Tablica wzorów
W celu zbudowania szeregu rozdzielczego z danych z próby, wyznaczamy:
a) rozstęp : R = max xi - min xi.
1 i n 1 i n
b) wyznaczamy liczbę przedziałów klasowych K korzystając z następujących zależności:
"
" k H" n
" lub korzystając z następującej tabeli:
n k
30-60 6-8
60-100 7-10
100-200 9-12
200-500 11-17
500-1500 16-25
R
c) wyznaczamy długość przedziału klasowego h, spełniającą warunek H" h
K
Ä…
d) wyznaczamy lewostronny koniec pierwszego przedziału z zależności a0 = min xi - ,
1 i n
2
gdzie ą jest dokładnością pomiaru.
Charakterystyki z próby
k

1
a) średnia z próby X = xini;
n
i=1
kme -1
(n - ni)h
i=1
2
b) mediana z próby (wartość środkowa) Me = xm + ;
e
nm
e
nm - nm
o o-1
c) moda (dominanta) mo = xm + h;
o
nm - nm + nm - nm +1
o o-1
o o

kQ1-1
(n - ni)h
i=1
4
d) kwartyl dolny Q1 = xQ + ;
1
nQ
1

kQ3-1
(3n - ni)h
i=1
4
e) kwartyl górny Q3 = xQ + ;
3
nQ
3
n

1
2
f) wariancja z próby S = (xi - X)2
n
i=1
"
2
g) odchylenie standardowe z próby S = S ;
Q3 - Q1
h) odchylenie ćwiartkowe ;
2
k

1
i) odchylenie przeciętne od mediany d2 = |xi - me|ni;
n
i=1
k

1
j) odchylenie przeciętne od średniej d1 = |xi - X|ni;
n
i=1
S
k) współczynnik zmiennoÅ›ci V = · 100%;
X
d1
l) współczynnik nierównomiernoÅ›ci H = · 100%;
X
n

M3 1
m) współczynnik asymetrii A = , gdzie M3 = (xi - X)3ni;
S3 n
i=1
n

M4 1
n) współczynnik skupienia (kurtoza) K = , gdzie M4 = (xi - X)4ni;
S4 n
i=1
o) współczynnik spłaszczenia (eksces) g = K - 3, gdzie K oznacza kurtozę;
Estymacja przedziałowa
1. Estymacja przedziałowa dla średniej
a) Model 1.  przedział ufności na poziomie ufności 1 - ą jest postaci:

à Ã
Ä… Ä…
X - u1- " , X + u1- " .
2 2
n n
b) Model 2.  przedział ufności na poziomie ufności 1 - ą jest postaci:

Ä… S Ä… S
" "
X - t(n - 1, 1 - ) , X + t(n - 1, 1 - ) , lub
2 - 1 2 - 1
n n

Ć Ć
Ä… S Ä… S
" "
X - t(n - 1, 1 - ) , X + t(n - 1, 1 - ) .
2 n 2 n
c) Model 3.  przedział ufności na poziomie ufności 1 - ą jest postaci:

à Ã
Ć
Ä… Ä…
X - u1- " , X + u1- " . Jeśli à jest nieznane, to za à wstawiamy S lub S.
2 2
n n
2. Estymacja przedziałowa dla wariancji
a) Model 1.  przedział ufności na poziomie ufności 1 - ą jest postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
nS2 nS2
ðÅ‚ ûÅ‚

, .
Ä…
Ç2 1 - , n - 1 Ç2 Ä…, n - 1
2 2
b) Model 2.  przedział ufności na poziomie ufności 1 - ą jest postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
n n
(xi - µ)2 (xi - µ)2
i=1
ðÅ‚ ûÅ‚
i=1
, .
Ä…
Ç2 1 - , n - 1 Ç2 Ä…, n - 1
2 2
" "
2nS 2nS
" "
W przypadku, gdy n > 50: , .
uÄ… + 2n - 3 2n - 3 - uÄ…
Weryfikacja hipotez
1. Weryfikacja hipotez o wartości średniej
Weryfikujemy hipotezÄ™ H0 : µ = µ0 wobec jednej z hipotez alternatywnych:
a) H1 : µ = µ1 = µ0, b) H1 : µ = µ1 > µ0, c) H1 : µ = µ1 < µ0. Poziom istotnoÅ›ci Ä… (0 < Ä… < 1).

"
X - µ0
a) Model 1.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…: U = n;
Ã
X - µ0 "
b) Model 2.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…: T = n - 1;
S
"
X - µ0
c) Model 3.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…: U = n;
S
2. Weryfikacja hipotez o równości dwóch średnich.
Weryfikujemy hipotezÄ™ H0 : µ1 = µ2, gdzie µ1 oznacza Å›redniÄ… w populacji pierwszej a µ2 Å›redniÄ… w
populacji drugiej. Rozpatrujemy jednÄ… z hipotez alternatywnych: a) H1 : µ1 = µ2,

b) H1 : µ1 > µ2, c) H1 : µ1 < µ2.
X1 - X2

a) Model 1.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…: U = ;
2 2
Ã1 Ã2
+
n1 n2
b) Model 2.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…:
X1 - X2

t = ;
2 2
n1S1 +n2S2 n1+n2
·
n1+n2-2 n1n2
X1 - X2

c) Model 3.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…: U = ;
2 2
S1 S2
+
n1 n2
"
Z
d) Model 4.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…: T = n - 1;
SZ
3. Weryfikacja hipotez dotyczÄ…cych wariancji i odchylenia standardowego.
2
Weryfikujemy hipotezÄ™ H0 : Ã2 = Ã0 wobec jednej z hipotez alternatywnych:
2 2 2 2 2 2
a) H1 : Ã2 = Ã1 = Ã0, b) H1 : Ã2 = Ã1 > Ã0, c) H1 : Ã2 = Ã1 < Ã0. Poziom istotnoÅ›ci Ä… (0 < Ä… < 1).

nS2
a) Model 1.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…: Ç2 = ;
2
Ã0
b) Model 2.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ testowÄ…:

"
2nS2
U = - 2n - 3;
Ã2
4. Weryfikacja hipotez o równości dwóch wariancji i odchyleń standardowych.
2 2
2 2
Weryfikujemy hipotezÄ™ H0 : Ã1 = Ã1, wobec jednej z hipotez alternatywnych: a) H1 : Ã1 = Ã2,

2 2 2 2
b) H1 : Ã1 > Ã2, c) H1 : Ã1 < Ã2.
Ć2
S1
a) Model 1.  do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykÄ™ F = .
2
Ć
S2