Ciągi liczbowe

• Funkcję określoną na zbiorze liczb

naturalnych N nazywamy ciągiem:

f: N  R.
• Przyjęła się konwencja zapisywania

ciągów w postaci {a

n

}, gdzie a

n

=

f(n) jest n – tym wyrazem ciągu.
Ciąg najczęściej określamy, podając
wzór na n – ty wyraz.

Przykłady

• a

n

= a + (n – 1)r - ciąg arytmetyczny. W

ciągu tym a jest pierwszym wyrazem a
r jest różnicą ciągu.

• - ciąg geometryczny.

Pierwszym wyrazem jest liczba a.
Liczba q jest ilorazem ciągu.

• - ciąg

Fibonacciego.

1







n

n

q

a

a

1

2

2

1

,

1

,

1













n

n

n

a

a

a

a

a

Ciągi monotoniczne

• Ciąg liczbowy {a

n

} jest rosnący

(niemalejący) wtedy i tylko wtedy, gdy

.
• Ciąg liczbowy {a

n

} jest malejący

(nierosnący) wtedy i tylko wtedy, gdy





1

1









n

n

n

n

a

a

a

a





1

1









n

n

n

n

a

a

a

a

Granica właściwa ciągu

• Ciąg {a

n

} jest zbieżny do granicy

właściwej g, co zapisujemy

wtedy i tylko wtedy, gdy

• Oznacza to, że prawie wszystkie wyrazy

ciągu różnią się dowolnie mało od liczby g.

,

lim

g

a

n

n



























|

|

0

0

0

g

a

n

n

n

N

n

Korzystając z definicji

uzasadnić

0

4

1

4

3

1

3

1

3

1

3

1

lim

n

n

n

n

n

n

n

n











































Granica niewłaściwa

• Ciąg {a

n

} jest zbieżny do granicy

niewłaściwej , co zapisujemy

wtedy i tylko wtedy, gdy

• Oznacza to, że prawie wszystkie wyrazy

ciągu są większe od dowolnie dużej liczby.

,

lim









n

n

a



















n

n

n

N

n

a

0

0

0

Tempa zbieżności ciągów

Tempa zbieżności od ciągów

najwolniej do najszybciej
rozbieżnych do +:

• Ciąg logarytmiczny ln n;
• Ciąg pierwiastkowy , 0<p<1 -

im większe p, tym ciąg szybciej
rozbieżny;

• Ciąg liniowy n;

p

n

• Ciąg potęgowy 1<p - im

większe p, tym ciąg szybciej
rozbieżny;

• Ciąg wykładniczy , a >1 - im

większe a, tym ciąg szybciej
rozbieżny.

p

n

n

a

• Przy szukaniu granicy postaci

wystarczy porównać wyrazy o

najszybszym tempie rozbieżności
w liczniku i mianowniku.

mianownik

licznik

n 



lim

• Jeśli mianownik rozbiega do

nieskończoności szybciej niż
licznik, to ułamek dąży do zera.

• Jeśli licznik rozbiega szybciej do

nieskończoności niż mianownik, to
cały ułamek albo dąży do
nieskończoności, albo nie ma
granicy.

Przykłady

3

1

3

lim

4

3

7

lim

















n

n

n

n

n

n

0

3

2

lim

5

3

4

2

lim

















n

n

n

n

n

n



















5

6

3

5

2

6

01

,

0

lim

4

01

,

0

lim

n

n

n

n

n

n

n

n

Arytmetyka granic ciągów

• Jeżeli ciągi {a

n

} i {b

n

} są zbieżne

do granic właściwych, to

1.
2.

3.

4.

n

n

n

n

b

a

b

a

lim

lim

)

lim(







)

(lim

)

(lim

)

lim(

n

n

n

n

b

a

b

a







n

n

n

n

b

a

b

a

lim

lim

lim



p

n

p

n

a

a

)

(lim

)

lim(



Ciągi z granicą e

• Jeżeli ciąg {a

n

} o wyrazach dodatnich

( ujemnych) jest zbieżny do granicy

niewłaściwej  ( -  ), to

.

1

1

lim

e

a

n

a

n

n





















a

n

n

e

n

a













 





1

lim

Granice ciągu

geometrycznego































1

1

1

1

1

|

|

0

lim

q

dla

istnieje

nie

q

dla

q

dla

q

dla

q

n

n

.

1

lim

;

0

,

1

lim















n

n

n

n

n

a

gdzie

a

Twierdzenie o trzech

ciągach

• Jeżeli ciągi {a

n

} , {b

n

} , {c

n

}

spełniają warunki:

1. dla każdego n >

n

0

,

2.
to

n

n

n

c

b

a





,

lim

lim

b

c

a

n

n





.

lim

b

b

n



Granice funkcji

• Obliczyć:

• Problemy zaczynają się, gdy

dostajemy wyrażenia
nieoznaczone.

Obliczyć:

2

7

2

7

lim

7









x

x

x

2

1

/

1

/

4

1

/

1

4

lim

1

4

1

4

lim

1

4

)

1

4

)(

1

4

(

lim

)

1

4

(

lim

2

2

2

2

2

2



































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Oblicz:

Oblicz:

1

,

0

)

5

)(

5

(

5

lim

25

5

lim

5

2

5

























x

x

x

x

x

x

x

4

1

2

4

1

lim

)

2

4

(

)

2

4

)(

2

4

(

lim

2

4

lim

0

0

0

































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Ważne granice

•

;

1

1

lim

;

ln

1

lim

;

1

lim

;

1

sin

lim

0

0

0

0





















x

e

a

x

a

x

tgx

x

x

x

x

x

x

x

x

.

)

1

(

lim

;

1

lim

;

1

)

1

ln(

lim

1

0

0

e

x

e

x

a

x

x

x

x

a

x

x

x

















 













Asymptoty funkcji

• Prosta x = a jest asymptotą pionową

funkcji f , jeżeli







)

(

lim x

f

a

x

a

x=a

x

y

• Prosta y = Ax + B jest asymptotą

ukośną funkcji f wtedy i tylko wtedy,
gdy

].

)

(

[

lim

)

(

lim

Ax

x

f

B

oraz

x

x

f

A

x

x















Znaleźć asymptoty funkcji

• Prosta y = x jest asymptotą ukośną.

.

0

1

1

lim

)

1

(

lim

1

1

1

lim

1

lim

1

)

(

2

2

2

2

2

2

2

B

x

x

x

x

x

x

A

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

















































Ciągłość funkcji

• Funkcja jest ciągła w punkcie x =

a, gdy

)

(

)

(

lim

a

f

x

f

a

x





x

y

y=f(x)

.

a

f(a)

a



f(a)





Przykład

• Czy można znaleźć taką wartość

parametru b, aby funkcja f była
ciągła, gdzie:

Odp.: b = 1.



















0

0

,

1

)

(

x

b

x

x

x

x

f

Pochodna funkcji

• Wyrażenie

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f

w przedziale

Iloraz różnicowy jest miarą przeciętnej

prędkości zmiany wartości funkcji f w
przedziale

h

x

f

h

x

f

)

(

)

(

0

0











h

x

x

0

0

,







h

x

x

0

0

,

Definicja pochodnej

• Pochodną funkcji f w punkcie
nazywamy granicę

Pochodna jest miarą prędkości zmiany

wartości funkcji f w punkcie .

- funkcja

pochodna.

0

x

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

0

0

0

0

0

x

dx

df

x

f

h

x

f

h

x

f

h













0

x

)

(x

f

y

x









x

0

f(x

0

)

x

0

+h

f(x

0

+h)

sieczne

styczna



h



x

y

y=f(x)

Interpretacja geometryczna

pochodnej

• Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie
jest równa współczynnikowi

kierunkowemu prostej stycznej do
wykresu w punkcie ( , f( ))

Równanie stycznej:

0

x

0

x

0

x

)

(

)

)(

(

0

0

0

x

f

x

x

x

f

y









Wzory i reguły na obliczanie

pochodnych

2

)

4

)

(

)

3

)

(

)

2

)

(

)

1

g

g

f

g

f

g

f

f

c

f

c

g

f

g

f

g

f

g

f

g

f

































































Pochodna funkcji złożonej

• Niech g : X  Y oraz f : Y  Z
Złożeniem ( lub superpozycją ) odwzorowań

g i f nazywamy odwzorowanie

czyli

• - reguła

łańcuchowa

Z

X

g

f



:



))

(

(

)

)(

(

x

g

f

x

g

f





)

(

))

(

(

)

(

)

(

x

g

x

g

f

x

g

f













dx

du

du

dy

dx

dy





Pochodne funkcji

elementarnych

x

x

a

x

x

e

e

a

a

a

x

p

x

C

a

x

x

x

x

p

p

1

)

(ln

ln

1

)

(log

)

(

ln

)

(

)

(

0

1































x

tgx

x

x

x

x

2

cos

1

)

(

sin

)

(cos

cos

)

(sin















2

2

2

1

1

)

(

1

1

)

(arccos

1

1

)

(arcsin

x

arctgx

x

x

x

x





















Przykłady wyznaczania

pochodnych

.

cos

sin

3

cos

))

sin

(

cos

3

(cos

cos

1

)

cos

(ln(

2

1

3

)

1

3

(

2

1

)

(

)

cos(

2

)

)(

cos(

)

)

(sin(

)

3

1

(

2

1

2

3

2

1

)

3

(

)

3

(

2

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

6

5

2

1

6

5

2

3

6

1

6

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



























































Różniczka funkcji jednej

zmiennej

• Jeżeli funkcja y = f(x) jest

różniczkowalna, to wyrażenie

nazywamy różniczką tej funkcji w

punkcie

. (dx = x’



x =



x)

• Gdy przyrost dx jest mały, to y  dy.
Wykorzystuje się tę przybliżoną równość
m. in. przy szacowaniu błędów.

dx

x

f

dy

)

(

0





0

x

Szacowanie błędów

• Niech
będzie błędem bezwzględnym, który

jest różnicą między pomierzoną
wartością funkcji f( ) a wartością
dokładną

f( +dx).

- błąd względny.

dy

x

f

dx

x

f









|

)

(

)

(

|

0

0



0

x

0

x

%

100

|

)

(

|

|

|

0





x

f

dy



Przykład

Bok sześcianu wynosi 5 m ± 0,01m.

Obliczyć błąd bezwzględny i błąd
względny, powstałe przy
obliczaniu objętości sześcianu.

%

6

,

0

%

100

125

75

,

0

,

75

,

0

|

|

75

,

0

)

(

,

75

)

5

(

,

3

01

,

0

,

5

,

)

(

3

0

2

0

3

































m

dV

dx

x

V

dV

V

x

V

dx

x

x

x

V

Twierdzenie Lagrange’a o

wartości średniej

• Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na

domkniętym przedziale <a , b> i
różniczkowalna na (a , b), to
istnieje punkt c(a , b) taki, że:

.

),

(

)

(

)

(

b

c

a

c

f

a

b

a

f

b

f













Monotoniczność funkcji

• Jeżeli w przedziale ( a, b),

to funkcja f(x) jest rosnąca w tym
przedziale.

• Jeżeli w przedziale ( a, b),

to funkcja f(x) jest malejąca w tym
przedziale.

• Jeżeli w przedziale ( a, b),

to funkcja f(x) jest stała w tym
przedziale.

0

)

( 

 x

f

0

)

( 

 x

f

0

)

( 

 x

f

Badanie monotoniczności

Zbadać monotoniczność funkcji

Wyznaczamy pochodną i badamy

znak pochodnej:

2

2

)

(

x

e

x

x

f







)

1

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

e

x

f

x

e

x

e

e

x

e

x

x

f

x

x

x

x

x



























































• Funkcja ta jest rosnąca w

przedziale

(-1, 1 ).
• Funkcja jest malejąca w

przedziałach

( -, -1 )  (1,  ).

1

lub

1

0

1

0

)

(

1

1

0

1

0

)

(

2

2





































x

x

x

x

f

x

x

x

f

Ekstrema lokalne funkcji

• Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie
i różniczkowalna w pewnym otoczeniu
( -



, )  ( , +



)

tego punktu, przy czym

to funkcja f(x) ma w punkcie minimum
( maksimum ) lokalne.

0

x

0

x

0

x

0

x

0

x

































0

0

0

0

)

0

)

(

(

0

)

(

)

0

)

(

(

0

)

(

x

x

x

dla

x

f

x

f

oraz

x

x

x

dla

x

f

x

f

0

x

• Funkcja

ma w punkcie x = -1 minimum

równe

oraz maksimum w punkcie x = 1 równe

2

2

)

(

x

e

x

x

f







60653

,

0

)

1

(

2

1

min















e

f

f

60653

,

0

)

1

(

2

1

max









e

f

f

Druga pochodna

• Druga pochodna funkcji jest

pochodną pierwszej pochodnej.

2

2

)

(

)

(

dx

y

d

x

f

y

dx

dy

x

f

y





















)).

sin(

2

)

(cos(

2

)

)

cos(

2

(

)

)

(

(

)

(

)

cos(

2

)

(

)

sin(

)

(

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

f

























Zastosowania drugiej

pochodnej

• Jeżeli w każdym punkcie przedziału

(a, b),

to funkcja f(x) jest w

tym przedziale wypukła ( ).

• Jeżeli w każdym punkcie przedziału

(a, b),

to funkcja f(x) jest w

tym przedziale wklęsła ( ).

,

0

)

( 



 x

f

,

0

)

( 



 x

f

Zbadać przebieg zmienności funkcji

f-cja wypukła
f-cja wklęsła.

2

3

3

)

(

x

x

x

f

























































































1

0

)

(

1

0

)

(

)

1

(

6

6

6

)

(

4

)

2

(

;

0

)

0

(

)

(

2

0

0

)

(

)

(

2

0

0

)

(

)

2

(

3

6

3

)

(

min

max

2

x

x

f

x

x

f

x

x

x

f

f

f

f

f

x

f

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

Określenie ekstremum na

podstawie drugiej

pochodnej

• Jeżeli w punkcie

to funkcja f(x) ma w tym punkcie

ekstremum – maksimum, gdy

a minimum, gdy

,

0

)

(

0

)

(

,

0

0

0











x

f

oraz

x

f

x

0

)

(

0





 x

f

.

0

)

(

0





 x

f

Przykład

•

Zbadać ekstrema funkcji

Obliczamy pierwszą pochodną i jej miejsca

zerowe:

Znajdźmy drugą pochodną i jej znak w x=1:









R

D

x

x

y

,

ln

1

1

0

,

ln

)

ln

1

(

1

2

2























x

y

x

x

x

x

x

x

y

0

1

)

1

(

,

ln

2

1

ln

2

1

3

4

2





























y

x

x

x

x

x

x

x

y

Notacja różniczkowa

pochodnych

2

)

(

v

udv

vdu

v

u

d

udv

vdu

uv

d

dx

y

dy

























• Wyznaczyć pochodną
z równania

dx

dy

0

4

2

2

2











y

x

xy

y

x

4

2

2

2

)

2

2

(

)

4

2

(

0

4

2

2

2

































x

y

x

y

dx

dy

x

y

dx

x

y

dy

dy

dx

xdy

ydx

ydy

xdx

•

Reguła de l’Hospitala

• Reguła de l’Hospitala mówi, że jeżeli

funkcje f(x) i g(x) obie dążą do 0 lub
obie dążą do ,

przy x a, to

o ile tylko druga z granic istnieje.

,

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

x

g

x

f

a

x

a

x











Przykłady

).

0

(

0

1

lim

ln

lim

.

1

1

)

1

/(

1

lim

)

1

ln(

lim

.

0

lim

/

1

/

1

lim

/

1

ln

lim

ln

lim

.

1

1

cos

lim

sin

lim

0

0

0

2

0

0

0

0

0









































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Wzór Taylora

gdzie

.

,

)

(

)!

1

(

)

(

0

1

0

)

1

(

x

c

x

x

x

n

c

f

R

n

n

n















,

)

(

!

)

(

...

)

(

!

2

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

0

0

)

(

2

0

0

0

0

0

n

n

n

R

x

x

n

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f



























Przykład

• Za pomocą wzoru Taylora obliczyć

ln1,2 z dokładnością do czterech
miejsc po przecinku.

• f(x) = lnx, a = 1.

.

1823

,

0

2

,

1

ln

5

00005

,

0

1

2

,

0

|

|

.

2

,1

1

,

)

1

(

)

1

(

)

1

(

;

)

1

(

)

1

(

...

)

1

(

4

1

)

1

(

3

1

)

1

(

2

1

)

1

(

ln

1

1

1

1

4

3

2





























































n

n

R

c

x

c

n

R

R

x

n

x

x

x

x

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

•

Szereg Taylora

• Jeżeli

• Jest to rozwinięcie Taylora funkcji f(x)

wokół punktu x = a.

• Jeżeli a = 0, to mówimy o rozwinięciu

Maclaurina:

.

!

)

(

)

(

)

(

,

0

lim

0

)

(

















k

k

k

n

n

k

a

x

a

f

x

f

to

R

...

!

3

)

0

(

!

2

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

(

3

2

























x

f

x

f

x

f

f

x

f

•

.

!

1

....

!

3

1

!

2

1

1

.

)!

2

(

)

1

(

....

!

6

1

!

4

1

!

2

1

1

cos

.

)!

1

2

(

)

1

(

....

!

7

1

!

5

1

!

3

1

sin

0

3

2

0

2

6

4

2

0

1

2

7

5

3































































n

n

x

n

n

n

n

n

n

x

n

x

x

x

e

x

n

x

x

x

x

x

n

x

x

x

x

x

Pochodne cząstkowe

funkcji wielu zmiennych

z = f(x,y), u = u(x,y,t) - funkcje

dwóch, trzech zmiennych

( łatwo uogólnić na funkcję n

zmiennych).

• Aby wyznaczyć pochodną

cząstkową, różniczkujemy po jednej
zmiennej, traktując pozostałe
zmienne jako stałe.

0

;

3

;

3

0

;

4

;

6

1

;

4

;

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

3















































































z

x

u

z

y

u

x

x

y

u

x

y

x

u

z

u

y

u

xy

x

u

z

u

y

x

y

u

y

x

x

u

z

y

y

x

u

3

2

2

2

)

(

;

V

a

b

V

RT

V

P

b

V

R

T

P

V

a

b

V

RT

P



























Różniczka zupełna

dz

z

f

dy

y

f

dx

x

f

z

y

x

df

dy

y

f

dx

x

f

y

x

df































)

,

,

(

)

,

(

dz

z

y

x

dy

z

y

xy

dx

z

y

du

z

y

x

u

)

sin(

)

sin(

2

)

cos(

)

cos(

2

2

2

2

















Obliczenia przybliżone

• Dla małych przyrostów dx, dy

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

y

x

df

y

x

f

dy

y

dx

x

f









.

965

,

2

035

,

0

3

)

98

,

1

(

;

3

)

2

;

0

(

035

,

0

)

2

;

0

(

;

2

3

)

,

(

02

,

0

03

,

0

2

0

,

)

,

(

3

03

,

0

3

2

0

0

3



































e

f

df

y

e

dy

y

dx

e

y

x

df

dy

dx

y

x

y

e

y

x

f

x

x

x

Gradient funkcji

• Gradient wyznacza kierunek

najszybszego wzrostu funkcji































z

f

y

f

x

f

z

y

x

f

z

y

x

gradf

,

,

)

,

,

(

)

,

,

(

• Znaleźć kierunek najszybszego

wzrostu funkcji

w punkcie (1, 2, -1).

2

2

)

,

,

(

xyz

y

x

z

y

x

f





]

4

,

2

,

6

[

)

1

,

2

,

1

(

2

;

;

2

2

2

2































f

xyz

z

f

xz

x

y

f

yz

xy

x

f