Rozdział 8

Współrzędne helio- i barycentryczne

Streszczenie

Położenia gwiazd wyznaczone z obserwacji wykonanych z powierzchni orbitującej wokół Słońca Ziemi, wykazują cykliczne zmiany. Zmiany te są złożeniem dwóch zjawisk: paralaksy i aberracji rocznej. Paralaksa roczna gwiazd jest niewielkim kątem, zawsze mniejszym od 00, który zależy od odległości gwiazda 1

obserwator. Z tego powodu paralaksa ma fundamentalne znaczenie w wyznaczaniu odległości do gwiazd.

Metoda paralaksy trygonometrycznej jest metodą podstawową, służącą do kalibrowania innych sposobów wyznaczania odległości do gwiazd. Aberracja roczna powoduje zmiany współrzędnych gwiazd niezależnie od ich oddalenia od obserwatora. Są to zmiany duże dochodzące do około 00

. Przybliżony opis paralaksy

20

i aberracji rocznej w ekliptycznym układzie współrzędnych pozwala, dla każdej gwiazdy, na wyprowadze-nie równań tzw. paralaktycznych i aberracyjnych elips, czyli trajektorii po których, na skutek omawianych zjawisk, w ciągu roku przemieszcza się obserwowane położenie gwiazdy. Elipsy te różnią się rozmiarami, a odbywający się po nich ruch paralaktyczny obrazu gwiazdy jest przesunięty w fazie w stosunku do ruchu aberracyjnego.

Aberracja roczna jest konsekwencją niezerowej prędkości obserwatora.

W przypadku gwiazd druga

poprawka aberracyjna, tzw. aberracja wiekowa jest ignorowana w trakcie przejścia z geocentrum do barycentrum Układu Słonecznego. Jest to poprawka wynikająca z niezerowj względem obserwatora prędkości samej gwiazdy, wskutek czego, w interwale czasu jaki kwant promieniowania potrzebuje na przebycie odległości gwiazda obserwator — gwiazda zmienia położenie. Inaczej ma się sprawa dla ciał z Układu Słonecznego.

Tutaj poprawka z tytułu czasu propagacji światła musi być zawsze uwzględniona. Poprawka łączna obejmu-jąca aberację roczną i czas propagacji nosi nazwę aberacji planetarnej.

W czasach współczesnych formuły transformacyjne przejścia geo-barycentrum uwzględniają pełną aberrację roczną — czyli skutek ruchu obserwatora po orbicie eliptycznej. W przeszłości, do roku

, stosowano

1984

podejście uproszczone, polegające na usuwaniu ze współrzędnych geocentrycznych jedynie tzw. aberracji kołowej, pozostawiając te części poprawek, które były konsekwencją eliptyczności ziemskiej orbity. Po-zostawione części poprawki aberracyjnej określano mianem aberracyjnych członów

. Wszystkie średnie

E

miejsca katalogowe gwiazd, wyliczone przed rokiem 1984 zawierają nieusunięte człony

.

E

Słowa kluczowe: współrzędne heliocentryczne i barycentryczne, paralaksa roczna, aberracja roczna, aberracja planetarna, aberracyjne człony

, parsek.

E

100

Współrzędne helio- i barycentryczne

X

00

11

00

11

p

r

r’

Z

00

11

C

00

11

R

Rysunek 8.1: Paralaksa roczna. Położenie gwiazdy

obserwowane przez obserwatorów znajdu-

X

jących się w punktach

i

różni się o kąt paralaksy .

Z

C

p

8.1

Paralaksa roczna

Omówimy transformację współrzędnych ciał niebieskich z miejsca geocentrycznego do heliocentrycznego lub barycentrycznego, czyli do środka masy Słońca lub środka masy Układu Planetarnego. Potrzebna do tego celu poprawka paralaktyczna zwana w tym przypadku paralaksą gwiazdową, gra kluczową rolę przy wyznaczaniu odległości do gwiazd.

Niech na rysunku 8.1 punkt

oznacza obserwowany obiekt,

barycentrum Układu Planetarnego,

X

C

Z

środek Ziemi. Oznaczmy przez

i

barycentryczne wektory położenia obiektu i Ziemi, odpowiednio.

r

R

Niech 0 będzie geocentrycznym wektorem położenia obiektu. Oczywiście r

0

(8.1)

r

=

r

+

R

Jest to dokładne równanie, i jeśli

oznacza ciało z Układu Słonecznego taką postać równania należy za-X

chować w zastosowaniach praktycznych. Gdy mamy do czynienia z gwiazdami można dokonać pewnych uproszczeń.

Kąt pomiędzy wektorami

i 0 nazywany jest paralaksą roczną . W interwale jednego roku kąt ten r

r

p

zmienia się wraz ze zmianami położenia Ziemi na orbicie. Dla trójkąta

, z twierdzenia sinusów wynika

C

Z

X

R

(8.2)

sin

p

=

sin

Z

r

gdzie

elongacja gwiazdy (kąt

). Ze względu na konieczność standaryzacji paralaksa roczna gwiazdy Z

C

Z

X

definiowana jest jako kąt

1

1

(8.3)

sin

=

r

przy czym odległość

wyrażona jest w jednostkach astronomicznych.

r

Zatem, paralaksa

odpowiada warunkom, w których

Æ

. Na przestrzeni roku, w

R

=

1

[A

U℄;

Z

=

90

efekcie zjawiska paralaksy gwiazda opisuje na sferze elipsę o półosi wielkiej w przybliżeniu równej .

Paralaksy roczne gwiazd są bardzo małe, nie znamy ani jednego przypadku gwiazdy z paralaksą więk-

szą od 00 dlatego, na podstawie równania (8.3), przy zachowaniu dużej dokładności, odległość gwiazdy 1

może być określona formułą

1

(8.4)

r

=

1 Oznaczenie to wprowadza nieco zamieszania i dlatego należy zachować ostrożność aby nie pomylić paralaksy rocznej z oznaczeniem liczby niewymiernej

.

3:1415:::

8.2 Aberacja roczna

101

gdzie

wyrażone jest w parsekach. Parsek jest to odległość odpowiadająca paralaksie 00

. Gdyby

r

=

1

w formule (8.4)

było wyrażone w radianach, wówczas

byłoby w jednostkach astronomicznych. Aby

r

w równaniu (8.4)

było w parsekach, paralaksa

musi być podstawiona w sekundach łuku. Zachodzą

r

następujące związki

1

pr

=

206265

[A

U℄

(8.5)

1

pr

=

3:2616

[lat

wietln

y

h℄

13

1

pr

=

3:0857

10

[km℄

Wspomniano już, że wobec bardzo małych wartości paralaksy istnieje możliwość przybliżenia zależności (8.1). Niech

i 0 będą wersorami wektorów

i ’, mamy więc

s

s

r

r

0

0

r

s

r

s

=

R

Mnożąc to równanie dwukrotnie wektorowo przez , stosując prawa iloczynu wektorowego będziemy mieli s

0

s

s

(r

s)

s

s

(r

s

)

=

s

s

R

0

0

1

((s

s

)s

(s

s)s

)

=

r

(s

(s

R))

Kładąc

0

, uwzględniając (8.4) dostaniemy

s

s

1

0

s

s

=

(s

(s

R))

a po ponownym wykorzystaniu twierdzeń iloczynu wektorowego

(8.6)

ds

=

((s

R)

s

R)

We współrzędnych równikowych, składowe wektora

położenia Ziemi oraz wersora

wynoszą

R

s

R

=

(X

;

Y

;

Z

)

s

=

( os

os

Æ

;

sin

os

Æ

;

sin

Æ

)

Różniczkując składowe wersora

po

i

mamy

s

Æ

ds

=

(

sin

os

Æ

d

os

sin

Æ

dÆ

;

os

os

Æ

d

sin

sin

Æ

dÆ

;

os

Æ

dÆ

)

Składowe równania wektorowego (8.6) mają zatem postać

sin

os

Æ

d

os

sin

Æ

dÆ

=

((s

R)

os

os

Æ

X

);

os

os

Æ

d

sin

sin

Æ

dÆ

=

((s

R)

sin

os

Æ

Y

);

os

Æ

dÆ

=

((s

R)

sin

Æ

Z

)

Z dwóch pierwszych równań dostaniemy

d

=

se

Æ

(X

sin

Y

os

);

15

(8.7)

dÆ

=

(X

os

sin

Æ

+

Y

sin

sin

Æ

Z

os

Æ

)

Paralaksę

wyrażono w sekundach łuku, zatem

będzie w sekundach czasowych,

w sekundach łuku.

d

dÆ

8.2

Aberacja roczna

Wyprowadzenie poprawki na aberrację roczn ˛

a jest bardzo podobne do poprawki na przesunięcie paralaktyczne. Wyprowadzimy wzory na klasyczną, uproszczoną poprawkę pierwszego rzędu. Szybkość orbitalna Ziemi wynosi

co stanowi

4

szybkości światła. Oznacza to, że aberracyjne przemieszczenie bę-

30

km=s

10

dzie rzędu

4

radianów, co odpowiada około

00

łuku. Dlatego efekty drugiego rzędu (są one na poziomie

10

20

8

radianów) nie zawsze są zaniedbywalne, szczególnie w precyzyjnych pracach astrometrycznych. Jed-10

nak udokładnianie klasycznego podejścia mija się z celem, gdyż efekty relatywistyczne są tego samego rzędu co drugi wyraz rozwinięcia klasycznego.

Na rysunku 8.1, wektor 0 odpowiada kierunkowi, w którym gwiazda

byłaby widziana przez obser-

r

X

watora znajdującego się w punkcie

, ale pozostającego w spoczynku względem barycentrum

. Niech

Z

C

102

Współrzędne helio- i barycentryczne

kierunek do tej gwiazdy, gdy mamy do czynienia ruchem obserwatora, czyli z aberracją określony jest przez wersor . Stosując wzory pierwszego rzędu na przesunięcie aberracyjne (patrz podrozdział 4.5), podstawia-s

jąc w nich za

prędkość Ziemi _ , otrzymamy

V

R

1

0

0

0

_

(8.8)

ds

=

s

s

=

s

(s

R)

Zmieniając 0 przez jego kierunek barycentryczny , nie poniesiemy istotnego uszczerbku na precyzji wyz-s

s

naczanej poprawki, otrzymamy wówczas

1

_

_

(8.9)

ds

=

(R

(R

s)s)

Jak widać formuła (8.6) różni się od (8.9) tym, że wektor położenia zastąpiono w (8.9) pochodną _ ,

R

R

a paralaksę

przez

. Dlatego po dokonaniu stosownych zmian w równaniach (8.7), możemy wyrazić

1=

aberacyjny przyrost

we współrzędnych

jako

ds

;

Æ

1

_

_

d

=

se

Æ

(Y

os

X

sin

)

(8.10)

1

_

_

_

dÆ

=

(Z

os

Æ

X

os

sin

Æ

Y

sin

sin

Æ

)

W równaniu (8.10) szybkość światła i składowe _ muszą być wyrażone w identycznych jednostkach. W

R

systemie stałych astronomicznych szybkość wyraża się w jednostkach

. W tych jednostkach

A

U=doba

(8.11)

=

173:14

[A

U=doba℄

W powyższym wywodzie milcząco przyjęto, że źródło promieniowania ma prędkość równą zeru względem barycentrum Układu Słonecznego. Co oczywiście nie jest prawdą. Prędkości gwiazd ujawniają się przecież w ich ruchach własnych, a te są czymś bardzo powszechnym.

A zatem poprawienie obserwowanego położenia gwiazdy na paralaksę i aberrację metodą dopiero co opisaną, nie daje geometrycznej barycentrycznej pozycji na moment obserwacji powiedzmy

. Opisana

t

0

tutaj redukcja daje położenie jakie gwiazda zajmowała o interwał

wcześniej. Czas

jest czasem propagacji

światła pomiędzy gwiazdą i obserwatorem. W celu otrzymania geometrycznego położenia na moment

,

t

0

musimy do obliczonej podaną wyżej metodą pozycji dodać rezultat iloczynu

ru

h

wasn

y

Poprawka ta nazywana jest aberracj ˛

a wiekow ˛

a. Ze względu na duże niepewności w pomiarach odległości gwiazd, tym samym i duże niepewności w

w praktyce poprawka ta nie jest brana pod uwagę. Stąd, przy-

czynek od aberracji wiekowej tkwi w tym co rozumiemy pod pojęciem barycentryczne położenie gwiazdy.

Poprawka czasu propagacji światła nie może być ignorowana w przypadku ciał z Układu Słonecznego.

Dla tych ciał mówimy o tzw. aberracji planetarnej, rozumiejąc przez to łączny efekt zmiany geocentrycznego położenia, powodowany zarówno, niezerową prędkością obserwatora jak i źródła. Mamy wówczas pełną poprawkę od miejsca widomego do geometrycznego. Poprawka za aberrację roczną uwględnia jedynie wpływ ruchu środka Ziemi względem barycentrum Układu Słonecznego.

8.3

Przybliżone formuły na paralaksę i aberrację

Przesunięcia paralaktyczne gwiazd nigdy nie przekraczają jednej sekundy łuku. Dlatego w równaniu (8.7), w składowych

można ograniczyć się do trzech cyfr znaczących bez poważnego uszczerbku w (X

;

Y

;

Z

)

precyzji wyznaczanych przyrostach

. Możemy więc wykorzystać uproszczone formuły na wektor

d;

dÆ

położenia Ziemi

.

R

Rozróżnienie pomiędzy geocentrum i barycentrum układu Ziemia-Księżyc jak dotąd nie jest nigdy potrzebne, a dla większości gwiazd podobnie ma się sprawa jeśli chodzi o środek Słońca i barycentrum Układu Planetarnego.

Mimośród orbity Ziemi wynosi około

, i jeśli nie interesują nas paralaksy mniejsze od 00

wystar-

1=60

0:

01

czy przyjąć orbitę Ziemi jako kołową.

Następny krok polega na zastosowaniu współrzędnych ekliptycznych zamiast równikowych. W tych współrzędnych, jeśli

jest prawdziwą długością Słońca to wektor położenia Ziemi

ma składowe

R

(8.12)

R

=

(

os

;

sin

;

0)

8.3 Przybliżone formuły na paralaksę i aberrację

103

β

λ

G’

y

00

11

00

11

00

11

G

x

Rysunek 8.2: Elipsa paralaktyczna, geocentryczne położenie gwiazdy 0

w przeciągu roku prze-

G

mieszcza się po elipsie. Środek elipsy odpowiada barycentrycznemu położeniu gwiazdy.

Kładąc te składowe do równania (8.7), zastępując

przez

, wówczas zmiany współrzędnych ek-

(;

Æ

)

(;

)

liptycznych spowodowane paralaksą opisane będą formułami

d

=

se

sin(

)

(8.13)

d

=

sin

os(

)

Niech

i

będą składowymi przesunięcia paralaktycznego gwiazdy w kierunkach równoległym i prostopadłym x

y

do ekliptyki (rysunek 8.2),

x

=

d

os

y

=

d

W okresie roku kąt

przebiega wartości z przedziału

Æ

, eliminując ten kąt z równania (8.13),

(

)

[0;

360

℄

otrzymujemy równanie widomego śladu kreślonego przez gwiazdę na sferze niebieskiej w ciągu roku 2

2

x

y

(8.14)

+

=

1

2

2

2

sin

Jest to elipsa paralaktyczna o półosi wielkiej

, półosi małej

(patrz rysunek 8.2). Półoś wielka jest

sin

równoległa do płaszczyzny ekliptyki.

Niskiej precyzji formuły na aberrację roczną otrzymamy w podobny sposób. Ograniczamy się do heliocentrycznej orbity Ziemi uwzględniając jej eliptyczność przez proste podstawienie _

(8.15)

R

=

V

+

V

0

1

gdzie wektor

to składowa poprzeczna o stałej długości, natomiast

to składowa równoległa do półosi

V

V

0

1

małej wektora prędkości Ziemi. Z teorii ruchu orbitalnego Ziemi mamy V

=

V

(sin

;

os

;

0)

0

0

(8.16)

V

=

eV

(

sin

~

!

;

os

~

!

;

0)

1

1

gdzie

— mimośród,

,

długość węzła wstępującego,

długość perihelium orbity Ziemi.

e

~

!

=

+

!

!

Przyczynki

i

daje się rozpatrywać oddzielnie. Kładąc składową

do równania (8.10), po zami-

V

V

V

0

1

0

anie

na

dostaniemy uproszczone formuły na zmiany współrzędnych gwiazdy

(;

Æ

)

(;

)

d

=

se

os (

)

(8.17)

d

=

sin

sin(

)

gdzie

jest bezwymiarowym stosunkiem

, jest to tzw. stała aberracji. Zgodnie z teorią ruchu orbitalnego

V

=

0

Ziemi wynosi ona

1=2

k

1

+

m

(8.18)

=

2

a(1

e)

104

Współrzędne helio- i barycentryczne

gdzie

— stała Gaussa,

masa Ziemi,

oraz

— półoś wielka i mimośród orbity Ziemi. Stała

nie jest

k

m

a

e

stałą absolutną bowiem mimośród

wykazuje drobne wiekowe zmiany. W systemie stałych MUA z roku

e

, wartością

na epokę

jest

1976

J

2000:0

00

(8.19)

=

20:

49552

Analiza formuł (8.17) ukazuje, że gwiazda wokół swej pozycji heliocentrycznej, opisuje na sferze elipsę aberracyjn ˛

a o półosi wielkiej równoległej do płaszczyzny ekliptyki. Półoś wielka elipsy równa jest , mi-

mośród elipsy aberacyjnej wynosi

.

sin

Przesunięcie aberracyjne od prędkości

otrzymać można podobnie za pomocą równań (8.10), w

V

1

rezultacie zmiany współrzędnych ekliptycznych mają postać

d

=

e

se

os (

~

!

)

(8.20)

d

=

e

sin

sin (

~

!

)

Wartości te znane są jako tzw. człony

aberracji rocznej. Są one niezależne od długości Słońca i stąd

E

nie wykazują zmian rocznych. Składowe przesunięć danych wzorami (8.20) mają amplitudę 00

,

e

=

0:

343

powodują one przesunięcie całej elipsy aberracyjnej o stałą wielkość. Człony

, nie są jednak stałymi abso-

E

lutnymi dla danej pary

, wykazują bowiem pewne zmiany wiekowe.

(;

)

Dygresja historyczna

Do roku

przesunięcie aberracyjne było obliczane zgodnie z tym co powidziano wyżej, bowiem nie 1960

odróżniano barycentrum od środka Słońca a wpływy od

i

wyznaczano osobno. W widomych miejs-

V

V

0

1

cach gwiazd nie uwzględniano poprawek danych wzorami (8.20), poprawki te, zwane członami

, tkwiły w

E

tzw. położeniach heliocentrycznych gwiazd.

Takie podejście praktykowano zarówno w katalogach gwiazd jak i w rocznikach astronomicznych. Stąd w katalogowych tzw. miejscach średnich gwiazd wcielone były człony

. Roczniki podawały współczynniki

E

dla transformacji od miejsca widomego do średniego, ignorując człon

. Transformacje opierały się jedynie

E

na formule (8.17).

Po

, ze względu na wzrost precyzji obserwacji należało dokonać modyfikacji, a więc byłoby pożąadanym 1960

by w położeniach publikowanych w rocznikach astronomicznych poprawki aberracyjne obliczano według pełnych formuł. Ale jednocześnie w użyciu były stare katalogi, stąd poczyniono jedynie pewien kompromis.

Współczynniki aberracyjne obliczano najpierw ściśle, z prędkości Ziemi względem barycentrum, po czym usuwano z nich aberracyjne człony

. W ten sposób można było porównywać średnie miejsca katalogowe z E

rocznikowymi.

W

roku MUA wydała zalecenie by w przyszłości do miejsc średnich nie włączać aberracyjnych 1976

członów

. Zadecydowano też, że aberracja roczna będzie obliczania ściśle, w oparciu o prędkość Ziemi E

względem barycentrum Układu Planetarnego. Od roku

Astronomical Almanac podaje współczynniki

1984

aberracyjne obliczone właśnie w taki sposób.

8.4

Aberracja planetarna

Umownie, aberracja p lanetarna oznacza całkowity wpływ ruchu obserwatora i źródła na położenie dowol-nego ciała poruszającego się wewnątrz Układu Słonecznego. Obejmuje on aberrację roczną powodowaną przez prędkość orbitalną Ziemi, oraz poprawkę powstałą w wyniku ruchu np. planety w czasie interwału , od emisji z powierzchni planety kwantu promieniowania do jego rejestracji na powierzchni Ziemi. Wpływ aberracji rocznej dany jest równaniem (8.9), wyrażenie na poprawkę czasu propagacji podane jest poniżej.

Zakładamy, że obserwacji planety dokonano w momencie . Niech na rysunku 8.3 punkty będą

t

G;

Z ;

P

położeniami barycentrum, Ziemi i planety odpowiednio, wszystkie położenia w momencie .

t

Niech

i

będą barycentrycznymi wektorami położeń planety i Ziemi, oznaczmy jeszcze wektor ~

r

R

Z

P

przez

,

. Wektor

, daje geometryczny kierunek do planety w momencie . Oczywiście

s

jsj

=

1

s

t

(8.21)

r

=

s

+

R

Ale obserwowany kwant promieniowania nie został wyemitowany w miejscu lecz w położeniu

0

, w

P

P

którym planeta znajdowała się w momencie

.

(t

)

8.4 Aberracja planetarna

105

. 00

11P’

τ r 00

11

000

111

000

111

P

000

111

000000

111111

00

11

000

111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

ρ

000

111

000000

111111s’

’

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

ρs

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

r

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111 s*

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000

111

000000

111111

000000

111111

000000

111111 Z

000000

111111

0

1

000

111

000000

111111

R

.

000000

111111

R

00

11

000000

111111

00

11

000000

111111

000000

111111

G

Rysunek 8.3: Aberacja planetarna. Punkt

odpowiada miejscu geometrycznemu planety, punkt

P

0

miejscu astrometrycznemu, wersor wskazuje na położenie planety obserwowane przez ob-P

s

serwatora poruszającego się wraz Ziemią ruchem rocznym.

Oznaczmy wektor

0

0

0

~

przez

. Wersor

określa kierunek do planety poprawiony na aberrację roczną,

Z

P

s

s

ale nie na czas propagacji. 2 Przy takich założeniach, mamy sytuację kompatybilną z równaniem (8.8), w którym rozumieć należy jako widomy kierunek do planety. Na podstawie równania (8.8), przesunięcie s

aberracyjne z wystarczającą dokładnością wynosi teraz

0

0

1

_

(8.22)

ds

=

s

s

=

s

(s

R)

gdzie 0 zastąpiono po prawej stronie przez .

s

s

Dołóżmy teraz ruch planety, z

0

do

w czasie . Jeżeli pominiemy w tym interwale przyspieszenie

P

P

planety, możemy położyć, że wektor

0

~

, a w konsekwencji

_

P

P

=

r

0

0

(8.23)

_

s

=

s

r

Jest to dokładne (przy założeniu

) wyrażenie na poprawkę z tytułu czasu propagacji. Mnożąc je

r

=

0

dwukrotnie przez , wykorzystając twierdzenia rachunku wektorowego, otrzymamy s

0

0

_

(s

s

)s

s

=

s

(s

r )

0

Skoro 0

, oraz

0

, to z dokładnością do rzędu pierwszego, poprawka na czas propagacji ma

=

s

s

1

postać

0

1

(8.24)

_

s

s

=

s

(s

r )

Równanie to jest bardzo podobne do równania (8.22) na aberrację roczną, łącząc te dwa równania dostaniemy poprawkę na aberrację planetarną w postaci

1

_

(8.25)

_

s

s

=

s

[(s

(r

R)℄

Jak widać zmiana położenia planety w efekcie aberracji planetarnej zależy tylko od względnej prędkości Ziemi i planety.

2 0 otrzymano z po dodaniu doń poprawki na aberrację roczną. Natomiast nie poprawiono na aberrację planetarną s

s

s

106

Współrzędne helio- i barycentryczne

Różniczkując równanie (8.21) mamy

_

_

_

r

R

=

_

s

+

s

Podstawiając prawą stronę do równania (8.25), zauważając, że

, kładąc

0

otrzymamy

_

s

s

=

0

=

wyjątkowo prosty wzór

(8.26)

_

s

=

s

s

Poprawka na aberrację planetarną jest wiec wyjątkowo łatwa do obliczenia, łatwiejsza niż wyliczenie każdej z jej składowych z osobna.

Podsumowując, widome miejsce planety obliczamy następująco:

w kroku pierwszym należy obliczyć jej geocentryczną efemerydę, tzn. współrzędne oraz geo-

(;

Æ

)

centryczną odległość . Będą to współrzędne odpowiadające wersorowi . Po czym z wystarczającą

s

dokładnością obliczamy czas propagacji

,

=

=

w kroku drugim wyliczamy współrzędne widome

, w tym celu korzystamy z formuł

(

;

Æ

)

d

=

dt

dÆ

(8.27)

Æ

=

Æ

dt

Problem odwrotny, wyznaczenia barycentrycznego miejsca planety z jej miejsca widomego jest nieco bardziej złożony. Musi on obejmować wyznaczenie orbity planety. W tym celu równanie (8.26) można nieco zmody-fikować, otrzymując wyrażenie na

ze względu na , mianowicie

s

s

(8.28)

_

s

=

s

+

s

Główna trudność polega na tym, że czas propagacji nie jest znany a priori. Stąd, zanim będzie można obliczyć poprawki z tytułu aberracji planetarnej, trzeba dokonać pewnych oszacowań. W tym celu dokonu-jemy jeszcze jednego uproszczenia, mianowicie bierzemy współrzędne widome takimi jakimi są i antydatu-jemy moment obserwacji o pewien interwał

, i dalej, z co najmniej trzech obserwacji wyznaczamy or-

bitę planety, po czym obliczamy nową lepszą wartość

. Porces powtarzamy aż do uzyskania zbieżności

rozwiązania na .

8.5

Zadanka na ćwiczenia

1. Dana gwiazda o

Æ

Æ

. Największa zmiana w długości ekliptycznej gwiazdy z powodu

=

270

;

=

45

rocznej paralaksy wynosi 00 . Ile wynosi największa zmiana w szerokości? Wyznacz momenty w 0:

8

roku, dla których występują maksymalna długość i szerokość, oraz oblicz odległość gwiazdy, przy założeniu kołowej orbi- ty Ziemi.

2. Udowodnij, że istnieją dwa punkty na sferze niebieskiej, dla których efekt rocznej aberracji znika.

Pokaż, że ich współrzędne rownikowe dane są w przybliżeniu wzorami

=

ar tan( os

"

ot

)

Æ

=

ar sin (sin

"

os

gdzie

jest prawdziwą długością Słońca.