiędzy obliczaniem układów statycznie wyznaczalnych a niewyznaczalnych jest
to, że w tych drugich obciążenia takie jak: temperatura, osiadanie czy błąd montażu wywołują obok
przemieszczeń konstrukcji także siły wewnętrzne. Dlatego obciążenia te należy uwzględnić w wyrazach
wolnych w równaniach kanonicznych, tzn. ik pozostaje bez zmian, natomiast w zależności od obciążenia "iP
zastępuje się następującymi wielkościami:
10.3.1. Wpływ temperatury
ąt"ąt
ąi t= " M "dsą N "ąt"t0 "ds (10.22)
+" +"
i i
h
gdzie :
ąt - współczynnik rozszerzalności termicznej,
"t - różnica temperatur,
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 19
to - równomierne ogrzanie,
h - wysokość przekroju,
M i N - wykresy sił wewnętrznych dla stanu X =1,
i i i
ąt, "t, t są takie same jak dla układów statycznie wyznaczalnych.
o
Równanie kanoniczne przyjmie postać:
n
ąik"X ąąit=0 (10.23)
"
k
k=1
10.3.2. Wpływ osiadania podpór
ąi ą=- Ri"ąi- M "ąi
" "
i
(10.24)
i i
gdzie:
" - przemieszczenie liniowe podpory,
i
Ć - przemieszczenie kątowe podpory,
i
R i M - reakcje po kierunkach przemieszczanych podpór.
i i
Równanie kanoniczne przyjmie postać:
n
ąik"X ąąi ą=0 (10.25)
"
k
k=1
10.3.3. Wpływ błędów montażu
ąi m= Bi m"bi m
"
(10.26)
i
gdzie:
b - błąd w wymiarze elementu (np. pręt zbyt długi),
im
B - siła wewnętrzna po kierunku błędnego wymiaru (np. siła normalna).
im
Równanie kanoniczne przyjmie postać:
n
ąik"X ąąi m=0 (10.27)
"
k
k=1
Uwaga!
Gdy wpływem zewnętrznym jest temperatura, osiadanie podpór lub błędy montażu zadanie jest
rozwiązywalne tylko przy znanym EJ, EA, GA. Wyrazy wolne " , " , " nie są wyrażone przez sztywność
it i" im
dlatego też nie można pominąć sztywności we współczynnikach .
ik
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 20
Zadanie 4
Obliczyć siły wewnętrzne w analizowanej ramie, wywołane działaniem temperatury (pominiemy wpływ
równomiernego ogrzania) oraz osiadaniem podpór.
-5 oC
EJ
25 oC
35 oC
2 EJ
0,015 [m] 4
0,01 rad
[m]
3 3
Rys. 10.22. Układ rzeczywisty obciążony temperaturą i osiadaniem podpór
Do obliczeń przyjmujemy układ podstawowy, który daje prostszą postać macierzy podatności:
-5 oC
EJ
Z1
Z1
25 oC
35 oC
Z2
Z2
2 EJ
4
0,015 [m]
0,01 rad
3 3
Rys. 10.23. Układ podstawowy z niewiadomymi Z1 i Z2
W zadaniu przyjęto:
" współczynnik rozszerzalności termicznej jak dla stali:
ąt=1,2 "10-5 1
C
" ramę wykonaną z profili stalowych
rygiel ramy I200
słup ramy 2 I200
o następujących parametrach:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 21
E=206,01 GPa=206,01 "106 kN
m2
J =2140 "10-8 m4
x
E"J =4408,614 kN"m2
Ponieważ układ podstawowy przyjęto jak w poprzednim zadaniu możemy skorzystać z wykonanych
wcześniej wykresów:
3
3
3
Z1 = 1 Z1 = 1
Z2 = 1 Z2 = 1
6
4
4
M1' [m]
M2' [m]
[m] [m]
3 3 3
3
Rys. 10.24. Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące kolejno od: siły jedynkowej
przyłożonej w miejsce niewiadomej Z1 i siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej Z2
i wcześniej obliczonych wartości niektórych współczynników:
1 m3
ą11 = 2 "1 "3 "3 "2 "3 =18
śą źą
EJ 2 3 EJ
1 1
ą12=ą21= "3 "3 "2 -1 "3 "3 "2 =0
śą źą
EJ 2 3 2 3
1 1 m3
ą22= "18 ą "śą4 "6 "6 źą=90
EJ 2 EJ EJ
a) Obciążenie teperaturą
W układzie równań kanonicznych:
ą11"Z1ąą12"Z2ąą1 t=0
{
ą21"Z1ąą22"Z ąą2 t=0
2
brakuje jeszcze wyrazów wolnych. Obliczamy je według wzoru (10.22) pomijając wpływ t .
0
-5
3 "3"40 ą 3 "3"30 =0,0189 m
ą1 t=1,2 "10 "
śą źą
0,20 2 2
-5
3 "3"40 ą 3 "3"30ą6 "4 "10 =0,0171 m
ą2 t=1,2 "10 "
śą źą
0,20 2 2
Jeżeli cały układ równań pomnożymy przez EJ współczynniki będą liczbami, a wyrazy wolne będą miały
ik
wartość:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 22
E"J"ą1 t=0,0189 "4408,614 =83,232 kN"m3
E"J"ą2 t=0,0171 "4408,614 =75,387 kN"m3
Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:
18"Z1 ą83,323 =0
{
90 "Z ą75,387 =0
2
Z powyższego układu rownań otrzymano wyniki:
Z1 =-4, 629 kN
{
Z2 =-0,838 kN
W miejscu usuniętych podpór działają odpowiednie sumy sił Z :
i
Z1ąZ2=-5,467 kN
Z1-Z2=-3,791 kN
Aby uzyskać wykres momentów od temperatury obciążamy ramę tylko siłami nadliczbowymi Z .
i
16,401
11,373
4
3,791 kN
5,467 kN 5,028
Mt(n) [kNm]
[m]
3 3
Rys. 10.25. Wykresy momentów zginających od temperatury w układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym)
0
(n)
Kontrolę kinematyczną przeprowadzimy mnożąc wykres rzeczywisty M przez wykres wiryualny .
t M
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 23
0,5
EJ
0,5
1 1
1
2 EJ
4
6 6
0
1 [-]
[m]
M
[m]
3 1 2
Rys. 10.26. Wykresy momentów zginających od: jedynkowej siły wirtualnej w innym układzie podstawowym
Licząc wartość przemieszczenia należy pamiętać o wpływie temperatury (wpływ t pominięto):
0
śąnźą śą0źą
ąt"ą t M "M
śą0źą t
(10.28)
1 "ą= " M "dsą "ds
" +" "+"
h EJ
(n)
Wykres momentów M jest poprawny jeśli przemieszczenie bedzie zerowe.
t
-5
1 "3 "1 " 1 1 "3 "1 " -1 "2 "11,373 ą1,2 "10-5"30
1 "ą= "2 "16,401 -1,2 "10 "40 ą ą
śą źą śą źą
2 2 EJ 3 0,20 2 2 EJ 3 0,20
-5
5,028
ą4 "1 " -1,2 "10 "10 =0,000001 H"0 rad
śą źą
2 EJ 0,20
Wykresy sił tnących i normalnych również wykonujemy tylko od sił Z .
i
3,791
+
_
-5,467
4
Tt(n) [kN]
3 3
(n)
Rys. 10.27. Wykres rzeczywistych sił tnących T
t
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 24
_
-9,258
4
Nt(n) [kN]
3 3
(n)
Rys. 10.28. Wykres rzeczywistych sił normalnych N
t
Warto zwrócić uwagę, że wykresy momentów zginających odłożone są po stronie zimniejszej, co
wynika z istnienia (działania) dodatkowych więzów. W układach statycznie wyznaczalnych zawsze rozciągane
były włókna cieplejsze.
b) Obciążenie osiadaniem podpór
Podobnie jak w przypadku temperatury do rozwiązania układu równań brakuje wartości wyrazów
wolnych " . Obliczamy je na podstawie pracy reakcji w stanach jednostkowych.
i"
EJ EJ
Z1 Z2
Z1 Z2
2 EJ 2 EJ
4 4
0,015 [m] 0,015 [m]
0,01 rad
0,01 rad
M = 0 M = 6
R = 2 R = 0
3
3 3
3
Rys. 10.29. Reakcje w podporach od stanów Z oraz Z
1 2
ą1 ą=-śą-0,015 "1 źą=0,015 m
ą2 ą=-śą0,015 "1 -6 "0,01źą=0,045 m
Cały układ równań mnożymy przez EJ, stąd wartości wyrazów wolnych:
E"J"ą1 ą=0,015 "4408,614 =66,129 [kN"m3]
E"J"ą2 ą=0,045 "4408,614 =198,388 [kN"m3]
Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 25
18"Z1 ą66,129 =0
{
90 "Z2 ą198,388 =0
Z powyższego układu rownań otrzymano wartości nadliczbowych sił:
Z1 =-3,674 kN
{
Z2 =-2,204 kN
A po zsumowaniu wartości nadliczbowych reakcji:
Z1ąZ2=-5,878 kN
Z1-Z =-1,470 kN
2
Obciążając układ podstawowy tylko wyliczonymi siłami możemy narysować wykres momentów
zginających od obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym).
17,634
4,410
13,224 1,470 kN
5,878 kN 4
M"(n) [kNm]
[m]
3 3
Rys. 10.30. Wykres momentów zginających od obciążenia osiadaniem podpór w układzie rzeczywistym
(n)
Kontrola kinematyczna sprawdzenie wykresu momentów M .
"
Aby wyznaczyć dowolne przemieszczenie w układzie, którego podpory osiadają trzeba uwzględnić
pracę reakcji wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 26
0,5
EJ
EJ
0,5
1 1
1
2 EJ 0,015 [m] 2 EJ 4
4 6
6
0,01 rad
0
1 [-]
[m]
M
[m] [m]
3 3 3 1 2
Rys. 10.31. Układ rzeczywisty poddany obciążeniu osiadaniem; wykres momentów zginających od jedynkowej siły
wirtualnej w innym układzie podstawowym
Korzystamy z wzoru:
śąnźą 0
M "M
ą
(10.29)
1 "ą=- R0"ąą "dx
" "+"
EJ
Podstawiając wartości nadliczbowe otrzumujemy przemieszczenie o wartości bliskiej zeru co znaczy, że
sprawdzany wykres jest poprawny.
1 1 "3 "1 "2 "17,634 -1
1 ą= " "3 "1 "2 "4,410 ą
śą źą
EJ 2 2 3 2 2 3
1
ą "śą4 "1 "13,224 źą- 1 "0,01 -1 "0,015 =-0,000001 rad H"0 rad
śą źą
2 EJ 6
Wykresy sił tnących i normalnych w układzie rzeczywistym powstają tylko od sił Z .
i
1,470
+
_
-5,878
4
T"(n) [kN]
3 3
(n)
Rys. 10.32. Wykres rzeczywistych sił tnących T
"
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 10. METODA SIA - RAMA 27
_
-7,348
4
N"(n) [kN]
3 3
(n)
Rys.10.33. Wykres rzeczywistych sił normalnych N
"
10.4. Projektowanie konstrukcji metodą sił
Zaprojektować konstrukcję tzn. przyjąć przekroje elementów (np. prętów, słupków rygli ram, itp.) w
taki sposób by spełnić warunek dopuszczalności, nie przekroczyć nośności elementów lub dopuszczalnych
ugięć.
#"M #"
eks.
d"ądop.
W (10.30)
f ąą f
eks. dop.
gdzie:
M - maksymalny moment zginający w elemencie,
eks.
W - wskaznik wytrzymałości przekroju,
- dopuszczalne naprężenia przy zginaniu,
dop.
f - ekstremalne ugięcie elementu,
eks.
f - dopuszczalne ugięcie (przemieszczenie).
dop.
Przystępując do projektowania zakładamy pewne przekroje elementów. Jeżeli po przeprowadzeniu
obliczeń okazuje się, że przyjęte przekroje nie spełniają naszych założeń wytrzymałościowych, ekonomicznych
bądz innych, to jesteśmy zmuszeni zmienić wymiary przekroi. Przyjmując w konstrukcji inne przekroje
musimy ponownie rozwiązać układ metodą sił, ponieważ zmiana sztywności prętów pociągnęła za sobą
zmianę macierzy podatności (ik) oraz wektora wyrazów wolnych ("iP) w równaniach kanonicznych. Po
dokonaniu obliczeń ponownie sprawdzamy, czy przyjęte do obliczeń przekroje prętów w drugim etapie
spełniają narzucone kryteria. Jeżeli nie, to dokonujemy kolejnej zmiany przekrojów prętów i powtarzamy
obliczenia, aż do skutku.
Reasumując konstrukcję statycznie niewyznaczalną projektujemy metodą kolejnych przybliżeń
(iteracyjnie rozwiązując w każdym kroku układ statycznie niewyznaczalny).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Cwicz Mechanika Budowli Linie Wplywowe Sil W Belkach Ciaglych(1)Mechanika budowli korzystając z MES sporządzić wykresy sił zad 3cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil rama25 zadania mechaniczno budowlanaMechanika budowli korzystając z MES sporządzić wykresy sił zad 5wykl mechanika budowli metoda silwięcej podobnych podstron