Równia pochyła
I. Równia pochyła - pochylnia to płaszczyzna nachylona do poziomu pod pewnym kątem. Parametry równi:kąt Ź - nachylenie równi do podstawy,
długość L i wysokość H. Równia ułatwia transport ciężarów na znaczne wysokości. Dzięki ułożeniu płaszczyzny pod kątem, siła użyta podczas
transportu ciała rozkłada się wzdłuż całej drogi. Droga transportu (wciągania) jest znaczenie większa niż w przypadku bezpośredniego podnoszenia
do góry, to jednak siła jest odpowiednio mniejsza. Tracimy na drodze ale zyskujemy na sile - " złota reguła mechaniki".
H
tgŹ = H/L
Ź
L
Rys.1 Parametry równi pochyłej: kąt Ź - nachylenie równi do podstawy, długość L i wysokość H.
str. 1
1.Zagadnienie rozkładu sił .
1. Ciało na płaskiej ,
gładkiej powierzchni
G - ciężar ciała ,
G = m g, m - masa ciała.
Kierunek siły pionowy.
N - reakcja podłoża,
kierunek prostopadły do
podłoża (więzy
ruchome)
G = N
Ciało uwolnione od
więzów
str. 2
 2. Rozkład sił na równi
pochyłej - bez tarcia
Ź
G - ciężar ciała , G = m
Ź
g, m - masa ciała.
Kierunek siły pionowy.
N - reakcja podłoża,
kierunek prostopadły do
podłoża (więzy
ruchome)
N = G cosŹ
Zwróć uwagę na kąt Ź
zawarty między
Ź
kierunkiem reakcji
normalnej N , a
kierunkiem siły
Ź
ciężkości
G
str. 3
3. Rozkład siły
ciężkości G na dwa
kierunki:
Ź
- równoległy do równi
- prostopadły do równi
metoda równoległoboku.
Ź
Składowe siły G
Ź
Siła zsuwająca ciało -
GT
Ź
Siła nacisku ciała na
równię GN
Ź
str. 4
4. Rozkład sił Ciało na
płaskiej powierzchni
z uwzględnieniem
zjawiska tarcia -
ruch ciała.
F- siła powodująca
ruch ciała z prędkością v
T- siła tarcia (reakcja
oporu)
N - reakcja normalna
podłoża na ciało
R - reakcja całkowita
(wypadkowa składowych
sił N i T) odchylona od
normalnej w kierunku
przeciwnym do
przewidywanego
przesunięcia o kąt tarcia
�
str. 5
 5. Rozkład sil na
równi - ciało
F
jest wciągane
do góry!
Ź
F- siła powodująca
ruch ciała z
prędkością v
F
T- siła tarcia
(reakcja oporu)
N - reakcja
normalna podłoża
na ciało
R - reakcja
Ź
całkowita
(wypadkowa
składowych sił N i
T) odchylona od
normalnej w F
kierunku
przeciwnym do
przewidywanego
przesunięcia o kąt
tarcia �
Ź
str. 6
Ź
str. 7
 PROBLEMATYKA TARCIA W WYBRANYCH PARACH KINEMATYCZNYCH
I. Klin
Graniastosłup trójkątny (dwie równie pochyłe złączone podstawami), którego parametrem jest zbieżność wyrażana przez kąt rozwarcia 2Ź.
Jest stosowany jako maszyna prosta (duży wzrost siły) np. w połączeniach klinowych, jako ostrze narzędzi: noże, siekiery, kosy itp.
Często wykorzystywany w pracach budowlanych - ciesielskich jako element rozpierający zaś przez drwali używany do rozłupywania- rozdzielania
drewna.
2ą
Rys.1 Klin dwustronny - w praktyce, w przekroju trójkąt równoramienny o kącie rozwarcia 2Ź
" Zadanie
Obliczyć naciski N jakie wywiera klin (rys.2) na ściany drewnianego kloca, jeżeli jest wbijany - wciskany siłą Q.
Uwzględnić zjawisko tarcia- podany jest współczynnik tarcia � i kąt rozwarcia klina 2Ź
Dane: Siła Q i współczynnik tarcia �.
Szukane: siły nacisku N jakie klin wywiera na ściany materiału
str. 8
Q
as
Rys.2. Klin wbijany siłą Q
Mamy do czynienia z przykładem pary ciernej- klin trze o kloc i kloc trze o klin. Rys3.
str. 9
 Rys.3 Rozdzielenie pary ciał na dwa układy i występujące siły ( stan równowagi)
Rys.3a Siły działające na klin
Układ I  klin
Rys.3b .Siły występujące w materiale (klocu)
Układ II  kloc
as
str. 10
Rozwiązanie:
1.Rozdzielam oba ciała na dwa układy.Rys.3, 3a i 3b.
2.Uwalniam ciała od więzów, wprowadzając reakcje. Zwróć uwagę na zwroty sił tarcia T i prostopadłość do nich sił nacisku N
3.Kwalifikuję układ sił i wprowadzam prostokątny układ współrzędnych - w tym przypadku chodzi o znalezienie jednej niewiadomej
i wystarczy zrzutować wszystkie siły na kierunek pionowy - oś y (wykorzystanie tw. o sumie rzutów).
4. Oba układy są równoważne. rozpatruję równowagę układu I-rys.3a (klina), pisząc warunek równowagi -
algebraiczna suma rzutów wszystkich sił na oś y musi być równa zero
n=5
(1) Fny = 0 �! T �" cosą + T �" cosą + N �" sin ą + N �" sin ą - Q = 0, po redukcji wyrazów podobnych :
"
i=1
(2) 2T cosą + 2N sin ą = Q
(3)T = � �" N, z prawa tarcia,. podstawimy do równania(2)
(4)2� �" N �" cosą + 2N sin ą = Q
(5) 2N(� �" cosą + �"sin ą) = Q
szukany nacisk N;
Q
N =
2(� �" cosą + �"sin ą)
Uwagi: wartość siły nacisku N ( rozpierania) uzależniona jest od kąta rozwarcia klina 2Ź i współczynnika tarcia � (rodzaj pary materiałów)
str. 11
 PROBLEMATYKA TARCIA W WYBRANYCH PARACH KINEMATYCZNYCH
2. Hamulec klockowy
Określ siłę hamującą F przyłożoną na końcu dz
wigni hamulca klockowego-rys1. Tarcza hamulca obraca się w lewo!.
Dane: moment obrotowy, wymiary hamulca jak na rysunku oraz współczynnik tarcia dla pary materiałów .
as
0
Rys.1.Hamulec klockowy
Rozwiązanie.
1. Analiza zjawiska tarcia z uwzględnieniem rozkładu sił. Hamowanie będzie wtedy skuteczne gdy przyłożymy do końca dz
wigni odpowiednią siłę
hamującą F.
Ona bowiem da odpowiedni nacisk klocka na hamulec. Nacisk, zaś klocka decyduje o sile tarcia bowiem znamy zależność T= � N
Zawsze rozpoczynamy analizę zwrotów sił tarcia od elementu ruchomego - tarczy. Jeżeli tarcza obraca się pod wpływem momentu obrotowego M w
str. 12
lewo - rys.2, to siła tarcia T, przyłożona do niej , ma zwrot przeciwny do zwrotu tego momentu, czyli w prawo.
Siła tarcia T przyłożona do klocka ma zwrot zgodny z momentem obrotowym M.
as
0
Rys.2 .Hamulec klockowy z wyznaczonymi siłami tarcia
2. Parę cierną rozbijamy na dwa układy :
układ I (dz
wignia) - równowaga sił przyłożonych do dz
wigni -rys.3 i
układ II (tarcza) - równowaga sił przyłożonych do tarczy hamulcowej -rys 4.
3. Rozpatrujemy równowagę dz
wigni - kwalifikujemy układ sił i piszemy analityczny warunek równowagi wzgl. bieguna A.
str. 13
as
Układ I  dz
wignia
Rys.3. Układ sił działających na dz
wignię.
Uwaga: pominięto reakcje w przegubie A !
Oznaczenia: T - siła tarcia, F- siła hamująca, N - siła nacisku- reakcja normalna tarczy na klocek.
(1), M = O �! - F �" (a + b)+ N �" a - T �" c = O, po podstawien iu T = � �" N otrzymamy
" A
(2), F(a + b) = N �" a - � �" N �" c,
N �" a - � �" N �" c N �"(a - � �" c)
(3) F = =
(a + b) a + b
Widać z zależności (3),że wartość siły hamującej F zależy od siły nacisku N co przewidywaliśmy.
Siłę nacisku N wyznaczymy (mając dany moment obrotowy M ) z równowagi tarczy hamulcowej - patrz układ II.- rys 4.
str. 14
as
Układ II  równowaga sił przyłożonych do tarczy hamulcowej
Rys.4. Siły działające na tarczę hamulcową.
Siła tarcia T wywoła moment tarcia przeciwny do moment obrotowego M.
str. 15
Warunek równowagi momentów sił wzgl. bieguna O
(1) =
"M = 0 �! M - T �" D O
O
2
(2)T = � �" N, podstawimy(2) do (1) i otrzymujemy
D
(3)M = � �" N �" = 0,5� �" N �" D,
2
Nacisk N obliczymy :
M 2M
(4) N = =
0,5� �"�"D, � �"�"D
Ostatecznie wstawiając zależność (4) z układu II do przepisu ( 3) na siłę hamującą F otrzymamy:
2M
N �"(a - � �" c)�"(a - � �" c) 2M (a - � �" c)
� �" D
F = = =
� �" D (a + b)
a + b a + b
str. 16
 PROBLEMATYKA TARCIA W WYBRANYCH PARACH KINEMATYCZNYCH
2. Tarcie cięgna o koło ( krążek). Zależność Eulera
Do cięgien zaliczamy elementy wiotkie łatwo odkształcalne np. ; liny, pasy, łańcuchy. Elementy te wykorzystuje się w krążkach i wielokrążkach,
przekładniach pasowych, łańcuchowych, hamulcach taśmowych.
1. Rozpatrzmy giętkie nierozciągliwe cięgno( pas) opasujące nieruchomy krążek (bęben) wzdłuż łuku AB, któremu odpowiada kąt środkowy Ć,
zwany kątem opasania, Jeden z końców obciążono siłą S1. Jeżeli pomijamy zjawisko tarcia to zachodzi równość S1 = S2
Ć
B
Rys.1. Siły w cięgnie bez uwzględnienia tarcia - wtedy S1= S2
str. 17
2. Rozpatrzmy giętkie nierozciągliwe cięgno( pas) opasujące nieruchomy krążek (bęben) wzdłuż łuku AB, któremu odpowiada kąt środkowy Ć,
zwany kątem opasania, Jeden z końców obciążono siłą S1.
Pytamy : jaka jest zależność między siłami - napięciami S1, S2 jeżeli uwzględnimy zjawisko tarcia cięgna o krążek
Ć
Ć
B
B
Rys.2.Siły w cięgnie z uwzgl. tarcia przy obrocie koła w lewo
Rys.3. Siły w cięgnie z uwzgl. tarcia przy obrocie koła w prawo
Między kołem i cięgnem występuje siła tarcia T, bowiem cięgno jest dociskane i wciągane siłą S1 na koło zgodnie z kierunkiem ruchu obrotowego n
(tkzw. czynna strona cięgna). Siła nacisku początkowo rośnie, aby osiągnąć swoje minimum przy zejściu cięgna z koła (bierna strona cięgna) - siła
S2.
Przypuszczamy - skoro zmienia się siła nacisku cięgna to siły S2 , S1 nie są sobie równe i różnią się o wartość siły tarcia.
Zachodzą równania:
str. 18
(1), S1 = S2 + T
Związek między napięciami - siłami po stronie czynnej i biernej ujmuje wzór Eulera
(2) S1 = S2 e� Ć
S1, napięcie w stronie czynnej cięgna, S2, napięcie w stronie biernej cięgna,
Ć - kąt opasania, e = 2,71 podstawa logarytmu naturalnego (neperowskiego), � - współczynnik tarcia
Uwagi: wzór Eulera wskazuje, jak szybko wzrasta tarcie cięgna o koło. Pokażmy to na przykładzie np. bębna linowego na który nawijana jest lina.
Podwojenie kąta opasania Ć powoduje podniesienie do kwadratu wartości , przy opasaniu zaś trzykrotnym Ć=6? i dla współczynnika tarcia �=0,5
napięcie po stronie czynnej S1 wyniesie około 12400 S2 co praktycznie uniemożliwia przesunięcie liny na bębnie linowym.
To zjawisko wykorzystuje się również przy zamocowaniu lin okrętowych na palach
str. 19
Rys.4. Lina nawinięta na pal.
str. 20
 PROBLEMATYKA TARCIA W WYBRANYCH PARACH KINEMATYCZNYCH
I. Tarcie w przekładni pasowej
Najprostsza przekładnia pasowa (otwarta) składa się z dwóch kół( zwanych kołami pasowymi) nie mających punktów stycznych, opasanych wspólnym cięgnem
w postaci pasa - rys.1. Zadaniem przekładni jest przekazywanie momentu obrotowego z koła napędzającego (czynnego) na koło napędzane (bierne).
Przekazywanie następuje dzięki tarciu występującemu między obwodem koła pasowego, a pasem.
as
n1
n2
1
2
Rys.1. Przekładnia cierna pasowa otwarta .
Oznaczenia: 1- koło napędzające o średnicy D1, 2. - koło napędzane o średnicy D2 , Ć- kąt opasania, n1,2 - prędkości obrotowe koła
czynnego i biernego [obr/min]
str. 21
 1. Istota działania przekładni - analiza sił
1.1 Pr z e k ł a dni a w s poc z y nk u. Dokonajmy analizy w oparciu o rys.2. Długość pasa jest tak dobrana, że po jego montażu występuje w nim
pewne napięcie wstępne. Dopóki koła przekładni nie obracają się, napięcie ( siła wewnętrzna) w dolnej części pasa S1 jest równa napięciu S2 w górnej części
pasa.
as
1
2
Rys.2. Przekładnia cierna pasowa otwarta - w spoczynku występuje równość napięć w pasie S1 = S2
Oznaczenia: 1- koło napędzające o średnicy D1, 2. - koło napędzane o średnicy D2 ,Ć- kąt opasania, S1- napięcie
w części czynnej pasa, S2 - napięcie w części biernej pasa.
str. 22
 1 . 2 . P r z e k ł a d n i a w r u c h u . Analizy dokonamy w oparciu o myślowy przekrój prze pas (Rys.3). Po uruchomieniu przekładni
tarcie pasa o koła
zmienia stosunek między napięciami ( pas w dolnej części jest naciągany na koło, zaś w górnej części pas zchodzi z koła - maleje nacisk).
Występuje tutaj zależność określona przez Eulera : S1 = S2 e � Ć .
Siła tarcia przyłożona do pasa - patrz rys.3, a pochodząca od koła napędzającego (1), ma zwrot przeciwny niż siła tarcia przyłożona do koła.
To ta siła ciągnie pas w kierunku nadawanym mu przez koło napędzające (czynne).
Siła tarcia przyłożona do pasa na kole biernym (2) ma zwrot przeciwny, bowiem na tym kole elementem napędzającym jest pas
as
1
2
Rys.3. Przekładnia cierna pasowa otwarta - układ sił w ruchu, występuje nierówność napięć w pasie, S1 =S2 e � Ć
Oznaczenia: 1- koło napędzające o średnicy D1, 2. - koło napędzane o średnicy D2 ,Ć- kąt opasania, S1 - napięcie
w części czynnej pasa, S2 - napięcie w części biernej pasa, M1-moment obrotowy na kole czynnym, M2 - moment obrotowy na kole
biernym
!!!
str. 23
1.3 Obliczenie napięć S1, S2 w pasie przy następujących danych: moment obrotowy na kole czynnym = M1, średnice kół = D1 i D2,
kąt opasania = Ć, współczynnik tarcia = �.
Rozważmy równowagę koła napędzającego 1 w oparciu o rys.4. Aby koło 1, znajdowało się w spoczynku, to jego moment obrotowy M1 musi być
zrównoważony takim samym momentem, lecz o przeciwnym zwrocie. Tym momentem jest moment tarcia pasa o koło -patrz poniżej równanie 1.
as
1
Rys.4 Siły działające na pas i koło czynne
str. 24
 Warunek analityczny równowagi momentów :obrotowego i tarcia,
D
(1), M = 0 �! M - M = 0, ale M = T �"
" o1 T 1 T
2
D
(2), T �" = M ,
1
2
(3) M = 0,5 �"T �" D
1
Siłę T określimy z zależności
(4) T = S1 - S2
otrzymując wartość momentu obrotowego:
(5) M1 = 0.5 (S1-S2)�" D1 , teraz wykorzystujemy wzór Eulera: S1 = S2 e�D
(6) M1 = 0.5�" D1(S2 �"e��"Ć - S2)= 0.5�" D1 �" S2(e��"Ć -1),
stąd poszukiwane napięcia :
str. 25
M
1
(7) S2 =
� �"Ć
0.5 �" D1(S2 �" e - S2 )
Wnioski:
takie napięcia - siły wewnętrzne są potrzebne, aby przekładnia przeniosła moment obrotowy M1 .
Ponadto znajomość tych napięć pozwala obliczyć wymiary poprzeczne pasa oraz jej moc.
str. 26