Logika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna Maria Małycha Zadania na plusy
Logika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna
Maria Małycha
Zadania na plusy
Zadanie 1 a) (p (" q) '" r
Które z podanych wyrażeń są zdaniami logicznymi? b) p (" (q '" r)
a) Na Księżycu żyją istoty rozumne. i oceń ich wartość logiczną.
b) Janek idzie do szkoły. Zadanie 5
c) W roku 2000 w Polsce będzie 50 mln. mieszkań- Oceń wartość logiczną koniunkcji:
ców. a) 2 liczbą parzystą i 2 jest pierwszą,
"jest "liczbÄ…
d) Wieloryb jest rybÄ…. b) 2 jest liczbÄ… dodatniÄ… i 2 jest liczbÄ… niewy-
e) Proste a i b są równoległe. mierną,
f) 2 + 2 = 5. c) 5 > 0 i 5 < 4,
g) x + 3 = 2. d) prosta jest figurÄ… geometrycznÄ… i figurÄ… ograni-
h) Idz
po zakupy. czonÄ…,
i) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą e) Warszawa jest stolicą Polski i Kraków jest stolicą
nieujemnÄ…. Polski.
j) Dla każdej wartości x " R zachodzi x + 2 = 5. Zadanie 6
Zadanie 2 Oceń wartość logiczną alternatywy:
Oceń wartość logiczną zdań: a)2 > 5 lub 2 < 5,
a) 5 jest liczbÄ… pierwszÄ…. b) Romb jest kwadratem lub romb jest czworokÄ…tem,
"
2
c) -3 jest liczbÄ… parzystÄ… lub nieparzystÄ…,
b) sin45ć% = .
2
d) 3 < 2 lub równoległobok jest okręgiem.
c) Ä„ jest liczbÄ… wymiernÄ….
Zadanie 7
d) Każde zdanie logiczne jest prawdziwe.
Oceń prawdziwość poniższych implikacji. Które ze
e) Istnieją dwie kolejne liczby naturalne będące licz-
zdaÅ„ po zastÄ…pieniu symbolu implikacji (Ò!) symbo-
bami pierwszymi.
lem równoważnoÅ›ci (Ô!) jest zdaniem prawdziwym?
Zadanie 3
a) 4|100 Ò! 42|1002 c) 9|15 Ò! 3|15
Używając zdań p, q, r, s oraz spójników '", (", zapisz
b) 4|10 Ò! 42|102 d) 3|21 Ò! 9|21
dwa zdania złożone prawdziwe i dwa zdania złożone
Zadanie 8
fałszywe.
Oceń wartość logiczną zdań:
p : 3|222
a) 3 < 2 i Warszawa jest stolicÄ… Polski,
16 1
q : 1 = 14 b) 3 < 2 lub Warszawa jest stolicÄ… Polski,
25
c) jeżeli 3 < 2, to Warszawa jest stolicą Polski,
r : 86 - 80 = 16
" d) 3 < 2 wtedy i tylko wtedy, gdy Ziemia jest pla-
s : 81 = 3
netÄ…,
Następnie wśród zdań p, q, r, s wskaż te pary zdań, e) jeżeli 2 < 20, to 3 > 4,
dla których: f) jeżeli jestem chory, to 2 · 2 = 4,
a) prawdziwa jest zarówno ich koniunkcja, jak i al- g) jeżeli idÄ™, to 2 · 2 = 5,
ternatywa; h) jeżeli 2 · 5 = 12, to 2 - 5 = 10.
b) prawdziwa jest ich alternatywa, ale nie jest praw- Zadanie 9
dziwa ich koniunkcja; Sprawdz
metodą zerojedynkową, które z podanych
c) prawdziwa jest ich koniunkcja, ale nie jest praw- wyrażeń są prawami logicznymi:
dziwa ich alternatywa. a) p Ò! (p (" q)
Zadanie 4 b) (p (" q) Ò! p
Ze zdaÅ„ p, q, r, s z zadania poprzedniego zapisz zda- c) (p (" q) Ò! q
nia: d) [(p (" q)'" <" q] Ò! p
Logika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna Maria Małycha Zadania na plusy
e) <" (p '" q) Ô! (<" p) (" (<" q) czywistych?
f) <" (p (" q) Ô! (<" p) '" (<" q) A : x2 + 8 = 0
Zadanie 10 B : x2 > 4
Sprawdz
metodą zerojedynkową, które z podanych C : x = 3
wyrażeń są tautologiami: D : x2 > 0
a) (q (" r) Ò! (p (" q) Zadanie 15
b) (p (" q) (" r Ò! (p (" r) UzupeÅ‚nij zapisy tak, aby otrzymać zdania praw-
c) (p (" q) Ò! (p '" q) dziwe:
d) [p (" (q'" <" p)] Ò! q a) x " A )" B Ô! . . .
e) [(p Ò! q) '" (q Ò! r)] Ò! (p Ò! r) <" (x " A )" B) Ô! . . .
Zadanie 11
b) x " A - B Ô! . . .
Sprawdz
metodą zerojedynkową, które z podanych
<" (x " A - B) Ô! . . .
wyrażeń są prawami logicznymi:
c) x " A *" B Ô! . . .
a) <" (<" p(" <" q) Ô! (p (" q)
<" (x " A *" B) Ô! . . .
b) [(p Ò! r) '" (r Ò! q)] Ò! (p Ò! q)
Zadanie 16
c) (p Ò! q) Ò! (<" q Ò!<" p)
A i B oznaczajÄ… zbiory niepuste. Jaki jest zwiÄ…zek
d) [(p (" q) '" (p Ò! q)] Ò! (q Ò! p)
między tymi zbiorami, jeśli:
e) <" (p '" q) Ô! (<" p) '" (<" q)
a) (A *" B) ‚" B
f) <" (p Ò! q) Ô! (p'" <" q)
b) A *" B = B
g) [p Ò!<" p] Ò! q
h) p (" (q '" r) Ô! (p (" q) '" (p (" r) c) A )" B = B
i) (p Ò!<" p) Ò! p
d) A ‚" (A )" B)
j) (p Ò! q) Ô!<" p (" q
e) A ‚" (A - B)?
k) p '" (q (" r) Ô! (p '" q) (" (p '" r)
Zadanie 17
Zadanie 12
Udowodnij podane prawa algebry zbiorów:
Stosując prawa de Morgana napisz zaprzeczenie zdań:
a) A )" (A *" B) = A
a) p (" (q (" r)
np. <" [p (" (q (" r)] Ô!<" p'" <" (q (" r) Ô!
b) (A )" B) *" B = B
Ô! (<" p) '" (<" q) '" (<" r)
c) B *" (A - B) = A *" B
b) p (" (q '" r)
d) [A *" (A )" B)] *" B = A *" B
c) (p '" q) (" r
e) A - B = A - (A )" B)
d) (p '" q) '" r
e) p '" (q (" r)
f) A - B = (A *" B) - B
f) (p '" q) (" (r '" s)
g) (A - B) *" (B - A) = (A *" B) - (A )" B)
g) p '" (q (" r (" s)
h) A )" (B - C) = (A )" B) - C
Zadanie 13
Uzupełnij zapisy tak, aby otrzymać zdania praw- i) (A *" B) - C = (A - C) *" (B - C)
dziwe:
j) A *" (B )" C) = (A *" B) )" (A *" C)
a) a · b = 0 Ô! a = 0 (" b = 0
k) A - (B *" C) = (A - B) )" (A - C)
<" (a · b) = 0 Ô! . . .
l) A - (B )" C) = (A - B) *" (A - C)
b) |x| = 1 Ô! . . .
<" |x| = 1 Ô! . . .
m) A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C)
c) (x + 1)(x - 2) > 0 Ô! . . .
Zadanie 18
<" [(x + 1)(x - 2) > 0] Ô! . . .
Naszkicuj diagramy dla zbiorów: (A *" B) , (A )" B) ,
d) 1 < x < 4 Ô! . . .
A )" B , A *" B . Na ich podstawie sformułuj odpo-
<" (1 < x < 4) Ô! . . .
wiednie prawa rachunku zbiorów.
UWAGA: Przykład c to nierówność kwadratowa.
Zadanie 19
Zadanie 14
Wyznacz i zaznacz na osi zbiór A = R \ A, gdy:
Którymi z poniższych funkcji zdaniowych można uzu-
a) A = -4, 2) d) A = {1, 2, 3}
pełnić implikację:
b) A = (1, 2) *" (3, 4) e) A = R \ {0}
c) A = (-", 1) *" {4} f) A = "
x > 2 Ò! . . .
Zadanie 20
tak, aby była ona prawdziwa dla wszystkich liczb rze- Wyznacz zbiory A , B i A )" B , gdy:
Logika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna Maria Małycha Zadania na plusy
1
a) A = (-3, 0), B = , 3 a) A = -3; 2 i B = (0; 4)
2
b) A = -4, 4 , B = (-2, 2)
b) A = -3; 2 i B = (3; 6)
c) A = (-", -3) *" (3, "), B = -4, 4
c) A = -3; 2 i B = -1; 1
d) A = (-", 0) *" (1, 5), B = (-5, -1) *" (0, ")
d) A = -3; 2 i B = 2; +")
Zadanie 21
Zapisz jako sumy przedziałów zbiory C2 i C3. Zadanie 26
Rysunek przedstawia kolejne etapy konstrukcji zapro- Wyznacz zbiory A *" B, A )" B, B - A i A - B, jeżeli:
ponowanej przez Georga Cantora (1845 - 1918).
a) A = -1; 2) i B = (0; 3)
Zaczynamy od odcinka jednostkowego i na każdym
b) A = (-5; 3 i B = 0; 4)
kolejnym etapie usuwamy środkową trzecią część od-
1 3
c) A = 1; 2 i B = - ; 14
cinków z poprzedniego etapu. Stąd np. 2
d) A = (-4; 1 i B = (0; +")
1 2
Zadanie 27
C1 = 0, *" , 1 .
3 3
Przestrzenią jest R. Dane są przedziały A = 2; 4
i B = 3; 5 . Wyznacz zbiory:
C0 a) (A *" B)
0 1
C1
b) A )" B
C2
c) (A - B)
C3
d) A *" B
C4
e) A *" B
C5
f) (A )" B)
g) A - B
h) A - B
Zadanie 22
Zadanie 28
Wyznacz zbiory:
Wyznacz zbiór liczb spełniających obie nierówności
a) N )" IW (IW -zbiór liczb niewymiernych)
jednocześnie:
b) C )" IW
a) |x| > 1 '" |x| 9
c) N *" W
1
b) |x| '" |x| < 7
d) N - W
7
1 1
e) W - C
c) |x| '" |x| <
4 2
f) R - {0}
1 1
"
d) |x| '" |x| <
2
2
g) R+ - {0}
Zadanie 29
h) R - W
Rozwiąż równania:
i) W )" R
a) ||x| - 4| = 8
j) R+ )" R-
b) ||x| - 2| = 2
Zadanie 23
Wyznacz wszystkie elementy zbiorów: c) ||x - 1| + 3| = 6
a) A = {x : |x| = 2 '" x " C} Zadanie 30
Rozwiąż nierówności:
b) B = {x : |x| = 3 '" x " N}
c) D = {x : |x| > 2 '" x < 10 '" x " N} a) ||x| - 1| < 3
1
d) E = {x : |x| < 32 '" x " C}
b) ||x| + 2| 4
Zadanie 24
c) ||x - 2| - 3| < 3
MajÄ…c dane zbiory:
Zadanie 31
a) A = {x " N; x 3} i B = {x " C; x < 7}
Dla jakich liczb (par liczb) prawdziwe są równości:
b) A = {x " C; x 5} i B = {x " N; x < 10}
a) |x| + 5 = |x + 5|
Znajdz
A )" B, A *" B, B - A i A - B.
b) |x| · |y| = |xy|
Zadanie 25
Wyznacz zbiory A )" B, A *" B i A - B, jeżeli: c) |x| - |y| = 0
Logika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna Maria Małycha Zadania na plusy
9a2b2
d) |2x + 1| = 1
c)
25x4y2
e) |3 - x| = 4
d) 1, 44a8b12c4
"
f) |x| + |x + 1| = 3?
e) a2 + 4b2 + 4ab
"
Zadanie 32
f) a2 - 2ab + b2
Uprość wyrażenia:
Zadanie 39
a) x + |1 - x| + 2|x - 2|, gdy 1 < x < 2
Rozwiąż równania:
b) |x| + |x + 1| + |x - 2|, gdy x < -1
a) 2x + |x - 1| = 2
x
c) |x - 1| + - |x + 1|, gdy x < -2
|x|
b) 2x2 + |x| = 1
Zadanie 33
c) |x2 - x| = x - 1
Z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że:
d) x + |x - 1| = 1
"
e) (2x - 1)|x - 1| = x
x2 = |x|.
f) |x - 1| + |x - 2| + |x + 1| + |x + 2| = 6
Korzystając z tego wzoru uprość:
g) |x - 1| + |x - 2| = |x|
"
a) x2 + x
UWAGA: Przykłady: b, c, e to równania kwadra-
"
b) (x - 5)2 + x2 towe.
Zadanie 40
a2
c) , gdy b = 0

b2
Rozwiąż nierówności:
"
d) x2 - 6x + 9 + x
a) |x| + x < 4
Zadanie 34
b) 5x > |x - 5| + 1
Zapisz podane wyrażenia bez znaku wrtości bez-
c) |x + 3| |x| - 1
względnej:
d) x + |x + 3| |1 - x|
a) |m2|
e) 2x + 7 + |x - 1| > |3 - x|
b) |m - n|, gdy m < n
f) |x - 1| + |x + 2| + |x + 1| |x - 22| + 16
c) |m - n|, gdy m > n
Zadanie 41
d) | - m|, gdy m < 0 Rozwiąż nierówności:
"
Zadanie 35
a) 4x2 3
|x|
Jakie wartoÅ›ci przyjmuje wyrażenie ? "
x
b) x2 - 6x + 9 3
Zadanie 36
"
Do jakiego przedziału liczbowego należy x, jeśli:
c) |x + 4| + x2 + 8x + 16 1
a) |x - 3| = x - 3
Zadanie 42
Zaznacz na płaszczyz
nie zbiór:
b) |x + 2| = -x - 2
a) A = {(x, y) " R2 : |x| < 4 '" |y| 2}
c) |2x - 6| = 6 - 2x
b) B = {(x, y) " R2 : |x| |y| '" |y| < 2}
d) (x - 4)2 = x - 4?
Zadanie 37
Wykaż, że dla każdej pary liczb rzeczywistych praw-
dziwe sÄ… zwiÄ…zki:
a) |xy| = |x| · |y|
b) |x + y| |x| + |y|
c) |x - y| |x| + |y|
|x|
x
d) y = 0 Ò! =

y |y|
Zadanie 38
Oblicz:
"
a) 9a2
b) 0, 16a2y2