WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Charakterystyka, cel i zadania Wytrzymałość Materiałów (WM)
" przedmiot badań: ciała odkształcalne, uproszczone modele matematyczne, proste obliczenia rachunkowe;
" cel: dostarczenie podstaw teoretycznych umożliwiających wybór materiału i wymiarów elementów
konstrukcji tak aby całość spełniała zadania eksploatacyjne (zabezpieczenie przed zniszczeniem i
nadmiernymi deformacjami);
" dobór: przekroju poprzecznego ( a,b, h, d,� ,... ) i kształtu (belki, łuki, ramy H, L,...) elementów konstrukcji;
" badanie stanu wewnętrznego ciała, wyznaczanie: naprężeń ( � ) i odkształceń ( � ), oraz przemieszczeń ( u );
" warunki: wytrzymałości (� d" R ), sztywności ( umax d" udop ) i stateczności ( Pkr d" Pdop /n ).
max
Podstawowe założenia wytrzymałości materiałów
" ośrodek ciągły, materiał liniowo sprężysty, jednorodność i izotropowość;
" liniowość �! zasada superpozycji;
" obciążenia statyczne (sposób narastania obciążenia);
" małe deformacje i odkształcenia �! zasada zesztywnienia (odstępstwo  zagadnienia stateczności i cięgna);
" liniowa relacja naprężenia odkształcenia �! prawo Hooke'a (odstępstwo  nośność graniczna);
" lokalność wpływu przyłożenia siły skupionej na naprężenia �! zasada Saint-Venanta;
" założenie płaskich przekrojów w prętach �! hipoteza kinematyczna Bernoulliego (Kirchhoffa Love a),
belka Timoshenki (Reissnera Mindlina).
Zasady (prawa) równowagi statyki (szczególny przypadek ogólnych zasad zachowania: masy, pędu i
momentu pędu, w mechanice układów inercjalnych).
" uniwersalność zasad zachowania;
" równowaga sił (1 równanie wektorowe = 3 równania skalarne " Pi = 0 , i = x, y,z );
" równowaga momentów (1 równanie wektorowe = 3 równania skalarne " Mi = 0 , i = x, y,z );
" pojęcie statycznej wyznaczalności i kinematycznej niezmienniczości układu (reakcje i stopnie swobody).
Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia (materiał częściowo objęty wykładem)
" pojęcie wektora naprężenia � w punkcie (a) przekroju ciała A ( � = lim ("P " A) ), zależność � od
" A0
orientacji przekroju A , składowa normalna � =||�(a)|| cosą i styczna � =||�(a)|| siną ą a" (�(a),n)
( � =� n +� t , np. na ściance +X elementarnego sześcianu zapisuje się �(+X) =� i +� j +� k );
x xy xz
" stan naprężenia w punkcie ( � = [�ij ](3�3) , i, j = x, y,z [macierz], 9 składowych - symetria �ij =� �!
ji
6 niezależnych, oznaczenie: normalne �ii a"�i , styczne �ij a"�ij , i `" j );
" naprężenia główne � <� <� i kierunki główne �I ,�II ,�III (problem własny � � 1)� = 0 ,
I II III
([�ij](3�3)-� [1](3�3) ){� }(3�1) ={0}(3�1) );
j

" równania ruchu, równowagi w punkcie (współrzędne kartezjańskie �ij ,i + f = � uj , �ij ,i + f = 0 ,
j j
i, j = x, y,z );
" odkształcenia w punkcie ( � = [�ij ](3�3) , i, j = x, y,z , 9 składowych - symetria �ij =� �! 6 niezależnych);
ji
" relacje odkształcenia-przemieszczenia �ij = f (uk) , i, j, k = x, y,z dla małych przemieszczeń ui/L <<1 i
1
małych odkształceń �ij << 1, ( �ij = (ui , + uj ,i ) , kąt odkształcenia postaciowego ł = 2�ij , i `" j );
2 j ij
" odkształcenia główne �I <�II <�III i kierunki główne �I ,�II ,�III (problem własny � -�1)� = 0 ,
([�ij](3�3)-� [1](3�3) ){� }(3�1) ={0}(3�1) );
j
" struktura liniowych związków fizycznych (reprezentacja macierzowa, relacje: odkształcenia - naprężenia
-1
{�}(6�1)=[D](6�6){�}(6�1) i odwrotna naprężenia - odkształcenia {�}(6�1)=[D](6�6){�}(6�1) ), uogólnione prawo
Hooke'a (jednorodny izotropowy materiał liniowo sprężysty - dwie niezależne stałe materiałowe np.:
E - moduł sprężystości Younga, � - współczynnik Poissona):
�xx �x � �
ż# �# ż# �# ż# �# ż# �# 1/ E
Ą# -� / E -� / E 0 0 0
ń#
xx x
�# �# �# �# �# �# �# �#
ó# Ą#
�yy �y � �
yy y
�# �# �# �# �# �# �# �#
ó#-� / E 1/ E -� / E 0 0 0 Ą#
�# �# �# �# �# �# �# �#
�zz �z � � ó#-� / E -� / E 1/ E 0 0 0
Ą#
�# �# �# �# �# �# �# �#
zz z
{�} = a" , {�} = a" , [D] = ,
�#2 Ź# �# Ź# �# Ź# �# Ź# ó# Ą#
�xy ł � �
0 0 0 1/ G 0 0
xy xy xy
�# �# �# �# �# �# �# �# ó# Ą#
�#2 �# �# �# �# �# �# �# ó# Ą#
�xz ł � �
0 0 0 0 1/ G 0
xz xz xz
�# �# �# �# �# �# �# �# ó# Ą#
�yz ł � �
0 0 0 0 0 1/ G
ó# Ą#
�#2 �# �# yz �# �# yz �# �# yz �#
Ł# Ś#
�# �# �# �# �# �# �# �#
gdzie G = E / 2(1+� ) - moduł odkształcenia postaciowego (ścinania).
1
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Płaski stan naprężenia (PSN)
" PSN  w rozważanym ciele wyróżniona jest płaszczyzna (np. x- y ) do której wszystkie wektory naprężeń
�(+X) =� i +� j (�ij , i, j = x, y � a"� , � a"� , � a"� , � a"� ) i obciążenia f = fxi + fy j
x xy x xx y yy xy xy yx yx
( X = fx = �Rx , Y = fy = �Ry ) są równoległe �! wektory prostopadłe do x- y z założenia są równe zero;
" lokalne równania równowagi PSN (z warunków równowagi elementu różniczkowego dxdy , " M( A)=0 �!
� =� , " Px=0 �! "� /"x + "� /"y + fx= 0 , " Py= 0 �! "� /"x + "� /"y + fy = 0 lub w notacji
xy yx x yx xy y
indeksowej �ij =� , �ij ,i + f = 0 , i, j = x, y ), muszą być spełnione w każdym punkcie ciała;
ji j
" znajomość � ,� ,� pozwala wyznaczyć naprężenia �� ,�� w dowolnie zorientowanym przekroju
x y xy
� = (x, n) , z warunków równowagi elementarnego trójkąta (wykorzystując dx =sin� ds , dy = cos� ds )
mamy �� = � cos2� +� sin2� + 2� sin� cos� , �� =-(� -� )sin� cos� +� (cos2� - sin2�) , następnie
xy xy x y xy
1 1
po uwzględnieniu tożsamości trygonometrycznych cos2� = (1+ cos 2�) , sin2� = (1- cos 2�) ,
2 2
11
sin2� = 2sin� cos� , cos2� =sin2� -cos2� ) otrzymuje się �� = (� +� ) + (� -� )cos 2� +� sin 2� ,
x y x y xy
22
1
�� =- (� -� )sin 2� +� cos 2� ;
2 x y xy
" normalne naprężenia ekstremalne, poszukiwanie takiego przekroju �0 dla którego �� są ekstremalne, z
0
warunku d�� /d� =- (� -� )sin 2�0 + 2� cos 2�0 = 0 �! tan 2�0 = 2� /(� -� ) �0 , w zakresie 2Ą
x y xy xy x y
istnieją dwie wartości 2�0 spełniające d�� /d� = 0 różniące się o Ą �! istnieją dwa przekroje prostopadłe
1
(Ą /2 ) w których naprężenia są ekstremalne, ponieważ zachodzi d�� /d� = �� , ekstremalne � występuje
2
dla �� = 0 co oznacza, że ekstremalne naprężenia normalne są naprężeniami głównymi �1=� i � =� ,
max 2 min
kąty je określające, wykorzystując tan 2�0 = 2� /(� -� ) �! 2� = (� -� ) tan 2�0 , oblicza się z warunku
xy x y xy x y
2
d2�� /d� =- 2(� -� )cos 2�0 - 4� sin 2�0 =- 2(� -� )cos 2�0[1+tan2 2�0 ] , stąd �1 = �� |max dla
x y xy x y
0
2
d2�� /d� < 0 �! (� -� )cos 2�0 > 0 , odpowiednio � = �� |min dla (� -� )cos 2�0 < 0 , uwzględniając
x y 2 x y
0
2
tan 2�0 = 2� /(� -� ) w tożsamościach cos 2�0 =ą (1+ tan22�0 )-1/ 2 =ą (� -� )[(� -� )2 + 4� ]-1/ 2 ,
xy x y x y x y xy
2
sin 2�0 =ą tg2�0 (1+ tan22�0 )-1/ 2 =ą 2� [(� -� )2 + 4� ]-1/ 2 po podstawieniu do zależności na ��
xy x y xy
2
1
otrzymuje się �1,2 = (� +� ) ą[(1 (� -� ))2 +� ]1/ 2 , łatwo zauważyć, że suma �1+� =� +� jest
x y x y xy
22 2 x y
niezmiennikiem;
" styczne naprężenia ekstremalne, poszukiwanie takiego przekroju �0 dla którego �� są ekstremalne; z
0
warunku d�� /d� =- (� -� )cos 2�0 - 2�xy sin 2�0 = 0 �! tan 2�0 = - (� -� ) / 2� ponieważ zachodzi
x y x y xy
tan 2�0 =- tan-1 2�0 �! �0 = �0 +Ą /4 płaszczyzny naprężeń głównych tworzą kąt 45o z płaszczyznami
ekstremalnych naprężeń stycznych, wykorzystując tan 2�0 = - (� -� ) / 2� , analogicznie do naprężeń
x y xy
2
1 1
normalnych otrzymuje się �3 =ą[(1 (� -� ))2 +� ]1/ 2 = (�1-� ) , jednocześnie �� = (� +� ) ,
x y xy 2
22 2 x y
0
z rozważań trójwymiarowych wynika, że ekstremalne naprężenia styczne w PSN nie leżą w płaszczyz
nie
obciążenia, lecz pod kątem 45o do niej i wynoszą �1 = ą� / 2 , �2 = ą�1 / 2 ;
2
" koło Mohra  interpretacja graficzna PSN, konstrukcja wynika z przekształcenia wzorów na �� ,�� ,
grupując i podnosząc obustronnie do kwadratu kolejno mamy
1 1
[�� - (� +� )]2 =[1 (� -� )cos 2� +� sin 2�]2 , [�� ]2 =[- (� -� )sin 2� +� cos 2�]2 po dodaniu
x y x y xy
22 2 x y xy
1
stronami otrzymuje się równanie okręgu [�� - (� +� )]2 +[�� ]2 = R2 o promieniu
2 x y
R2 =[1 (� -� )]2 +[� ]2 ;
2 x y xy
" powyższe zależności dot. naprężeń głównych wynikają z rozwiązania problemu własnego � � 1)� = 0 �!
�
Ą# -� � �
ń# ż# �# 0 Ą# -� �
ń#
ż# �#
�#� �#
x xy x x xy
2
�! det = 0 �! (� -� )(� -� ) -� = 0 �!
�#� Ź#= �#0Ź#
ó#Ą# ó#Ą# x y xy
�xy � -� � � -�
y �# y �# xy y
�# �#
Ł#Ś# �# �# Ł#Ś#
22
� -� (� +� ) + (� � -� ) = 0 �! (�1,�1) i (� ,�2 ) .
x y x y xy 2
" zadanie: dane � ,� ,� wyznaczyć �� ,�� w płaszczyz
nie � ;
x y xy
" zadanie: dane � ,� ,� wyznaczyć naprężenia główne �1 i � oraz �01 i �02 , koło Mohra;
x y xy 2
" zadanie: dane naprężenia główne �1 i � wyznaczyć �� ,�� w płaszczyz
nie � , koło Mohra.
2
2
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Płaski stan odkształcenia (PSO)
" PSO  odkształcenia ( �ij ) występują tylko w płaszczyznach równoległych do danej stałej płaszczyzny (np.
x- y �! �ij , i, j = x, y �x a"�xx , �y a"� , ł a" 2�xy , ł a" 2� , pozostałe składowe z założenia są równe
yy xy yx yx
zero �zj =� = 0 , j = x, y );
jz
2 2 2 2
" deformacja naroży ABDC A B D C powierzchniowego elementu różniczkowego dx�dy , np.

"u "u "ux "ux "uy "uy
2 2
AA = u =uxi + uy j , DD = u + dx + dy = (ux + dx + dy)i + (uy + dx + dy) j , wynikająca z
"x "y "x "y "x "y
rozwinięcia pola przemieszczeń u = u(x, y) w szereg Taylora, ograniczonego (założenie o małych
odkształceniach) do wyrazów pierwszego rzędu;
2 2
" deformacja AD A D odcinak przekątniowego ds0 ds powierzchniowego elementu dx�dy ,


"ux "ux "uy "uy
2 2
AD = ds0 =dxi + dyj , A D = ds =(dx + dx + dy)i + (dy+ dx + dy) j , stąd (zgodnie z
"x "y "x "y
"ux "ux
założeniem o małych deformacjach ux ,uy ) pomijając iloczyny typu jako małe drugiego rzędu,
"x "y
"ux "uy "ux "uy
można obliczyć przybliżenie różnicy kwadratów (ds)2 -(ds0 )2 H" 2[ (dx)2 + (dy)2 + ( + )dxdy] ;
"x "x"y "x
" jednostkowe odkształcenie podłużne: � = (ds -ds0 ) / ds0 = ds/ds0 -1 jest to stosunek wydłużenia ( ds - ds0 )
odcinka materialnego do jego długości początkowej ( ds0 ), dla małych odkształceń (pomijając składniki
(ds)2 -(ds0 )2 ds -ds0 ds + ds0 ds
drugiego rzędu) otrzymuje się == � ( +1) = � (� + 2) H" 2� stąd
(ds0 )2 ds0 ds0 ds0
"uy dy "ux "uy dx dy
(ds)2
1 -(ds0 )2 "ux dx "ux
� H"= ( )2 + ( )2 + ( + ) , wprowadzając oznaczenia �x = ,
2 (ds0 )2 "x ds0 "x ds0 "y "x ds0 ds0 "x
"uy
"ux "uy dx dy
� = , ł =�xy +�yx = ( + ) i uwzględniając = cos� , =sin� , otrzymuje się wzór na
y xy
"x "y "x ds0 ds0
jednostkowe odkształcenie podłużne w kierunku � : �� = �x cos2� + � sin2� + ł sin� cos� ;
yxy
" podobieństwo wzoru �� = �x cos2� + � sin2� + ł sin� cos� do wzoru z PSN
yxy
�� = � cos2� +� sin2� + 2� sin� cos� wskazuje na analogię �� "! �� , � "! �x , � "! � ,
xy xy x y y
2� "! ł , która pozwala natychmiast wypisać zależności analogiczne do wyprowadzonych w PSN, stąd
xy xy
1
np. odkształcenia główne wynoszą �1,2 = (�x +� ) ą[(1 (�x -� ))2 + (1 ł )2 ]1/ 2 , tan 2�0 =ł /(�x-� ) ;
y y xy
22 2 xy y
"ux
ux + dx - ux "ux
def
2 2
AB - AB
"x
" interpretacja �x - odkształcenie jednostkowe krawędzi AB �x == = ;
AB dx "x
"uy
uy + dy - uy
def
"uy
2 2
AC - AC "y
" interpretacja �y - odkształcenie jednostkowe krawędzi AC �y == = ;
AC dy "y
" interpretacja ł = 2�xy - kąt odkształcenia postaciowego (spaczenie), zmiana kąta między ściankami
xy
"ux
"uy
dy
dx
"y "ux "uy
"x
elementu ł =�xy +�yx = 2�xy = + = + ;
xy
dx dy "y "x
" zadanie: dane �x ,�y ,ł wyznaczyć �� ,ł� w kierunku � ;
xy
" zadanie: dane �x ,�y ,ł wyznaczyć odkształcenia główne �1 i �2 oraz �01 i �02 , koło Mohra;
xy
" zadanie: dane odkształcenia główne �1 i �2 wyznaczyć �� ,ł� w kierunku � , koło Mohra;
" zadanie: dane odkształcenia jednostkowe pomierzone w trzech różnych kierunkach (tzw. rozetka) np.
�0 ,�45 ,�90 (lub �0 ,�60 ,�120 ) wyznaczyć odkształcenia główne �1 i �2 oraz �01 i �02 .
o o o o o o
3
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Związki fizyczne (relacje konstytutywne)
" są to prawa szczególne ujmujące własności materiału (tyle praw ile typów materiałów) mają postać relacji
między stanem odkształcenia � a stanem naprężenia � , dla materiału sprężystego (czyli niezależnego od
historii obciążenia ciała, co oznacza zależność tylko od stanu aktualnego) mają ogólną postać � =F �, x,n) ,
w przypadku materiału liniowo - sprężystego funkcja materiałowa F =F x,n) nie zależy od � , w
przypadku materiału jednorodnego funkcja F =F �, n) nie zależy od położenia x punktu w ciele, w
przypadku materiału izotropowego funkcja materiałowa F =F �, x) nie zależy od kierunku n przekroju,
zatem dla jednorodnego izotropowego materiału liniowo - sprężystego funkcja materiałowa F (= const) jest
stała, co więcej ze ścisłych rozważań teorii sprężystości wynika, że ten typ materiału określony jest
całkowicie tylko przez dwie niezależne stałe materiałowe;
" najbardziej popularnymi stałymi używanymi do opisu jednorodnego izotropowego materiału liniowo -
sprężystego są: a) moduł sprężystości E (moduł Younga) [ N /m2 ] - charakteryzuje opór materiału jaki
stawia on przy rozciąganiu, b) współczynnik Poissona � [-] - charakteryzuje stosunek odkształceń
poprzecznych do odkształceń podłużnych, c) moduł odkształcenia postaciowego (ścinania) G = E / 2(1+� )
[ N /m2 ] - wyraża się przez stałe E i � ;
" uogólnione prawo Hooke a - związek fizyczny dla stanu przestrzennego 6 równań skalarnych wiążących 6
1 1
składowych naprężeń z 6-cioma składowymi odkształceń: �x = (� -� (� +� )) , �y = (� -� (� +� )) ,
x y z y x z
E E
� �
1 � E
xy yz
xz
�z = (� -� (� +� )) , ł = , ł = , ł = , gdzie G = lub postać odwrotna: � =Gł ,
z x y xy xz yz xy xy
E G G G 2(1+� )
E E
� =Gł , � =Gł , � = [(1-� )�x +� (�y +�z )] , � = [(1-� )� +� (�x +�z )] ,
xz xz yz yz x yy
(1+� )(1- 2� ) (1+� )(1- 2� )
E
� = [(1-� )�z +� (�x +� )] ;
z y
(1+� )(1- 2� )
1 1 �
" płaski stan naprężenia PSN � =�zx =� = 0 �! �x = (� -�� ) , � = (� -�� ) , �z =- (� +� ) ,
z zy x y y y x x y
E E E
�
E E
xy
ł = , postać odwrotna: � =Gł , � = (�x +��y ) , � = (�y +��x ) ;
xy xy xy x y
2 2
G 1-� 1-�
E
" płaski stan odkształcenia PSO �z =ł =ł =0 �! � =� (� +� ) , � = [(1-� )�x +��y ] ,
zx zy z x y x
(1+� )(1- 2� )
�
E E�
xy
� = [(1-� )� +��x ] , � = (�x +�y ) , � =Gł , postać odwrotna: ł = ,
yy z xy xy xy
(1+� )(1- 2� ) (1+� )(1- 2� ) G
(1+� ) (1+� )
�x = [(1-� )� -�� ] , �y = [(1-� )� -�� ] ;
x y y x
E E
" uwaga a) wykazanie zależności pomiędzy modułem odkształcenia postaciowego G a stałymi E i � ,
rozważa się przypadek czystego ścinania w PSN (tzn. tylko � =� `" 0 ) dla którego prawo konstytutywne ma
xy
postać ł = � / G , naprężenia główne występują w przekroju obróconym o 45o i wynoszą �1=� , � =-� ,
2
11
odkształcenie główne z prawa Hooke a �1 = (�1 -��2 ) = (1+� )� , zakładając dy=dx wydłużenie
EE
przekątnej wynosi "ds = �1ds = 2�1dx , odpowiednie obliczone z zależności geometrycznych na podstawie
1 ł � E
ł wynosi "ds = (1 ł dx)2+(1 ł dx)2 =ł dx/ 2 , stąd �1 a"ł /2 �! �1 = (1+� )� a" = �! G = ;
2 2
E 2 2G 2(1+� )
" uwaga b) ograniczenie na liczbę Poissona, rozważmy przyrost objętości jednostkowego sześcianu w PSN
poddanemu rozciąganiu opisanym naprężeniami � ,� > 0 (� = 0 ):
x y xy
� +�
11�
x y
"V =(1+�x )(1+�y )(1+�z ) -1 H" �x +� +�z = (� -�� ) + (� -�� ) - (� +� ) = (1- 2� )
y x y y x x y
EEE E
zgodnie z intuicją fizyczną 1- 2� e" 0 �! � d" 1/ 2 ;
" zadanie: w PSN dane są �x ,�y ,ł i E,� wyznaczyć naprężenia główne �1,� i �01,�02 oraz ekstremalne
xy 2
naprężenia styczne �3 (określić płaszczyznę ich występowania).
4
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Pojęcie pręta (prosty, płaski, przestrzenny): krzywa (przestrzenna) wyposażona w dodatkową strukturę -
zagadnienie jednowymiarowe; pręt: pryzmatyczny, o zmiennym przekroju, cienkościenny.
" redukcja zagadnienia trójwymiarowego do jednowymiarowego;
" oś pręta (orientacja układu odniesienia), dyskusja jej usytuowania (z) w stosunku do przekroju
poprzecznego (x, y) (środek ciężkości, środek skręcania);
" założenie płaskich przekrojów � a" �z = ax + by + c , hipoteza kinematyczna Bernoulliego, belka Timoshenki;
" przekrojowe siły wewnętrzne (wektory W i M  zapewniające równowagę odciętej myślowo części pręta),
wypadkowy wektor sił wewnętrznych (W = Txex +Tyey + Nez ), składowe: poprzeczne Tx ,Ty (siły tnące) i
podłużna N (siła normalna), wypadkowy wektor momentów wewnętrznych ( M = M ex + M ey + Msez ),
x y
składowe: zginające M , M i skręcająca Ms a" M , konwencja znaków;
x y z
" definicja sił przekrojowych (obowiązuje niezależnie od rozkładu naprężeń):
ż#Tx a" � zxdA, ż#M x a" � z ydA,
+" +"
A A
�# �#
�#T �#
W a" �dA �! a" � dA, M a" (r � �)dA �! M a" - � xdA,
�# �#
y zy y z
+"+" +"+"
AA AA
�# �#
�# N a" � dA, �# (� x -� y)dA,
z zy zx
+" +"
�# A �#Ms a" A
�(x, y, z) = �zxex +� ey +� ez wektor naprężenia w punkcie r(x, y) = xex + yey przekroju pręta A(z) ;
zy z
" wyznaczenie przekrojowych sił wewnętrznych Tx (z),Ty (z), N(z) , M (z), M (z), Ms (z) jest zadaniem
x y
Statyki (Mechaniki) Budowli, podczas gdy wyznaczenie rozkładów naprężeń �(x, y, z) przy danych siłach
wewnętrznych jest zadaniem wytrzymałości Materiałów
" lokalne równania równowagi płaskiego pręta prostego (belki) - zależności różniczkowe pomiędzy M (z) ,
x
Ty (z) , N(z) i obciążeniem ciągłym mx (z) , qy (z) , qz (z) (z warunku równowagi elementu różniczkowego
o długości dz : dN /dz = -qz , dTy/dz =- qy , dM /dz =Ty + mx , d2M /dz2 =- qy + dmx/dz );
x x
" wykresy sił wewnętrznych M (z) , Ty (z) , N(z) (interpretacja, ciągłość, wartości ekstremalne, rysowanie);
x
" stany wytężenia pręta: proste (jedna składowa `" 0 ) i złożone (kombinacja kilku składowych `" 0 ).
Jednoosiowy stan naprężenia (tylko N `" 0 , prosty stan wytężenia): rozciąganie N > 0 i ściskanie N <0 .
" założenia dodatkowe (tylko � a"� `" 0 i � = � (x, y, z) = � (z) = const w przekroju A(z) );
z
" siła i naprężenia normalne (z definicji N(z) a" � (x, y, z)dA=� dA=� (z)A(z) �! � (z) = N(z) /A(z) );
zz z
+"+"
A(z) A
" odkształcenia: podłużne i poprzeczne (z uogólnionego prawa Hooke'a dla składowej naprężenia � a"� `" 0
z
�! � a" �z = � /E = N /EA oraz � a" �x = � =-�� /E =-��z );
z p y z
1
" wydłużenie pręta (z relacji odkształcenia-przemieszczenia � a"�z= (uz ,z + uz ,z ) = du/dz �! du =�dz �!
2
b b b
u |a-b= � dz = � (z) /E(z) dz = N(z) /E(z)A(z) dz , dla N /EA = const �! u |a-b = Nl |a-b /EA ;
() ( )
z z
+" +" +"
a a a
" obciążenia termiczne to (ąt - wsp. termicznej rozszerzalności liniowej [(deg)-1] , podłużne odkształcenie
termiczne �t = ąt t , swobodne wydłużenie odcinka pręta o długości l , "l = �t l = ąt tl );
" wykresy sił normalnych N(z) , przemieszczeń uz (z) , układy statycznie niewyznaczalne (koncepcja
rozwiązania, warunek geometryczny, plan przemieszczeń przy założeniu małych deformacji);
" ograniczenia stosowalności - jednorodność rozkładu naprężeń w przekroju: a) jest ważna w pewnej
odległości od miejsca przyłożenia siły (zasada de Saint-Venanta), b) jest ważna dla prętów o stałym
przekroju lub o ,,łagodnych zmianach, w przypadku zmian silnych lub skokowych występuje koncentracja
naprężeń;
" współczynnik koncentracji naprężeń � dla rozciąganej taśmy o szerokości b z otworem o średnicy d
wynosi:
d/b 0 0.2 0.4 0.8
3 2.48 2.22 2.08
�
" wymiarowanie przekroju z warunku wytrzymałości ( A = Nobl / R� zależnie od metody - normy: Nobl - siła
obliczeniowa, R� - wytrzymałość obliczeniowa;
" metoda naprężeń dopuszczalnych R� a"� (� = Rpl /n dla mat. plastycznych albo dla mat. kruchych
dop dop
� = Rr /n lub � = Rc /n , wsp. bezpieczeństwa n > 1 ( n H" 1.5 �10 zależnie od materiału i zagadnienia);
dop dop
5
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
" metoda naprężeń granicznych � =" Pi�i / A d" R k1 k2...kn , gdzie R = {Rpl , Rr , Rc}, �i e" 1, wsp. przeciążenia
(zależy od rodzaju obciążenia), ki d" 1 , np. k1 - wsp. jednorodności materiału (zależy od mat., war. produkcji
itp.), k2 - współczynniki warunków pracy (zależy od war. realizacji konstrukcji);
" metoda stanów granicznych � A=" Pi�i d" Ngrk1 k2...kn , Ngr oznacza nośność przekroju lub całej konstrukcji;
" wymiarowanie przekroju z warunku sztywności (geometrycznego umax = u(A) d" udop �! A );
" ponadto musi być sprawdzony warunek stateczności konstrukcji (o czym będzie mowa póz
niej);
Zwykła statyczna próba rozciągania (ściskania), fakty eksperymentalne, podstawa wzór np.: E = Nl0 /A0"l .
" krzywa rozciągania stali miękkiej, żeliwa, betonu, drewna, gumy ( P-"l0 �! � -� gdzie � = P/A0 ,
� = "l0/l0 ), liniowy i nieliniowy zakres sprężysty, płynięcie plastyczne (odkształcenia trwałe  plastyczne,
odkształcenia sprężyste), wzmocnienie materiału, utrata stateczności materiału (szyjka), zniszczenie (złomy);
" obciążenie, odciążenie zakres sprężysty i plast., naprężenia umowne (nominalne) i rzeczywiste (szyjka);
" materiał o jednakowej (np. stal) i niejednakowej (np. beton) wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie (rys.);
" interpretacja modułu sprężystości (wykres � - � �! E = taną dla � d" RH = � ) (próba ścisła);
prop
" granice: proporcjonalności RH =� (stosowalności prawa Hooke'a), sprężystości Rs =� , plastyczności
prop spr
(wyraz
na) Rpl =� , wytrzymałości na rozciąganie Rr =�max , wytrzymałości na ściskanie Rc =-� ;
plast min
" granice umowne (próba ścisła).
�
E Rpl = � Rr = � ,
[ MPa ]
plast max
Materiał [ GPa ] [-] [ MPa ] rozciąganie ściskanie
Stal zwykła 210 0.33 220-240 320-380 320-380
Stal o wysokiej wytrzymałości 210 0.33 320-360 520-640 520-640
Stop aluminium 72 0.34 90-300 90-430 90-430
Sosna (wzdłuż włókien) 10 - - <" 55 <" 35
Sosna (poprzecznie do włókien) 0.3 - - <" 4 <" 5
Beton konstrukcyjny 15-40 <" 0.16 - 0.5-3 5-50
Cegła 2-4 - - 0.5-3 5-15
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
" momenty statyczne w/z osi Sx = ydAa" Ayc , Sy = xdAa" Axc ; środek ciężkości yc = Sx /A , xc = Sy /A ,
+" +"
A A
osie centralne x0, y0 - przechodzących przez środek ciężkości, jeśli figura ma oś symetrii to jej środek
ciężkości leży na tej osi, jeśli ma dwie osie symetrii to środek ciężkości leży na ich przecięciu; dla figury
n n
złożonej z n części Sx ="i=1(Ai yci ) , Sy ="i=1(Ai xci ) , Ai , ( yci , xci ) pole i współrzędne środka ciężkości
figury i ; położenie środka ciężkości figury złożonej z dwóch części - sposób wykreślny;
" momenty bezwładności w/z osi Jx = y2dA , J = x2dA , biegunowy Jo = r2dA= (x2+y2 )dA= Jx+J ,
y y
+" +" +" +"
A A A A
dewiacyjny Jxy = xydA , zawsze Jx , Jy , Jo > 0 , promienie bezwładności ik = (Jk / A)1/ 2 , k = x, y, xy,o ;
+"
A
" centralne (środkowe) momenty bezwładności - Jx , J , Jx y0 momenty w/z osi centralnych x0, y0 );
y0
0 0
2 2
" wzór Steinera (postać szczególna Jx = Jx + Ayc , J = J + Axc , Jxy = Jx y0 + Axc yc gdzie Jx , J , Jx y0 są
y y0 y0
0 0 0 0
momentami w/z osi centralnych x0, y0 , gdzie (xc , yc ) są współrzędnymi tego środka ciężkości we
współliniowym x0 || x , y0 || y układzie odniesienia x , y ; dla figury złożonej z n części
n 2 n 2 n
Jx ="i=1(Jx + Ai yci ) , J ="i=1(J + Ai xci ) , Jxy ="i=1(Jx y0i + Ai xci yci ) ;
y y0i
0i 0i
" znajomość Jx , J , Jxy pozwala wyznaczyć momenty bezwładności J� , J� , J�� w układzie współrzędnych
y
o wspólnym początku i obróconych o kąt � ( +� = (x,� ) mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara)
wykorzystując transformację współrzędnych � = x cos� - y sin� , � = xsin� + y cos� , z definicji mamy
2
J� a" �2dA = Jx cos2� + J sin2� + Jxy 2sin� cos� , J� a" � dA = Jx sin2� + J cos2� - Jxy 2sin� cos� ,
y y
+" +"
A A
J�� a" ��dA = -(Jx - J )sin� cos� + Jxy (cos2� - sin2�) ;
y
+"
A
" podobieństwo wzoru J� = Jx cos2� + J sin2� + Jxy 2sin� cos� do wzoru z PSN (tak jak w przypadku PSO)
y
�� = � cos2� +� sin2� + 2� sin� cos� wskazuje na analogię �� "! J� , � "! Jx , � "! J , � "! Jxy ,
xy xy x y y xy
która pozwala natychmiast wypisać zależności analogiczne do wyprowadzonych w PSN, stąd np. główne
6
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
2
1
momenty i główne osie bezwładności J1,2 = (Jx +J ) ą[1 (Jx -J )2+Jxy ]1/ 2 , tg2�0 = 2Jxy/(Jx - J ) , warunek
y y
24 y
maksimum (Jx - J )cos 2�01 > 0 ; osie główne (1, 2 ) są ortogonalne �01 = �02 +Ą / 2 ; w układzie osi
y
głównych J12 = 0 ; warunek niezmienniczości względem obrotu J1 + J2 = Jx + J = J� + J� = const ;
y
" główne centralne (środkowe) momenty i osie bezwładności ( J1, J2 i 1, 2 ), dla układu centralnego x = x0 ,
y = y0 (o początku w środku ciężkości) jeśli figura ma oś symetrii to jest to oś główna - jeśli ma dwie osie
symetrii to są to główne centralne osie bezwładności - jeśli ma trzy i więcej, to każda prosta przez środek
ciężkości jest główną centralną osią bezwładności); znajomość:
" " O O O O
Jx = bh3/12 , Jx | dolna = bh3/ 3 , Jx | dolna = bh3/12 , Jx = bh3/36 , Jo = Ą r4/ 2 , Jx = J = Jo / 2 = Ą r4/ 4 ;
y0
0 1 1 0 0
" graficzne wyznaczanie J1, J2,�0 - metoda Mohra (orientacja osi Jx , J , Jxy , uwaga dla kąta +� = (x,� )
y
odmierzanego zgodnie z ruchem wskazówek zegara, oś momentów dewiacyjnych Jxy skierowana w dół);
" obliczanie charakterystyk dla przekrojów cienkościennych (grubość ścianki � << od pozostałych wymiarów
2
a,b, h,... - składniki z � i w wyższej potędze są bardzo małe - pomijamy).
Zginanie czyste, (tylko wektor momentu M =M ex+M ey `" 0 �! tylko � a" � `" 0 )
x y z
" przyjmuje się: zginanie w osiach centralnych Sx = Sy = 0 ;
" hipoteza kinematyczna Bernoulliego  założenie o płaskich przekrojach: przekroje początkowo płaskie
i prostopadłe do osi pręta pozostają płaskie i prostopadłe do osi pręta w trakcie procesu deformacji, oznacza
to, że doznają one tylko obrotów, konsekwencja postać funkcji � (x, y) a" �z = ax + by + c ; założenie o
naprężeniach: w przekrojach prostopadłych do osi pręta ( z ) występują tylko naprężenia normalne � a" � ;
z
" z prawa Hooke'a � (x, y) a" E�z (x, y) = E(ax + by + c) i definicji sił przekrojowych otrzymuje się układ
z
ż#N = zdA = E(ax + by + c)dA
�
+"+"
ń# ż# �#
AA Ą# A Sx Sy Ec N
ż# �#
�#
�# ó#S Jx Jxy Ą# �#Eb�# �# �#
� = Mx ;
�#M = A ydA = A E(ax + by + c) ydA �! �# Ź# �# Ź#
x z x
+"+" ó#Ą#
�# �#Ea�# �# �#
ó#Sy Jxy Jy Ą#
�# �#
Ł# Ś# �#-M y �#
�# � xdA =- E(ax + by + c)xdA
z
+"+"
�#M y =- AA
" dla czystego zginania N = 0 w układzie osi centralnych Sx = Sy = 0 wyznaczamy stałe Ea, Eb, Ec �!
2 2
c = 0 , Eb = (M J + M Jxy ) /(Jx J - Jxy ) , Ea =-(M Jx + M Jxy ) /(Jx J - Jxy ) ;
x y y y y x y
M Jx + M Jxy M J + M Jxy
y x x y y
" podstawiając stałe otrzymamy wzór na naprężenia � (x, y) =- x + y ;
z
22
Jx J - Jxy Jx J - Jxy
y y
M Jx + M Jxy
y x
" oś obojętna lub zerowa � (x, y) = 0 �! y = x , przechodzi przez początek układu;
z
M J + M Jxy
x y y
" naprężenia ekstremalne występują w punktach najbardziej oddalonych od osi zerowej (obojętnej);
" zginanie w głównych centralnych osiach bezwładności ( Sx=Sy=Jxy= 0 ) wzory ulegają uproszczeniu
� (x, y) =-(M / Jy )x + (M / Jx )y , oś obojętna � (x, y) = 0 �! y = (M Jx / M J )x ;
zy x z y x y
" naprężenia w przekroju o dwóch osiach symetrii �! są to główne centralne osie bezwładności oraz
xmax=|xmin | i ymax=| ymin | stąd �eks =ą | M | /Wx ą | M | /Wy , gdzie Wx = Jx / ymax , Wy = J / xmax nazywa
x y y
się wskaz
nikami wytrzymałości w/z odpowiednich osi;
" zginanie proste (płaskie) odbywa się w głównych centralnych osiach bezwładności i zachodzi kiedy jedna
ze składowych wektora M jest równa zero np.: M =0 (inaczej zginanie ukośne), naprężenia
y
g
� (y) = (M / Jx )y , oś zerowa y = 0 , naprężenia w skrajnych włóknach: w górnym � =-M /Wxg ,
zx x
d
dolnym � = M /Wxd , gdzie wskaz
niki wytrzymałości: górny Wxg = Jx / | yg | i dolny Wxd = Jx / | yd | ;
x
" lokalna deformacja osi ( z ) belki w zginaniu prostym �! prosta y = 0 jest jednocześnie główną
centralną osią bezwładności i osią naprężeń zerowych; dla wydłużenia pasma długości dz oddalonego o y
przy zakrzywieniu � = 1/ � osi belki do łuku kołowego o promieniu � = dz / d� , obowiązuje geometryczny
warunek zgodności �z (y)dz= yd� �! �z (y) = (d� / dz)y , wykorzystując prawo Hooke'a � (y) = E�z (y)
z
= E(d� / dz)y i definicję momentu M = � (y)ydA = E(d� / dz)y2dA = E(d� / dz) y2dA
x z
+" +" +"
A A A
= E(d� / dz)Jx otrzymuje się równanie na krzywiznę osi belki � = 1/ � = d� / dz = M / EJx , gdzie EJx -
x
nazywa się sztywnością na zginanie; rozwiązanie opisuje deformację belki w łuk kołowy i jest rozwiązaniem
ścisłym w ramach przyjętych założeń.
7
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie, (stan złożony: M = M ex + M ey `" 0 , W = Nez `" 0 �! � a" � `" 0 ),
x y z
" traktujemy jako superpozycję stanów: osiowego rozciągania/ściskania i zginania ukośnego, czyli
M J + M J M J +M J
N
y x x xy x y y xy
�( N )(x, y) = = const i �( M )(x, y) =- x + , gdzie x , y ( Sx = Sy = 0 ) to osie
22
A J J - J J J -J
x y xy x y xy
centralne; redukcja moment M =r�W �! M = Nv , M = -Nu do siły W = Nez `" 0 na mimośrodzie
x y
uJ
N -vJ vJ -uJ
x xy y xy
(ramieniu) r = uex+ vey daje � =�( N )+� = [1+ Ax + Ay] ; oś naprężeń zerowych
( M )
22
A J J -J JxJ -J
x y xy y xy
uJ -vJ vJ -uJ
x xy y xy
oblicza się z definicji � = 0 �! Ax + Ay +1 = 0 ;
22
JxJ -Jxy J J -J
y x y xy
" uwaga zachować prawoskrętną orientację osi, oś (+z) zgodnie z dodatnim kierunkiem siły normalnej
(+N ) , która wywołuje naprężenia rozciągające (+� ) , czyli działa od przekroju;
" w głównych centralnych osiach bezwładności ( Sx = Sy = Jxy = 0 ) wzory się upraszczają
J
N uA vA N ux vy J ux vy
2 2 y
x
� = [1+ x + y] = [1+ + ] , gdzie ix = , iy = ; oś � = 0 �! + +1 = 0 , zatem dla
2 2 2 2
A J Jx A iy ix A A iy ix
y
2 2
x = 0 �! y =-ix / v , y = 0 �! x =-iy / u , wynika stąd, że oś naprężeń zerowych nigdy nie przecina
ćwiartki w której działa siła (u,v) ; trzy charakterystyczne położenia osi naprężeń zerowych, to oś: nie
przecina, jest styczna i przecina przekrój;
" przejście z układu osi centralnych ( x , y �! J , J , J `" 0 ) do układu głównych osi centralnych (np.: � a" 1 ,
x y xy
� a" 2 , J� a"J1 , J� a"J2 , �01 ) jest zawsze możliwe stosując transformację ortogonalną � = x cos�01+ y sin�01 ,
� =-x sin�01+ y cos�01 (tutaj �01 (+) mierzony od osi x do � ) i sprowadza się do przeliczenia
współrzędnych x, y oraz u,v ; pozwala to stosować obie wersje wzorów;
" jeżeli punkt przyłożenia siły przesuwa się po prostej np. u = av + b to oś obojętna, niezależnie od u i v ,
2
2
iy ix a
av + b v ax y bx
x + y +1 = 0 �! v( + ) + +1 a" 0 zawsze przechodzi przez punkt ( xb =- , yb = ), tzn.
2 2 2 2 2
iy ix iy ix iy b b
oś zerowa obraca się wokół punktu (xb, yb ) stanowiąc pęk prostych przechodzących przez ten punkt;
" kontur przekroju K (najmniejsza figura wypukła, w którą da się wpisać przekrój A ą" K );
" rdzeń (jądro) przekroju R (miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły, dla których w całym przekroju
panują naprężenia jednakowego znaku tj. oś naprężeń zerowych nie przecina przekroju; punktom granicy
rdzenia odpowiadają osie obojętne styczne do konturu; praktyczne znaczenie rdzenia np.: materiały kruche,
materiały nie przenoszące ciągnień, fundamenty; rdzeń R jest zawsze figurą wypukłą leżącą wewnątrz
konturu R ą" K ale nie koniecznie wewnątrz przekroju np.: rura, ceownik; środek ciężkości przekroju
zawsze leży w obszarze rdzenia; dla przekroju posiadającego oś symetrii rdzeń ma tę samą oś symetrii;
wyznaczenie rdzenia polega na określeniu jego granic; jeśli kontur przekroju jest wielobokiem to granice
rdzenia są wielobokiem o tej samej liczbie boków; rdzeń wyznacza się z definicji - przez podstawienie do
równania osi obojętnej zapisanej w postaci parametrycznej y = a(u,v)x + b(u,v) albo (I) równań granicy
rdzenia wiedząc, że i - temu wierzchołkowi konturu (xi , yi ) odpowiada i - te równanie boku rdzenia
v = ąi u + �i ; albo (II) równań boków konturu wiedząc, że i - temu bokowi konturu y = aix + bi odpowiada
i - ty wierzchołek rdzenia (ui,vi ) , stąd:
- dla równania boku konturu y = aix + bi przy ai `" 0 i bi `" 0 otrzymuje się położenie wierzchołek rdzenia
2 2 2 2
ui = (aiJ -J ) / bi A = aiiy / bi - ixy / bi , vi = (aiJxy - Jx ) / bi A= aiixy / bi - ix / bi ;
y xy
2 2
- dla boku y = bi `" 0 i x "(-", +") �! ai = 0 �! ui =-Jxy / bi A =-ixy / bi , vi =-Jx / bi A =-ix / bi ;
- dla równania boku x = ci `" 0 i y "(-", +") �! x = y / ai - bi / ai dla ai `" 0 �! 1/ ai = 1/ bi = 0 ale
2 2
ci =-bi / ai otrzymuje się ui =-J / ci A =-iy / ci , vi =-J ci A =- (1 ci )ixy ;
y xy
" sposób wykreślnego znajdowania położenia ( x, y ) osi zerowej w układzie głównych centralnych osiach
2 2
bezwładności (bazuje na warunkach x =-iy / u , y =-ix / v ) i granic rdzenia ( vg = Wd / A , vd = Wg / A ,
ul = Wp / A , up = Wl / A , gdzie Wi , i = g - górny, d - dolny, l - lewy, p - prawy );
8
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
" wybrane wierzchołki (granice) rdzenia typowych figur: prostokąt ( b � h ) vg = h / 6 , up =b / 6 ; trójkąt
równoboczny ( b � h ) vg = h / 6 , up = b /8 vd = h /12 ; koło ( R ) � = R / 4 ; rura grubościenna ( R, r )
� = (R2 + r2) / 4R ; rura cienkościenna (R,� ) � = R / 2 , gdzie � jest promieniem rdzenia.
Mimośrodowe ściskanie przy wyłączeniu strefy rozciąganej (fundamenty  nie przenoszą ciągnień)
" fundament (stopa) prostokątny A = h �b o wierzchołkach rdzenia (ąh / 6, ą b / 6) obciążony w płaszczyz
nie
symetrii ( x - x Ą" b ) siłą P o różnych położeniach c mierzonych od krawędzi stopy, trzy przypadki:
- c e" h / 3 rozkład � trapezowy, siła wewnątrz rdzenia � ,� =-P/ A ą M /Wy �!
max min y
2P 3c 2P 3c
� = (1- ) , � = (-2 + ) ;
max min
bh h bh h
- c = h / 3 rozkład � trójkątny na całej długości h , siła na skraju rdzenia � = 0 , �min =-2P / bh ;
max
- c < h /3 rozkład � trójkątny tylko na części h , siła poza rdzeniem � = 0 , �min =-2P / 3bc ;
max
- w praktyce nie dopuszcza się przypadków odporu fundamentu na obszarze mniejszym od połowy
powierzchni całkowitej �! 3c > h / 2 �! c > h / 6 .
Skręcanie swobodne de Saint - Venanta, (czyste, tylko Ms a" M `" 0 i tylko � `" 0 , swoboda deplanacji)
z
" skręcanie nieswobodne (skrępowane), w wyniku uniemożliwienia swobody deplanacji (poprzez warunki
podparcia, zmienne obciążenie lub zmienny przekrój), powstają dodatkowo samorównoważące się w
przekroju naprężenia normalne � `" 0 mimo, że jednak N = M = M = 0 );
x y
" pręt o przekroju kołowym (pełny, rura grubościenna, rura cienkościenna - rozwiązania ścisłe):
- założenia: przemieszczenia są sztywnymi obrotami �(z) przekrojów, w wyniku skręcenia tworzące
walca przyjmują postać krzywej śrubowej, którą dla małych kątów skręcenia dobrze przybliża prosta �!
�d� =łdz , występuje czyste ścinanie z prawa Hooke a �! � = Gł �! � =G� d� /dz , wektory naprężeń
d�
stycznych (�) prostopadłe do promieni � przekroju �! Ms = ��dA=G �2dA �! skręcenie
+"+"
AA
dz
d� Ms
= , gdzie J0 = �2dA - biegunowy moment bezwładności, GJ0 - sztywność na skręcanie,
+"
A
dz GJ0
- wzory obliczeniowe, naprężenia � (�) = (Ms / J0 )� �! �max = (Ms / J0)�max = Ms /Ws , gdzie Ws = J0/ �max
b b
Ms (z)
wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie, obrót odcinka � |a-b = d� = dz , dla stałych
+" +"
a a
GJ0(z)
charakterystyk � |a-b = Ms la-b / GJ0 ;
- ponieważ w prętach kołowych nie występuje deplanacja powyższe wzory są słuszne także dla przypadku
skręcania skrępowanego;
" pręt o przekroju prostokątnym - nie można uzyskać rozwiązań w ramach rozważań elementarnych,
podstawowe fakty z rozwiązań ścisłych teorii sprężystości uzyskanych dla pręta o długości l i o stałym
przekroju b � h obciążonego stałym momentem skręcającym ( Ms = const ) to:
- w wyniku swobodnego skręcenia występuje deplanacja (paczenie) przekroju,
- wektory naprężeń stycznych na brzegu przekroju są równoległe do konturu a w narożach równe zero,
- naprężenie maksymalne �max występuje w środku dłuższego boku prostokąta,
- wzory przybliżone �max = Ms /Ws , Ws = �hb2 - wskaz
nik wytrzymałości, kąt skręcenia � = Msl GJs ,
Js =ąhb3 , GJs - sztywność na skręcanie, współczynniki ą i � z tablic w zależności od proporcji h / b
"
h / b 1 1.5 2 3 4 6 8 10
ą
0.140 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 1/3
� 0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 1/3
" pręt cienkościenne o przekroju otwartym - składa się z n wąskich prostokątów �i � hi , hi /�i e" 10 ,
i = 1,2,...,n , przyjmuje się założenia i przybliżony wzór dla prostokąta ( b a" � ) z warunku h /� H"" �!
ą = � = 1 3, w wyniku swobodnego skręcenia występuje silna deplanacja przekroju:
- zakłada się, że przekroje w płaszczyz
nie doznają jedynie sztywnego obrotu (jako całość �i a"� = const ),
- maksymalne naprężenia styczne: w przekroju złożonym z prostokątów �max = Ms /Ws = Ms�max / Js ,
w i - tej ściance w środku dłuższego boku (�max )i = Ms�i / Js , kąt skręcenia � = Msl GJs ,
9
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
1 n Js � n
- wskaz
nik wytrzymałości Ws = hi�i3 = , gdzie Js = hi�i3 jest momentem
" "
i=1
3�max i=1 ��max 3
bezwładności na skręcanie, dla profili walcowanych wprowadza się współczynnik kształtu � (kątownik
� = 1 , ceownik i teownik � = 1.12 , dwuteownik � = 1.30 , dla profili (idealnych) z prostokątów � = 1 ,
- uzasadnienie wzorów: � a"�i =Ms l GJs = ... =Ms l GJs = ... =Ms l GJs a"Msl GJs �! Ms =MsJs /Js ,
1 1 i i n n i i
1
gdzie Js = hi�i3 , ponadto Ms +Ms + ... +Ms = Ms �! (�max )i = Ms /Ws = Ms �i/Js = Ms�i/Js ;
3
i 1 2 n i i i i
" jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym (występuje deplanacja - rozwiązanie ścisłe
tylko dla stałego momentu i przekroju ( Ms (z), A(z), Js (z), Fs (z) = const ) oraz swobodnej deplanacji:
- założenia (przekroje doznają jedynie sztywnego obrotu �(z) w płaszczyz
nie (z) ale nie pozostają
płaskie (deplanacja), naprężenia � (z, s) są styczne linii środkowej przekroju cienkościennego (s) i
rozłożone równomiernie na grubości ścianki � (s) ),
- z równowagi " Z = 0 wyciętego fragmentu obwodu o długości dz �! t(s) = � (s)� (s) =�max�min= const ,
Ms
- I. wzór Bredta dla naprężeń � (s) = �! z def. Ms = ��dA = = t = �� = 2�� Fs ,
+" trds rds rds
+" +"+"
A
2Fs � (s)
1
gdzie Fs = pole figury ograniczonej linią środkową (s) , całka po obwodzie zamkniętym (s) ,
2
+" +"
rds -
Ms Ms
z �� =�max�min= const �! �max= = , gdzie Ws = 2Fs�min wskaz
nik wytrzymałości na
2Fs�min Ws
skręcanie;
d� Ms
-1
- II. wzór Bredta dla skręcenia = , gdzie Js = (2Fs )2 / ds moment bezwładności na skręcanie
+"
�
dz GJs
b b
Ms
a GJs sztywność na skręcanie, ostatecznie obrót odcinka ab � |a-b = d� = dz , II. wzór Bredta
+" +"
a a
GJs
wyprowadza się na podstawie twierdzenia Clapeyrona (które będzie podane póz
niej) przyrównując pracę
Lz zewnętrznego momentu skręcającego Ms wykonaną na kącie obrotu � z energią potencjalną Ep
11
odkształcenia sprężystego zapisanego dla pręta o długości l �! Lz = Ms� a" Ep = �ł dV , oraz z
22
+"
V
2 2
prawa Hooke a ł = � / G �! Ms� = �ł dV = (� /G)dV , dla dV = � lds �! Ms� = (� /G)dV
+"+" +"
VV V
2 2 2 -1 -1
= / 4GFs2� )� lds = (Ms / 4GFs2) ds l , stąd ostatecznie d� /dz a" � /l = (Ms / 4GFs2 ) ds ;
s
+" � +"
(M +" �
" wykresy momentów Ms (z) , kątów obrotu �(z) , zadania statycznie niewyznaczalne (koncepcja
rozwiązania, warunek geometryczny - zgodności obrotów);
" wymiarowanie przekroju (minimalny wymiar z warunków: wytrzymałości � = Ms /Ws d" R� �! Ws �!
wymiar lub sztywności �max = �(Js ) d" �dop �! Js �! wymiar ).
A
ączenie elementów konstrukcji (stalowych i drewnianych)
" założenie równomiernego rozkładu naprężeń w połączeniach (silne uproszczenie, pominięcie problemu
koncentracji naprężeń); kontrola tylko warunku wytrzymałościowego (typu �obl d" Robl ); liczba łączników,
rozmieszczenie, rozstawy i odstępy technologiczne, grubości nakładek itp. regulują normy;
" połączenia nitowane (zniszczenie przez: ścięcie, docisk, rozerwanie blach; nośność m - ciętego nita na
2
ścinanie Ntm = mR� Ą d /4 , nośność nita na docisk Nd = Rd dtmin , nośność nita Nmin = min(Ntm, Nd ) , liczba nitów
ne" N/ Nmin , sprawdzenie naprężeń w osłabionej otworami blasze � = N (b - Ł di )tmin d" R� , gdzie N - siłą
normalna przenoszona przez połączenie, b - szerokość blachy, tmin= min( z sumy gr. blach po jednej str.
połączenia), Ł di = suma średnic nitów w osłabieniu przekroju );
" połączenia spawane (czołowe np. � = N bt d" R� e , b - szerokość i t - grubość blachy; pachwinowe np.
� = N la d" R� e , l - sumaryczna długość spoin (po jednej stronie łączonych części), a - obl. grubość spoiny);
" połączenia ciesielskie (anizotropowość, wytrzymałość zależy od kierunku obciążenia w stosunku do włókien
drewna, zniszczenie przez: ścięcie, docisk, rozerwanie osłabionego przekroju);
" projektowanie - normy (maksymalne i minimalne wielkości technologiczne);
" połączenie nie powinno zmieniać charakteru pracy łączonych części np. osiowość pracy połączenia
(położenie: wypadkowej z łączników a" wypadkowej z obciążenia).
10
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Zginanie ze ścinaniem belek grubościennych, stan złożony: moment + siła tnąca np.: M `" 0 i Ty `" 0 , zginanie
x
proste w głównych centralnych osiach bezwładności Sx = Sy = Jxy= 0 :
" zakłada się, że siła tnąca nie wpływa na rozkład naprężeń normalnych (rozsądne przy h L d" 1 5 , wówczas
błąd nie przekracza 1% inaczej należy stosować rozwiązania według teorii tarcz);
" zakłada się, że na prostych y = ył (ustalone) , równoległych do osi x , która jest osią naprężeń zerowych
zginania prostego (po szerokości) naprężenia ścinające (styczne pionowe) są stałe � (x, ył ) = const ;
" równanie równowagi ŁZ = 0 , wycinka dz belki części przekroju odciętej płaszczyzną y = ył (ustalone) na
szerokości przekroju b( ył ) o polu powierzchni &! ( ył ) �" A pod działaniem stałej siły Ty i momentu M ,
x
ma postać (� + d� )dA - �dA -� ( ył )b( ył )dz = 0 �! d�dA -� ( ył )b( ył )dz = 0 , różniczkując po z
+"+" +"
&!&! &!
M d� M y Tx
x x
wzór na naprężenia normalne w zginaniu prostym � = y otrzymuje się = = y co po
J dz dz J J
x x x
podstawieniu do (d� dz)dA -� ( ył )b( ył ) = 0 �! (Ty J ) ydA -�ł bł = 0 daje wzór na naprężenia
x
+" +"
&! &!
ł
TySx
ł
styczne �ł = w przecięciu y = ył , gdzie Sx = Sx ( ył ) = ydA jest momentem statycznym
+"
&! ( ył )
J bł
x
względem osi x odciętej części przekroju poprzecznego o powierzchni &! ( ył ) ;
" ekstremalne naprężenia tnące (styczne) występują w płaszczyz
nie przechodzącej przez środek ciężkości
przekroju poprzecznego (tam z definicji Sx ( ył = 0) jest ekstremalne), dla prostokąta �max= � |y =0 = 3Ty / 2A ,
ł
dla przekroju kołowego �max= � |y =0 = 4Ty / 3A .
ł
Zginanie ze ścinaniem belek cienkościennych, stan złożony: 2 momenty + 2 siły tnące, zginanie ukośne w
głównych centralnych osiach bezwładności Sx = Sy = Jxy= 0 , w stosunku do założeń dla belek grubościennych
zmianie ulega założenie o rozkład naprężeń stycznych - przyjmuje się (zgodnie z charakterem prętów
cienkościennych), że:
" naprężenia styczne od siły tnącej � (s) są stałe na grubości ścianki � (s) , gdzie s jest współrzędną bieżącą;
"� "�
" równanie równowagi ŁZ = 0 elementarnej objętości (ds �dz)� pręta ma postać dz� ds + ds� dz = 0
"z "s
sł
"� "� "�
�! � + � = 0 , całkując po s w przekroju ł otrzymuje się �ł�ł =- � ds +�0�0 , w przypadku
+"
0
"z "s "z
całkowania od brzegu przekroju �0 = 0 , różniczkując po z zależność na naprężenia normalne w zginaniu
ukośnego � =-(M / J )x + (M /Jx ) y i wykorzystując związki różniczkowe dM /dz =Ty i dM /dz = - Tx ,
y y x x y
ł
Ty sł
Tx sł TySx TxSł
y
po podstawieniu do całki otrzymuje się �ł�ł =- � yds - � xds , stąd �ł =- - , gdzie
+"+"
00
JJ J �ł J �ł
xy x y
ł
Sx = ydA , Sł = xdA są momentami statycznymi względem odpowiednich osi odciętej części
y
+" +"
&!ł &!ł
przekroju poprzecznego o powierzchni &!ł = &! (sł ) , uwaga dla � > 0 wektor � jest zgodny z kierunkiem s ;
" środek zginania (skręcania) jest to taki punkt w płaszczyz
nie przekroju poprzecznego, w którym winna
działać siła tnąca aby pręt był tylko zginany, w przeciwnym razie obok zginania wystąpi również skręcanie
(inaczej mówiąc jest to punkt względem którego suma momentów od naprężeń stycznych jest równa zero);
dla przekroju o jednej osi symetrii środek zginania leży na tej osi, przy dwóch osiach symetrii pokrywa się ze
środkiem ciężkości; przykłady położenia środka skręcania:
- ceownik cienkościenny ( b,�b , h,�h i Ty `" 0 ), rozkład naprężeń w półkach liniowy, bowiem
ł (0)
Sx = h�bsł / 2 stąd �ł�ł =-Tyhsł�b / 2J , na brzegu �b = 0 , ekstremalne na półce w narożu
x
(1) (1)
�b =-Tyhb / 2Jx , wypadkowa z naprężeń w półce (poziomych) tb = �b �bb / 2 = Tyhb2�b / 4J , rozkład
x
h /2
ł półki
naprężeń w środniku paraboliczny bowiem Sx = Sx + �h ydy = hb�b/2 + �hh2/8 -�h ( ył )2/2 , w narożu
+"
ył
(1) (1)
środnika �h = �b �b/�h , maksymalne naprężenie występuje w płaszczyz
nie środka ciężkości ( ył = 0)
(1)
�max= �h - Tyh2/8J , wypadkowa z naprężeń pionowych (w środniku) musi równoważyć siłę tnącą
x
th = Ty , z warunku zerowania się sumy momentów od naprężeń ścinających tbh - thąx = 0 otrzymuje się
położenie środka ścinania ąx= tbh / th = h2b2�b/4Jx , gdzie ąx jest mierzone od linii środkowej środnika;
11
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
- dla przekrojów gwiaz
dzistych (np. kątownik, teownik, krzyżak itp.) środek skręcania pokrywa się ze
środkiem gwiazdy, gdzie krzyżują się strumienie naprężeń stycznych z poszczególnych ramion gwiazdy.
Belki wielokrotne i złożone, gdy pręt składa się z kilku części połączonych lub niepołączonych ze sobą, to:
" belka wielokrotna, składowe części o długości l tworzące belkę nie są połączone ze sobą, pracujące
niezależnie, tak jak gdyby leżały obok siebie, np. dla n takich samych części
0
(� )max= (M )max / nWx = (� )max / n ;
zx x
" belka złożona, pręty składowe połączone przez niepodatne (z założenia) łączniki w monolit, oblicza się jako
całość przykładowo jako belkę o sumarycznej wysokości, stąd np. dla n takich samych części o przekroju
0
(M )max (M )max (� )max
xx x
prostokątnym (b � h) obowiązuje (� )max== = , aby taki stan był możliwy
z
b(nh)2 / 6 n2Wx n2
połączenie (klej, nity, śruby, spawki, zgrzewanie punktowe czy klocki, gwoz
dzie, pierścienie w belkach
drewnianych itp.) musi przenosić naprężenia styczne �ł występujące w miejscu połączenia y = ył ;
" siła rozwarstwiająca jest wypadkową naprężeń (na jednostkę długości z ) zebraną z całej szerokości belki
łł
w miejscu łączenia Rz =�ł bł =TySx Jx , na nią projektuje się łączniki, tak obliczoną siłę muszą przenosić
łączniki o charakterze ciągłym (np. kleje, spawki ciągłe), dla łączników punktowych (nity, śruby, klocki itp.)
rozmieszczonych w rozstawie e siłę przypadająca na poprzeczny rząd łączników punktowych zbiera się z
ł
z+e
Sx z+e
łł
odcinka e długości belki Rz (e) = Rz dz = Tydz , mimo osłabień przekroju, ze względu na ich mały
+"+"
z
Jx z
wpływ, siłę rozwarstwiającą obliczamy jak dla przekroju pełnego ( brutto ), stąd np. dla Ty = const
ł ł
SxTy Sx bruttoTy
ł
Rz (e) = e = e , w praktyce wzór w tej postaci, mimo zmienności siły tnącej, ze względu na
Jx Jx brutto
mały rozstaw nitów, stosowany jest w belkach stalowych (blachownicach nitowanych);
" naprężenia normalne w belkach złożonych sprawdza się dla przekroju osłabionego łącznikami ( netto )
(� )max= (M )max /Wx netto d" �dop , dla belek drewnianych, ponieważ wykonanie całkowicie niepodatnych
z x
łączników jest niemożliwe, do obliczenia Wx netto stosuje się odpowiednie (zgodne z normami) współczynniki
korygujące.
Naprężenia prostopadłe do osi belki w zginaniu prostym, naprężenia � dotąd były pomijane, stan złożony
y
moment M `" 0 i siła tnąca i Ty `" 0 od stałego na szerokości b0 obciążenia rozłożonego na górnej powierzchni
x
belki, zginanie proste w głównych centralnych osiach bezwładności Sx = Sy = J =0 , szerokość przekroju
xy
b = b( y) , wysokość h = hg+ hd ;
"� "�zy
y
" warunek ŁY = 0 objętości (dy � dz)b ma postać (� + dy)bdz -� bdz + (� + dz)bdy -� bdy = 0
y y zy zy
"y "z
ł
ł ł
TySx dTy "� "� dTy Sx p(z)Sx
y zy
wykorzystując, że � |ł = oraz =- p(z) otrzymuje się =- = ... =- = ,
zy
J bł dz "y "z dz J bł Jxbł
x x
ył ł
p(z) Sx p(z)
całkując po y w przekroju ł otrzymuje się naprężenia � |ł = dy - , wynik całkowania
y
+"
Jx -hg bł b0
zależy od kształtu przekroju poprzecznego;
b h2
ł
" przekrój prostokątny b = const , Sx = ( - ( ył )2) ,
2 4
ył ył ył
bh3 p(z) b h2 p(z) p(z)
Jx = �! � |ł = ( - ( ył )2)dy - = [3 - 4( )2 -1] , w praktyce ze względu na
y
+"
-h /2
12 J b 2 4 b 2b h h
x
małe wartości � pomija się, np. dla belki swobodnie podpartej o długości l o przekroju prostokątnym
y
(b � h) obciążonej równomiernie p = const na górnej powierzchni:
ył ył
pp (M )max pl2 /8 3 p l
x
(� )max=|� |=| [3 - 4( )2 -1] |=|- | i (� )max== = ( )2 , stąd
y y=-h / 2 z
ył =- h / 2
2b h h b Wx bh2 /6 4 b h
(� )max 4 h (� )max
h
y y
= ( )2 , np. dla = 10 �! = 0.0133 .
(� )max 3 l l (� )max
z z
12
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Pręty zespolone, wykonane z materiałów o różnych modułach sprężystości (np. Eb i Es : beton - stal,
beton - cegła, drewno - stal itp.) połączone w jedną całość (siła rozwarstwiająca w miejscu połączenia musi być
przenoszona przez łączniki), rozważamy stan złożony moment M `" 0 i siła normalna N `" 0 , przekroju o
x
pionowej ( y ) osi symetrii (J = 0) złożony z dwóch materiałów ( s ) i ( b ), które charakteryzuje stosunek
xy
modułów sprężystości Es / Eb = n ( Es = nEb ); celem jest wyznaczenie naprężeń normalnych w obu materiałach;
" charakterystyki geometryczne przekroju zespolonego A = Ab + As (położenie środka ciężkości, momenty
statyczne, momenty bezwładności) wynikają (tak jak poprzednio) z hipotezy o płaskich przekrojach
� = by + c i obowiązującego prawa Hooke a � ( y) = E( y)� ( y) �! �b( y) = Eb� = Eb(by + c) na Ab ,
� ( y) = Es� = Es(by + c) = nEb(by + c) na As , z warunku równoważenia się sił przekrojowych ( N, M ) z
s
naprężeniami (� ) lub wprost z definicji sił przekrojowych N = � dA = �bdA + � dA
+" +" +"
A Ab As s
= Eb Ab (by + c)dA + nEb As (by + c)dA = Eb(bSx b+cAb) + nEb(bSx s+cAs ) , M = � ydA = �b ydA
x
+" +" +" +"
A Ab
+ � ydA = Eb Ab (by2+cy)dA + nEb As (by2+cy)dA = Eb(bJx b+ cSx b) + nEb(bJ +cSx s ) , otrzymuje się
x s
+" +" +"
As s
Ab+ nAs Sx b+ nSx s ż# �# ż# �#
Ą#ń# c N / Eb
układ równań względem (b,c) = , gdzie Sxb = ydA , Sx s = ydA ,
�#bŹ# �#M / Eb Ź#
ó#S + nSxs J + nJxs Ą#
+" +"
Ab As
xb xb �# �# �# x �#
Ł#Ś#
Jxb = y2dA , Jx s = y2dA , środek ciężkości przekroju zespolonego ustala się tak aby
+" +"
Ab As
Sxc = Sxb + nSx s a" 0 , stąd yc = Sx / Ac = (Sx b+ nSx s )/( Ab + nAs ) , zaś układ rozsprzęga się i b = M / EbJc
x
11 1
c = N / Eb Ac , gdzie Ac = Ab + nAs , Jx c = Jx b+ nJx s , po podstawieniu do wzorów na naprężenia otrzymuje się
�b( y) = Eb(by + c) = N / Ac + (M / Jc ) y na Ab , � ( y) = nEb(by + c) = n[N / Ac + (M / Jc ) y] na As ;
x s x
" przekroj zastępczy, postać powyższych wzorów wskazuje na możliwość stosowania prostszego sposobu
obliczania tego typu konstrukcji przez wprowadzenie tzw. przekroju zastępczego traktując dalej pręt
zespolony jako wykonany z materiału jednorodnego, sposoby wyznaczania:
1. sprowadzenie do jednorodnego pręta o module Eb otrzymuje się mnożąc szerokości (składniki
liniowe) półek i środników obszaru As przez n ,
2. sprowadzenie do jednorodnego pręta przekroju o module Es dokonuje się dzieląc szerokości
(składniki liniowe) półek i środników obszaru Ab przez n ,
dla przekroju zastępczego prowadzimy obliczenia jak dla pręta z materiału jednorodnego, jedynie na końcu
w przypadku pierwszym aby otrzymać naprężenia w części (s) mnoży się naprężenia z obszaru As przez n
lub w przypadku drugim aby otrzymać naprężenia w części (b) dzieli się przez n naprężenia z obszaru Ab .
" przykład, drewnianą swobodnie podparta belkę długości l = 3 m , obciążona siłą skupioną P = 10 kN w
środku rozpiętości o przekroju prostokątnym bd � hd = 10� 20 cm ( Ed = 10 GPa ) wzmocniono w strefie
rozciąganej (na dole) płaskownikiem stalowym bs � hs = 10� 0.5 cm ( Es = 200 GPa ); wyznaczyć
maksymalne naprężenia w stali i drewnie oraz rozstaw wkrętów, jeśli nośność wkręta wynosi Nw = 2,5 kN ;
przyjmujemy przekrój zastępczy jak jednolity z drewna, n = Es / Ed = 20 , zatem nowy wymiar poprzeczny
d
płaskownika stalowego tak jakby był wykonany z drewna wynosi bs = nbs = 20i10 = 200 cm , Ac = Ad + nAs
= 20i10 + 20i(0.5i10) = 300 cm2 , współrzędna yc środka ciężkości względem osi x1 usytuowanej w miejscu
połączenia stali i drewna wynosi yc = Sx / Ac = (10i20i10 - 200i0.5i0.25) /(20i10 + 200i0.5) E" 6.58cm ,
1
moment bezwładności względem osi x1 (podstawy) Jx = (10i203 + 200i0.53) / 3 = 26 675cm4 , główny
1
centralny moment bezwładności względem osi x przechodzącej przez środek ciężkości figury zespolonej
2
Jx = Jx - Ac yc = 26 675 - 300i(6.58)2 = 13 700 cm4 , wskaz
niki wytrzymałości Wg = Jx/(hd - yc )
1
= 13 700 /13.42 = 1 020 cm3 , Wd = Jx/( yc + hs ) = 13 700 / 7.08 = 1 935 cm3 , maksymalny moment zginający
Mmax = Pl / 4 = 10 000i300 / 4 = 750 000 Ncm , ekstremalne naprężenia (ściskające) w drewnie
drewna
� = � = Mmax /Wg = 750 000 /1 020 = 735 N / cm2 , ekstremalne naprężenia (rozciągające) w stali
g
stali
� = n� = n Mmax /Wg = 20i750 000 /1 935 = 7760 N / cm2 , maksymalna siła tnąca Ty = P / 2 = 0.5 kN ,
d
ł
moment statyczny np. płaskownika stalowego Sx = nibshs( yc + hs / 2) = 20i10i0.5i(6.58 + 0.25) = 683 cm3 ,
ł
siłą rozwarstwiająca między drewnem i stalą Rł = TySx / Jx = 5 000i683/13 700 E" 250 N / cmb , odstęp
wkrętów z warunku Rł e d" Nw �! e d" Nw / Rł = 2 500 / 250 = 10 cm .
13
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Pręty zakrzywione, o przekroju symetrycznym względem płaszczyzny pokrywającej się z płaszczyzną
obciążenia y - y , rozważa się stan złożony: siła normalna N i moment zginający M
x
(rozciąganie/ściskanie mimośrodowe), zadaniem jest wyznaczenie podłużnych naprężeń normalnych
� a" � ;
z
" pręty słabo zakrzywione (np. łuki), � / h > 10 , gdzie � jest promieniem krzywizny początkowej osi pręta;
w zagadnieniach obliczania naprężeń przy zginaniu, rozciąganiu i ścinaniu, pręty słabo zakrzywione traktuje
się tak jak pręty proste stosując te same wzory obliczeniowe jak dla prętów prostych;
" pręty silnie zakrzywione (np. haki, wyoblone naroża ram), � / h E" 1� 3 założenia:
- o płaskich przekrojach (przed i po odkształceniu),
- siły tnące Ty i naprężenia normalne prostopadłe do osi pręta (� a" � ) nie wpływają na rozkład
y Ą"
naprężeń normalnych równoległych do osi pręta (� a" � ),
z
- naprężenia styczne oblicza się tak samo jak w prętach prostych;
początkową długość włókien (geometrię) elementu różniczkowego (�,d�) pręta silnie zakrzywionego
opisuje wzór wynikający z zależności geometrycznych ds( y) a" (� + y)d� = �d� + yd� = ds0 + yd� , dla osi
pręta y = 0 mamy ds0 = �d� , w wyniku deformacji (wywołanej obciążeniem pręta) następuje zmiana
(�,d� ) (�,d� ) , gdzie d� = d� + "d� , przekrój obraca się względem punktu nie leżącego na osi ( x ),
długość włókien zdeformowanych wynosi ds ( y) = 1+ � ( y) ds( y) a" (� + y)d� = (� + y)(d� + "d� ) �!
( )
d� + "d� d� + "d�
1+ � ( y) = (� + y) = (� + y) , odpowiednio dla osi pręta y = 0 mamy
ds( y) (� + y)d�
(1+ �0)ds0
ds0 = ds |y=0 = (1+ �0)ds0 a" �d� = �(d� + "d�) , stąd promień krzywizny zdeformowanej � = ,
d� + "d�
Ą#(1+ �0)�d� ń# d� + "d� y "d�
co po podstawieniu daje 1+ � ( y) = + yĄ# = 1+ �0 + (ł� -�0) , gdzie ł� = ,
ó#
d� + "d� (� + y)d� � + y d�
Ł#Ś#
y
zatem � ( y) = �0 + (ł� -�0) ;
� + y
y
z prawa Hooke a mamy � ( y) = E� ( y) = E�0 + E(ł� -�0) , niewiadome odkształcenia �0 i ł�
� + y
wyznacza się bezpośrednio z definicji przekrojowych sił wewnętrznych
y y2
N = � dA= E�0 AdA + E(ł� -�0) dA , M = � ydA = E�0 A ydA + E(ł�-�0) dA , ponieważ
x
+"+" +" +"+" +"
A A A A
� + y (� + y)
y2 y y �# y ś#
2
Sx = ydA = 0 , oznaczając Jx = � dA i przekształcając dA =
ś#1- ź#dA
+" +" +" +"
A A A A
� + y � + y � � + y
�# #
Ą# - Jx / �2 �0 ż# �#
A 2 ń# ż# �# N / E
11 � y2 1 M �
x
2
= ydA - dA =- Jx otrzymuje się = �! ł� -�0 = ,
�#ł -�0 Ź# �#M /E Ź#
ó#0 - J 2 / � Ą#
+"+"
A
2
��2 A � + y �2 EJx
� �# x �#
Ł# x Ś# �# �#
N M N M M y �
x x x
�0 = + , co po podstawieniu do wzoru na naprężenia daje � ( y) = + + ; wzór ten
2
EA EA� A A� Jx � + y
wskazuje, że: (a) przebieg naprężeń jest krzywą hiperboliczną, (b) dla N = 0 (czyste zginanie) oś zerowa nie
przechodzi przez środek ciężkości, (c) dla � " wzór przyjmuje klasyczną postać jak dla belki prostej;
przykład, przekrój prostokątny b � h , promień krzywizny � = h , obciążenie N = 0 , M a" M = const ,
x
+h /2
�#ś#
y2 y2 � + h / 2
2
obliczyć � ( y) ; dla prostokąta: A = bh , Jx = � dA = �b dy = �2bś# � ln - h ,
ź#
+"+"
A -h /2
� + y � + y� - h / 2
�# #
M 10y
2
zatem przy � = h mamy Jx E" bh3 /10 (dla pręta prostego Jx = bh3 /12 ), stad � ( y) = (1+ )
bh2 h + y
M h +11y 13 M
= , równanie osi zerowych naprężeń h +11y = 0 �! y = -h /11 , � = � |y=h / 2 = ,
max
bh2 h + y 3 bh2
M
� = � |y=-h / 2 = -9 .
min
bh2
14
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Równanie linii ugięcia belki (wyznaczanie przemieszczeń przy zginaniu) założenia:
- zginanie płaskie (proste) np.: M (z) `" 0 (dopuszcza się Ty (z) `" 0 ), w głównych centralnych osiach
x
bezwładności Sx = Sy = Jxy= 0 ,
2 2
- małe przemieszczenia v / L (a" uy /L a" y/L) << 1 , małe obroty v = dv / dz (a" duy / dz a" dy/dz = y ) << 1
i małe odkształcenia � << 1 , rozważamy tylko pionowe przemieszczenia belki tzn. ugięcia,
- siła tnąca Ty nie wpływa na deformację pręta;
" lina ugięcia - zdeformowana oś belki v(z) ( a" uy (z) a" y(z) ) , stan przemieszczeń a stąd odkształceń belki
określony jest całkowicie przez linię ugięcia;
" równanie Eulera (założenie, że siły tnące nie wpływają na deformację pręta pozwala wykorzystać równanie
na krzywiznę osi belki z czystego zginania � = 1/ � = M / EJx , gdzie � = d� / ds = 1/ � - krzywizna osi
x
belki, s - długością łuku (zakrzywionej osi belki), � - promień krzywizny, równanie
� = 1/ � = M / EJx powiązane z wzorem na krzywiznę krzywej płaskiej z geometrii różniczkowej
x
2 2 2 2 2 2
� = 1 � = ą y (1+ ( y )2 )3/ 2 daje v (1+ (v )2)3/ 2 = ąM / EJx ; założenie o małych deformacjach (obrotach)
x
2
pozwala pominąć składnik (v )2 a" (dv dz)2 << 0 , uwzględniając klasyczną konwencję znaków (+ y a" +v) ,
2 2
( -� = 1/(-�) ) , (+M ) otrzymuje się równanie linii ugięcia v = d2v / dz2 = -M / EJx lub
x x
2 2
y = d2 y / dz2 = -M / EJx nazywane równaniem Eulera, jest to zwyczajne równanie różniczkowe II-rzędu
x
o stałym współczynniku, rozwiązanie jego wymaga znajomości M (z) ;
x
2 2
" równanie IV-rzędu linii ugięcia (przyjmując EJ = const nadaje się równaniu Eulera formę EJ v =-M ),
x x x
2
uwzględniając zależności różniczkowe pomiędzy momentem, siłą tnącą i obciążeniem M = dM / dz = Ty
x x
2 2 2 2 2 2 2
�! M = d2M / dz2 = dTy / dz = Ty = -qy , po zróżniczkowaniu równania Eulera EJxv =-M =-Ty ,
x x x
2 2 2
EJ vIV =-M =-Ty = qy ; otrzymuje się ostatecznie postać vIV = qy / EJ , która może służyć do obliczania
x x x
ugięć w układach statycznie niewyznaczalnych ponieważ nie wymaga ona znajomości sił wewnętrznych;
" metoda Eulera - całkowania bezpośredniego, polega na dwukrotnym obustronnym całkowaniu równanie
2 2 2
v = d2v dz2 = -M / EJ = f (z) (czterokrotnym równania vIV = qy / EJ ) otrzymuje się v = f (z)dz + C1 ,
x x x
+"
v = f (z)dz] dz + C1z + C2 ; jeśli f (z) ma odcinkowo kilka różnych postaci analitycznych całkujemy
+"[+"
przedziałami, stałe C1, C2 wyznaczamy z warunków brzegowych i/lub warunków ciągłości linii ugięcia na
2 2
końcach przedziałów vl = vp i ciągłości stycznych (kątów) vl = vp o ile taka zachodzi (przegub); zgodnie z
2
założeniem o małych deformacjach y = dy / dz = tg� E" � interpretuje się jako kąt obrotu stycznej; uwaga
przy zmianie w przedziałach zwrotu osi (z = -z ) , dla wygody całkowania, przyrównując na brzegach
2 2 2 2
przedziału funkcje nieparzyste y E" � , y "! Ty zmieniamy znak na przeciwny;
" metoda Mohra - obciążeń wtórnych wykorzystuje analogię budowy wzorów statyki
2 2 2 2 2 2
M = d2M / dz2 = dTy / dz = Ty = -qy i wzorów na linię ugięcia y = d2 y / dz2 = d(y ) / dz = -M / EJ
x x x x
2
zachodzącą pomiędzy następującymi wielkościami: qy "! M / EJ , Ty "! y , M "! y ; definiując jako
x x x
obciążenie wtórne funkcję q* a" M /EJ i rozwiązując zagadnienie statyki - uzyskamy wtórne siły tnące
y x x
*
2
Ty* a" y E" � i wtórne momenty M a" y , które są pierwotnymi obrotami i ugięciami; ponieważ układ
x
rzeczywisty - belka pierwotna nie spełnia analogii w warunkach brzegowych (podporach), musimy utworzyć
układ zastępczy - belkę wtórną, w której warunki brzegowe (podpory) określa się według reguły:
�!
belka rzeczywista układ pierwotny układ zastępczy belka wtórna
* *
�!
podpora przegubowa y = 0 , � `" 0 podpora przegubowa
M = 0 , T `" 0
* *
�!
utwierdzenie y = 0 , � = 0 brzeg swobodny
M = 0 , T = 0
* *
�!
brzeg swobodny y `" 0 , � `" 0 utwierdzenie
M `" 0 , T `" 0
* *
�!
przegub podpora ciągła
yl = yp , �l `"� `" 0
Ml* = M , Tl* `"Tp `" 0
p
p
* *
�!
podpora ciągła przegub
y = 0 , �l =� `" 0
M = 0 , Tl* =Tp `" 0
p
*
metoda jest efektywna w obliczeniach ugięć w ustalonych punktach yi a" (M )i układów statycznie
x
wyznaczalnych.
15
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego (ciała sprężyste, zagadnienie statyki �! energia
kinetyczna = 0 )
" praca sił zewnętrznych Lz - jeśli punkty ( i ) przyłożenia sił ulegają przemieszczeniom to siły te wykonują
n
pracę Lz ="i=1 Pi�i , gdzie Pi - obciążenia zewnętrzne niezależne od przemieszczeń, �i - przemieszczenia
punktów przyłożenia sił mierzone w kierunku i zgodnie ze zwrotem siły Pi ;
" praca sił wewnętrznych Lw - praca sił przekrojowych na odpowiednich przemieszczeniach (funkcjach
położenia) powstałych w wyniku deformacji ciała (lub praca naprężeń na odpowiednich odkształceniach);
" energia potencjalna odkształcenia sprężystego Ep , na cechę gromadzenie się energii Ep (jej istnienie) w
wyniku obciążania ciała sprężystego wskazuje własność powracania ciała do swojej pierwotnej postaci po
zdjęciu obciążenia (czyli odciążeniu);
" twierdzenie Clapeyrona: Ep = Lw = Lz (wynika z zasady zachowania energii, przy Ek = 0 - statyka),
praca sił zewnętrznych ( Lz ) równa jest pracy sił wewnętrznych ( Lw ), która
całkowicie zamienia się na energia potencjalna odkształcenia sprężystego ( Ep );
- przykład: jednorodny pręt ( l , EA = const ) rozciągany osiowo ( P ); wydłużenie pręta było "l = Pl / EA
EA
�! P(u) = u , stąd praca sił zewnętrznych;
l
"l "l
EA EA P2l 1
Lz = P(u)du = u duz = ("l)2 = = P"l ;
+"+"
00
l 2l 2EA 2
" energia właściwa odkształcenia sprężystego Ś , jest to energia potencjalna odkształcenia sprężystego
przypadająca (mierzona) na jednostkę objętości Ś = dEp / dV = dLw / dV , stąd Ep = Lw = ŚdV ; przykłady:
+"
V
- jednoosiowy stan naprężenia (normalnego � (� ) = E� ), dla jednostkowej objętości V = 1�1�1 = 1,
��
E 1 1
2 2
otrzymuje się Ś = � (� )d� = E � d� = � = � = �� ;
+"+"
00
2 2E 2
łł
G 1 1
2 2
- czyste ścinanie (naprężenia styczne � (ł ) = Gł ), V = 1 : Ś = � (ł )dł =G ł dł = ł = � = �ł ;
+"+"
00
2 2G 2
- ogólny przypadek przestrzennego stanu naprężeń można rozpatrywać jako superpozycję jednoosiowych
1 1 1
stanów naprężenia Ś = �� a" � �z = � �zz =Śzz i stanów czystego ścinania (uwzględniając symetrię
z zz
2 2 2
1 1 1
� a" � , �xy a" � oraz oznaczenia � = � , ł = 2�xy ) Ś = �ł a" � ł = (� �xy +� � ) =Śxy
xy yx yx xy xy xy 2 2 2
xy xy xy yx yx
1 1
względem osi i, j = x, y, z , stąd otrzymuje się Ś = �ij�ij = [� �x+� � +� �z+� ł +� ł +� ł ] ;
2 2 x y y z xy xy xz xz yz yz
1
" energia właściwa odkształcenia sprężystego w przestrzennym stanie wytężenia Ś = �ij�ij , i, j = x, y, z
2
wykorzystując związki fizyczne w postaci uogólnionego prawa Hooke a lub odwrotne przy czym
E
G= ,
2(1+� )
1 E
�x = (� -� (� +� )) , � = [(1-� )�x +� (� +�z )] ,
x y z x y
E (1+� )(1- 2� )
1 E
� = (� -� (� +� )) , � = [(1-� )� +� (�x +�z )] ,
y y x z yy
E (1+� )(1- 2� )
1 E
�z = (� -� (� +� )) , � = [(1-� )�z +� (�x +� )] ,
z x y z y
E (1+� )(1- 2� )
� �
�
xy yz
xz
� = Gł = 2G�xy , � = Gł = 2G�xz , � = Gł = 2G� ,
ł = 2�xy = , ł = 2�xz = , ł = 2� = , xy xy xz xz yz yz yz
xy xz yz yz
G G G
1 1
2 2 2
otrzymuje się Ś = [ (� +� +� )2+ (1+� )(� +� +� -� � -� � -� � )] lub w postaci
x y z xy xz yz x y y z z x
E 2
� 1
2 2 2 2 2 2
Ś = G[�x +� +�z + (�x+� +�z )2 + (ł +ł +ł )] , do póz
niejszych zastosowań energię rozkłada się
y y xy xz yz
1-2� 2
na część związaną ze zmianą objętości ŚV i na część związaną ze zmianą postaci Ś zapisując
f
Ś =ŚV +Ś ;
f
- zmiana objętości nie zależy od odkształceń postaciowych lecz tylko od zmian długości krawędzi, stąd dla
sześcianu (V = 1�1�1 = 1) przyrost jednostkowej objętości, przy ograniczeniu się do wyrazów
1
pierwszego rzędu, wynosi Ś = (1+ �x )(1+� )(1+�z ) -1 E" �x+� +�z = 3�s , gdzie �s = (�x+� +�z ) jest
y y 3 y
16
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
średnim odkształceniem podłużnym, wykorzystując prawo Hooke a Ś wyraża się przez naprężenia, stąd
1- 2� 1- 2�
1
Ś = (� +� +� ) = 3� , gdzie � = (� +� +� ) jest średnim naprężeniem normalnym;
x y z s s x y z
3
EE
- deformacja ściśle objętościowe ciała (bez zmian postaci) ma miejsce wówczas, gdy odkształcenia
podłużne wszystkich krawędzi rozpatrywanego sześcianu są jednakowe �! �xV a"� a"�zV a" �s ;
yV
- deformacja postaciowe ciała charakteryzować zatem będą wszystkie pozostałe odkształcenia, tj.
�xf =�x -�s , � =� -�s , �zf =�z -�s oraz ł = 2�xy , ł = 2�xz , ł = 2� ;
yf y xy xz yz yz
- zależności powyższe można otrzymać formalnie przez rozkład (dekompozycję) macierzy (tensora) np.
odkształceń � = [�ij ]3�3 na tzw. aksjator �s = [1]3�3�s a" 1�s (część kulistą) i dewiator � = � - 1�s , tj.:
f
1
Ą#�xx �xy �xz ń# 1 0 0 Ą#�xx-�s �xy �xz ń# Ą# �xf 1 ł ł ń#
Ą# ń#
xy xz
1 2 2
�s = (�xx+� +�zz )
ó#Ą# 3 yy
ó# Ą# ó# Ą#
11
� = � � , �s = �s ó#0 1 0Ą# , , � = �xy � -�s � ł � ł ,
f yy yz xy yf yz
22
ó#�xy yy yz Ą# 1 ó# Ą#a"ó# Ą#
ó# Ą#
= (�x+� +�z )
1
ó#�xz � yz �zz Ą#Ł# Ś# 3 y ó#
�xz � �zz-�s Ą# ó# 1 ł ł �zf Ą#
yz 2 2
xz yz
Ł#Ś#ó#0 0 1Ą# Ł# Ś# Ł# Ś#
- lub naprężeń � = [�ij ]3�3 , aksjator �s = [1]3�3� a" 1� (część kulistą) i dewiator � = �-1� :
s s f s
Ą#� � � ń# 1 0 0 Ą#� -� � � ń# Ą#� � � ń#
Ą# ń#
xx xy xz 1 xx s xy xz xf xy xz
� = (� +� +� )
s xx yy zz
Ą# 3 Ą# ó# Ą#
ó#0
�=ó#� � � , �s =� 1 0Ą# , , � =ó# � � -� � � � � ,
xy yy yz s f xy yy s yz xy yf yz
ó#Ą# 1 ó# Ą#a"ó# Ą#
ó# Ą#= (� +� +� )
3 x y z
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
� � � ó#0 0 1Ą# � � � -� � � �
xz yz zz Ł# Ś# xz yz zz s xz yz zf
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
- na podstawie prawa Hooke a relacje między powyższymi składowy stanu naprężeń i odkształceń mają
� � � � �
1- 2� �
xf yf zf xy yz
xz
postać: �s = � , �xf = , � = , �zf = , ł = 2�xy = , ł = 2�xz = , ł = 2� = ,
s yf xy xz yz yz
E 2G 2G 2G G G G
1
- energia właściwa odkształcenia sprężystego Ś = �ij�ij rozłożona na część związaną ze zmianą objętości
2
13 (1- 2� ) 3 E
22
ŚV ma postać ŚV = (� �s ) � 3 = � = �s i na część związaną ze zmianą postaci
s s
22 E 2 (1- 2� )
1
2 2 2 2 2 2
1
Ś ma formę Ś = [� �xf +� � +� �zf +� ł +� ł +� ł ] = [� +� +� + 2(� +� +� )]
f f xf yf yf zf xy xy xz xz yz yz xf yf zf xy xz yz
2
4G
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= [(� -� )2 + (� -� )2 + (� -� )2 + 6(� +� +� )] = G[�xf +� +�zf + (ł +ł +ł )] ;
x y y z z x xy xz yz yf xy xz yz
12G 2
" energia potencjalna odkształcenia sprężystego różnych stanów wytężenia pręta:
- rozciąganie/ściskanie osiowe � = N / A = const , � = � / E , energia właściwa
2
1 1 N
2
Ś = �� = � = , dla objętości dV = Adz związanej z przekrojem pręta
2 2E 2EA2
N
22
dEp N 2
NN
N
dEp =ŚdV = Adz = dz �! = , dla pręta o długości l otrzymuje się
2EA2 2EA dz 2EA
2
l
1 N
N N
Ep = dEp = dz ;
+"+"
l 0
2 EA
- skręcanie swobodne pręta o przekroju kołowym � (�) = M � / J0 , J0 = �2dA , ł = � / G , energia
s
+"
A
2 2
1 1 Ms �2 Ms �2
2 S
właściwa Ś = �ł = � = , dla objętości dV = dzdA �! dEp =ŚdV = dzdA , dla
2 2
2 2G 2GJ0 2GJ0
S
22 2
dEp Ms 2 Ms l
1 Ms
S S
przekroju = � dA = , dla pręta o długości l otrzymuje się Ep = dEp = dz ;
2 +" +" +"
l 0
dz 2GJ0 A 2GJ0 2 GJ0
2
1 1 M
2
x
- zginanie czyste � ( y) = M y / J , J = y2dA , � =� /E , energia właściwa Ś = �� = � = y2
x x x
+" 2
A
2 2E 2EJx
M
2 22
dEp M x
M M
M
x x
dla dV = dzdA �! dEp =ŚdV = y2dAdz , dla przekroju = y2dA = , dla pręta o
2 2 +"
A
2EJ dz 2EJ 2EJ
x x x
2
l
1 M
M M
x
długości l otrzymuje się Ep = dEp = dz ;
+"+"
l 0
2 EJ
x
17
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
ł
Ty2 (Sx )2
1 1
ł 2
- ścinanie przy zginaniu � ( ył ) = TySx / J bł , ł = � / G , energia właściwa Ś = �ł = � =2
x
2 2G 2GJ bł2
x
ł ł
Ty2 (Sx )2 dET Ty2 (Sx )2 Ty2
p
dla dV = dzdA �! dET =ŚdV =2 dzdA , dla przekroju = dA= k ,
p
2 +"
A
2GJx bł2 dz 2GJ bł2 2GA
x
ł
A (Sx )2
gdzie k = dA jest bezwymiarowym współczynnikiem charakteryzującym rozkład naprężeń od
2 +"
Jx A bł2
ścinania zależnym tylko od kształtu przekroju (dla przekroju prostokątnego k = 6/5 , dla dwuteowników
l Ty2
1
k = 2 � 2.5 ), ostatecznie dla pręta o długości l otrzymuje się ET = dET = k dz ;
p p
+"+"
l 0
2 GA
" twierdzenia Castigliano rozważa się ciało liniowo - sprężyste obciążone układem sił P1, P2,..., Pn pod
wpływem których doznaje ono przemieszczeń �1,�2,...,�n w miejscu i kierunku ich działania. Ponieważ
n
1
przemieszczenia są liniową funkcją obciążenia praca sił zewnętrznych wynosi Lz = "i=1 Pi�i i może być
2
zapisana między innymi na dwa sposoby albo jako funkcja obciążenia Lz = Lz (P1, P2,..., Pn ) , albo jako
funkcja ugięć Lz = Lz (�1,�2,...,�n ) ;
- pierwsze twierdzenie Castigliano - przemieszczenie �i w miejscu i kierunku działania siły Pi równa
jest pochodnej cząstkowej pracy sił zewnętrznych względem siły Pi , tj. "Lz / "Pi = �i ;
- drugie twierdzenie Castigliano - siły Pi działająca w miejscu i kierunku przemieszczenie �i równa
jest pochodnej cząstkowej pracy sił zewnętrznych względem przemieszczenia �i , tj. "Lz / "�i = Pi ;
- dowód do tw. I; niech Lz ma postać Lz = Lz (P1, P2,..., Pn ) , wykorzystuje się koncepcję oddziaływań w
dwóch etapach, do jednej z obciążającego ciało układu sił P1, P2,..., Pn , np. i - tej siły ( Pi ), dodaje się
"Lz
mały przyrost dPi , wówczas praca sił zewnętrznych wzrośnie i wyniesie L(1) = Lz + dPi , zauważmy,
z
"Pi
że po zmianie kolejność działania obciążeń - najpierw dPi a następnie układ sił P1, P2,..., Pn - praca sił
zewnętrznych wyniesie L(2) = Lz +�idPi (po pominięciu ,,małego przemieszczenia od dPi ), ponieważ
z
praca nie może zależeć od kolejności oddziaływań musi zachodzić L(1) a" L(2) �! "Lz / "Pi = �i , cnd;
z z
- dowód do tw. II; analogicznie jak w tw. I jednak dla Lz = Lz (�1,�2,...,�n ) i zaburzenia i - ego �i małym
"Lz
przyrost d�i otrzymamy L(1) = Lz + d�i , L(2) = Lz + Pid�i , L(1) a" L(2) �! "Lz / "�i = Pi , cnd;
z z z
"�i z
- przykład, kąt skręcenia cienkościennego pręta o przekroju zamkniętym (� , Fs ,dA = � ds ) i długości ( l ),
2
1 1 Ms
2
pierwszy wzór Bredta � (s) = Ms / 2Fs � (s) , ł = � / G , energia właściwa Ś = �ł = � = ,
2
2 2G 8GFs2�
2
Ms
S
dla objętości dV = dzdA = � dzds �! dEp = ŚdV = dzds , energia potencjalna odkształcenia
8GFs2�
2
1 Ms ds
�# ś#dz
S Sl
sprężystego w całym pręcie Ep = dEp = , dla przypadku M , Fs = const otrzymuje
ź# s
+"+"
+"
V 0
8G Fs2 ś# �
�# #
2
1 Ms l ds
S
się Ep = , na podstawie pierwszego tw. Castigliano i tw. Clapeyrona otrzymuje się
+"

8 GFs2 �
"Lz "Ep 1 Msl ds Msl ds
=� a" = = , gdzie Js= (2Fs )2/ co zgodne jest z drugim wzorem Bredta;
+" +"

"Ms "Ms 4 GFs2 � GJs �
" zastosowanie pierwszego tw. Castigliano do obliczania dowolnych przemieszczeń,
- tw. "Lz / "Pi = �i mówi, że obliczone �i to przemieszczenie w miejscu i kierunku działania siły Pi ,
- tak powiązane wielkości typu (�i , Pi ), (�i , Mi ), ( �ij ,�ij ) nazywa się parami energetycznie sprzężonymi,
- zatem jeśli na podstawie "Lz / "Pi = �i ma być obliczone pewne przemieszczenie � w dowolnym
miejscu oraz o dowolnym kierunku i zwrocie to potrzebne jest energetycznie sprzężone z nim obciążenie,
w tym celu wprowadza się obciążenie fikcyjne tworzące parę energetycznie sprzężoną (� , P ),
18
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
- jeśli P jest obciążeniem fikcyjnym (a więc o wartości P = 0 ) energetycznie sprzężonym z � to
pierwsze tw. Castigliano, po wykorzystaniu tw. Clapeyrona Ep a" Lz , przyjmie postać
"Lz "Ep
� = a" ,
"P "P
P=0
P=0
- jeśli P jest obciążeniem fikcyjnym, a P symbolizuje rzeczywiste obciążenie zewnętrzne, to w
przypadku układów liniowo - sprężystych siły wewnętrzne można zapisać np. w postaci typu: M (P, P)
x
= M (P) + M (P) = M (P) +PiM , Ty (P, P) =Ty (P) +PiTy , N(P, P) = N(P) +PiN , gdzie M ,Ty , N
x x x x x
są siłami wewnętrznymi od obciążenia jednostkowego (1) energetycznie sprzężonego z � , (� ,1 ) ,
- struktura wzorów na energię potencjalną odkształcenia sprężystego w przypadku płaskich ram, łuków
2
�#ś#
kTy2 N 2
1 M
M N
x
czy układów sztywno wiotkich Ep = Ep + ET + Ep =s ś#ź#
+ + dz wymaga obliczenia
p
+"
ś#ź#
2 EJ GA EA
x
�# #
2 2 2
d[M (P, P)] d[(M + M P)2 ] d[M + 2M M P + M P2 ]
xx x x x x x
wyrażeń typu == = 2M M , na tej
x x
dP dP dP
P=0 P=0 P=0
podstawie
"Ep �# TyTy NN ś#
M M
x x
- dla ram ostatecznie otrzymuje się wzór obliczeniowy � = = + k + , gdzie
ś#ź#dz
+"
s
"PEJ GA EA
x
P=0 �# #
M ,Ty , N są siłami przekrojowymi od rzeczywistego obciążenie zewnętrznego ( p, P,m, M ,t,... ),
x
a M ,Ty , N siłami wewnętrznymi od obciążenia jednostkowego (1) energetycznie sprzężonego z
x
poszukiwanym przemieszczeniem � , (� ,1 ) ,
"Ep n Nk Nk
- dla kratownic wzór upraszcza się i przyjmuje postać � = = lk , gdzie Nk siła normalna w
"
"PEAk
k =1
P=0
k - tym pręcie od rzeczywistego obciążenia zewnętrznego ( P,t,... ) a Nk siła normalna od obciążenia
jednostkowego (1) energetycznie sprzężonego z poszukiwanym przemieszczeniem � , (� ,1) ;
" obliczanie (graficzne) całek z iloczynu dwóch funkcji, we wzorach (energetycznych) do obliczania
z2
M M
x x
przemieszczeń występują całki z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ),
+" +"
z1 s
EJx
- wykresy funkcji f1 i f2 są znane, zakłada się, że jedna z funkcji jest liniowa np. f2(z) = az + b ,
z2 z2 z2 z2
wówczas kolejno oblicza się f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+" +" +"+"
z1 z1 z1 z1
= a zdA + b dA = aS1 + bA1 = aA1zC + bA1 = A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) , stąd
+"+" 1 11
A1 A1
z2 z2
- f1 f2dz = A1i f2(zC ) , gdzie A1 = f1(z)dz jest polem ograniczonym funkcją f1 , zaś f2(zC ) jest
+" 1 +" 1
z1 z1
wartością funkcji liniowej f2 pod środkiem ciężkości zC pola A1 ,
1
- dla funkcji skomplikowanych, które dają się rozłożyć na znane funkcje proste np. f1 = f1 + f1 będzie
z2 z2
obowiązywać f1 f2dz = ( f1 + f1 ) f2dz = A1 i f2(zC ) + A1 i f2(zC ) ;
+"+" 11
z1 z1
19
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Stateczności prostych prętów sprężystych ściskanych osiowo
" znaczenie stateczności (wyboczenia) w projektowaniu konstrukcji;
" stany równowagi położenia ( x0 ) np. sztywnej kulki Q spoczywającej na różnego kształtu powierzchniach
(badanie energii potencjalnej Ep (x) = Qz(x) + const siły ciężkości Q , gdzie x = x0 ą "u , "u -
wychylenie):
- powierzchnia wklęsła: z(x0 ą "u) > z(x0) , po wychyleniu "u powstają siły powodujące powrót do
położenia pierwotnego x0 �! równowaga stateczna Ep (x0) = min Ep �! konieczny warunek
stateczności lokalnej: ekstremum "Ep / "x = 0 oraz minimum "2Ep / "x2 > 0 ,
- powierzchnia wypukła: z(x0 ą "u) < z(x0 ) , po wychyleniu "u powstają siły powodujące oddalanie się
od położenia pierwotnego x0 �! równowaga niestateczna Ep (x0) = max Ep �! występuje w
przypadku "Ep / "x = 0 , "2Ep / "x2 < 0 ,
- płaszczyzna pozioma: z(x0 ą "u) = z(x0 ) , wychylenie "u nie powoduje powstania żadnych sił �!
równowaga obojętna Ep (x0 ) = Ep (x0 ą "u) �! ma miejsce gdy "Ep / "x = 0 , "2Ep / "x2 = 0 ;
" podobne jw. metody badania stateczności równowagi można stosować do układów sprężystych;
" układ sprężysty jest stateczny, jeżeli po wychyleniu z położenia równowagi powraca lub drga wokół tego
położenia, inaczej jest niestateczny;
" badanie stateczności (od strony geometrycznej) wymaga uwzględnienia przemieszczeń (u,v, w) w
równaniach równowagi (rezygnacja z zasady zesztywnienia); mówi się: teoria I-rzędu, kiedy obowiązuje
zasada zesztywnienia; teoria II-rzędu, kiedy uwzględniamy wpływ małych przemieszczeń (małych obrotów)
v / L << 1 ; dalsze udokładnienia polegają na podnoszeniu rzędu rozważanych przemieszczeń (odkształceń);
" swobodnie podparty prosty pręt sprężysty ( L , EJ a" EJ = const ) ściskany siłą osiową P ; w wyniku
x
ściskania pręt o osi ( z ) doznaje w płaszczyz
nie y - z wygięcia v = v(z) spełniającego warunki brzegowe,
wówczas moment zginający wyniesie M (z) = P v(z) , zakładając małe przemieszczenia v(z) / L << 1 można
2 2 2 2
wykorzystać równanie Eulera na linię ugięcia EJv = -M (z) = -P v(z) �! v + vP / EJ = 0 , wprowadzając
2
współczynnik ą = P / EJ otrzymuje się jednorodne zwyczajne równanie różniczkowe II - rzędu o stałym
2
2 2
współczynniku v +ą v = 0 , którego rozwiązanie ogólne ma postać v(z) = C1 siną z + C2 cosą z ;
z warunków brzegowych oblicza się stałe v |z=0 = 0 �! C2 = 0 i v |z=l = 0 �! C1 sinąl = 0 �! są tu dwa
rozwiązania: trywialne C1 = 0 oś pręta pozostaje prosta, lub sinąL = 0 �! ąL = nĄ , n = 1,2,3,... , są to
2 2 2
2 2
wartości własne równania v +ą v = 0 ; na podstawie ą = P / EJ otrzymuje się P = n2Ą EJ / L2 możliwe
wygięcie tzw. postać wyboczenia v(z) = C1 sin(nĄ z / L) , gdzie C1 - pozostaje nieokreślone; zatem dla tej
2
samej siły P = n2Ą EJ / L2 są dwa stany równowagi pręta dwie postaci: prosta ( C1 = 0 ) lub wygięta C1 `" 0
2
�! dla wartości P = n2Ą EJ / L2 występuje bifurkacja  tzw. rozdwojenie rozwiązania;
2
" krytyczna siła Eulerowska pierwsza PKR a" PE = P|n=1= Ą EJ / L2  (najniższa) najmniejsza wartość siły
krytycznej do osiągnięcia której P < PKR pręt zachowuje postać prostoliniową  układ pozostaje stateczny,
po osiągnięciu tej siły P e" PKR pręt może ulec wyboczeniu, postać prostoliniowa jest niestateczna, jednak
istniej krzywoliniowa postać równowagi znalezienie której wymaga już rozwiązania równania ścisłego
2 2 2
EJ v (1+ (v )2 )3/ 2 = -Pv (tzw. rozwiązanie pokrytyczne, powyboczeniowe, pobifurkacyjne) a nie jak wyżej
2 2
rozwiązania przybliżonego ( EJv =-Pv );
" wyboczenie (wygięcia  utrata stateczności przy sile P przekraczającej wartość krytyczną P > PKR );
" siły krytyczne wyższego rzędu (n >1) postaci ich wyboczenia, znaczenie przy dodatkowych podporach;
" prosty wspornik sprężysty ( L , EJ a" EJ = const ) ściskany siłą osiową P ; w wyniku ściskania wygięcie
x
wspornika v = v(z) w płaszczyz
nie y - z osiąga na jego końcu wartość f = v(L) , wówczas moment
zginający ma postać M (z) =-P ( f - v(z) ) , dla małych przemieszczeń v(z) / L << 1 obowiązuje równanie
2 2
2 2 2 2
Eulera EJv =-M (z) = P ( f - v(z) ) �! v +ą v = ą2 f , gdzie ą = P / EJ , które jest niejednorodnym
zwyczajnym równaniem różniczkowym II - rzędu o stałym współczynniku, rozwiązanie jego składa się z
całki ogólnej (jak wyżej) oraz całki szczególnej i ma postać v(z) =C1 siną z + C2 cosą z + f ;
2
z warunków brzegowych oblicza się stałe v |z=0 = 0 �! C2 = - f i v |z=0 = 0 �! C1 = 0 , gdzie
2
v (z) =ą(C1 cosą z - C2 siną z) co daje v(z) = f (1- cosą z) , ponadto zgodnie z założeniem musi być
spełniony warunek v |z=L = f �! f = f (1- cosąL) �! f cosąL = 0 , ponieważ założono f > 0 �!
20
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
2
cosąL = 0 dla najniższej wartości ąL = Ą / 2 otrzymuje się siłę krytyczną PKR = Ą EJ /(2L)2 i postać
wyboczenia v(z) = f [1- cos(Ą z / 2L)], gdzie f jest nieokreślone;
" z jednej strony utwierdzony a z drugiej swobodnie podparty pręt sprężysty ( L , EJ a" EJ = const )
x
ściskany siłą osiową P ; w wyniku ściskania pręt o osi ( z ) doznaje w płaszczyz
nie y - z wygięcia
v = v(z) powodującego w miejscu zamocowania (A) moment utwierdzenia M , wówczas moment
A
zginający jest sumą wpływów od momentu utwierdzenia i od momentu wywołanego siłą P na ugięciu belki
2 2
M (z) = P v(z) + M z /L , stąd równanie Eulera ma postać EJv = -M (z) = -(P v(z) + M z /L) �!
A A
2 2 2 2 2
2 2
v +ą v = -� z , gdzie ą = P / EJ , � = M / EJL ą = P / EJ , jest to niejednorodne zwyczajne
A
równanie różniczkowe II - rzędu o stałym współczynniku, rozwiązanie jego składa się z całki ogólnej oraz
2 2 2
2
całki szczególnej i ma postać v(z) =C1 siną z + C2 cosą z - z� /ą , v (z) =ąC1 cosą z -ąC2 siną z - � /ą2 ;
2
2
z warunków brzegowych oblicza się v |z=0 = 0 �! C2 = 0 , v |z=L = 0 �! C1 sinąL - L� /ą2 = 0 , v |z=L = 0
2
�! ą C1 cosąL - � /ą2 = 0 , dzieląc dwa ostatnie stronami otrzymuje się warunek wyboczenia tgąL = ąL ,
z przybliżonego rozwiązania najmniejsza wartość wynosi ąL = 4.49 , stąd siła krytyczna
2
PKR = (4.49)2 EJ / L2 = Ą EJ /(0.7 L)2 ;
" długość wyboczeniowa, długość wolna na wyboczenie lw wynika z ujednolicenia wzoru na PKR a" PE dla
2 2
różnych warunków podparcia pręta o długości L : PKR a" PE = Ą EJ / lw , wówczas odpowiednio do
1
warunków brzegowych lw wynosi: lw = L  obustronnie swobodnie podparty, lw = 2L  wspornik; lw = L
2
 obustronnie utwierdzony, lw 0.7 L  jednostronnie swobodnie podparty i jednostronnie utwierdzony;
" smukłość pręta (  = lw / i współczynnik bezwymiarowy  > 0 , gdzie i2 = J / A promień bezwładności, stąd
2
siła krytyczna PKR a" PE = Ą EA/ 2 );
" płaszczyzna wyboczenia, minimalna siła krytyczna (konstrukcje rzeczywiste są przestrzenne  zatem
wyboczenie może wystąpić w różnych płaszczyznach np.: ( x - z ) lub ( y - z ), wartość
2 2
PKR a" min PE = Ą EA/ max związana jest z płaszczyzną wyboczenia tj. z płaszczyzną w której smukłość jest
największa max = max(x,y ) , w obliczeniach  = lw / i należy uwzględnić różne Jx , J (rzutujące na
y
promień bezwładności i2 = J / A ), jak i różne warunki podparcia w płaszczyznach ( x - z ) lub ( y - z )
(rzutujące na długość wyboczeniową lw );
" smukłość graniczna gr a"prop zakres sprężysty (analogicznie do wzoru � = P/A ) wprowadza się pojęcie
2
naprężenia krytycznego � () = PKR() /A=Ą E/2 , które można przedstawić w postaci funkcji smukłości
KR
2
tzw. hiperboli Eulera, formalnie zależność � () =Ą E/2 dopuszcza wzrost �KR " przy malejącej
KR
2
smukłości  0 , jednak zgodnie z założeniami wzór � () = Ą E / 2 jest słuszny tylko w zakresie
KR
liniowo sprężystym � () d" RH (tj. do granicy proporcjonalności, stosowalności prawa Hooke'a) stąd
2
� = Ą E / 2 d" RH a" � �! gr= prop=Ą (E /� )1/ 2 z budowy wzoru wynika, że gr jest kolejną
KR prop prop
charakterystyką materiałową (a nie geometryczną) i ogranicza od dołu zakres sprężysty ( gr a" prop d"  ), dla
stal stal
stali wynosi gr = propH"102 ;
" wyboczenie w zakresie niesprężystym  < prop w projektowaniu dopuszcza się naprężenia do wartości
granicy plastyczności � d" Rpl a" � ponieważ jednak przy wyboczeniu poza granicą proporcjonalności, tj.
plast
 < gr = prop uplastycznienie nie od razu obejmuje cały przekrój, uwzględniając na różny sposób ten fakt
(poprzez różne dodatkowe założenia) proponuje się w przedziale smukłości 0 <  < gr = prop różne krzywe
przejściowe � = � () przechodzące od RH a" � do Rpl a" � ;
KR KR prop plast
" krzywa Engessera Karmana, wyboczenie poza granicą proporcjonalności smukłość  < prop , pręt o
jednej płaszczyz
nie symetrii np. y - z będącej płaszczyzną wyboczenia, współrzędne przekrojowe ( x, y ) w
środku ciężkości, y  położenie osi obojętnej, założenie: na pręt działa ustalona osiowa siła P = const ,
analizując stan układu nadaje się prętowi obciążonemu siłą P= const małe przemieszczenie poprzeczne (v) ,
jeśli po usunięciu przyczyny przemieszczenie to zniknie  równowaga (z definicji) jest stateczna,
jeśli pręt pozostanie trwale wygięty oznacza to, że P e" PKR , zatem w wyniku wygięcia trwałego po stronie
wklęsłej ( A1 , -h1 d" y d" y ) nastąpi przyrost naprężeń ujemnych (zgodnie ze styczną do krzywej rozciągania
� -� , dociążenie tg� = Et = d� /d� , gdzie Et jest modułem stycznym),
21
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
zaś po stronie wypukłej ( A2 , y d" y d" h1 ) spadek naprężeń ujemnych (odciążenie sprężyste tgą = E ), jest to
zatem przypadek materiału o różnych własnościach na ściskanie ( Et ) i rozciąganie ( E ),
obliczymy teraz przyrosty naprężeń powstałe tylko w wyniku wygięcia:
przyjmując założenie o płaskich przekrojach przyrost odkształcenia od wygięcia wyniesie
-1
"� = ( y-y)� = ( y-y)� , tutaj � jest krzywizną, zaś � promieniem krzywizny, stąd wzrost naprężeń
ujemnych "� = Et"� = Et ( y-y) /� po stronie wklęsłej ( A1 , -h1 d" y d" y ), zaś po stronie wypukłej ( A2 ,
y d" y d" h1 ) ma miejsce spadek naprężeń co do bezwzględnej wartości "� = E"� = E( y-y) /� ; ponieważ
rozważamy wygięcie pręta przy warunku N = P = const to dla rozważanych przyrostów naprężeń od
zginania obowiązuje "� dA = 0 �! Et�-1 A1 ( y - y)dA + E�-1 A2 ( y - y)dA = 0 �! ES1 + ES2 = 0 stąd
t
+" +"+"
A
możemy wyznaczyć położenie osi obojętnej y , gdzie S1 < 0 i S2 > 0 są momentami statycznymi pól A1 i
A2 względem poszukiwanej osi obojętnej;
z definicji moment zginający wynosi M = "� y dA = "� ( y - y)dA + y "� dA = "� ( y - y)dA a" Pv
x
+"+" +" +"
AA A A
co po podstawieniu wzorów na naprężenia daje M = (EJ1 + EJ2 ) / � a" Pv , gdzie J1 i J2 są momentami
x t
-1
2 2 2 2 2
bezwładności pól A1 i A2 wz osi obojętnej ( y ), podstawiając � = � =d� /dz = - v (1+ (v )2 )3/ 2 H" -v ,
-1
2 2 2 2
gdzie v jest linią ugięcia, po uwzględnieniu przybliżenia � = � H"-v otrzymuje się (EJ1 + EJ2)v = -Pv
t
2 2
2 2 2 2
co można zapisać EJxv + Pv = 0 �! v +ą v = 0 , gdzie ą = P/EJx , E = (EtJ1 + E J2 ) / Jx nazywa się
sprowadzonym modułem wyboczenia a Jx jest momentem bezwładności w/z osi przechodzących przez
2
2 2
środek ciężkości; zatem dla zakresu  < prop wobec analogii wzoru v +ą v = 0 do przypadku wyboczenia
sprężystego, możemy stosować wzór obowiązujący w zakresie sprężystym podstawiając jedynie w miejsce
2
modułu sprężystości E sprowadzony moduł wyboczenia E , daje to � = Ą E / 2 co pozwala wyznaczyć
KR
krzywą  = (� ) = Ą E(� ) /� zastępującą w zakresie  < prop hiperbolę Eulera;
KR KR KR
" krzywa Engessera-Shanleya, wyboczenie poza granicą proporcjonalności smukłość < prop , u podstaw
koncepcji leży założenie, że wygięciu pręta w chwili wyboczenia towarzyszy jednoczesny wzrost siły P
taki, że nie pojawia się strefa zmniejszenia naprężeń (odciążenia) zatem w całym przekroju obwiązuje ten
sam moduł styczny Et , to umożliwia stosować wzory z zakresu sprężystego kładąc w miejsce E moduł
2 2 2 2 KR 2
styczny Et , daje to EJxv + Pv =0 �! v +ą2v = 0 , gdzie ą2 = P/Et Jx , stąd � =Ą Et/2 co pozwala
t
wyznaczyć krzywą  = � ) =Ą Et (�KR)/�KR zastępującą dla < prop hiperbolę Eulera;
( KR
KR
" ponieważ obowiązuje relacja Et < E < E to naprężenia krytyczne wg teorii Engessera Shanleya � () są
trochę mniejsze od obliczonych wg Engessera Karmana � () , doświadczenia pokazały, że lepsza jest
KR
teoria Engessera Shanleya;
" wpływ siły tnącej na wielkość siły krytycznej PKR , równanie linii ugięcia uwzględniające siłę tnącą Ty ma
2 2
postać v =vM (M ) + vT (Ty) , stan zgięciowy vM (Mx) wyraża równanie Eulera vM = -M /EJx , ugięcie od siły
x x
2
tnącej vT (Ty) oblicza się z kąta odkształcenia postaciowego ł wywołanego działaniem Ty , ł =dvT /dz = vT ,
Ty2
1 1 1 k
2
na podstawie tw. Clapeyrona LT a" ET �! TydvT = Tył dz a" k dz otrzymuje się ł = Ty a" vT a
z p
2 2 2 GA GA
kk M k
x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
stąd vT = Ty = - py , ostatecznie v = vM + vT = - + Ty ,
GA GA EJ GA
x
w przypadku wyboczenia swobodnie podpartego prostego pręta sprężystego ( L , EJ a" EJ = const )
x
2 2 2 2 2 2 2
ściskanego siłą osiową P mamy M (z) = P v(z) �! Ty = M = P v �! Ty = M = P v , po podstawieniu do
P kP kP
2 2 2 2 2 2 2 2 Ć2
równania na linie ugięcia v =- v + v otrzymuje się EJx (1- )v + Pv = 0 �! v +ą v = 0 , gdzie
EJx GA GA
P 1 Ą
Ć2 Ć
ą = , warunek wyboczenia dla tej belki ma postać 
1 sinąL = 0 �! ą = , rozwiązując
EJx 1- kP / GA L
-1
-1
22 2
�#ś#
Ą EJ k Ą EJ k Ą EJ
xx x
Ć
względem P otrzymuje się PKR = = PE �#1+ PE ś# , gdzie PE = ,
ź#
L2 ś#1+ GA L2 ź# ś# GA L2
�# #
�# #
2 2
Ą EA kkĄ E
Ć
ostateczne można napisać PKR = , tutaj � = 1+ PE = 1+ jest bezwymiarowym
(�)2 GA 2 G
22
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
współczynnikiem, którego ostatnia postać wskazuje, że dla przekrojów jednolitych wpływ siły tnącej na
wartość siły krytycznej jest bardzo mały i może być pominięty; okazuje się, że w prętach złożonych
(wielogałęziowych) wpływ siły tnącej na wartość siły krytycznej jest znaczący;
jako przykład rozważa się ściskany siłą osiową P pręt o długości L złożony z pasów J , Ap (np. w
p
postaci dwóch teowników) rozstawionych na szerokość h i utrzymywanych prostym wykratowaniem w
postaci słupków As w rozstawie a i pojedynczych krzyżulców Ak o długości równej d = (a2+ h2)1/ 2 ,
moment bezwładności przekroju złożonego wyniesie Jx = 2�[J + Ap (1 h)2 ] ,
p 2
gdyby wykratowanie byłoby niepodatne można by stosować klasyczny wzór na siłę krytyczną
2
PE =Ą EJx/L2 ,
okazuje się jednak, że podatność wykratowania ze względu na siłę tnącą Ty wpływa znacznie na wartość
siły krytycznej, rozpatrując oczko ( a � h ) wykratowania, które musi przenieść siłę tnącą Ty powstałą w
wyniku globalnego wygięcia pręta v , otrzymuje się: siłę rozciągającą w słupku Ns = Ty , siłę ściskającą w
krzyżulcu Nk =-Tyd / h , siłę rozciągającą w jednym z pasów N = Tya / h (jednak ze względu na dużą
p
sztywność pasa EAp ( ") w stosunku do sztywności wykratowania EAs , EAk siłę N będzie pomijać się
p
w obliczeniach przemieszczeń od ścinania vT ),
odpowiadający kątowi postaciowemu ł = kTy / GA a" dvT / dz elementu różniczkowego dz belki jednolitej
kąt spaczenia oczka wykratowania ma postać ł = "vT / a , gdzie "vT jest przyrostem ugięcia od siły tnącej
Ty w ramach oczka wykratowania a , obliczenie "vT można przeprowadzić na drodze analizy schematu
geometrycznego lub elegancko wykorzystując pierwsze tw. Castigliano "vT = "Lz / "Ty i tw. Clapeyrona
Ni )2 i (Ty )2 h
N N
Lz a" Ep obliczając energię potencjalną dla układu kratowego oczka Ep =
"(2EAl = 2EAs
i
i
N 3
(-Tyd / h)2 d (Tya / h)2a "Ep Tyh Tyd Ty h3 d 3
1 1 1
+ + stąd ł = "vT = = ( + ) = ( + ) , porównując
2EAk 2EAp ( ") a a "Ty a EAs h2EAk Eah2 As Ak
3
k ł 1 h3 d
oba kąty wyznacza się wyrażenie = a" ( + ) pozwalające określić współczynnik
GA Ty Eah2 As Ak
3 2
k 1 h3 d Ą EJx
� = 1+ PE = 1+ ( + ) , który wskazuje, że dla przekrojów złożonych wpływ siły
GA Eah2 As Ak L2
2
Ć
tnącej na wartość siły krytycznej PKR = Ą EA/(�)2 jest dużo większy;
" wymiarowanie prętów ściskanych  rzeczywiste konstrukcje nie są liniowo sprężyste (np.:
uplastycznienia), ponadto nie spełniają warunków idealnych: mimośrodowość obciążeń i wstępne wygięcia
(imperfekcje), także występują obciążenia poprzeczne (proste ujęcie tych zjawisk prowadzi do
niejednorodnych równań różniczkowych) pojawia się jakościowo inne zjawisko - oś pręta wygina się od
początku, nie występuje tu problem bifurkacji - siły wybaczającej PE lecz siły granicznej PGR -
2
maksymalnej; tradycyjnie nazywamy siły: Eulerowską PE a" PKR - siła krytyczna I-rodzaju oraz graniczną
2 2
PGR a" PKR - siła krytyczna II-rodzaju); zmniejszający współczynnik wyboczenia � ma ująć rzeczywiste
zachowanie konstrukcji (redukując naprężenia krytyczne � = � () , hiperbola Eulera + krzywa
KR KR
przejściowa), współczynnik � zawierają normy projektowania poszczególnych rodzajów konstrukcji
(stalowych, żelbetowych, ...) w postaci tablic � = � () jako funkcji smukłości pręta  = lw / i ; podstawą
wymiarowania prętów ściskanych osiowo:
w metodzie naprężeń dopuszczalnych są warunki � = P / � ()Abrutto d" � i � = P / Anetto d" � , gdzie
dop dop
Abrutto  pole przekroju poprzecznego bez miejscowych osłabień (bowiem wzór oparty jest na zależnościach
geometrycznych, linii ugięcia), Anetto  minimalne pole przekroju poprzecznego z uwzględnieniem osłabień,
w metodzie stanów granicznych są warunki " Pi�i d" Ngr (brutto) � k1 k2...kn i " Pi�i d" Ngr (netto) k1 k2...kn ,
gdzie Ngr (brutto) = � Abrutto oznacza nośność przekroju brutto, Ngr (netto) = � Anetto oznacza nośność
pl pl
przekroju netto, �i e" 1 , współczynniki przeciążenia (zależą od rodzaju obciążenia), ki d" 1 , np.
k1 - współczynnik jednorodności materiału (zależy od mat., war. produkcji itp.), k2 - współczynniki
warunków pracy (zależy od war. realizacji konstrukcji).
23
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Hipotezy wytrzymałościowe
" standardowe badania materiałów określającymi ich podstawowe cechy sprowadzają się zasadniczo do
jednoosiowych statycznych prób rozciągania i ściskania, popularność tych prób wynika z prostoty ich
przeprowadzenia i łatwości interpretacji otrzymywanych wyników (jedna składowa naprężeń);
" podstawowymi wielkościami wskazującymi na niebezpieczny stany materiału są: granica plastyczności
Rpl = � , wytrzymałości na rozciąganie Rr = � i wytrzymałości na ściskanie Rc =-� określane
plast max min
w ramach jednoosiowego stanu wytężenia w próbach rozciągania lub ściskania; okazuje się, że kruchość i
plastyczność zależą nie tylko od samego materiału ale także od złożoności stanu wytężenia w jakim znajduje
się ciało (liczby niezerowych składowych naprężeń np.: PSN, PSO, symetria osiowa, przestrzenny stan
naprężenia); w obliczeniach za wielkość charakteryzujące jednoosiowego stan wytężenia przyjmuje się
naprężenie graniczne �0 ={Rpl, Rr, Rc}, a stąd otrzymuje się pozostałe wielkości graniczne: odkształcenie
2
�0 = �0/E , naprężenie styczne �0 = � /2 , energia sprężysta odkształcenia postaciowego Ś0 = � /6G ;
0 0
" hipotezy wytrzymałościowe uogólniają wyniki badań jednoosiowych na ogólny przestrzenny stan
naprężenia określając w przestrzeni naprężeń obszar bezpieczny wewnątrz hiperpowierzchni odpowiadającej
wartości �0 z jednoosiowego stan wytężenia, pozwalają zatem określić stan niebezpieczny materiału w
złożonych stanach wytężenia; jest wiele różnych hipotez o ich wartości decyduje zgodność z
doświadczeniem otrzymywanych na ich podstawie wyników;
" hipoteza największego naprężenia normalnego Galileusza (historyczna): stan niebezpieczny ma miejsce,
gdy największe co do bezwzględnej wartości naprężenie główne osiągnie wartość � , stan bezpieczny to
0
|� |,|� |,|� | < � , w PSN są dwa warunki |� |< �0 i |� |< �0 , które w dwuwymiarowej przestrzeni
I II III 0 I II
naprężeń głównych tworzą kwadrat o bokach 2�0 ograniczający obszar bezpieczny; hipoteza ta nie znalazła
potwierdzenia w badaniach doświadczalnych;
" hipoteza największego odkształcenia podłużnego de Saint Venanta (historyczna): stan niebezpieczny
zachodzi, gdy największe co do bezwzględnej wartości odkształcenie główne osiągnie wartość �0 , stan
bezpieczny to |�I|,|�II|,|�III| < �0 ; w PSN na podstawie uogólnionego prawa Hooke a otrzymuje się są dwa
warunki |� -�� | < � i |� -�� | < � , które w dwuwymiarowej przestrzeni naprężeń głównych tworzą
I II 0 II I 0
romb o bokach 2�0 nachylonych pod kątem ą ( tgą =� ) ograniczający obszar bezpieczny; hipoteza ta nie
znalazła potwierdzenia w badaniach doświadczalnych;
" hipoteza największego naprężenia stycznego  hipoteza Treski: stan niebezpieczny ma miejsce, gdy
największe co do bezwzględnej wartości naprężenie styczne osiągnie wartość �0 , stan bezpieczny to
11 1
|� -� |, |� -� |, |� -� | < �0 , w PSN wobec �0 = �0/2 otrzymuje się trzy warunki |� -� | < �0
II III III I I II
22 2 I II
|� |< �0 i |� |< �0 , które w dwuwymiarowej przestrzeni naprężeń głównych tworzą sześciobok wpisany w
I II
kwadrat o bokach 2�0 ograniczający obszar bezpieczny; hipoteza ta wykazuje lepszą zgodność z
doświadczeniem, wada - brak możliwości uwzględnienia różnych wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie;
" hipoteza energii sprężystej odkształcenia postaciowego  Hubera Misesa Hencky ego (HMH): obszar
1
2 2 2
bezpieczny określa nierówność Ś d"Ś0 , gdzie Ś = [(� -� )2 + (� -� )2 + (� -� )2 + 6(� +� +� )] ,
f fx y y z z x xy xz yz
12G
2
a Ś0 = �0 /6G jest graniczną energią sprężystą odkształcenia postaciowego dla jednoosiowego stanu
2 2 2 2
naprężenia (� =�0 , pozostałe = 0 ), stąd (� -� )2 + (� -� )2 + (� -� )2 + 6(� +� +� ) d" 2� i w
x x y y z z x xy xz yz 0
2
trójwymiarowej przestrzeni naprężeniach głównych (� -� )2 + (� -� )2 + (� -� )2 d" 2�0 tworzy
I II II III III I
nieskończenie długi walec o podstawie kołowej i osi jednakowo nachylonej do osi naprężeń głównych,
2 2 2 2 2 2 2
w PSN � +� -� � + 3� d" � i w dwuwymiarowej przestrzeni naprężeń głównych � +� -� � d" �
x y x y xy 0 I II I II 0
warunek HMH ma postać elipsy ograniczając obszar bezpieczny; hipoteza ta dla materiałów plastycznych o
jednakowej wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie wykazuje bardzo dobrą zgodność z doświadczeniem;
" stosowanie hipotez wytrzymałościowych w złożonym stanie naprężenia wprowadza się pojęcie naprężeń
zastępczych wg odpowiedniej hipotezy, zapis obszaru bezpieczne przyjmuje postać
� = f (� ,� ,� ) d" �0 , gdzie �0 jest naprężeniem granicznym w jednoosiowym stanie naprężenia,
zast I II III
2
1
dla hipotezy Treski w PSN wykorzystując �1,2 = (� +� ) ą [1 (� -� )2 +� ]1/ 2 otrzymuje się � a"
x y x y xy
24 zast
2
�Treska= � -� = [(� -� )2 + 4� ]1/ 2 dla � i� < 0 lub � a" �Treska= � i � a" �Treska= � � i� > 0 ,
I II x y xy I II zast I zast II I II
2 2 2 2 2
dla hipotezy Hubera Misesa Hencky ego w PSN � a" � = � +� -� � + 3� = � +� -� � ,
zast HMH x y x y xy I II I II
2 2 2
1
zaś w przestrzennym � a" � = [(� -� )2 + (� -� )2 + (� -� )2 + 6(� +� +� )] ;
zast HMH x y y z z x xy xz yz
2
24
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
- przykład; określić, który z trzech stanów naprężeń jest najbardziej niebezpieczny wg hipotezy Hubera
10 0 0
Ą# ń# Ą#-10 0 20 0 20 0
ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó#Ą# ó#20 Ą#
Misesa Hencky ego (HMH) a) � = 0 80 0 MPa , b) � = 0 60 0 MPa , c) � = 75 0 MPa ,
ó#
0 0 30Ą# ó#Ą# ó# 0 0 10Ą#
20 0 0
Ł# Ś# Ł#Ś# Ł# Ś#
gdzie składowe naprężeń zapisane są kartezjańskim układzie współrzędnych (i, j, k) a" (ex,ey ,ez ) � a"
zast
1 1
� = [(10-80)2 + (80-30)2 + (30-10)2]=62,5 MPa , � a" � = [(-10-60)2 + 602 +102 + 6i202]
HMH 2 zast HMH 2
1
= 74,16 MPa , � a" � = [752 + (75-10)2 +102 + 6i202]=78.58 MPa , odp. stan c);
zast HMH 2
- przykład; sprawdzić w przekroju ą -ą naprężenia zastępcze w swobodnie podpartej dwuteowej belce
zginanej obciążonej siłą skupioną w środku wg hipotezy Hubera Misesa Hencky ego (HMH),
ł 2 2
� = M y / J (netto) , � = Ty Sx (brutto) /� J (brutto) , � a" � = � + 3� .
x x x zast HMH
Matematyczne modele ciał plastycznych, nośność graniczna przekroju poprzecznego (rozważa się stany
wytężenia w których występuje tylko naprężenie normalne � , tj. rozciąganie/ściskanie osiowe, zginanie czyste
i rozciąganie/ściskanie mimośrodowe);
" krzywa rozciągania/ściskania � -� jako podstawa modeli teoretycznych, np. stal miękka charakterystyka
zakresów: liniowego i nieliniowego sprężystego (granica proporcjonalności RH =� , wyraz
na granica
prop
plastyczności Rpl =�0 a"� ), płynięcie plastyczne (odkształcenia trwałe  plastyczne � , odkształcenia
pl pl
sprężyste �s ), wzmocnienie (moduł wzmocnienia EW , granica wytrzymałości Rr =� ), utrata stateczności
max
materiału (zniszczenie); pojęcia obciążenia i odciążenia w zakresie sprężystym i plastycznym;
" istota zachowania plastycznego, niezależność od czasu � `" f (t) , � `" f (t) , nieodwracalność deformacji
plastycznej � , niejednoznaczność opisu matematycznego  inny sposób opisu obciążenia i odciążenia;
pl
" model liniowo sprężysty (L S, rozważany dotąd) � = E� , schemat mechaniczny  sprężyna P = ku ;
" model sztywno plastyczny (Sz P)
� = 0 dla � < �0 a"� (brak odkształceń do osiągnięcia graniczy plastyczności  materiał sztywny),
pl
� dla � = �0 a"� (płynięcie materiału  nieograniczone deformacje),
pl pl
schemat mechaniczny  ruch ciała sztywnego Q na płaszczyz
nie z tarciem Culomba T = �Q , tj. P < T
spoczynek, P = T ruch nieograniczony;
" model idealnie sprężysto plastyczny (IS P)
� = E� dla � < �0 a"� �! �0 =�0/E zachowanie liniowo sprężyste,
pl
� =�0 +� dla � = �0 a"� (płynięcie materiału  nieograniczone deformacje),
pl pl
schemat mechaniczny  sprężyna ( P = ku dla P < T ) połączona szeregowo ze modelem ciała sztywnego na
płaszczyz
nie ( P = T dochodzi ruch nieograniczony);
" model idealnie sprężysto plastyczny ze wzmocnieniem (IS PW), początkowe �0 a"� ,
pl
� = E� dla � < �0 �! �0 =�0/E zachowanie liniowo sprężyste,
� =�0 +� i � =�0 + EW (� -�0) przy obciążeniu tj. � > �0 dla odciążenia położenie �0 a"� (płynięcie ze
pl
wzmocnieniem materiału wg EW  ograniczone deformacje plastyczne),
schemat mechaniczny  sprężyna ( P = ksus dla P < T ) połączona szeregowo ze równoległym układem
zbudowanym ze sprężyny ( kW ) i ciała sztywnego na płaszczyz
nie ( T ) (tj. u = us +uW , P = kzu ,
P / kz = P / ks + P / kW druga sprężyna aktywizuje się przy obciążeniu P > T , dla odciążenia kładzie się
T a" P ); istnieje szereg innych modeli opisujących zjawisko uplastycznienia materiału;
" nośność graniczna przekroju jest to maksymalna siła przekrojowej (wewnętrznej)  wyznaczana na
podstawie modelu materiału idealnie sprężysto plastycznego (IS P)  przy której następuje nieograniczony
wzrost odkształceń (tj. maksymalna siła jaką jest w stanie przenieść przekrój, wielkość lokalna);
" nośność graniczna konstrukcji jest to obciążenie zewnętrzne powodujące zniszczenie całej konstrukcji lub
jej części (wielkość globalna),
nośność graniczna przekroju pokrywa się z nośnością graniczną konstrukcji tylko w przypadku konstrukcji
statycznie wyznaczalnych,
w przypadku układów statycznie niewyznaczalnych zniszczenie konstrukcji następuje w momencie
przekształcenia się układu w łańcuch kinematyczny w następstwie przekroczenie nośności granicznej
(najczęściej) w kilku przekrojach;
" rozciąganie/ściskanie nośność graniczna przekroju,
- pręt jednorodny o przekroju A , � = const na A : Ngr = Nmax = � A ,
pl
25
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
(s) (b) (s) (b)
- pręt zespolony z dwóch materiałów np. stal ( As,� ), beton ( Ab,� ): Ngr = � iAs +� iAb ,
pl pl pl pl
dla porównania stan sprężysty, z warunku zgodności odkształceń � =�b =�s i prawa Hoocka
� =�b/Eb =� /Es N = �b Ab +� As = Eb Ab� +Es As� = Eb� ( Ab+ AsEs/Eb ) = � Ac , Ac = Ab+ AsEs/Eb ;
s s b
" zginanie czyste nośność graniczna przekroju, rozważa się zginanie proste względem osi x , M `" 0 , w
x
stanie równowagi granicznej (w całym przekroju A występują naprężenia plastyczne � : w strefie
pl
ściskanej As, -� , w strefie rozciąganej Ar, +� ) muszą być spełnione warunki równowagi statycznej
pl pl
1
N a" � dA = 0 �! -� As +� Ar = 0 �! As = Ar = A i M a" � ydA , stąd plastyczny wskaz
nik
gr
pl pl 2
+" +"
A A
s r s r
1
wytrzymałości Wpl = M /� = A(cs +cr ) = Sx +Sx , gdzie Sx = Ascs , Sx = Arcr statyczne momenty pól
gr pl 2
ściskanego As i rozciąganego Ar względem osi obojętnej w stanie równowagi granicznej,
- porównanie wskaz
ników wytrzymałości sprężystych W i plastycznych Wpl , równoważne porównaniu
max
momentów zginających przekrój maksymalnego sprężystego Mspr = � W i granicznego plastycznego
pl
max
M = � Wpl �! M / Mspr = Wpl /W ;
gr pl gr
1 1 1 1
przekroje pełne: prostokątny (b � h) : W = bh2 , Wpl = A(c1+c2) c1 = c2 = h , Wpl =2�1 bhi1 h = bh2 ,
6 2 4 2 4 4
Ą r2 4r 4
1
Wpl /W = 1.5 ; kołowy (r) ; W = Ą r3 / 4 , Wpl = A(c1+c2 ) , c1= c2 = 4r / 3Ą , Wpl = 2 � i = r3 ,
2
2 3Ą 3
Wpl /W = 16 / 3Ą = 1.7 ;
przekroje cienkościenne: idealny dwuteownik (same pasy) Wpl /W = 1 , dwuteownik
Wpl|x /Wx = 1.1�1.2 , Wpl|y /Wy = 1.6 �1.7 ; ceownik Wpl|x /Wx = 1.1�1.2 , Wpl|y /Wy E" 1.8 ; rura (r,� )
Wpl /W = 1.27 ;
- obszar uplastycznienia belki, przykład, belka swobodnie podparta L o przekroju prostokątnym (b � h)
1 1
obciążona w środku z =L/2 siłą skupioną P , symetria układu, M (z) = Pz , 0 d" z d" L / 2 , Mmax = PL ;
2 4
1
układ statycznie wyznaczalny lokalna nośność graniczna przekroju M = � Wpl = � bh2 pokrywa
gr pl 4 pl
11
się z globalną nośnością graniczną konstrukcji M = � bh2 a" Mmax = PgrL �! Pgr = � bh2 / L �!
gr pl pl
44
1
M (z) = Pgrz = 2M z / L ; z drugiej strony maksymalny moment sprężysty przenoszony przez przekrój
2 gr
S S
1
Mmax = � W = � bh2 ogranicza zasięg strefy sprężystej M (z) = 2Mgrz / L d" Mmax �! z d" L / 3 ,
pl pl
6
S
zatem strefa plastyczna obejmuje obszar z e" L / 3 w którym Mmax d" M (z) d" M ; z analizy rozkładu
gr
naprężeń po wysokości h przyjmując, że h0(z) d" h opisuje zakres strefy sprężystej w przekroju (z) ,
2
1 1
wynika M (z) = M - 2�[(1 � h0 )i(1 1 h0 )]b = M - � h0 b �! h0(z) = 12 M - M (z) /(� b)
( )
gr 2 2 3 2 12 gr pl
pl gr pl
widać stąd, że dla M (z) M �! h0(z) 0 , ostatecznie podstawiając M (z) = 2M z / L i
gr gr
1
M = � bh2 otrzymuje się h0(z) = h 3 1- 2z / L ; oczywiście dla zakresu sprężystego h0(z) = h
( )
gr pl
4
otrzymuje się wcześniejszy warunek z = L / 3 ;
r s
- materiały o różnej granicy plastyczności na rozciąganie (� ) i ściskanie (� ) np. beton, cegła,
pl pl
kamień; przykład, stan graniczny przekroju prostokątnego (b � h) charakteryzują parametry w strefie
s r
ściskanej ( -� , As = b � hs ) i w strefie rozciąganej (� , Ar = b � hr ), przy czym h = hs + hr , A = As + Ar ;
pl pl
s r r s
z warunku równowagi N a" � dA = 0 �! -� bhs +� bhr = 0 �! hs / hr = � /� �! h = hs + hr
pl pl pl pl
+"
A
s r r s s r r s
= hs (1+� /� ) = hr (1+� /� ) �! hs = (1+� /� )-1h , hr = (1+� /� )-1h , stąd z definicji
pl pl pl pl pl pl pl pl
s r s r
1 1
M a" � ydA oblicza się alternatywnie, M = � S +� S = � bhs i (hs +hr ) = � bhr i (hs +hr )
gr gr pl pl pl 2 pl 2
+"
A
s r

wz osi obojętnej wz środka ciężkości pola Ar wz środka ciężkości pola As
s s r 2 2
1 1 1 1 1
= � (1+� /� )-1bh2 , gdzie Ss = Ashs = bhs , Sr = Arhr = bhr są momentami statycznymi
2 pl pl pl 2 2 2 2
odpowiednich pól względem osi obojętnej w stanie granicznym;
- przekrój zespolony z dwóch różnych materiałów np. przekrój prostokątny (b � h) z materiałów o
polach A( B) = bh( B) i A(S ) = bh(S ) mających takich same granice plastyczności na ściskanie i rozciąganie
( B) (B)r ( B)s (S ) (S )r (S )s (B) (S )
� a"� =� , � a"� =� ; przyjmując, że h( B)>h(S ) i � < � z warunku równowagi
pl pl pl pl pl pl pl pl
(B) (B) ( B) ( (S ) ( (
N a" � dA = 0 �! -� As +� Ar B) +� A(S ) = 0 oblicza się hs B) i hr B) pozwala to obliczyć
pl pl pl
+"
A
26
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
(B) (B) (B) ( (S )
nośność graniczną przekroju zginanego M = � Ss +� Sr B) +� S(S ) , gdzie
gr pl pl pl
( ( ( ( ( ( (B)
1 1 1 1 1
Ss B) = Ashs B) = b(hs B) )2 , Sr B) = Arhr B) = b(hr B) )2 i S(S ) = A(S )i(hr + h(S ) ) są momentami statycznymi
2 2 2 2 2
odpowiednich pól względem osi obojętnej w stanie granicznym;
warto zauważyć, że w przypadku materiałów o tych samych własnościach na ściskanie i rozciąganie
(S ) (S )r (S )s ( B) (B)r ( B)s
� a"� =� i � a"� =� graniczna nośność M a" � ydA zespolonego przekroju
pl pl pl pl pl pl gr
+"
A
zginanego nie zależy od zwrotu momentu zginającego ąM ;
(B)r (B)s
inaczej jest w przypadku materiałów o różnych odporności na ściskanie i rozciąganie (np. � `"� ),
pl pl
tutaj nośność graniczna przekroju zespolonego zależy oczywiście od tego czy dany materiał jest ściskany
czy rozciągany (tj. ąM ), przykładem jest tu sposób obliczania nośności granicznej przekroju
żelbetowego w którym przyjmuje się, że w stanie granicznym beton nie pracuje na rozciąganie (tj.
( B)r
� = 0 ze względu na zarysowanie);
pl
- przykład zachowania się betonu w konstrukcji żelbetowej wskazuje, że w przypadku rzeczywistych
r s
materiałów w których występuje duże zróżnicowanie � <<� może pojawić się konieczność
pl pl
r
ograniczenia odkształceń przy rozciąganiu do pewnej wartości �gra"�gr , która decydować będzie o
nośności granicznej przekroju,
rozważa się przekrój prostokątny (b � h) wykonany z materiału o różnej granicy plastyczności na
s r
ściskanie (� , As = bhs ) i rozciąganie z jednoczesnym ograniczeniem wartości odkształceń (� ,
pl pl
r
�gra"�gr , Ar = bhr = b(h - hs ) ), przyjmując układ współrzędnych pokrywający się z osią obojętną w stanie
granicznym (tj. �|y=h =�maxa"�gr ), zgodnie z założeniem Bernoulliego odkształcenia są funkcją liniową
r
r s
� ( y) = �gr y / hr , stąd � |y=h =�min= -�grhs / hr = -�grhs /(h - hs ) ; zakładając dla przypadku � <<�
pl pl
s
uproszczony model rozkładu naprężeń w stanie granicznym tj. w strefie ściskanej liniowo sprężysty
r
� ( y) = E� ( y) = E�gr y /(h - hs ) , hsd" yd"0 i uplastycznienie całej strefy rozciąganej � ( y) =� = const ,
pl
hs 1
r
0d" yd"hr ; stąd z warunku równowagi N a" � dA = 0 �! -bE�gr i hs + b� (h - hs ) = 0 �!
pl
+"
A
h - hs 2
r r
� - � E�gr/ 2
pl pl
2 rr r
hs (� - E�gr/ 2) - hs 2� h +� h2 = 0 znajduje się hs = h i hr = h - hs co pozwala
pl pl pl
r
� - E�gr/ 2
pl
obliczyć nośność graniczną przekroju zginanego (np. względem punktu przyłożenia wypadkowej ze
r
2r 1 1
strefy ściskanej) M = b� (h - hs )i[1 (h - hs ) + hs ] = b� hr (h + hs ) ;
gr pl 23 2 3
pl
r
1
dla betonu lub cegły M E" � bh2 ;
gr pl
4
" mimośrodowe rozciąganie/ściskanie nośność graniczna przekroju, rozważa się rozciąganie siłą N i
zginany momentem M przekrój o jednej osi symetrii w płaszczyz
nie zginania ( h = const , b = b( y) ) oraz
materiał o jednakowej granicy plastyczności � na ściskanie i rozciąganie,
pl
przyjmuje się, że układ współrzędnych (x, y) pokrywa się z osią obojętną stanu granicznego czystego
s r
zginania (tj. M `" 0 i N = 0 , As = Ar = A/ 2 �! oś x , zaś cs = 2Sx/ A i cr = 2Sx/ A ), zatem M =M + Na
x
bowiem siła N `" 0 działa na mimośrodzie a= yC równym odległości środka ciężkości (c) przekroju A od
osi obojętnej x , ponadto niech � oznacza względne przesunięcie osi obojętnej z rozciągania
mimośrodowego ( M , N `" 0 ) w stosunku do osi x czystego zginania ( M `" 0 , N = 0 ) w stanach
x x
granicznych;
�
z warunków równowagi (czy definicji sił) � dA a" N �! 2� b( y)dy = N , y� dA a"M =M + Na �!
pl x
+" +" +"
A 0 A
�
1
� A(cs +cr ) - 2� yib( y)dy = M + Na po podzieleniu odpowiednio przez Ngr =� A lub M =� Wpl
2 pl pl pl gr pl
+"
0
� �
N 2 M 2 Na
1
= � A(cs +cr ) otrzymuje się kolejno = bdy i = 1- yibdy - �!
2 pl
+" +"
0
Ngr A M Wpl 0 � Wpl
gr pl
� �
M 2
= 1- ( y + a)ibdy po uwzględnieniu że N = 2� bdy , ostatecznie po zcałkowaniu i
pl
+" +"
0
M Wpl 0
gr
M N
wyznaczeniu � otrzymuje się + f ( ) = 1 , gdzie funkcja f zależy od kształtu przekroju;
M Ngr
gr
27
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
2
2
�# ś#
N 2 � � 1 N
�# ś#
- przekrój prostokątny (b � h) , bisymetryczny �! a = 0 , = b� = 2 �! = , oraz
ś# ź#
ś# ź#
ś#
Ngr bh h h 4 Ngr ź#
�# #
�# #
2 2
22
�# ś# �# ś#
M 2i4 � � N M N
= 1- b = 1- 4 = 1- ś# ź# ś# ź#
, stąd ostatecznie + = 1 ,
ś#
M bh2 2 h2 ś# Ngr ź# M Ngr ź#
gr gr
�# # �# #
przykład; zbadać czy przekrój prostokątny b = 2cm , h = 20cm , � = 250MPa , przeniesie obciążenie
pl
M = 40kNm i N = 300kN ; oblicza się Ngr= 250i0.02i0.2 = 1MN = 1000kN , M = 250i1i0.02i(0.2)2
gr 4
2
�# ś#
M N 40 3002
= 0.05MNm = 50kNm , stąd + = + = 0.8 + 0.09 < 1 �! może przenieść;
ś# ź#
ś#
M Ngr ź# 50 10002
gr
�# #
M N
- idealny przekrój dwuteowy (dwuteownik bez środnika) + = 1.
Mgr Ngr
" złożone stany naprężeń (PSN, PSO, symetria osiowa, przestrzenny stan naprężenia), w tych przypadkach
pojęcie granicy plastyczności � z jednoosiowego stanu naprężenia zostaje uogólnione poprzez hipotezy
pl
wytrzymałościowe na tzw. warunek uplastycznienia na podstawie którego budowana jest klasyczna teoria
plastyczności,
- w przypadku hipotezy Hubera Misesa Hencky ego (HMH) warunek plastyczności w PSN ma postać
2 2 2 2
� +� -� � + 3� = � , warunek ten interpretuje występujący po lewej stronie równości złożony stan
x y x y xy pl
naprężenia (� ,� ,� ) w terminie jednoosiowego stanu naprężenia (tj. granicy plastyczności przy
x y xy
rozciąganiu � ) występującym po stronie prawej,
pl
kolejne założenia, różnicujące teorię plastyczności na dwie grupy, dotyczą opisu zachowania się materiału
po przejściu w stan plastyczny, wyróżniamy tu:
- odkształceniową teorię plastyczności formułującą (plastyczne) prawa konstytutywne (fizyczne)
pomiędzy całkowitymi naprężeniami i całkowitymi odkształceniami tak jak w sprężystości (teoria ta jest
istotnie ograniczona, ma raczej znaczenie historyczne, wykorzystywana jest w rozwiązaniach
analitycznych),
- teorię plastycznego płynięcia przyjmującą (plastyczne) prawa konstytutywne (fizyczne) pomiędzy
prędkościami (przyrostami) naprężeń i prędkościami (przyrostami) odkształceń;
badania nośności konstrukcji w złożonych stanach naprężenia, ze względu na ich wysoki stopień
skomplikowania powodowany nieliniowością problemu, należą do jednych z trudniejszych zadań mechaniki
ośrodków ciągłych i w ogólnym przypadku wymagają stosowania metod numerycznych;
2 2 2 2
" skręcanie swobodne � = � = 0 , � = � `" 0 , z warunku plastyczności � +� -� � + 3� = � �!
x y xy x y x y xy pl
� =� / 3 , przykłady:
pl pl
- pełnościenny przekrój kołowy (r) , zakres sprężysty � (�) = Ms� / J0 , �max =�|� = r =� maksymalny
pl
max
sprężysty moment skręcający przenoszony przez przekrój Ms spr= � i1 Ą r3= � iWs , moment w stanie
pl 2 pl
r 2Ą
granicznym dMs gr=� � dA , dA= � d� , Ms gr= dMs gr = � i �2d� d� =� i2 Ą r3 = � iWs pl ;
pl plpl 3 pl
+" +" +"
A 0 0
1
warto zauważyć, że Ms gr= � i2 Ą r3 = 2i(1iĄ r2ir� ) = 2i(1 Ah) = 2iV , gdzie V = Ah jest objętością
pl 3 3 pl 3 3
stożka o podstawie pola przekroju poprzecznego A = Ą r2 i wysokości h = r tg� , tutaj tg� = � , � jest
pl
Ms gr Ws pl 4
kątem nachylenia tworzącej do podstawy stożka; = = = 1.(3) ;
max
Ms spr Ws 3
max
- przekrój kwadratowy (a � a) Ms spr= � iWs= � i0.208a3 , objętość ostrosłupa o nachyleniu ściany
pl pl
1 1 1 1
tg� = � a stąd wysokości h = a tg� = a � i podstawie A = a2 wynosi V = Ah = � a3 , zatem
pl 2 2 pl 3 6 pl
Ms gr Ws pl 1/ 3
1 1
Ms gr= 2iV = � a3 = � iWs pl , Ws pl = a3 , = = E" 1.60 ;
3 pl pl 3 max
Ms spr Ws 0.208
2
1
- wąski przekrój prostokątny ( h ״ , h >>� ) sprężysty wskaz
nik wytrzymałości Ws= h� , w zakresie
3
2
11 1 1 1
plastycznym h = � tg� = � � , A= h� �! V E" Ah = � a3 , stąd Ws pl = h� i Ws pl /Ws = 1.5 ;
22 pl 2 4 pl 2
max
- cienkościenny przekrój zamknięty o stałej grubości � = const , Ms gr= Ms spr bowiem � jest stałe na
grubości ścianki i w całym przekroju, stąd Ws pl /Ws = 1.
28
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Cięgna
" cięgno jest modelem teoretycznym konstrukcji wiszących (liny, łańcuchy itp.), które charakteryzują się
znikomą sztywnością na zginanie, stąd w ich modelu teoretycznym cięgnie sztywność ta jest pomijana;
zakłada się, że cięgna przenoszą tylko rozciąganie, oraz w modelu klasycznym, że są nierozciągliwe
L = const ;
" zasadnicze różnice w stosunku do rozpatrywanych dotąd zagadnień to:
- zmienny schemat geometryczny zależy od obciążenia �! nie obowiązuje zasada zesztywnienia,
- duże przemieszczenia, zagadnienie geometrycznie nieliniowe �! nie obowiązuje założenie o małych
przemieszczeniach i nie obowiązuje zasada superpozycji;
" zasadnicze problemy w analizie cięgien to wyznaczenie:
- kształtu cięgna,
- reakcji utrzymujących i siły normalnej w cięgnie;
" ciężar własny cięgna q = const (na jednostkę długości s ), cięgno nierozciągliwe o długości L = const i
punktach zawieszenia na tej samej wysokości w rozstawie poziomym (rozpiętości) l < L oraz strzałce zwisu
f , układ współrzędnych x - pozioma, y - pionowa, początek w punkcie zawieszenia,
postać różniczkowa równania linii zwisu, niech (ds)2= (dx)2+ (dy)2 , ds = dx cos� = dy sin� , tg� = dy/dx ,
2
z rozkładu sił rozciągającej w cięgnie wynika, że N = H cos-1� = V sin-1� , V = H tg� = H dy / dx = H y ,
z warunków równowagi elementu różniczkowego cięgna otrzymuje się kolejno " Px = 0 �!
-H + (H + dH ) = 0 �! dH = 0 �! H = const , " Py = 0 �! -V + qds + (V + dV ) = 0 �! dV / ds = -q
2 2 2
dV d(H y ) d( y ) d(y ) dx dx
2 2 2
uwzględniając, że V = H y , stąd = = H = H = Hy =-q , lub
ds ds ds dx ds ds
2
uwzględniając ds = (dx)2+ (dy)2 = dx 1+ ( y )2 otrzymuje się równanie różniczkowe linii zwisu cięgna
2 2 2
H y =-q 1+ ( y )2 ,
2
całkowanie równania linii zwisu cięgna, wprowadzając oznaczenia z = y , ą = H / q równanie
dz 1
2 2 2
H y =-q 1+ ( y )2 przyjmuje wygodną postać do całkowania =- dx , całkując je obustronnie
1+ z2 ą
1 x + c1
2
otrzymuje się arcsinhz =- (x +c1) , następnie odwracając arcsinh mamy y a" z = -sinh i całkując
ą ą
x + c1
ponownie oblicza się y =-ą cosh +c2 , z warunku brzegowego y(x = 0) = 0 i warunku symetrii
ą
1
2
y (x = l) = 0 wyznacza się stałe c1 = -l / 2 i c2 = ą cosh(l / 2ą) , co daje linię zwisu cięgna
2
l x - l / 2 H ql q(x - l / 2)
y = ą [cosh - cosh ] = [cosh - cosh ] nazywaną krzywą łańcuchową, między
2ąą q 2H H
innym y jest nieliniową funkcją składowej poziomej H niewiadome siły rozciągającej N w cięgnie,
siła rozciągająca cięgno N , a przez to jej składowa pozioma H , zależy od przyjętej długości cięgna L lub
1
zależy równoważnie od bardziej przydatnej w praktyce założonej strzałce zwisu cięgna f a" y(x = l) , stąd
2
H ql ql
f = [cosh -1] �! H = [cosh -1]-1q f �! H = F(H ) , gdzie F jest nieliniową funkcją H ,
q 2H 2H
postać H = F(H ) wskazuje na możliwość zastosowania metody kolejnych przybliżeń w postaci iteracji
ql
i+1 ii+1
prostej tj. H = F(H ) �! H = [cosh -1]-1q f , gdzie i oznacza numer iteracji, zbieżność iteracji
i
2H
i+1 i
prostej H = F(H ) ustala warunek Lipschitza, którego spełnienie ogólnie mówiąc zależy od trafnie
0 0
przyjętej wartości początkowej H , w naszym przypadku dobrym przybliżeniem jest H = ql2 /8 f , po
2
wyznaczeniu z żądaną dokładnością składowej H oblicza się kolejno y , y a stąd siłę normalną w cięgnie
2
N = H cos-1� = H 1+ ( y )2 ;
cięgna o małej strzałce zwisu są częstym przypadkiem występującym w praktyce, z relacji f << l wynika,
2 2
że y = dy / dx << 1 �! 1+ ( y )2 E" 1 �! ds E" dx i równanie różniczkowe linii zwisu cięgna pod ciężarem
-1
2 2 2 2 2 2 2
własnym q = const , H y =-q 1+ ( y )2 przyjmuje postać przybliżoną H y = -q �! y =-ą łatwą do
x2
1
2
scałkowania y =- + c1x + c2 , z warunku brzegowego y(x = 0) = 0 i warunku symetrii y (x = l) = 0
2
2ą
29
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
l qx
1
wyznacza się stałe c1 = i c2 = 0 , ostatecznie y = - (l - x) , z warunku f a" y(x = l) otrzymuje się
2
2ą 2H
ql2 4 f x
H = �! y = (l - x) , całkowitą długość cięgna przy założonej strzałce ugięcia f z definicji
8 f l2
l
2
wynosi L = ds = 1+ ( y )2dx co po rozwinięciu w szereg potęgowy z ograniczeniem się do dwóch
+" +"
L 0
ll
4 f
11
2 2 2
pierwszych wyrazów daje L E" 1+ ( y )2 dx = l + ( y )2dx , co po podstawieniu y = (l - 2x) i
()
22
+"+"
00
l2
2
8 f
wykonaniu przypisanych operacji otrzymuje się L = l(1+ ) ;
3l2
" dowolne obciążenie pionowe ( P a" Py , q a" qy ), cięgna o małej strzałce zwisu f << l i punktach
zawieszenia na tej samej wysokości, zakłada się, że punkty przyłożenia obciążenia pionowego doznają
jedynie przemieszczeń pionowych, tj. ich przestrzenna linia działania obciążenia nie ulega zmianie,
ponieważ brak obciążeń poziomych zachodzi warunek H (x) = const , wykorzystując równanie momentów
d2M
zginających belki swobodnie podpartej = -q obciążonej jak cięgno i postać przybliżoną równania linii
dx2
d2 y
zwisu cięgna H = -q , można wydedukować związek Hy = M stanowiący warunek zerowania się
dx2
M [M ] d[M ]
momentów zginających, a stąd obliczyć y = = , uwzględniając, że = [T ] , gdzie [T ] jest
H H dx
funkcją (wykresem) sił tnących belki swobodnie podartej obciążonej jak cięgno, można obliczyć kolejno
l l l
1 1
2
1
2 2
L = l + ( y )2dx = l + [T ]2dx �! H = [T ]2dx �! N = H cos-1� = H 1+ ( y )2
2
+" 2 +" +"
0 0 0
2H 2(L - l)
2 2
= H 1+ [T ]2 / H = H + [T ]2 , warto zauważyć, że ymax jest dla [T ] = 0 ;
" cięgna o punktach zawieszenia A i B na różnych wysokościach i rozpiętości l , dowolnie obciążone
pionowo ( P a" Py , q a" qy ) z małą strzałką zwisu; poza układem współrzędnych ( x, y ) wprowadza się drugi
układ ( x1, y1 ), oba o początku w punkcie A , gdzie oś x1 - przechodzi przez punkty zawieszenia A , B i
tworzy z osią x kąt � a" (x, x1) niech y(x) = y(x) - x tg� oznacza w układzie ( x, y ) geometrię
ustalonego punktu cięgna mierzoną od prostej przechodzącej przez punkty zawieszenia A , B to
odpowiednia współrzędna tego punktu w układzie ( x1, y1 ) wyniesie y1 = y(x)cos � ,
dla uproszczenia formułowania równań równowagi tworzy się z osi x1 i y trzeci ukośny układ
współrzędnych ( x1, y ), wówczas jeśli przez S - oznaczy się składową reakcji w punktach zawieszenia w
układzie ukośnym ( x1, y ) o kierunku prostej AB ( || x1 ), czyli odpowiednik reakcji poziomej H w układzie
( x, y ), to relacja wiążąca te siły ma postać S = H cos-1� , także w układzie tym obowiązuje
dx1 = dx cos-1� , z sumy momentów względem punktów zawieszenia wynika, że pionowe składowe z
ukośnego rozkładu reakcji cięgna są równe reakcjom [RA] i [RB ] swobodnie podpartej belki AB ,
stąd warunek zerowania się momentów w dowolny punkcie cięgna ma postać [M (x)]- Sy1 = 0 , co po
uwzględnieniu y1 = y cos � , S = H cos-1� daje warunek y = [M (x)]/ H identyczny jak dla przypadku
punktów zawieszenia na tych samych wysokościach,
relację pomiędzy siłą H (równoważnie S ) a długością cięgna L oblicza się wykorzystując z poprzedniego
l
l 1 dy1
cos �
zadania zależność na długość cięgna L zapisaną w układzie ( x1, y1 ) L = + ( )2dx1 , ponieważ
+"
0
cos � 2 dx1
l
[M (x)] dx dy1 dy1 dx [T ] [T ] l 1 cos3�
y1 = i dx1 = to = = cos � = cos2� a stąd L = +2 0 [T ]2dx
+"
S cos � dx1 dx dx1 SH cos � 2 H
ostatnia zależność pozwala dla danej długości cięgna L obliczyć składową poziomą H , z warunku, że tylko
siła normalna N `" 0 , oblicza się N = S 1+ (dy1 / dx1)2 = S 1+ ([T ]2 cos2� ) / S2 = S2 + [T ]2 cos2� ;
2
l 8 f
przykład, obciążenie równomierne �! cięgno ma kształt paraboli L = + cos3� ,
cos � 3 l
l 1
f = y(x = ) = ql2 / H ;
2 8
30
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
" wpływ zmian długości cięgna wywołany dodatkowym obciążeniem Q , przyrostem temperatury "t
i poziomym przemieszczeniem � << l podpory (zmniejszającego rozpiętość l ), rozważą się cięgno o
punktach zawieszenia na tej samej wysokości o małej strzałce zwisu, zakłada się, że pierwotne (zasadnicze)
obciążenie pionowe ( P a" Py , q a" qy ) jest ustalone i wywołuje [M0], [T0 ], a jego strzałka zwisu została
wyregulowana przez dobranie pierwotnej długości cięgna L0 , przeprowadza się to w fazie montażu poprzez
l
1
odpowiednie urządzenia ze sterowaniem siły naciągu H0 �! L0 = l + [T0]2dx ;
+"
2(H0 )2 0
problemem jest wyznaczenie nowego kształtu cięgna w czasie eksploatacji wywołanego wymienionymi
czynnikami, zakłada się, że obciążenie sumaryczne ( P , q ) + Q wywołuje [M ] , [T ] oraz H w tym N ;
N - N0 H - H0
nowe obciążenie Q �! wzrost siły normalnej N �! wydłużenie cięgna "LN = ds E" L0 ;
+"
s
EA EA
przyrost temperatury "t �! wydłużenie cięgna "L"t = ąt "t L0 , gdzie ąt współczynnik rozszerzalności
liniowej;
ostatecznie długość cięgna wynosi L = L0 + "LN + "L"t , z drugiej strony długość ta związana jest z
l -� l
1 1
rozpiętością i obciążeniem znanym już wzorem L = (l -� ) + [T ]2dx E" (l -� ) + [T ]2dx ,
2 +" 2 +"
0 0
2H 2H
gdzie ze względu, że � << l pominięto � przy całkowaniu;
l l
1 H-H0 1
przyrównując stronami l + [T0]2dx + L0 +ąt"tL0 a" (l -� ) + [T ]2dx po uproszczeniu,
2 +" 2 +"
0
2H0 0 EA 2H
2
przemnożeniu przez H EA / L0 i uporządkowaniu otrzymuje się równanie algebraiczne trzeciego stopnia
l l
EA EA EA
3 2
H + H c - d = 0 , gdzie c = [T0 ]2dx - H0 + EAą"t + � , d = [T ]2dx , można wykazać, że
t
2 +" +"
2L0H0 0 L0 2L0 0
równanie to ma jeden rzeczywisty pierwiastek dodatni, aktualnie rozwiązanie tego równania nie stwarza
większych trudności,
3 2
w przypadku cięgien niepodatnych, tj. EA = " , po podzieleniu H + H c - d = 0 przez EA i położeniu
l
c 1
2
EA =" otrzymuje się H c - d = 0 �! H = d / c , gdzie c = L0 |EA=" = [T0 ]2dx +ąt"t + � ,
2 +"
EA 2H0 0
l
d 1
d = L0 |EA=" = [T ]2dx ,
+"
0
EA 2
również obliczona przy założeniu EA = " wartość siły H może służyć jako dobra aproksymacja
0 3 2
początkowa H jeśli stosuje się numeryczną metodę obliczania pierwiastków równania H + H c - d = 0 ,
i+1 i 3 2
np. metodę kolejnych przybliżeń w postaci iteracji prostej tj. H = F(H ) , tutaj H + H c - d = 0 �!
3 i+1 i
H = (d - H ) / c �! H = [d - (H )3]/ c , gdzie i oznacza numer iteracji.
31
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Wpływ czasu na własności wytrzymałościowe materiałów
" długotrwałość i wielokrotność (cykliczność) obciążenia konstrukcji wymaga zbadania wpływu czasu
t " R+ na opis charakterystyk materiałów i ewentualnego jego uwzględnienia,
" własności wytrzymałościowe większości materiałów wykazują w długich okresach zależność od czasu jak
również zależność od innych czynników środowiskowych w jakich pracuje konstrukcja, tj. temperatury,
wilgotności itp.
" model materiału lepko - sprężystego, tj. model takiego materiałów, które oprócz cech sprężystych
wykazuje cechy cieczy lepkiej, model lepko - sprężysty jest dobrym opisem zależności od czasu wielu
materiałów konstrukcyjnych ograniczonych wymogami normowymi (przed osiągnięciem granicy
plastyczności), taki typ zjawiska wyraz
nie występuje w betonie, tworzywach sztucznych jak również w stali
w warunkach podwyższonych temperatur,
" relaksacja (spadek wartości naprężeń, przy narzuconym odkształceniu nie zmieniającym się w czasie),
próba statyczna ( "l = const ), opis w postaci krzywej relaksacji � = � (t) przy � = const ,
" pełzanie (zjawisko narastania trwałych odkształceń przy naprężeniu nie zmieniającym się w czasie), próba
statyczna ( P = const ), opis w postaci krzywej pełzania � = � (t) przy � = const , ocena zjawiska pełzania
jest szczególnie ważna w konstrukcjach sprężonych (np. śruby sprężające, kablobetony i strunobetony itp.)
bowiem z czasem efekt pełzania obniża siłę sprężającą,
" zmęczenie materiału jest pojęciem występującym przy obciążeniu ze zmienną charakterystyką, w próbie
zmęczeniowej bada się wytrzymałość przy harmonicznej zmienności naprężeń � (t) = �m +� sin�t , gdzie
a
�m jest średnim naprężeniem, � amplitudą naprężeń, � = 2Ą / T [rad / sek] częstość kołowa wymuszenia,
a
T okresem cyklu obciążenia, r = � /� = (�m +�a ) /(� -�a ) współczynniki asymetrii cyklu lub
max min m
charakterystyka cyklu, � = �m /� współczynnik stałości obciążenia, opis w postaci krzywej W�hlera
a
� = � (N ) , gdzie N liczna cykli do chwili zniszczenia, pojęcia: zniszczenie zmęczeniowe (ma charakter
kruchy i występuje szczególnie w obszarach koncentracji naprężeń - karb), wytrzymałość zmęczeniowa � ,
z
" wytrzymałość trwała - największe naprężenie przy którym zniszczenie następuje dopiero po upływie
określonego czasu (teoretycznie powinna odpowiadać nieskończenie długiemu czasowi obciążania próbki,
oczywiście proces zniszczenia poprzedzony jest stopniowym rozwojem pełzania),
" starzenie się materiału niekorzystne zmiany cech wytrzymałościowych bez udziału obciążeń zewnętrznych
(wynika z nieustabilizowana budowy wewnętrznej);
Modele reologiczne materiałów
" symbole mechaniczne cech materiału
- sprężystość sprężyna (związek między siłą P i przemieszczeniem u ) P = Ku �! � = E�S , gdzie
S
K - sztywność, E - moduł sprężystości,

- lepkość tłumik lepki (związek między siłą P i prędkością przemieszczenia u ) P = Cu �!

�T = c�T , gdzie c - współczynnik tłumienia, �T - odkształcenie tłumika;

" model Maxwella, szeregowe połączenie sprężyny � = E�S i tłumika lepkiego �T = c�T , co daje
S

� = �T a" � i � = �S + �T , różniczkując po czasie � = �S + �T a następnie podstawiając �S = E-1� i
S

� �

�T = c-1� otrzymuje się � = + liniowe równanie różniczkowe między � i � ;
E c

" model Kelvina - Voighta, równoległe połączenie sprężyny � = E�S i tłumika lepkiego �T = c�T , co daje
S

�S = �T a" � i � = � +�T , podstawiając � = E� i �T = c� otrzymuje się � = E� + c� liniowe równanie
S S
różniczkowe między � i � ;
" model standardowy, równoległe połączenie sprężyny � = E�S z oznaczonym etykietą 1 układem
S

szeregowym sprężyny � = E1�S1 i tłumika lepkiego �T 1 = c1�T1 , co daje �S = �1 a" � , gdzie �1 = �S1+ �T1 ,
S1

�1 �1 E1

stąd � = �1 = �S1+ �T1 = + �! �1 = E1� - �1 , oraz daje � = � +�1 , gdzie � = �T1 a" �1 , stąd
S S1
E1 c1 c1
� = � +�1= E� +�1 �! �1= � - E� , teraz różniczkując po czasie � = � +�1 i uwzględniając
S S
E1 E1 E1
S
�1 = E1� - �1 i �1= � - E� otrzymuje się � = � +�1 = E� + E1� - �1 = E� + E1� - (� - E� ) �!
c1 c1 c1
E1 EE1

� + � = (E + E1)� + � , mnożąc obustronnie przez c1 / E1 a" ł i oznaczając przez c = ł (E + E1)
c1 c1

otrzymuje się ostateczną postać � + ł� = E� + c� , która jak wcześniej jest liniowym równaniem
różniczkowym między � i � ;
32
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budownictwo
Badanie zjawiska pełzania i relaksacji na modelach reologicznych materiałów

" pełzanie funkcja naprężenia � (t) a" �0 = const (oczywiście � a" �0 = 0 ), poszukuje się rozwiązania � (t)

� � �0 �
0

- model Maxwella � = + = , całkując mamy� (t) = t + C1 , uwzględniając warunek początkowy
E c c c
� � �
0 0 0
� (t = 0) = , otrzymuje się � (t) = t + liniową zależność między prędkością odkształceń i czasem,
E c E
E 1

- model Kelvina - Voighta � = E� + c� �! � + � = �0 , całka ogólna równania jednorodnego
c c
E E

� + � = 0 ma postać � = Cert �! pierwiastek równania charakterystycznego r =- , całka
1
c c
E
- t
E 1 1 1
c

szczególna równania � + � = � �! � = � , stad �(t) = C1e + �0 uwzględniając warunek
0 0
c c E E
E
- t
�
0
c
początkowy � (t = 0) = 0 otrzymuje się � (t) = (1- e ) , rozwiązanie asymptotycznie dąży do wartości
E
�
0
�0 = ,
E
E
- t
E 1 1
c

- model standardowy � + ł� = E� + c� �! �0 = E� + c� �! � + � = �0 , stąd � (t) = C1e + �0 ,
c c E
E
- t
� ł�0 �0 ł E
0
c
uwzględniając warunek początkowy � (t = 0) = = , otrzymuje się �(t) = [1- (1- )e ] ,
ES + E1 c Ec
ł �
0
rozwiązanie dąży od wartości �0 asymptotycznie do wartości �0 = ,
c E

" relaksacja funkcja odkształcenia � (t) a" �0 = const (oczywiście � a"�0= 0 ), poszukuje się rozwiązania � (t)

� � E

- model Maxwella � = + = 0 , całka ogólna równania jednorodnego � + � = 0 ma postać
E c c
E
� = Cert �! pierwiastek równania charakterystycznego r = - , uwzględniając warunek początkowy
1
c
E
- t
c
� (t = 0) = E�0 , otrzymuje się � (t) = �0Ee , rozwiązanie dąży od wartości �0 = E�0 asymptotycznie
do 0 ,

- model Kelvina - Voighta � = E� + c� �! � = E�0 + c�0� (0) = �0[E + c� (0)] , gdzie � (t) jest funkcją
impulsową (deltą Diraca), rozwiązanie poza zaburzeniem początkowym � (t = 0) jest stała i wynosi
�0 = E�0 ,
1
- t
1 E c
ł

- model standardowy � + ł� = E� + c� �! � + � = � , stąd � (t) = E�0[1- (1- )e ] ,
ł ł ł E
c
rozwiązanie dąży od wartości �0 asymptotycznie do wartości �0 = E�0 .
ł
33
Jacek Chróścielewski, materiały pomocnicze do wykładu z WM, semestr III