LISTA 2. Ciągi liczbowe. Granice funkcji. Ciągłość.

Zad 1. Zbadać zbieżność ciągów liczbowych, a dla zbieżnych wyznaczyć ich granice:

Zad. 2: Zbadać obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice:

Zad. 3: Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic obliczyć podane granice:

;

)

2

1

ln(

lim

)

;

sin

lim

)

;

2

sin

lim

)

;

lim

)

;

5

sin

7

sin

lim

)

0

3

0

2

2

0

0

0

x

x

i

x

x

tgx

h

x

x

g

x

tgx

f

x

x

e

x

x

x

x

x

+

−

→

→

→

→

→

Zad. 4: Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości:

Zad. 5: Dobrać parametry a, b lub p

∈R tak, aby funkcja f była ciągła we wskazanym

punkcie x

0

:

a)









=

=

≠

−

−

=

3

,

3

3

3

27

)

(

0

3

x

x

dla

p

x

dla

x

x

x

f

; b)









=

=

≠

−

+

−

=

1

,

1

1

1

2

3

)

(

0

2

x

x

dla

p

x

dla

x

x

x

x

f

;

c)











=

>

+

≤

+

=

2

,

2

sin

2

1

)

(

0

π

π

π

x

x

dla

b

x

x

dla

ax

x

f

; d)







=

>

−

≤

−

=

1

,

1

2

1

1

)

(

0

2

x

x

dla

ax

x

dla

x

x

f

.

;

1

2

)

1

(

2

.

;

1

3

.

;

1

2

3

5

5

.

2

2

3

3

3

3

+

−

+

+

−

+

−

+

−

+

−

−

+

n

n

n

f

n

n

e

n

n

n

n

n

n

d

( )

;

13

9

2

.

;

5

3

.

;

)

2

3

(

)

2

3

(

1

)

1

(

.

2

2

3

3

n

n

n

n

n

n

n

c

b

n

n

n

n

a

+

+

+

+

−

−

−

−

+

.

2

1

.

;

3

1

1

.

;

5

3

5

3

.

n

n

n

n

n

n

n

n

i

n

h

g













+

+











 −

−

+

;

2

2

lim

)

2

3

3

2

x

x

x

a

x

−

−

→

;

2

cos

cos

sin

lim

)

;

1

3

1

lim

)

4

/

0

x

x

x

b

x

x

a

x

x

−

−

+

→

→

π

.

0

lim

)

;

0

sin

3

lim

)

2

sin

2

=

=

+

+

−∞

→

∞

→

x

x

x

x

e

b

x

x

a

;

1

1

lim

)

;

1

1

lim

)

0

3

1

x

x

x

d

x

x

c

x

x

−

−

+

−

−

→

→

;

3

lim

)

1

0

x

x

b

−

→

;

1

lim

)

0

x

arctg

c

x→

(

)

.

cos

sgn

lim

)

2

x

d

x

π

→

(

)

.

sin

1

lim

)

1

;

lim

)

2

0

x

x

x

x

x

m

x

x

l

+













+

→

∞

→

;

3

2

lim

)

;

2

sin

1

lim

)

0

0

x

k

x

e

j

x

x

x

x

x

−

−

→

→