LISTA 2. Ciągi liczbowe. Granice funkcji. Ciągłość.
Zad 1. Zbadać zbieżność ciągów liczbowych, a dla zbieżnych wyznaczyć ich granice:
Zad. 2: Zbadać obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice:
Zad. 3: Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic obliczyć podane granice:
;
)
2
1
ln(
lim
)
;
sin
lim
)
;
2
sin
lim
)
;
lim
)
;
5
sin
7
sin
lim
)
0
3
0
2
2
0
0
0
x
x
i
x
x
tgx
h
x
x
g
x
tgx
f
x
x
e
x
x
x
x
x
+
−
→
→
→
→
→
Zad. 4: Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości:
Zad. 5: Dobrać parametry a, b lub p
∈R tak, aby funkcja f była ciągła we wskazanym
punkcie x
0
:
a)
=
=
≠
−
−
=
3
,
3
3
3
27
)
(
0
3
x
x
dla
p
x
dla
x
x
x
f
; b)
=
=
≠
−
+
−
=
1
,
1
1
1
2
3
)
(
0
2
x
x
dla
p
x
dla
x
x
x
x
f
;
c)
=
>
+
≤
+
=
2
,
2
sin
2
1
)
(
0
π
π
π
x
x
dla
b
x
x
dla
ax
x
f
; d)
=
>
−
≤
−
=
1
,
1
2
1
1
)
(
0
2
x
x
dla
ax
x
dla
x
x
f
.
;
1
2
)
1
(
2
.
;
1
3
.
;
1
2
3
5
5
.
2
2
3
3
3
3
+
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
n
n
n
f
n
n
e
n
n
n
n
n
n
d
( )
;
13
9
2
.
;
5
3
.
;
)
2
3
(
)
2
3
(
1
)
1
(
.
2
2
3
3
n
n
n
n
n
n
n
c
b
n
n
n
n
a
+
+
+
+
−
−
−
−
+
.
2
1
.
;
3
1
1
.
;
5
3
5
3
.
n
n
n
n
n
n
n
n
i
n
h
g
+
+
−
−
+
;
2
2
lim
)
2
3
3
2
x
x
x
a
x
−
−
→
;
2
cos
cos
sin
lim
)
;
1
3
1
lim
)
4
/
0
x
x
x
b
x
x
a
x
x
−
−
+
→
→
π
.
0
lim
)
;
0
sin
3
lim
)
2
sin
2
=
=
+
+
−∞
→
∞
→
x
x
x
x
e
b
x
x
a
;
1
1
lim
)
;
1
1
lim
)
0
3
1
x
x
x
d
x
x
c
x
x
−
−
+
−
−
→
→
;
3
lim
)
1
0
x
x
b
−
→
;
1
lim
)
0
x
arctg
c
x→
(
)
.
cos
sgn
lim
)
2
x
d
x
π
→
(
)
.
sin
1
lim
)
1
;
lim
)
2
0
x
x
x
x
x
m
x
x
l
+
+
→
∞
→
;
3
2
lim
)
;
2
sin
1
lim
)
0
0
x
k
x
e
j
x
x
x
x
x
−
−
→
→