1

Integralność konstrukcji w eksploatacji

Wykład 0

PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH POJĘĆ Z

WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

2

1.1 RODZAJE NAPRĘŻEŃ

p

- naprężenie całkowite



x

- naprężenie normalne



xz

,



xy

- naprężenia styczne

Rys. 1. Składowe naprężenia w punkcie
B w przekroju o normalnej x

Rys. 2. Współrzędne tensora naprężeń

𝑇

𝜎

=

𝜎

𝑥

𝜏

𝑥𝑦

𝜏

𝑥𝑧

𝜏

𝑦𝑥

𝜎

𝑦

𝜏

𝑦𝑧

𝜏

𝑧𝑥

𝜏

𝑧𝑦

𝜎

𝑧

3

1.2 RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ

a) odkształcenia liniowe



x

,



y

,



z

b) odkształcenia kątowe



xy

,



yz

,



zx

z

y

x

dx

dx

X



Współrzędne tensora odkształceń

𝑇

𝜎

=

𝜀

𝑥

𝛾

𝑥𝑦

2

𝛾

𝑥𝑧

2

𝛾

𝑥𝑦

2

𝜀

𝑦

𝛾

𝑦𝑧

2

𝛾

𝑥𝑧

2

𝛾

𝑦𝑥

2

𝜀

𝑧

4

2. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE

W każdym punkcie ciała można tak zorientować elementarny
prostopadłościan, że w trzech wzajemnie prostopadłych przekrojach nie
występują naprężenia styczne, a jedynie naprężenia normalne. Nazywamy
je naprężeniami głównymi i oznaczamy



1

,



2

,



3

.

Umowa :



1





2





3



1

i



3

- ekstremalne wartości naprężeń normalnych

w danym punkcie,
tzn. jeżeli x nie jest kierunkiem głównym, to:



3





x





1

x

y

z



1



2



3

5

3. RODZAJE STANU NAPRĘŻENIA

3.1. PRZESTRZENNY STAN NAPRĘŻEŃ:



1



0,



2



0,



3



0

3.2. PŁASKI STAN NAPRĘŻEŃ:
jedna składowa główna = 0

3.3. JEDNOOSIOWY STAN NAPRĘŻEŃ:
jedna składowa główna



0

6

4. PRAWO HOOKE’a

Stosowane może być gdy odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń:













 



x

x

y

z

E







1













 



y

y

x

z

E







1









y

x

z

z

E

















1





xy

xy

G



1





xz

xz

G



1





yz

yz

G



1

gdzie :
E - moduł Younga



- liczba Poissona

G - moduł Kichhoffa



- odkształcenia kątowe

(np.



xz

- zmiana kąta prostego w płaszczyźnie x-z)

(1)

7

4. PRAWO HOOKE’a

Przypadki szczególne:



płaski stan naprężeń (np. w płaszczyźnie x-y, tj.:



z

= 0)

wiąże się z przestrzennym stanem odkształcenia:







x

x

y

E





1

(

)







y

y

x

E





1

(

)









z

x

y

E







(

)



płaski stan odkształceń (np. w płaszczyźnie x-y, tj.:



z

= 0)

wiąże się z przestrzennym stanem naprężenia:

(2)

(3)













 



x

x

y

z

E







1













 



y

y

x

z

E







1













 





 



z

z

x

y

z

x

y

E







 





1

0

(

)

8

5. WYTĘŻENIE. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

Dla danego materiału porównujemy stopień zbliżenia się do stanu krytycznego czyli
tzw. wytężenie W, w złożonym stanie naprężeń i w tzw. stanie zastępczym
(jednoosiowego rozciągania naprężeniem



0

).

Rys. 8. Złożony (a) i zastępczy (b) stan naprężeń

9

5. WYTĘŻENIE. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

Przykłady hipotez wytrzymałościowych stosowanych są dla materiałów
ciągliwych (sprężysto - plastycznych):



Hipoteza Coulomba

- kryterium wytężenia jest największe naprężenie styczne



max

.

stan zastępczy







max



0

2







max





1

3

2



stan złożony

stąd:







0

1

3





(4)



Hipoteza Hubera

- kryterium wytężenia stanowi energia odkształcenia postaciowego.

stan zastępczy



E

E

p





1

3

0

2







 

 







E

E

p















1

6

1

2

2

2

3

2

3

1

2















stan złożony



stąd:















0

1

2

2

2

3

2

1

3

2

1

2













(

)

(

)

(

)

(5)

10

6. WSPÓŁCZYNNIK KSZTAŁTU

Współczynnik kształtu lub współczynnik koncentracji naprężeń (ozn. przez



k

lub k

t

)

jest miarą spiętrzenia naprężeń na dnie karbu.

k

S

t





max

1



 

k

t

(6)



max

- naprężenie maksymalne (rzeczywiste naprężenie na dnie karbu w materiale
idealnie liniowo - sprężystym)

S

- naprężenie nominalne (naprężenie na dnie karbu obliczone na podstawie
elementarnych wzorów wytrzymałościowych lub naprężenie w przekroju
odległym od karbu)

Rys. 9. Przykład rozkładu naprężeń

rzeczywistych i nominalnych

11

6. WSPÓŁCZYNNIK KSZTAŁTU

Współczynnik kształtu lub współczynnik koncentracji naprężeń (ozn. przez



k

lub k

t

)

jest miarą spiętrzenia naprężeń na dnie karbu.

k

S

t





max

1



 

k

t

(6)

Na skutek uplastycznienia



max

może być mniejsze od k

t

S

Rys. 10. Wpływ uplastycznienia na rozkład naprężeń

12

6. PARAMETRY CYKLU ZMĘCZENIOWEGO

W cyklu naprężeń sinusoidalnie zmiennych definiujemy:


naprężenie maksymalne



max



naprężenie minimalne



min



amplitudę naprężeń



a



zakres naprężeń







naprężenie średnie



m



okres zmiany naprężeń T



częstotliwość f=1/T

Rys. 11. Parametry cyklu zmęczeniowego

Wymienione parametry powiązane są zależnościami:







m





max

min

2







a





max

min

2

















2

a

max

min

(7)

Niesymetryczność cyklu opisuje współczynnik asymetrii cyklu R:

R







min

max

(8)

13

6. PARAMETRY CYKLU ZMĘCZENIOWEGO

Niesymetryczność cyklu opisuje współczynnik asymetrii cyklu:

R







min

max

(8)

Przypadki szczególne:

Rys. 12. Rodzaje cykli zmęczeniowych

1 - obustronne ściskanie
4 - cykl wahadłowy
6 - cykl odzerowo-tętniący
7 - obustronne rozciąganie

Wymienione parametry powiązane są zależnościami:







m





max

min

2







a





max

min

2

















2

a

max

min

(7)