08 Współrzędne helio i barycentryczneid 7322

Rozdział 8

Współrz˛edne helio- i barycentryczne

Streszczenie

Poło˙zenia gwiazd wyznaczone z obserwacji wykonanych z powierzchni orbituj ˛

acej wokół Sło´nca Ziemi,

wykazuj ˛

a cykliczne zmiany. Zmiany te s ˛

a zło˙zeniem dwóch zjawisk: paralaksy i aberracji rocznej. Par-

alaksa roczna gwiazd jest niewielkim k ˛

atem, zawsze mniejszym od

, który zale˙zy od odległo´sci gwiazda

obserwator. Z tego powodu paralaksa ma fundamentalne znaczenie w wyznaczaniu odległo´sci do gwiazd.
Metoda paralaksy trygonometrycznej jest metod ˛

a podstawow ˛

a, słu˙z ˛

ac ˛

a do kalibrowania innych sposobów

wyznaczania odległo´sci do gwiazd. Aberracja roczna powoduje zmiany współrz˛ednych gwiazd niezale˙znie
od ich oddalenia od obserwatora. S ˛

a to zmiany du˙ze dochodz ˛

ace do około

. Przybli˙zony opis paralaksy

i aberracji rocznej w ekliptycznym układzie współrz˛ednych pozwala, dla ka˙zdej gwiazdy, na wyprowadze-
nie równa´n tzw. paralaktycznych i aberracyjnych elips, czyli trajektorii po których, na skutek omawianych
zjawisk, w ci ˛

agu roku przemieszcza si˛e obserwowane poło˙zenie gwiazdy. Elipsy te ró˙zni ˛

a si˛e rozmiarami,

a odbywaj ˛

acy si˛e po nich ruch paralaktyczny obrazu gwiazdy jest przesuni˛ety w fazie w stosunku do ruchu

aberracyjnego.
Aberracja roczna jest konsekwencj ˛

a niezerowej pr˛edko´sci obserwatora.

W przypadku gwiazd druga

poprawka aberracyjna, tzw. aberracja wiekowa jest ignorowana w trakcie przej´scia z geocentrum do barycen-
trum Układu Słonecznego. Jest to poprawka wynikaj ˛

aca z niezerowj wzgl˛edem obserwatora pr˛edko´sci samej

gwiazdy, wskutek czego, w interwale czasu jaki kwant promieniowania potrzebuje na przebycie odległo´sci
gwiazda obserwator — gwiazda zmienia poło˙zenie. Inaczej ma si˛e sprawa dla ciał z Układu Słonecznego.
Tutaj poprawka z tytułu czasu propagacji ´swiatła musi by´c zawsze uwzgl˛edniona. Poprawka ł ˛

aczna obejmu-

j ˛

aca aberacj˛e roczn ˛

a i czas propagacji nosi nazw˛e aberacji planetarnej.

W czasach współczesnych formuły transformacyjne przej´scia geo-barycentrum uwzgl˛edniaj ˛

a pełn ˛

a aberracj˛e

roczn ˛

a — czyli skutek ruchu obserwatora po orbicie eliptycznej. W przeszło´sci, do roku

1984

, stosowano

podej´scie uproszczone, polegaj ˛

ace na usuwaniu ze współrz˛ednych geocentrycznych jedynie tzw. aberracji

kołowej, pozostawiaj ˛

ac te cz˛e´sci poprawek, które były konsekwencj ˛

a eliptyczno´sci ziemskiej orbity. Po-

zostawione cz˛e´sci poprawki aberracyjnej okre´slano mianem aberracyjnych członów

. Wszystkie ´srednie

miejsca katalogowe gwiazd, wyliczone przed rokiem 1984 zawieraj ˛

a nieusuni˛ete człony

Słowa kluczowe: współrz˛edne heliocentryczne i barycentryczne, paralaksa roczna, aberracja roczna, aber-
racja planetarna, aberracyjne człony

, parsek.

100

Współrz˛edne helio- i barycentryczne

r’

Rysunek 8.1: Paralaksa roczna. Poło˙zenie gwiazdy

obserwowane przez obserwatorów znajdu-

j ˛

acych si˛e w punktach

ró˙zni si˛e o k ˛

at paralaksy

8.1

Paralaksa roczna

Omówimy transformacj˛e współrz˛ednych ciał niebieskich z miejsca geocentrycznego do heliocentrycznego
lub barycentrycznego, czyli do ´srodka masy Sło´nca lub ´srodka masy Układu Planetarnego. Potrzebna do
tego celu poprawka paralaktyczna zwana w tym przypadku paralaks ˛

a gwiazdow ˛

a, gra kluczow ˛

a rol˛e przy

wyznaczaniu odległo´sci do gwiazd.

Niech na rysunku 8.1 punkt

oznacza obserwowany obiekt,

barycentrum Układu Planetarnego,

´srodek Ziemi. Oznaczmy przez

barycentryczne wektory poło˙zenia obiektu i Ziemi, odpowiednio.

Niech

b˛edzie geocentrycznym wektorem poło˙zenia obiektu. Oczywi´scie

(8.1)

Jest to dokładne równanie, i je´sli

oznacza ciało z Układu Słonecznego tak ˛

a posta´c równania nale˙zy za-

chowa´c w zastosowaniach praktycznych. Gdy mamy do czynienia z gwiazdami mo˙zna dokona´c pewnych
uproszcze´n.

K ˛

at pomi˛edzy wektorami

nazywany jest paralaks ˛

a roczn ˛

. W interwale jednego roku k ˛

at ten

zmienia si˛e wraz ze zmianami poło˙zenia Ziemi na orbicie. Dla trójk ˛

ata

, z twierdzenia sinusów wynika

sin

(8.2)

gdzie

elongacja gwiazdy (k ˛

). Ze wzgl˛edu na konieczno´s´c standaryzacji paralaksa roczna gwiazdy

definiowana jest jako k ˛

sin

(8.3)

przy czym odległo´s´c

wyra˙zona jest w jednostkach astronomicznych.

Zatem, paralaksa

odpowiada warunkom, w których

U℄;

. Na przestrzeni roku, w

efekcie zjawiska paralaksy gwiazda opisuje na sferze elips˛e o półosi wielkiej w przybli˙zeniu równej

Paralaksy roczne gwiazd s ˛

a bardzo małe, nie znamy ani jednego przypadku gwiazdy z paralaks ˛

wi˛ek-

sz ˛

a od

dlatego, na podstawie równania (8.3), przy zachowaniu du˙zej dokładno´sci, odległo´s´c gwiazdy

mo˙ze by´c okre´slona formuł ˛

(8.4)

Oznaczenie to wprowadza nieco zamieszania i dlatego nale˙zy zachowa´c ostro˙zno´s´c aby nie pomyli´c paralaksy rocznej

z oznaczeniem liczby niewymiernej

3:1415:::

8.2 Aberacja roczna

101

gdzie

wyra˙zone jest w parsekach. Parsek jest to odległo´s´c odpowiadaj ˛

aca paralaksie

. Gdyby

w formule (8.4)

było wyra˙zone w radianach, wówczas

byłoby w jednostkach astronomicznych. Aby

w równaniu (8.4)

było w parsekach, paralaksa

musi by´c podstawiona w sekundach łuku. Zachodz ˛

nast˛epuj ˛

ace zwi ˛

azki

206265

U℄

3:2616

[lat

wietln

h℄

3:0857

[km℄

(8.5)

Wspomniano ju˙z, ˙ze wobec bardzo małych warto´sci paralaksy istnieje mo˙zliwo´s´c przybli˙zenia zale˙zno´sci
(8.1). Niech

b˛ed ˛

a wersorami wektorów

’, mamy wi˛ec

Mno˙z ˛

ac to równanie dwukrotnie wektorowo przez

, stosuj ˛

ac prawa iloczynu wektorowego b˛edziemy mieli

)

((s

s)s

)

R))

Kład ˛

, uwzgl˛edniaj ˛

ac (8.4) dostaniemy

R))

a po ponownym wykorzystaniu twierdze´n iloczynu wektorowego

((s

(8.6)

We współrz˛ednych równikowych, składowe wektora

poło˙zenia Ziemi oraz wersora

wynosz ˛

;

)

( os

;

sin

;

sin

)

Ró˙zniczkuj ˛

ac składowe wersora

mamy

(

sin

dÆ

;

sin

dÆ

;

dÆ

)

Składowe równania wektorowego (8.6) maj ˛

a zatem posta´c

sin

dÆ

((s

);

sin

dÆ

((s

sin

);

dÆ

((s

sin

)

Z dwóch pierwszych równa´n dostaniemy

sin

);

dÆ

sin

)

(8.7)

Paralaks˛e

wyra˙zono w sekundach łuku, zatem

b˛edzie w sekundach czasowych,

dÆ

w sekundach łuku.

8.2

Aberacja roczna

Wyprowadzenie poprawki na aberracj˛e roczn ˛

a jest bardzo podobne do poprawki na przesuni˛ecie paralak-

tyczne. Wyprowadzimy wzory na klasyczn ˛

a, uproszczon ˛

a poprawk˛e pierwszego rz˛edu. Szybko´s´c orbitalna

Ziemi wynosi

km=s

co stanowi

szybko´sci ´swiatła. Oznacza to, ˙ze aberracyjne przemieszczenie b˛e-

dzie rz˛edu

radianów, co odpowiada około

łuku. Dlatego efekty drugiego rz˛edu (s ˛

a one na poziomie

radianów) nie zawsze s ˛

a zaniedbywalne, szczególnie w precyzyjnych pracach astrometrycznych. Jed-

nak udokładnianie klasycznego podej´scia mija si˛e z celem, gdy˙z efekty relatywistyczne s ˛

a tego samego rz˛edu

co drugi wyraz rozwini˛ecia klasycznego.

Na rysunku 8.1, wektor

odpowiada kierunkowi, w którym gwiazda

byłaby widziana przez obser-

watora znajduj ˛

acego si˛e w punkcie

, ale pozostaj ˛

acego w spoczynku wzgl˛edem barycentrum

. Niech

102

Współrz˛edne helio- i barycentryczne

kierunek do tej gwiazdy, gdy mamy do czynienia ruchem obserwatora, czyli z aberracj ˛

a okre´slony jest przez

wersor

. Stosuj ˛

ac wzory pierwszego rz˛edu na przesuni˛ecie aberracyjne (patrz podrozdział 4.5), podstawia-

j ˛

ac w nich za

pr˛edko´s´c Ziemi

, otrzymamy

(8.8)

Zmieniaj ˛

przez jego kierunek barycentryczny

, nie poniesiemy istotnego uszczerbku na precyzji wyz-

naczanej poprawki, otrzymamy wówczas

(

s)s)

(8.9)

Jak wida´c formuła (8.6) ró˙zni si˛e od (8.9) tym, ˙ze wektor poło˙zenia

zast ˛

apiono w (8.9) pochodn ˛

a paralaks˛e

przez

. Dlatego po dokonaniu stosownych zmian w równaniach (8.7), mo˙zemy wyrazi´c

aberacyjny przyrost

we współrz˛ednych

;

jako

(

sin

)

dÆ

(

sin

)

(8.10)

W równaniu (8.10) szybko´s´c ´swiatła i składowe

musz ˛

a by´c wyra˙zone w identycznych jednostkach. W

systemie stałych astronomicznych szybko´s´c wyra˙za si˛e w jednostkach

U=doba

. W tych jednostkach

173:14

U=doba℄

(8.11)

W powy˙zszym wywodzie milcz ˛

aco przyj˛eto, ˙ze ´zródło promieniowania ma pr˛edko´s´c równ ˛

a zeru wzgl˛edem

barycentrum Układu Słonecznego. Co oczywi´scie nie jest prawd ˛

a. Pr˛edko´sci gwiazd ujawniaj ˛

a si˛e przecie˙z

w ich ruchach własnych, a te s ˛

a czym´s bardzo powszechnym.

A zatem poprawienie obserwowanego poło˙zenia gwiazdy na paralaks˛e i aberracj˛e metod ˛

a dopiero co

opisan ˛

a, nie daje geometrycznej barycentrycznej pozycji na moment obserwacji powiedzmy

. Opisana

tutaj redukcja daje poło˙zenie jakie gwiazda zajmowała o interwał

wcze´sniej. Czas

jest czasem propagacji

´swiatła pomi˛edzy gwiazd ˛

a i obserwatorem. W celu otrzymania geometrycznego poło˙zenia na moment

musimy do obliczonej podan ˛

a wy˙zej metod ˛

a pozycji doda´c rezultat iloczynu

wasn

Poprawka ta nazywana jest aberracj ˛

a wiekow ˛

a. Ze wzgl˛edu na du˙ze niepewno´sci w pomiarach odległo´sci

gwiazd, tym samym i du˙ze niepewno´sci w

w praktyce poprawka ta nie jest brana pod uwag˛e. St ˛

ad, przy-

czynek od aberracji wiekowej tkwi w tym co rozumiemy pod poj˛eciem barycentryczne poło˙zenie gwiazdy.

Poprawka czasu propagacji ´swiatła nie mo˙ze by´c ignorowana w przypadku ciał z Układu Słonecznego.

Dla tych ciał mówimy o tzw. aberracji planetarnej, rozumiej ˛

ac przez to ł ˛

aczny efekt zmiany geocen-

trycznego poło˙zenia, powodowany zarówno, niezerow ˛

a pr˛edko´sci ˛

a obserwatora jak i ´zródła. Mamy wówczas

pełn ˛

a poprawk˛e od miejsca widomego do geometrycznego. Poprawka za aberracj˛e roczn ˛

a uwgl˛ednia jedynie

wpływ ruchu ´srodka Ziemi wzgl˛edem barycentrum Układu Słonecznego.

8.3

Przybli˙zone formuły na paralaks˛e i aberracj˛e

Przesuni˛ecia paralaktyczne gwiazd nigdy nie przekraczaj ˛

a jednej sekundy łuku. Dlatego w równaniu (8.7),

w składowych

;

)

mo˙zna ograniczy´c si˛e do trzech cyfr znacz ˛

acych bez powa˙znego uszczerbku w

precyzji wyznaczanych przyrostach

dÆ

. Mo˙zemy wi˛ec wykorzysta´c uproszczone formuły na wektor

poło˙zenia Ziemi

Rozró˙znienie pomi˛edzy geocentrum i barycentrum układu Ziemia-Ksi˛e˙zyc jak dot ˛

ad nie jest nigdy potrzebne,

a dla wi˛ekszo´sci gwiazd podobnie ma si˛e sprawa je´sli chodzi o ´srodek Sło´nca i barycentrum Układu Plane-
tarnego.

Mimo´sród orbity Ziemi wynosi około

1=60

, i je´sli nie interesuj ˛

a nas paralaksy mniejsze od

wystar-

czy przyj ˛

a´c orbit˛e Ziemi jako kołow ˛

Nast˛epny krok polega na zastosowaniu współrz˛ednych ekliptycznych zamiast równikowych. W tych

współrz˛ednych, je´sli

jest prawdziw ˛

a długo´sci ˛

a Sło´nca to wektor poło˙zenia Ziemi

ma składowe

(

;

sin

;

(8.12)

8.3 Przybli˙zone formuły na paralaks˛e i aberracj˛e

103

G’

Rysunek 8.2: Elipsa paralaktyczna, geocentryczne poło˙zenie gwiazdy

w przeci ˛

agu roku prze-

mieszcza si˛e po elipsie. ´Srodek elipsy odpowiada barycentrycznemu poło˙zeniu gwiazdy.

Kład ˛

ac te składowe do równania (8.7), zast˛epuj ˛

(;

)

przez

(;

)

, wówczas zmiany współrz˛ednych ek-

liptycznych spowodowane paralaks ˛

a opisane b˛ed ˛

a formułami

sin(

)

sin

os(

)

(8.13)

Niech

b˛ed ˛

a składowymi przesuni˛ecia paralaktycznego gwiazdy w kierunkach równoległym i prostopadłym

do ekliptyki (rysunek 8.2),

W okresie roku k ˛

(

)

przebiega warto´sci z przedziału

[0;

360

℄

, eliminuj ˛

ac ten k ˛

at z równania (8.13),

otrzymujemy równanie widomego ´sladu kre´slonego przez gwiazd˛e na sferze niebieskiej w ci ˛

agu roku

sin

(8.14)

Jest to elipsa paralaktyczna o półosi wielkiej

, półosi małej

sin

(patrz rysunek 8.2). Póło´s wielka jest

równoległa do płaszczyzny ekliptyki.

Niskiej precyzji formuły na aberracj˛e roczn ˛

a otrzymamy w podobny sposób. Ograniczamy si˛e do helio-

centrycznej orbity Ziemi uwzgl˛edniaj ˛

ac jej eliptyczno´s´c przez proste podstawienie

(8.15)

gdzie wektor

to składowa poprzeczna o stałej długo´sci, natomiast

to składowa równoległa do półosi

małej wektora pr˛edko´sci Ziemi. Z teorii ruchu orbitalnego Ziemi mamy

(sin

;

(

sin

;

(8.16)

gdzie

— mimo´sród,

długo´s´c w˛ezła wst˛epuj ˛

acego,

długo´s´c perihelium orbity Ziemi.

Przyczynki

daje si˛e rozpatrywa´c oddzielnie. Kład ˛

ac składow ˛

do równania (8.10), po zami-

anie

(;

)

(;

)

dostaniemy uproszczone formuły na zmiany współrz˛ednych gwiazdy

os (

)

sin

sin(

)

(8.17)

gdzie

jest bezwymiarowym stosunkiem

, jest to tzw. stała aberracji. Zgodnie z teori ˛

a ruchu orbitalnego

Ziemi wynosi ona

a(1

1=2

(8.18)

104

Współrz˛edne helio- i barycentryczne

gdzie

— stała Gaussa,

masa Ziemi,

oraz

— póło´s wielka i mimo´sród orbity Ziemi. Stała

nie jest

stał ˛

a absolutn ˛

a bowiem mimo´sród

wykazuje drobne wiekowe zmiany. W systemie stałych MUA z roku

1976

, warto´sci ˛

na epok˛e

2000:0

jest

20:

49552

(8.19)

Analiza formuł (8.17) ukazuje, ˙ze gwiazda wokół swej pozycji heliocentrycznej, opisuje na sferze elips˛e
aberracyjn ˛

a o półosi wielkiej równoległej do płaszczyzny ekliptyki. Póło´s wielka elipsy równa jest

, mi-

mo´sród elipsy aberacyjnej wynosi

sin

Przesuni˛ecie aberracyjne od pr˛edko´sci

otrzyma´c mo˙zna podobnie za pomoc ˛

a równa´n (8.10), w

rezultacie zmiany współrz˛ednych ekliptycznych maj ˛

a posta´c

os (

)

sin

sin (

)

(8.20)

Warto´sci te znane s ˛

a jako tzw. człony

aberracji rocznej. S ˛

a one niezale˙zne od długo´sci Sło´nca i st ˛

nie wykazuj ˛

a zmian rocznych. Składowe przesuni˛e´c danych wzorami (8.20) maj ˛

a amplitud˛e

343

powoduj ˛

a one przesuni˛ecie całej elipsy aberracyjnej o stał ˛

a wielko´s´c. Człony

, nie s ˛

a jednak stałymi abso-

lutnymi dla danej pary

(;

)

, wykazuj ˛

a bowiem pewne zmiany wiekowe.

Dygresja historyczna

Do roku

1960

przesuni˛ecie aberracyjne było obliczane zgodnie z tym co powidziano wy˙zej, bowiem nie

odró˙zniano barycentrum od ´srodka Sło´nca a wpływy od

wyznaczano osobno. W widomych miejs-

cach gwiazd nie uwzgl˛edniano poprawek danych wzorami (8.20), poprawki te, zwane członami

, tkwiły w

tzw. poło˙zeniach heliocentrycznych gwiazd.

Takie podej´scie praktykowano zarówno w katalogach gwiazd jak i w rocznikach astronomicznych. St ˛

w katalogowych tzw. miejscach ´srednich gwiazd wcielone były człony

. Roczniki podawały współczynniki

dla transformacji od miejsca widomego do ´sredniego, ignoruj ˛

ac człon

. Transformacje opierały si˛e jedynie

na formule (8.17).

1960

, ze wzgl˛edu na wzrost precyzji obserwacji nale˙zało dokona´c modyfikacji, a wi˛ec byłoby po˙z ˛

aadanym

by w poło˙zeniach publikowanych w rocznikach astronomicznych poprawki aberracyjne obliczano według
pełnych formuł. Ale jednocze´snie w u˙zyciu były stare katalogi, st ˛

ad poczyniono jedynie pewien kompromis.

Współczynniki aberracyjne obliczano najpierw ´sci´sle, z pr˛edko´sci Ziemi wzgl˛edem barycentrum, po czym
usuwano z nich aberracyjne człony

. W ten sposób mo˙zna było porównywa´c ´srednie miejsca katalogowe z

rocznikowymi.

1976

roku MUA wydała zalecenie by w przyszło´sci do miejsc ´srednich nie wł ˛

acza´c aberracyjnych

członów

. Zadecydowano te˙z, ˙ze aberracja roczna b˛edzie obliczania ´sci´sle, w oparciu o pr˛edko´s´c Ziemi

wzgl˛edem barycentrum Układu Planetarnego. Od roku

1984

Astronomical Almanac podaje współczynniki

aberracyjne obliczone wła´snie w taki sposób.

8.4

Aberracja planetarna

Umownie, aberracja planetarna oznacza całkowity wpływ ruchu obserwatora i ´zródła na poło˙zenie dowol-
nego ciała poruszaj ˛

acego si˛e wewn ˛

atrz Układu Słonecznego. Obejmuje on aberracj˛e roczn ˛

a powodowan ˛

przez pr˛edko´s´c orbitaln ˛

a Ziemi, oraz poprawk˛e powstał ˛

a w wyniku ruchu np. planety w czasie interwału

od emisji z powierzchni planety kwantu promieniowania do jego rejestracji na powierzchni Ziemi. Wpływ
aberracji rocznej dany jest równaniem (8.9), wyra˙zenie na poprawk˛e czasu propagacji podane jest poni˙zej.
Zakładamy, ˙ze obserwacji planety dokonano w momencie

. Niech na rysunku 8.3 punkty

Z ;

b˛ed ˛

poło˙zeniami barycentrum, Ziemi i planety odpowiednio, wszystkie poło˙zenia w momencie

Niech

b˛ed ˛

a barycentrycznymi wektorami poło˙ze´n planety i Ziemi, oznaczmy jeszcze wektor

przez

jsj

. Wektor

, daje geometryczny kierunek do planety w momencie

. Oczywi´scie

(8.21)

Ale obserwowany kwant promieniowania nie został wyemitowany w miejscu

lecz w poło˙zeniu

, w

którym planeta znajdowała si˛e w momencie

)

8.4 Aberracja planetarna

105

000

111

000000

111111

000000

111111

P’

s’

’

Rysunek 8.3: Aberacja planetarna. Punkt

odpowiada miejscu geometrycznemu planety, punkt

miejscu astrometrycznemu, wersor

wskazuje na poło˙zenie planety obserwowane przez ob-

serwatora poruszaj ˛

acego si˛e wraz Ziemi ˛

a ruchem rocznym.

Oznaczmy wektor

przez

. Wersor

okre´sla kierunek do planety poprawiony na aberracj˛e roczn ˛

ale nie na czas propagacji.

Przy takich zało˙zeniach, mamy sytuacj˛e kompatybiln ˛

a z równaniem (8.8), w

którym

rozumie´c nale˙zy jako widomy kierunek do planety. Na podstawie równania (8.8), przesuni˛ecie

aberracyjne z wystarczaj ˛

ac ˛

a dokładno´sci ˛

a wynosi teraz

(8.22)

gdzie

zast ˛

apiono po prawej stronie przez

Dołó˙zmy teraz ruch planety, z

w czasie

. Je˙zeli pominiemy w tym interwale przyspieszenie

planety, mo˙zemy poło˙zy´c, ˙ze wektor

, a w konsekwencji

(8.23)

Jest to dokładne (przy zało˙zeniu

) wyra˙zenie na poprawk˛e z tytułu czasu propagacji. Mno˙z ˛

ac je

dwukrotnie przez

, wykorzystaj ˛

ac twierdzenia rachunku wektorowego, otrzymamy

r )

Skoro

, oraz

, to z dokładno´sci ˛

a do rz˛edu pierwszego, poprawka na czas propagacji ma

posta´c

r )

(8.24)

Równanie to jest bardzo podobne do równania (8.22) na aberracj˛e roczn ˛

a, ł ˛

acz ˛

ac te dwa równania dostaniemy

poprawk˛e na aberracj˛e planetarn ˛

a w postaci

[(s

(

R)℄

(8.25)

Jak wida´c zmiana poło˙zenia planety w efekcie aberracji planetarnej zale˙zy tylko od wzgl˛ednej pr˛edko´sci
Ziemi i planety.

otrzymano z

po dodaniu do´n poprawki na aberracj˛e roczn ˛

a. Natomiast nie poprawiono

na aberracj˛e planetarn ˛

106

Współrz˛edne helio- i barycentryczne

Ró˙zniczkuj ˛

ac równanie (8.21) mamy

Podstawiaj ˛

ac praw ˛

a stron˛e do równania (8.25), zauwa˙zaj ˛

ac, ˙ze

, kład ˛

otrzymamy

wyj ˛

atkowo prosty wzór

(8.26)

Poprawka na aberracj˛e planetarn ˛

a jest wiec wyj ˛

atkowo łatwa do obliczenia, łatwiejsza ni˙z wyliczenie ka˙zdej

z jej składowych z osobna.

Podsumowuj ˛

ac, widome miejsce planety obliczamy nast˛epuj ˛

aco:

w kroku pierwszym nale˙zy obliczy´c jej geocentryczn ˛

a efemeryd˛e, tzn. współrz˛edne

(;

)

oraz geo-

centryczn ˛

a odległo´s´c

. B˛ed ˛

a to współrz˛edne odpowiadaj ˛

ace wersorowi

. Po czym z wystarczaj ˛

ac ˛

dokładno´sci ˛

a obliczamy czas propagacji

w kroku drugim wyliczamy współrz˛edne widome

(

;

)

, w tym celu korzystamy z formuł

dÆ

(8.27)

Problem odwrotny, wyznaczenia barycentrycznego miejsca planety z jej miejsca widomego jest nieco bardziej
zło˙zony. Musi on obejmowa´c wyznaczenie orbity planety. W tym celu równanie (8.26) mo˙zna nieco zmody-
fikowa´c, otrzymuj ˛

ac wyra˙zenie na

ze wzgl˛edu na

, mianowicie

(8.28)

Główna trudno´s´c polega na tym, ˙ze czas propagacji nie jest znany a priori. St ˛

ad, zanim b˛edzie mo˙zna

obliczy´c poprawki z tytułu aberracji planetarnej, trzeba dokona´c pewnych oszacowa´n. W tym celu dokonu-
jemy jeszcze jednego uproszczenia, mianowicie bierzemy współrz˛edne widome takimi jakimi s ˛

a i antydatu-

jemy moment obserwacji o pewien interwał

, i dalej, z co najmniej trzech obserwacji wyznaczamy or-

bit˛e planety, po czym obliczamy now ˛

a lepsz ˛

a warto´s´c

. Porces powtarzamy a˙z do uzyskania zbie˙zno´sci

rozwi ˛

azania na

8.5

Zadanka na ´cwiczenia

1. Dana gwiazda o

270

;

. Najwi˛eksza zmiana w długo´sci ekliptycznej gwiazdy z powodu

rocznej paralaksy wynosi

. Ile wynosi najwi˛eksza zmiana w szeroko´sci? Wyznacz momenty w

roku, dla których wyst˛epuj ˛

a maksymalna długo´s´c i szeroko´s´c, oraz oblicz odległo´s´c gwiazdy, przy

zało˙zeniu kołowej orbi- ty Ziemi.

2. Udowodnij, ˙ze istniej ˛

a dwa punkty na sferze niebieskiej, dla których efekt rocznej aberracji znika.

Poka˙z, ˙ze ich współrz˛edne rownikowe dane s ˛

a w przybli˙zeniu wzorami

ar tan( os

)

ar sin (sin

gdzie

jest prawdziw ˛

a długo´sci ˛

a Sło´nca.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
08 - Współrzędne helio, i barycentryczne
FP w 08
08 Elektrownie jądrowe obiegi
archkomp 08
02a URAZY CZASZKOWO MÓZGOWE OGÓLNIE 2008 11 08
ankieta 07 08
08 Kości cz Iid 7262 ppt
08 Stany nieustalone w obwodach RLCid 7512 ppt
2009 04 08 POZ 06id 26791 ppt
08 BIOCHEMIA mechanizmy adaptac mikroor ANG 2id 7389 ppt
depresja 08 09
W15 08 II
Szkol Ogólne 08 1pomoc

więcej podobnych podstron