1 

Integralność konstrukcji w eksploatacji 

Wykład 0 

PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH POJĘĆ Z 

WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW 

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki 
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji  

2 

 1.1 RODZAJE NAPRĘŻEŃ 

p  

- naprężenie całkowite 



x

  

- naprężenie normalne 



xz

 , 



xy

   - naprężenia styczne  

Rys. 1.  Składowe naprężenia w punkcie 
B w przekroju o normalnej x                                                    

Rys. 2. Współrzędne tensora naprężeń 

𝑇

𝜎

=

𝜎

𝑥

𝜏

𝑥𝑦

𝜏

𝑥𝑧

𝜏

𝑦𝑥

𝜎

𝑦

𝜏

𝑦𝑧

𝜏

𝑧𝑥

𝜏

𝑧𝑦

𝜎

𝑧

 

3 

 1.2 RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ 

a) odkształcenia liniowe 



x

, 



y

, 



z

 

b) odkształcenia kątowe 



xy

, 



yz

, 



zx 

z

y

x

dx

  dx

X



Współrzędne tensora odkształceń 

𝑇

𝜎

=

𝜀

𝑥

𝛾

𝑥𝑦

2

 

𝛾

𝑥𝑧

2

 

𝛾

𝑥𝑦

2

 

𝜀

𝑦

𝛾

𝑦𝑧

2

 

𝛾

𝑥𝑧

2

 

𝛾

𝑦𝑥

2

 

𝜀

𝑧

 

4 

 2. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE 

W  każdym  punkcie  ciała  można  tak  zorientować  elementarny 
prostopadłościan,  że  w  trzech  wzajemnie  prostopadłych  przekrojach  nie 
występują  naprężenia  styczne,  a  jedynie  naprężenia  normalne.  Nazywamy 
je naprężeniami głównymi i oznaczamy 



1

 , 



2

 , 



3

 .     

Umowa : 



1

 



 



2

 



 



3

   



1

 i 



3

 - ekstremalne wartości naprężeń normalnych 

w danym  punkcie,  
tzn. jeżeli x nie jest kierunkiem głównym, to:  



3 

 



 



x

 



 



1

  

x 

y 

z 



1

  



2

  



3

  

5 

 3. RODZAJE STANU NAPRĘŻENIA  

 3.1. PRZESTRZENNY  STAN NAPRĘŻEŃ: 
  



1

 



 0, 



2

 



 0, 



3

 



 0 

 3.2. PŁASKI STAN NAPRĘŻEŃ: 
     jedna składowa główna = 0 

 3.3. JEDNOOSIOWY STAN NAPRĘŻEŃ: 
     jedna składowa główna 



 0 

6 

 4. PRAWO  HOOKE’a  

Stosowane może być gdy odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń: 













 



x

x

y

z

E







1













 



y

y

x

z

E







1









y

x

z

z

E

















1





xy

xy

G



1





xz

xz

G



1





yz

yz

G



1

gdzie :  
E  - moduł Younga 



  - liczba Poissona 

G  - moduł Kichhoffa 



  - odkształcenia kątowe  

  (np. 



xz

 - zmiana kąta prostego w płaszczyźnie x-z) 

(1) 

7 

 4. PRAWO  HOOKE’a  

Przypadki szczególne: 



 płaski stan naprężeń (np. w płaszczyźnie x-y, tj.: 



z

 = 0)  

  wiąże się z przestrzennym stanem odkształcenia:  







x

x

y

E





1

(

)







y

y

x

E





1

(

)









z

x

y

E







(

)



płaski stan odkształceń (np. w płaszczyźnie x-y, tj.: 



z

 = 0)  

  wiąże się z przestrzennym stanem naprężenia:  

(2) 

(3) 













 



x

x

y

z

E







1













 



y

y

x

z

E







1













 





 



z

z

x

y

z

x

y

E







 





1

0

(

)

8 

 5. WYTĘŻENIE. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE  

Dla  danego  materiału  porównujemy  stopień  zbliżenia  się  do  stanu  krytycznego  czyli 
tzw.  wytężenie  W,  w  złożonym  stanie  naprężeń  i  w  tzw.  stanie  zastępczym 
(jednoosiowego rozciągania naprężeniem 



0

 ). 

Rys. 8. Złożony (a) i zastępczy (b) stan naprężeń  

9 

 5. WYTĘŻENIE. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE  

Przykłady hipotez wytrzymałościowych stosowanych są dla materiałów 
ciągliwych (sprężysto - plastycznych): 



Hipoteza Coulomba 

- kryterium wytężenia jest największe naprężenie styczne 



max

. 

stan zastępczy  



  





max



0

2







max





1

3

2



   stan złożony  

stąd: 







0

1

3





(4) 



Hipoteza Hubera

 

- kryterium wytężenia stanowi energia odkształcenia postaciowego. 

stan zastępczy  



  

E

E

p





1

3

0

2







 

 







E

E

p















1

6

1

2

2

2

3

2

3

1

2















stan złożony  



  

stąd: 















0

1

2

2

2

3

2

1

3

2

1

2













(

)

(

)

(

)

(5) 

10 

 6. WSPÓŁCZYNNIK KSZTAŁTU  

Współczynnik  kształtu  lub  współczynnik  koncentracji  naprężeń  (ozn.  przez 



k

  lub  k

t

) 

jest miarą spiętrzenia naprężeń na dnie karbu. 

k

S

t





max

1



 

k

t

(6) 



max

  

-  naprężenie  maksymalne  (rzeczywiste  naprężenie  na  dnie  karbu  w  materiale 
idealnie liniowo - sprężystym) 

S  

-  naprężenie  nominalne  (naprężenie  na  dnie  karbu  obliczone  na  podstawie 
elementarnych  wzorów  wytrzymałościowych  lub  naprężenie  w  przekroju 
odległym od karbu) 

Rys. 9. Przykład rozkładu naprężeń 

rzeczywistych i nominalnych 

11 

 6. WSPÓŁCZYNNIK KSZTAŁTU  

Współczynnik  kształtu  lub  współczynnik  koncentracji  naprężeń  (ozn.  przez 



k

  lub  k

t

) 

jest miarą spiętrzenia naprężeń na dnie karbu. 

k

S

t





max

1



 

k

t

(6) 

Na skutek uplastycznienia 



max

 

może być mniejsze od k

t

S  

Rys. 10. Wpływ uplastycznienia na rozkład naprężeń 

12 

 6. PARAMETRY CYKLU ZMĘCZENIOWEGO  

W cyklu naprężeń sinusoidalnie zmiennych definiujemy: 


naprężenie maksymalne 



max

 



naprężenie minimalne 



min

 



amplitudę naprężeń 



a

 



zakres naprężeń 





 



naprężenie średnie 



m

 



okres zmiany naprężeń T 



częstotliwość f=1/T 

Rys. 11. Parametry cyklu zmęczeniowego  

Wymienione parametry powiązane są zależnościami: 







m





max

min

2







a





max

min

2

















2

a

max

min

(7) 

Niesymetryczność cyklu opisuje współczynnik asymetrii cyklu R: 

R







min

max

(8) 

13 

 6. PARAMETRY CYKLU ZMĘCZENIOWEGO  

Niesymetryczność cyklu opisuje współczynnik asymetrii cyklu: 

R







min

max

(8) 

Przypadki szczególne: 

Rys. 12. Rodzaje cykli zmęczeniowych 

1 - obustronne ściskanie 
4 - cykl wahadłowy  
6 - cykl odzerowo-tętniący  
7 - obustronne rozciąganie 

Wymienione parametry powiązane są zależnościami: 







m





max

min

2







a





max

min

2

















2

a

max

min

(7)