„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
MINISTERSTWO EDUKACJI
i NAUKI
Teresa Birecka
Określanie skutków przebiegów odkształconych i stanów
nieustalonych w obwodach elektrycznych
311[08].O1.06
Poradnik dla ucznia
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2005
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
1
Recenzenci:
dr inż. Wacław Załucki
mgr inż. Edward Wilczopolski
Opracowanie redakcyjne:
mgr inż. Katarzyna Maćkowska
Konsultacja:
dr Bożena Zając
Korekta:
mgr Jarosław Sitek
Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[08].O1.06
„Określanie skutków przebiegów odkształconych i stanów nieustalonych w obwodach
elektrycznych” zawartego w modułowym programie nauczania dla zawodu technik elektryk.
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2005
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
2
SPIS TREŚCI
1. Wprowadzenie
3
2. Wymagania wstępne
4
3. Cele kształcenia
5
4. Materiał nauczania
6
4.1. Przebiegi odkształcone i przyczyny ich powstawania
6
4.1.1. Materiał nauczania
4.1.2. Pytania sprawdzające
4.1.3. Ćwiczenia
4.1.4. Sprawdzian postępów
6
8
8
9
4.2. Przedstawianie przebiegu odkształconego w postaci sumy harmonicznych.
Analiza przebiegów
10
4.2.1. Materiał nauczania
4.2.2. Pytania sprawdzające
4.2.3. Ćwiczenia
4.2.4. Sprawdzian postępów
10
12
12
13
4.3. Obwody zasilane napięciem odkształconym. Wpływ odkształcenia na pracę
odbiorników
14
4.3.1. Materiał nauczania
4.3.2. Pytania sprawdzające
4.3.3. Ćwiczenia
4.3.4. Sprawdzian postępów
14
18
18
21
4.4. Przyczyny powstawania stanów nieustalonych
21
4.4.1. Materiał nauczania
4.4.2. Pytania sprawdzające
4.4.3. Ćwiczenia
4.4.4. Sprawdzian postępów
21
22
22
23
4.5. Stany nieustalone w obwodach RL, RC i RLC oraz ich wpływ na pracę
obwodu
24
4.5.1. Materiał nauczania
4.5.2. Pytania sprawdzające
4.5.3. Ćwiczenia
4.5.4. Sprawdzian postępów
24
32
33
36
5. Sprawdziany osiągnięć
37
6. Literatura
42
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
3
1.
WPROWADZENIE
Poradnik będzie Ci pomocny w kształtowaniu umiejętności oceniania wpływu przebiegów
odkształconych i stanów nieustalonych na pracę odbiorników.
W poradniku zamieszczono:
− wymagania wstępne: wykaz umiejętności, jakie powinieneś mieć już opanowane, abyś bez
problemów mógł korzystać z poradnika,
− cele kształcenia: wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z poradnikiem;
osiągnięcie celów kształcenia określonych dla tej jednostki modułowej jest warunkiem
koniecznym do zrozumienia i przyswojenia treści zawartych w programach następnych
modułów,
− materiał nauczania: zawiera „pigułkę” wiadomości teoretycznych niezbędnych do osiągnięcia
celów kształcenia zawartych w tej jednostce modułowej; materiał nauczania dotyczący tej
jednostki modułowej został podzielony na pięć części (rozdziałów) obejmujących grupy
zagadnień kształtujących umiejętności, które można wyodrębnić;
każdy rozdział zawiera:
− pytania sprawdzające: zestaw pytań przydatny do sprawdzenia, czy już opanowałeś
podane treści,
− ćwiczenia: pomogą ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować
umiejętności praktyczne,
− sprawdzian postępów: pozwoli ci na dokonanie samooceny wiedzy po wykonaniu
ćwiczeń,
− sprawdziany osiągnięć: umożliwią sprawdzenie twoich wiadomości i umiejętności,
które opanowałeś podczas realizacji programu tej jednostki modułowej,
− wykaz literatury: wymieniona tutaj literatura zawiera pełne treści materiału nauczania
i korzystając z niej pogłębisz wiedzę z zakresu programu jednostki modułowej; na końcu
każdego rozdziału podano pozycję literatury, którą wykorzystano przy jego opracowywaniu.
Szczególną uwagę zwróć na zrozumienie przyczyn powstawania przebiegów odkształconych
i stanów nieustalonych oraz ich wpływu na pracę urządzeń, bowiem występują one zarówno
w źródłach energii, liniach przesyłowych, jak i odbiornikach, z którymi będziesz miał do czynienia
w toku nauki i w pracy zawodowej.
Postaraj się wykonać wszystkie zaproponowane ćwiczenia z należytą starannością.
Wykonując ćwiczenia dotyczące obliczeń zrozumiesz i utrwalisz poznane wcześniej
zależności. Po wykonaniu dużej ilości prostych ćwiczeń przekonasz się, że przyswojenie
zależności, którymi opisywane są omawiane zjawiska jest w zasięgu Twoich możliwości. Do
wykonywania obliczeń i wykresów na podstawie przeprowadzonych pomiarów staraj się
wykorzystywać programy komputerowe. W ten sposób usprawnisz sobie pracę i udoskonalisz
swoje umiejętności informatyczne.
Podczas wykonywania ćwiczeń pomiarowych analizuj wyniki pomiarów. Wnioski z tej
analizy pomogą Ci ocenić wpływ stanu nieustalonego na pracę urządzeń.
Przy wykonywaniu ćwiczeń praktycznych stosuj poznane wcześniej zasady bezpieczeństwa.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
4
2. WYMAGANIA WSTĘPNE
Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
− charakteryzować zjawiska zachodzące w polu elektrycznym i magnetycznym,
− rozróżniać podstawowe parametry przebiegu sinusoidalnego,
−
obliczać prądy, napięcia i moce w obwodach prądu stałego i sinusoidalnego,
− obliczać reaktancję i impedancję obwodu,
−
określać warunki rezonansu,
−
rozróżniać filtry elektryczne i wskazać ich zastosowania,
− łączyć obwody elektryczne prądu stałego i przemiennego na podstawie ich schematów,
− dobierać przyrządy pomiarowe do wykonywania pomiarów w obwodach prądu przemiennego
i stałego,
− mierzyć podstawowe wielkości elektryczne w obwodach prądu stałego i przemiennego,
− lokalizować i usunąć proste usterki w obwodach prądu przemiennego i stałego,
− stosować zasady bhp i ochrony ppoż. podczas pomiarów oraz pokazów zjawisk fizycznych.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
5
3. CELE KSZTAŁCENIA
W wyniku realizacji jednostki modułowej powinieneś umieć:
− rozpoznać przebiegi odkształcone na wykresie czasowym,
− rozróżnić rodzaje przebiegów odkształconych,
− określić przyczyny powstawania przebiegów odkształconych w wybranych obwodach,
− wskazać przykłady obwodów z przebiegami odkształconymi,
− obliczyć podstawowe wielkości prostego obwodu zasilanego napięciem odkształconym,
− dokonać analizy wpływu harmonicznych na prąd, napięcie i moc odbiorników,
− ocenić wpływ odkształcenia prądu lub napięcia na pracę odbiorników,
− wyjaśnić przyczyny powstawania stanów nieustalonych w obwodach,
− wskazać przykłady występowania stanów nieustalonych w obwodach,
− wyjaśnić zjawiska zachodzące w prostych obwodach podczas stanów nieustalonych,
− obliczyć parametry prostych obwodów w stanie nieustalonym,
− wyznaczyć parametry obwodu w stanie nieustalonym na podstawie przeprowadzonych pomiarów,
− określić skutki stanów nieustalonych w obwodach,
− zastosować zasady bhp podczas badania obwodów elektrycznych.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
6
4.
MATERIAŁ NAUCZANIA
4.1 Przebiegi odkształcone i przyczyny ich powstawania
4.1.1. Materiał nauczania
Przebiegi, których wartość w czasie nie zmienia się sinusoidalnie nazywają się przebiegami
odkształconymi. Mogą one być uzyskiwane w sposób zamierzony (w elektronice sygnały cyfrowe
mogą przyjmować tylko pewne ustalone poziomy) lub być np. skutkiem właściwości elementów
obwodu.
Napięcia odkształcone w sposób zamierzony uzyskuje się na wyjściu generatorów,
prostowników. Przykłady przebiegów odkształconych przedstawiono na rysunku 1.
Rys.1. Przykłady przebiegów odkształconych. [na podstawie 1]
Cechą charakterystyczną obwodów nieliniowych jest, że napięcie sinusoidalne powoduje
przepływ prądu niesinusoidalnego i odwrotnie, przy przepływie prądu sinusoidalnego napięcia są
niesinusoidalne.
W obwodach zawierających elementy nieliniowe, a takimi są cewki z rdzeniami
ferromagnetycznymi, przy doprowadzeniu do nich napięcia sinusoidalnego popłynie prąd
odkształcony. Przebieg tego prądu pokazany jest na rysunku 2.
Rys. 2. Konstrukcja krzywej prądu w cewce z rdzeniem ferromagnetycznym. [1]
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
7
Niesinusoidalny jest prąd w dławiku podmagnesowanym prądem stałym. Na rysunku 3
przedstawiono taki dławik oraz wykres strumienia i przepływu (w innej skali jest to wykres
prądu).
Rys. 3. Dławik podmagnesowany prądem stałym: a) schemat obwodu, b) charakterystyki prądu roboczego
– 1,2 przebiegi strumienia magnetycznego Ф, 1
’
, 2
’
– odpowiadające im przebiegi przepływu θ. [1]
Praktycznie nigdy nie udaje się uzyskać sinusoidalnego rozkładu indukcji w szczelinie
prądnicy, w związku z tym siły elektromotoryczne wytwarzane przez prądnicę trójfazową
(generator) też nie są sinusoidalne. Powoduje to przepływ niesinusoidalnych prądów w odbiornikach
liniowych zasilanych z sieci.
Na pogorszenie parametrów napięcia w sieci ma też wpływ dołączanie do niej dużych
odbiorników powodujących zniekształcenie napięcia sieciowego.
Dla energetyki problem stanowią coraz powszechniej stosowane do sterowania maszyn prądu
stałego prostowniki zawierające mostki tyrystorowe. Szczególnie w układach napędowych dużej
mocy, na przykład eksploatowane w górnictwie maszyny wyciągowe napędzane są silnikami prądu
stałego zasilanymi z prostowników tyrystorowych. Układy te powodują odkształcenie zarówno
prądów jak i napięć w sieci. Inny przykład to stosowane coraz powszechniej energooszczędne
źródła światła, jakimi są wysokoprężne lampy sodowe (stosowane do oświetlania ulic, w ogrodnictwie,
przemyśle). One również oddziałują negatywnie na sieć energetyczną, ponieważ pobierają dużą moc
bierną indukcyjną oraz są elementami nieliniowymi. Ten sam problem dotyczy pieców łukowych
stosowanych w przemyśle metalurgicznym i wielu innych urządzeń. Wymienione urządzenia są
stosowane ze względu na ich rozliczne zalety, natomiast opracowywane są sposoby pozwalające na
eliminację skutków wymienionych wad tych urządzeń. Zniekształcenie napięcia sieciowego
powodowane przez odbiorniki nieliniowe zakłóca pracę innych odbiorników, a także powoduje
powstawanie dodatkowych strat mocy
Przy znikomych odkształceniach okresowych wielkości niesinusoidalnych można przyjąć, że
prądy i napięcia w obwodach są sinusoidalne.
Przy znacznych odkształceniach należy uwzględnić wpływ odkształcenia napięć i prądów
na pracę obwodu.[1,3]
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
8
4.1.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania przebiegu
ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jak definiujemy przebieg odkształcony?
2. Co może być przyczyną odkształcenia prądu, napięcia?
3. Jaka jest przyczyna powstawania odkształconego napięcia na zaciskach prądnicy?
4. Jakie znasz odbiorniki powodujące odkształcenia napięć w sieci energetycznej?
4.1.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Nazwij i opisz przedstawione przebiegi odkształcone.
Rysunek do ćwiczenia [źródło własne]
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) przypisać nazwę do określonego przebiegu,
2) określić, czy przebieg jest okresowy,
3) przerysować przebiegi do zeszytu i opisać je.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− foliogramy z przebiegami odkształconymi.
Ćwiczenie 2
Oceń wpływ nasycenia obwodu magnetycznego na kształt prądu magnesującego
transformatora.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z urządzeniami i połączyć układ, jak na rysunku,
2) włączyć oscyloskop do punktów 1 i 2 układu (spadek napięcia na rezystancji jest proporcjonalny
do prądu). napięcie zasilania sprawdzić na woltomierzu,
3) przerysować z oscyloskopu prąd magnesujący przy małym i dużym nasyceniu obwodu
magnetycznego (regulować napięcie zasilania autotransformatorem),
4) ocenić wpływ nasycenia obwodu magnetycznego na kształt prądu,
5) sformułować wnioski.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
9
Rysunek do ćwiczenia [źródło własne]
Wyposażenie stanowiska pracy:
− transformator jednofazowy,
− oscyloskop,
− autotransformator,
− rezystor wzorcowy,
− woltomierz,
− amperomierz.
4.1.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak
Nie
1) wyjaśnić przyczyny powstawania napięć odkształconych w prądnicy?
2) nazwać przebieg ze względu na jego kształt?
3) scharakteryzować przyczyny powstawania odkształceń prądów
w odbiornikach?
4) wymienić urządzenia (odbiorniki) powodujące odkształcenia napięć
sieciowych?
5) wymienić skutki stosowania obwodów z elementami nieliniowymi
dla sieci energetycznej?
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
10
4.2. Przedstawianie przebiegu odkształconego w postaci sumy
harmonicznych. Analiza przebiegów
4.2.1. Materiał nauczania
Przebiegi niesinusoidalne przedstawione na rysunku 1a, b, c, d, e, są przebiegami
okresowymi w funkcji czasu. Funkcję okresową o okresie T można przedstawić za pomocą
szeregu trygonometrycznego nazywanego szeregiem Fouriera.
Każdą funkcję okresową
)
(t
f
można przedstawić w postaci sumy wielkości stałej
o
F oraz
nieskończenie wielu wielkości sinusoidalnych zwanych harmonicznymi, o częstotliwościach, które
są wielokrotnościami częstotliwości funkcji
)
(t
f
.
Okresowa funkcja niesinusoidalna przedstawiona za pomocą szeregu Fouriera ma postać
)
sin(
....
)
3
sin(
)
2
sin(
)
sin(
)
(
1
3
1
3
2
1
2
1
1
1
n
n
o
t
n
F
t
F
t
F
t
F
F
t
f
ψ
ω
ψ
ω
ψ
ω
ψ
ω
ω
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
lub krócej:
∑
=
+
+
=
n
k
k
k
o
t
k
F
F
t
f
1
1
)
sin(
)
(
ψ
ω
ω
gdzie:
o
F – składowa stała,
k
– rząd harmonicznej ( k =1,2,3,...
n
, przy czym
n
jest rzędem
ostatniej harmonicznej, teoretycznie n =∞),
k
F – amplituda harmonicznej rzędu k .
Wielkość sinusoidalną o najniższej harmonicznej, to znaczy k =1 nazywamy pierwszą
harmoniczną lub harmoniczną podstawową. Harmoniczna podstawowa posiada taką samą
pulsację jak funkcja okresowa
)
( t
f
ω . Wielkości sinusoidalne o pulsacji
t
k
ω (dla k >1)
nazywamy wyższymi harmonicznymi.
Wykorzystując zależności trygonometryczne można napisać, że:
)
sin
cos
cos
(sin
)
sin(
1
1
1
k
k
k
k
k
t
k
t
k
F
t
k
F
ψ
ω
ψ
ω
ψ
ω
+
=
+
Do wzoru wprowadzamy oznaczenia:
k
k
k
k
k
k
B
F
A
F
=
=
ψ
ψ
cos
sin
Na podstawie tych równań można napisać:
t
k
B
t
k
A
t
k
F
k
k
k
k
1
1
1
sin
cos
)
sin(
ω
ω
ψ
ω
+
=
+
Ponadto wynika z nich, że:
2
2
tg
k
k
k
k
k
k
B
A
F
B
A
+
=
=
ψ
Wykorzystując wprowadzone zależności i przekształcenia szereg Fouriera można zapisać
w postaci:
∑
∑
=
=
+
+
=
n
k
n
k
k
k
o
t
k
B
t
k
A
F
t
f
1
1
1
1
sin
cos
)
(
ω
ω
ω
Dla danej funkcji
)
( t
f
ω można obliczyć
o
F ,
k
A ,
k
B przy zastosowaniu rachunku
całkowego. Dla typowych funkcji f(ωt) współczynniki
o
F ,
k
A ,
k
B są podawane w tablicach
technicznych, bądź też podawany jest szereg Fouriera dla najczęściej spotykanych
przebiegów niesinusoidalnych.
Do typowych przebiegów niesinusoidalnych należą przebieg prostokątny – rysunek 1a,
przebieg wyprostowany całofalowo – rysunek 1c, przebieg trójkątowy – rysunek 1d.
Dla tych prądów szereg Fouriera można zapisać:
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
11
prąd o przebiegu prostokątnym -
...)
5
sin
5
1
3
sin
3
1
(sin
4
)
(
1
1
1
+
+
+
=
t
t
t
I
t
i
m
ω
ω
ω
π
ω
prąd wyprostowany całofalowo -
...)
4
sin
15
1
2
cos
3
1
(
4
2
)
(
1
1
+
+
−
=
t
t
I
I
t
i
m
m
ω
ω
π
π
ω
prąd o przebiegu trójkątowym -
...)
5
sin
25
1
3
sin
9
1
(sin
8
)
(
1
1
1
2
−
+
−
=
t
t
t
I
t
i
m
ω
ω
ω
π
ω
Rozwinięcie na szereg Fouriera zawiera teoretycznie nieskończenie wiele harmonicznych.
Jednak z uwagi na fakt, że jest to szereg silnie zbieżny w praktycznych obliczeniach uwzględnia się
skończoną liczbę wyrazów, bowiem im wyższa harmoniczna, tym mniejsza jej amplituda.
W zapisie poszczególnych przebiegów za pomocą szeregu Fouriera nie zawsze występują
wszystkie wyrazy szeregu. Jest to uzależnione od rodzaju symetrii danego przebiegu. Krzywe
odkształcone mogą być symetryczne względem:
− osi odciętych,
− osi rzędnych,
− początku układu współrzędnych.
Symetria względem osi odciętych
Przebieg niesinusoidalny jest symetryczny względem osi odciętych, jeżeli rzędne przebiegu
okresowego powtarzają się co pół okresu ze zmienionym znakiem. Przykład takiego przebiegu jest
przedstawiony na rysunku 1e.
Szereg Fouriera dla takiego przebiegu ma postać:
....
)
5
sin(
)
3
sin(
)
sin(
)
(
5
1
5
3
1
3
1
1
1
+
+
+
+
+
+
=
ψ
ω
ψ
ω
ψ
ω
ω
t
I
t
I
t
I
t
i
m
m
m
W rozkładzie na szereg Fouriera brak jest składowej stałej i harmonicznych parzystych.
Symetria względem osi rzędnych
Przebieg niesinusoidalny jest symetryczny względem osi rzędnych, jeżeli rzędne
przebiegu okresowego dla argumentów dodatnich i dla tych samych argumentów ujemnych są
jednakowe. Przykład takiego przebiegu jest przedstawiony na rysunku 1c (prąd wyprostowany
całofalowo).
Szereg Fouriera dla takiego przebiegu ma postać:
∑
=
+
=
n
k
k
o
t
k
A
F
t
f
1
1
cos
)
(
ω
ω
W rozkładzie na szereg Fouriera brak jest wyrazów z sinusami..
Symetria względem początku układu osi współrzędnych
Przebieg niesinusoidalny jest symetryczny względem początku układu osi współrzędnych,
jeżeli rzędne przebiegu okresowego dla argumentów dodatnich równają się rzędnym dla tych
samych argumentów ujemnych z przeciwnym znakiem.
Przykład takiego przebiegu jest przedstawiony na rysunku 1a (przebieg prostokątny).
∑
=
=
n
k
k
t
k
B
t
f
1
1
sin
)
(
ω
ω
W rozkładzie na szereg Fouriera brak jest składowej stałej i wyrazów z cosinusami.
Wynika to z jednoczesnego spełnienia warunku symetrii względem osi odciętych.
Do obliczania wartości poszczególnych harmonicznych przebiegów odkształconych
można stosować prawa elektrotechniki (prawo Ohma, prawa Kirchhoffa), ponieważ
harmoniczne są przebiegami sinusoidalnymi. Suma wartości chwilowych poszczególnych
harmonicznych równa jest wartości chwilowej prądu odkształconego. Na rysunku 4
przedstawiony jest przebieg prądu odkształconego i jego rozkład na harmoniczne
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
12
Rys. 4. Przebieg prądu odkształconego (a) i jego harmoniczne: 1, 3 i 5 (b). [1,3]
Do określenia zawartości poszczególnych harmonicznych w przebiegu odkształconym
służy w praktyce urządzenie zwane analizatorem harmonicznych.
Ze względu na kompatybilność sieci energetycznych dopuszczalne zniekształcenia napięć
i prądów określane są przez normy międzynarodowe. Podaje się dwa współczynniki służące
do wyrażenia wypadkowej zawartości harmonicznych w przebiegu prądu lub napięcia:
współczynnik zniekształceń harmonicznych THD (współczynnik zawartości harmonicznych)
oraz współczynnik odkształcenia THF. Zgodnie z normą PN-EN 61000-3-2-2004:
1
40
2
2
Q
Q
THD
k
k
∑
=
=
, natomiast
Q
Q
THF
k
k
∑
=
=
40
2
2
,
gdzie: Q – wartość skuteczna przebiegu odkształconego,
1
Q
– wartość skuteczna
pierwszej harmonicznej przebiegu.[1,3]
4.2.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania przebiegu
ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jak można przedstawić okresowy przebieg niesinusoidalny?
2. Co to jest harmoniczna podstawowa?
3. Czym się różni harmoniczna rzędu k od harmonicznej podstawowej?
4. Jaka funkcja opisuje przebiegi odkształcone?
5. Jakie rodzaje symetrii występują w przebiegach niesinusoidalnych?
6. Jaką ma postać szereg Fouriera dla krzywej symetrycznej względem początku układu osi
współrzędnych?
7. Co to jest współczynnik odkształcenia?
4.2.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Nazwij i określ rodzaj symetrii przebiegów odkształconych przedstawionych na fazogramach.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
13
Rysunek do ćwiczenia [źródło własne]
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) przerysować przebiegi przedstawione na fazogramach,
2) określić rodzaj symetrii dla każdego z nich,
3) zapisać w postaci ogólnej szereg Fouriera dla tych przebiegów.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− fazogramy z typowymi przebiegami odkształconymi.
Ćwiczenie 2
Przedstaw w postaci szeregu Fouriera przebiegi okresowe niesinusoidalne uzyskiwane
z generatora napięć prostokątnych i piłokształtnych.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) włączyć generator do sieci, na jego wyjście podłączyć woltomierz oraz oscyloskop,
2) ustawić określone napięcie i częstotliwość generatora. zmierzyć wartości napięć,
3) przebiegi uzyskane dla tych samych wartości
u
i f przerysować,
4) określić rodzaj symetrii dla każdego z nich, zapisać w postaci szeregu Fouriera te
przebiegi,
5) określić współczynnik odkształcenia dla uzyskanych przebiegów,
6) sformułować wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− generator,
− oscyloskop,
− woltomierz.
4.2.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak
Nie
1. określić zawartość harmonicznych w przebiegu prądu, napięcia zapisanych
w postaci szeregu Fouriera?
2. obliczyć współczynnik odkształcenia?
3. obliczyć współczynnik zawartości harmonicznych?
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
14
4.3. Obwody zasilane napięciem odkształconym. Wpływ
odkształcenia na pracę odbiorników
4.3.1. Materiał nauczania
Odkształcenie napięcia i związane z tym istnienie harmonicznych w napięciu zasilającym ma
wpływ zarówno na pracę odbiorników jak i samego źródła napięcia. Przy założeniu, że napięcia
fazowe prądnicy trójfazowej są sinusoidalne suma napięć fazowych jest równa zeru. W uzwojeniach
prądnicy nieobciążonej żadnym odbiornikiem nie płynie żaden prąd. Z uwagi na nierównomierność
szczeliny powietrznej generatora napięcia indukowane są odkształcone (zawierają wyższe harmoniczne).
Do obliczania wartości poszczególnych harmonicznych przebiegów odkształconych można
stosować prawa elektrotechniki (prawo Ohma, prawa Kirchhoffa), ponieważ harmoniczne są przebiegami
sinusoidalnymi.
Obwód liniowy jednofazowy zasilany okresowym napięciem niesinusoidalnym
Każdy obwód liniowy zasilany napięciem odkształconym można rozpatrywać w sposób
następujący:
− pozostawić w obwodzie tylko składową stałą napięcia zasilającego i rozpatrywany obwód
obliczać za pomocą metod dotyczących obwodów prądu stałego, wyznaczając składową
stałą prądu,
− pozostawić w obwodzie tylko k -te harmoniczne napięcia zasilającego i traktować je jako
oddzielne źródła o częstotliwościach, będących wielokrotnością częstotliwości podstawowej
i korzystać z metod dotyczących obliczania obwodów sinusoidalnych.
Zgodnie z zasadą superpozycji w obwodzie zasilanym napięciem odkształconym popłynie
prąd, który będzie sumą składowej stałej i poszczególnych harmonicznych.
Analizę wpływu napięcia odkształconego na parametry obwodu przeprowadzimy na
przykładzie dowolnego obwodu szeregowego RLC. Jeżeli do tego obwodu, przedstawionego
na rysunku 5 doprowadzimy napięcie odkształcone
)
(t
u
, które przedstawione w postaci
szeregu Fouriera ma postać:
)
5
sin(
)
3
sin(
)
sin(
)
(
5
1
5
3
1
3
1
1
1
3
2
1
ψ
ω
ψ
ω
ψ
ω
+
+
+
+
+
=
+
+
=
t
U
t
U
t
U
u
u
u
t
u
m
m
m
,
to można traktować, że w obwodzie działają trzy źródła napięcia sinusoidalnego o częstotliwościach:
1
5
1
3
1
5
,
3
,
f
f
f
f
f
=
=
Rys. 5. Dwójnik szeregowy RLC zasilany napięciem odkształconym: a) układ rzeczywisty, b) układ zastępczy
równoważny. [w oparciu o 1]
Jeżeli wszystkie elementy w obwodzie są liniowe, to można zakładać kolejno działania
poszczególnych źródeł i skutki ich działania sumować (metoda superpozycji). Przy obliczeniach
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
15
należy pamiętać, ze reaktancja elementów indukcyjnych i pojemnościowych zależy od częstotliwości:
dla indukcyjnych wzrasta ze wzrostem częstotliwości, a dla pojemnościowych maleje. Zatem dla
każdej harmonicznej przebiegu odkształconego reaktancja obwodu ma inną wartość. Dla dowolnej
harmonicznej wynosi ona:
L
k
X
Lk
1
ω
=
C
k
X
Ck
1
1
ω
=
Rezystancję obwodu można przyjąć jako niezależną od częstotliwości, więc impedancja
obwodu dla harmonicznej rzędu k wynosi:
2
1
1
2
)
1
(
C
k
L
k
R
Z
k
ω
ω
−
+
=
Dla każdej harmonicznej impedancja obwodu ma inną wartość. Kąt przesunięcia fazowego
k -tej harmonicznej napięcia względem k -tej harmonicznej prądu (argument impedancji dla k -tej
harmonicznej) można obliczyć z zależności:
R
C
k
L
k
k
1
1
1
tg
ω
ω
ϕ
−
=
Po obliczeniu impedancji obwodu dla harmonicznej rzędu k można obliczyć amplitudę
prądu i wartość skuteczną tego prądu dla k -tej harmonicznej:
k
mk
mk
Z
U
I
=
k
k
k
Z
U
I
=
Wartość chwilowa prądu odkształconego w tym obwodzie ma postać:
)
5
sin(
)
3
sin(
)
sin(
)
(
5
5
1
5
3
3
1
3
1
1
1
1
3
2
1
ϕ
ψ
ω
ϕ
ψ
ω
ϕ
ψ
ω
−
+
+
−
+
+
−
+
=
+
+
=
t
I
t
I
t
I
i
i
i
t
i
m
m
m
,
W dowolnym obwodzie wartość skuteczna napięcia oraz wartość skuteczna prądu
odkształconego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów składowej stałej
i wartości skutecznych poszczególnych harmonicznych przebiegu.
2
2
4
2
3
2
2
2
1
2
...
n
o
U
U
U
U
U
U
U
+
+
+
+
+
+
=
2
2
4
2
3
2
2
2
1
2
...
n
o
I
I
I
I
I
I
I
+
+
+
+
+
+
=
Dla układów, w których napięcia i prądy są odkształcone, można obliczyć moc czynną
i bierną.
Moc czynna jest równa sumie mocy czynnych poszczególnych harmonicznych oraz mocy
składowej stałej:
n
n
n
o
o
I
U
I
U
I
U
I
U
P
ϕ
ϕ
ϕ
cos
....
cos
cos
2
2
2
1
1
1
+
+
+
+
=
Ponieważ moc czynna jest pobierana tylko przez elementy rezystancyjne można ją obliczyć ze
wzoru:
2
RI
P
=
, gdzie I jest wartością skuteczną prądu odkształconego.
Moc bierna przy przebiegach odkształconych jest równa sumie mocy biernych poszczególnych
harmonicznych:
n
n
n
I
U
I
U
I
U
Q
ϕ
ϕ
ϕ
sin
....
sin
sin
2
2
2
1
1
1
+
+
+
=
Moc pozorna przy przebiegach odkształconych:
2
2
2
Q
P
S
+
≥
.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
16
Brak równości, która występowała przy przebiegach sinusoidalnych jest spowodowany
między innymi dodatkowymi stratami mocy czynnej z powodu harmonicznych wyższego
rzędu.
Do pomiaru wartości skutecznych wielkości okresowych odkształconych służą mierniki
elektromagnetyczne, elektrodynamiczne, cieplne.
W obwodach liniowych zasilanych okresowymi napięciami odkształconymi może
wystąpić zjawisko rezonansu dla poszczególnych harmonicznych. W rozpatrywanym wyżej
obwodzie, przy spełnieniu równości:
C
k
L
k
1
1
1
ω
ω
=
wystąpi rezonans dla k -tej harmonicznej. W stanie rezonansu prąd harmonicznej rzędu k jest
duży i ma wartość:
R
U
I
k
k
=
, ponieważ dla harmonicznej k -tej impedancja jest równa
rezystancji, a
0
tg
=
k
ϕ
- prąd
k
I jest w fazie z harmoniczną k napięcia.
Rezonans k -tej harmonicznej można uzyskać regulując pulsację, pojemność lub indukcyjność.
Z faktu, że reaktancja indukcyjna i pojemnościowa zależą od rzędu harmonicznej wynika
możliwość wykorzystania tego zjawiska do eliminacji poszczególnych harmonicznych przez
odpowiednie filtry rezonansowe. Odpowiednia konstrukcja filtru może zapewnić dużą wartość
prądu pożądanej harmonicznej i wyeliminować harmoniczną niepożądaną.
Na rysunku 6 przedstawione są filtry rezonansowe pasmowe o różnej konstrukcji.
Rys. 6. Filtry rezonansowe pasmowe: a) z szeregowym obwodem rezonansowym, b) z równoległym obwodem
rezonansowym, c) z szeregowym i równoległym obwodem rezonansowym.[1]
Przy równoległym połączeniu cewki idealnej o indukcyjności L i kondensatora idealnego
o pojemności
C
w obwodzie może wystąpić rezonans prądów dla k -ej harmonicznej, a prąd
tej harmonicznej będzie równy zeru. Rezonans prądów zachodzi przy równych susceptancjach
pojemnościowej i indukcyjnej, czyli dla:
L
k
C
k
1
1
1
ω
ω
=
.
Przy wystąpieniu rezonansu dla harmonicznej rzędu k susceptancja dla tej harmonicznej:
0
1
1
1
=
−
=
L
k
C
k
B
k
ω
ω
, a więc prąd harmonicznej, dla której wystąpił rezonans będzie równy
zeru. Tak więc możemy skutecznie zablokować określoną harmoniczną prądu dopływającego
do odbiornika.
Filtr o konstrukcji jak na rysunku 6a pozwala na wydzielenie w odbiorniku prądu
i napięcia harmonicznej rzędu k , dla której przy pulsacji
1
ω
k
wystąpi rezonans napięć. Taki
sam efekt uzyskuje się w obwodzie z rysunku 6b przy dostrojeniu do rezonansu obwodu
równoległego L i C. Najlepszy efekt daje zastosowanie filtru z układu 6c – w tym obwodzie
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
17
wszystkie wyższe harmoniczne, różne od harmonicznej rezonansowej natrafiają na dużą
reaktancję szeregową i małą reaktancję równoległą.
Na rysunku 7 przedstawione są filtry rezonansowe zaporowe o różnej konstrukcji. Są one
stosowane w celu zablokowania określonych harmonicznych.
Rys. 7. Filtry rezonansowe zaporowe: a) z równoległym obwodem rezonansowym, b) z szeregowym obwodem
rezonansowym, c) z równoległym i szeregowym obwodem rezonansowym.[w oparciu o 1]
W układzie z rysunku 7a należy dostroić obwód rezonansowy do rezonansu tej
harmonicznej, którą chcemy zablokować. Obwód przedstawiony na rysunku 7b zwiera
harmoniczną, którą chcemy wyeliminować z odbiornika. Układ jak na rysunku 7c daje
jeszcze lepsze efekty przy eliminowaniu niepożądanej harmonicznej.
Przy przebiegach niesinusoidalnych napięcie i prąd w obwodzie mogą różnić się kształtem
w zależności od układu. Wynika to z porównania stosunku wartości maksymalnej
harmonicznej rzędu k i pierwszej harmonicznej dla prądu i napięcia.
W szeregowym połączeniu RL:
1
1
m
mk
m
mk
U
U
I
I
〈
. Oznacza to, że przebieg prądu jest mniej
odkształcony od przebiegu napięcia, czyli indukcyjność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne
prądu, a pobudzająco na wyższe harmoniczne napięcia.
W szeregowym połączeniu RC:
1
1
m
mk
m
mk
U
U
I
I
〉
. Oznacza to, że przebieg prądu jest bardziej
odkształcony od przebiegu napięcia, czyli pojemność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne
napięcia, a pobudzająco na wyższe harmoniczne prądu.[1, 3]
Obwód liniowy trójfazowy zasilany okresowym napięciem niesinusoidalnym
Praktycznie nigdy nie udaje się uzyskać sinusoidalnego rozkładu indukcji w szczelinie prądnicy,
w związku z tym siły elektromotoryczne wytwarzane przez prądnicę trójfazową (generator) też nie są
sinusoidalne. Powoduje to przepływ niesinusoidalnych prądów w odbiornikach liniowych zasilanych
z sieci.
W symetrycznym układzie trójfazowym napięcia we wszystkich fazach mają ten sam
kształt i są przesunięte względem siebie o 2π/3 rad. Napięcia niesinusoidalne tworzące układ
trójfazowy symetryczny należy rozpatrywać dla każdej harmonicznej oddzielnie, pamiętając
o zależnościach występujących pomiędzy napięciami w poszczególnych fazach oraz pomiędzy
wielkościami fazowymi i przewodowymi. Przesunięcie napięć we wszystkich fazach względem
siebie dla harmonicznej rzędu k wynosi kּ2π/3.
Urządzenia odbiorcze zasilane z sieci energetycznej są z reguły przeznaczone do
użytkowania w warunkach symetrii, kształtu i poziomu napięcia równego znamionowemu.
Pogorszenie parametrów napięcia wywołuje skutki natychmiastowe, związane z odkształceniem,
takie jak: zakłócenia w pracy sieci komputerowych, urządzeń sterujących, regulujących oraz
długotrwałe: straty mocy w transformatorach, torach prądowych, przeciążenia prądowe kondensatorów
kompensujących moc bierną i wiele innych.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
18
Powstawanie strat mocy wynikających z występowania wyższych harmonicznych powoduje
konieczność ograniczania mocy odbiorników. Największe dodatkowe straty i ograniczenia mocy
mogą mieć miejsce w przypadku instalacji zasilających grupy jednofazowych urządzeń
elektronicznych (sieci komputerowe, urządzenia RTV, itp.). W instalacjach tych, głównie ze
względu na obciążenie przewodu neutralnego, dopuszczalna moc przesyłana przy podstawowej
częstotliwości może być ograniczona nawet do 30% tej wartości, jaka występuje w warunkach
napięć symetrycznych i sinusoidalnych. .[1, 3]
4.3.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania przebiegu
ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jak obliczamy reaktancję indukcyjną, a jak pojemnościową dla poszczególnych
harmonicznych?
2. Jak zmienia się impedancja obwodu dla poszczególnych harmonicznych prądu?
3. Jak wyznacza się wartość skuteczną prądu i napięcia odkształconego?
4. Jak oblicza się moc czynną i bierną przy przebiegach odkształconych?
5. Jakie skutki dla odbiornika powoduje odkształcenie napięcia zasilającego?
6. Jak można eliminować z przebiegu odkształconego niepożądane harmoniczne?
7. Jakie są przyczyny odkształceń napięcia w linii zasilającej?
4.3.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz reaktancję cewki o indukcyjności L=50mH dla 1, 3 i 15 harmonicznej prądu,
jeżeli częstotliwość harmonicznej podstawowej wynosi 100Hz.
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) obliczyć reaktancję dla poszczególnych harmonicznych,
2) sformułować wnioski dotyczące zmiany parametrów cewki w obwodzie prądu
odkształconego.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− kalkulator.
Ćwiczenie 2
Oblicz reaktancję kondensatora o pojemności C=20μF dla 1, 3 i 15 harmonicznej prądu,
jeżeli częstotliwość harmonicznej podstawowej wynosi f
1
=100Hz.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) obliczyć reaktancje dla poszczególnych harmonicznych,
2) sformułować wnioski dotyczące zmiany parametrów kondensatora w obwodzie prądu
odkształconego.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
19
Wyposażenie stanowiska pracy:
− kalkulator.
Ćwiczenie 3
Cewkę z ćwiczenia 1 i kondensator z ćwiczenia 2 połączono szeregowo z rezystorem
o R=10Ω. Układ zasilony jest napięciem odkształconym o częstotliwości pierwszej
harmonicznej f
1
=50Hz. Dokonaj analizy zmiany impedancji układu, jeżeli w napięciu
zasilającym występują harmoniczne 1, 3, 5, 7.
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) obliczyć reaktancje pojemnościowe i indukcyjne dla poszczególnych harmonicznych,
2) obliczyć impedancje dla poszczególnych harmonicznych,
3) zanalizować wpływ harmonicznych na wartość impedancji w odwodzie prądu odkształconego.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− kalkulator.
Ćwiczenie 4
Oblicz współczynnik zawartości harmonicznych i współczynnik odkształcenia dla prądu
odkształconego, którego przebieg zapisany w postaci szeregu Fouriera jest następujący:
A
t
t
t
i
)]
6
5
sin(
2
,
14
3
sin
2
,
28
sin
4
,
56
20
[
π
ω
ω
ω
+
+
+
+
=
.
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) obliczyć wartości skuteczne poszczególnych harmonicznych oraz wartość skuteczną prądu
odkształconego,
2) obliczyć współczynniki,
3) na podstawie obliczeń zanalizować wpływ poszczególnych harmonicznych na wartość skuteczną
prądu odkształconego,
4) zapisać wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− kalkulator.
Ćwiczenie 5
Układ szeregowy RLC, w którym R=10Ω, L=50mH, C=20μF zasilony jest napięciem
odkształconym
V
t
t
t
u
)]
10
5
sin(
40
3
sin
60
sin
180
[
π
ω
ω
ω
+
+
+
=
. Częstotliwość pierwszej
harmonicznej napięcia wynosi 50 Hz. Oblicz wartość chwilową i skuteczną prądu, moc
czynną i pozorną oraz współczynnik mocy dla tego układu.
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) obliczyć dla poszczególnych harmonicznych: impedancję, kąt przesunięcia fazowego, wartość
maksymalną, chwilową i skuteczną prądu oraz wartość skuteczną napięcia,
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
20
2) obliczyć wartość chwilową i skuteczną prądu w układzie,
3) obliczyć dla poszczególnych harmonicznych moce czynne,
4) obliczyć moc czynną i pozorną oraz współczynnik mocy układ,.
5) dokonać analizy otrzymanych wyników.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− kalkulator.
Ćwiczenie 6
Oblicz wskazania amperomierzy włączonych jak na rysunku, w układzie zasilania odbiornika
symetrycznego z generatora połączonego w trójkąt. Prądy fazowe generatora zawierają 1, 3 i 5
harmoniczną: .
15
,
20
,
30
5
3
1
A
I
A
I
A
I
=
=
=
Określ stosunek prądu przewodowego do fazowego.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) obliczyć wartość skuteczną prądu fazowego (wskazanie amperomierza A
1
),
2) obliczyć wartość skuteczną prądu przewodowego (wskazanie amperomierza A
2
),
3) obliczyć stosunek prądu przewodowego do fazowego,
4) porównać uzyskany wynik z wartością tego stosunku przy napięciach sinusoidalnych,
5) sformułować wnioski wynikające z tych obliczeń.
Uwagi do wykonania ćwiczenia: prąd liniowy nie zawiera harmonicznych, których rząd
podzielny jest przez 3.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− rysunek układu,
− kalkulator.
Rysunek do ćwiczenia obliczeniowego [w oparciu o 4]
4.3.4.Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak
Nie
1. obliczyć reaktancję indukcyjną, pojemnościową dla poszczególnych
harmonicznych?
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
21
2. obliczyć impedancję obwodu dla poszczególnych harmonicznych
prądu?
3. obliczyć wartość skuteczną prądu i napięcia odkształconego?
4. określić zależności na moc czynną i bierną przy przebiegach odkształconych?
Obliczyć te moce?
5. wskazać sposób eliminowania niepożądanych harmonicznych w obwodzie
odbiornika?
6. wskazać typ filtru dla poprawienia parametrów prądu płynącego przez
odbiornik?
7. obliczyć współczynnik mocy układu przy przebiegach odkształconych?
8. ocenić wpływ odkształceń na działanie odbiornika?
4.4. Przyczyny powstawania stanów nieustalonych
4.4.1. Materiał nauczania
Dotychczasowe rozważania zjawisk zachodzących w układach opierały się na założeniu,
że jeżeli do obwodu jest przyłożone napięcie stałe, to prąd, który w nim popłynie również nie
zmienia swojej wartości w czasie. Analogiczne założenia były przyjmowane dla obwodów
prądu przemiennego: sinusoidalne zmienne w czasie wymuszenie (napięcie) spowoduje
sinusoidalną odpowiedź obwodu (prąd). Taki stan układu nazywaliśmy stanem ustalonym.
Obwód elektryczny, w którym znajdują się cewki i kondensatory posiadające zdolność
gromadzenia energii, po dołączeniu do źródła nie może natychmiast znaleźć się w stanie
ustalonym. Ponadto, w chwili dołączenia do źródła z elementami tymi mogła być już
związana pewna energia lub mogą znajdować się w stanie bezenergetycznym. Energia w polu
magnetycznym cewki zależy od płynącego przez nią prądu, a energia w polu elektrycznym
kondensatora zależy od napięcia na jego okładzinach. Po dołączeniu do źródła obwodu
zawierającego takie elementy energia gromadzona w cewkach i kondensatorach nie może być
przekazana przez źródło w jednej chwili. Zmiana energii następuje w pewnym czasie
i wymaga określonej mocy. Przy czym im krótszy jest czas potrzebny na przekazanie energii
ze źródła, tym moc tego źródła musi być większa.
Teoretycznie przekazaniu energii w nieskończenie krótkim czasie odpowiadałaby
nieskończenie wielka moc źródła. Oczywiście takich źródeł nie ma, tak więc przekazywanie
energii ze źródła trwa pewien czas, w którym obwód znajduje się w stanie nieustalonym. Stan
nieustalony powstaje zawsze wtedy, gdy zmienia się struktura obwodu. Stan nieustalony
może być spowodowany dołączeniem obwodu do źródła, jak i dołączeniem jakiegoś elementu
do obwodu, odłączeniem elementu, przerwaniem gałęzi obwodu. Pojęcia stanu ustalonego
i nieustalonego odnoszą się do obwodów, w których działają stałe w czasie napięcia i prądy
źródłowe. Po dołączeniu do obwodu źródła napięcia stałego lub przemiennego o nie zmieniającej
się wartości (stałej) w obwodzie powstaje stan nieustalony, który po pewnym czasie przechodzi
w stan ustalony. Teoretycznie stan nieustalony trwa nieskończenie długo, praktycznie po pewnym
czasie prąd w obwodzie i napięcia na elementach przyjmują pewne wartości ustalone. Czas ten
zależy od parametrów obwodu.
Urządzenia przewidziane do pracy w stanach ustalonych znajdują się w stanie nieustalonym
przy ich załączaniu i wyłączaniu. Jeżeli załączania i wyłączanie urządzeń jest częste ze względu
na specyfikę ich pracy, zjawiska związane z istnieniem stanu nieustalonego muszą być uwzględniane
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
22
na etapie projektowania urządzenia. Ponadto zjawiska zachodzące w stanach nieustalonych (przepięcia,
przetężenia) oddziałują na sieć zasilającą i to także musi być uwzględniane przy eksploatacji urządzeń.
Przy rozpatrywaniu zjawisk zachodzących w obwodach w stanach nieustalonych przyjmuje się
pewne określenia i definicje.
Stanem początkowym
obwodu nazywamy jego stan w chwili rozpoczęcia badania
zjawisk zachodzących w tym obwodzie. Na ogół przyjmuje się jako stan początkowy stan
w chwili
0
=
t
(czas rozpoczęcia obserwacji zjawisk). Jeżeli w stanie początkowym
wszystkie napięcia i prądy w obwodzie są równe zeru, to taki stan początkowy nazywamy
zerowym lub, mówimy, że warunki początkowe są zerowe. Jeżeli dla
0
=
t
płynie prąd przez
jakiś element obwodu lub jest napięcie na którymkolwiek elemencie, to warunki początkowe
są niezerowe.
Zmiany stanu
zachodzące w obwodzie w pewnej określonej chwili nazywamy komutacją.
Komutacja może być związana np. z zamykaniem wyłącznika łączącego obwód ze źródłem, z jego
otwieraniem, a także z dołączaniem lub odłączaniem gałęzi obwodu. Przykład przedstawiono na
rysunku 8.
Rys. 8. Powstawanie stanu nieustalonego: a) obwód tuż przed komutacją, b) obwód tuż po komutacji.[1]
Do obwodów zawierających cewki i kondensatory, w których zachodzi komutacja odnoszą się
prawa komutacji.
Pierwsze prawo komutacji
: prąd w obwodzie z indukcyjnością nie może zmieniać się skokowo
i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak tuż po komutacji. Pomiędzy prądem
płynącym przez cewkę, a strumieniem z nią skojarzonym zachodzi zależność:
Li
=
Ψ
, stąd zasada
niezmienności prądu w cewce w chwili komutacji dotyczy również niezmienności strumienia
magnetycznego skojarzonego z tą cewką, a także niezmienności pola magnetycznego.
Drugie prawo komutacji
: napięcie na kondensatorze nie może zmieniać się skokowo
i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak tuż po komutacji. Pomiędzy
ładunkiem zgromadzonym na okładzinach kondensatora, a napięciem na nim zachodzi
zależność:
Cu
q
=
, stąd zasada niezmienności napięcia na kondensatorze w chwili komutacji
dotyczy również niezmienności ładunku związanego z kondensatorem, a także niezmienności
energii pola elektrycznego.
Interpretując prawa komutacji można powiedzieć, że prąd w obwodzie z cewką osiąga pewną
ustaloną wartość stopniowo i w obwodzie jest stan nieustalony. Skokowa zmiana prądu i napięcia
zachodzi tylko w obwodzie czysto rezystancyjnym. Przejście ze stanu nieustalonego do ustalonego
w obwodzie czysto rezystancyjnym zachodzi natychmiast (w czasie nieskończenie krótkim).[1]
4.4.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania przebiegu
ćwiczeń i ich wykonania.
1. Kiedy w obwodzie elektrycznym powstaje stan nieustalony?
2. Jak długo trwa stan nieustalony?
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
23
3. O czym mówi pierwsze prawo komutacji?
4. O czym mówi drugie prawo komutacji?
5. W jakim obwodzie komutacja nie wywołuje stanu nieustalonego?
6. Jakie znasz urządzenia powszechnego użytku, z których eksploatacją wiąże się powstawanie
stanu nieustalonego?
4.4.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Przedstaw skutki zjawisk związanych z komutacją dla pracy urządzenia wskazanego przez
nauczyciela (pralka automatyczna, odkurzacz, telewizor, komputer, świetlówki, odtwarzacz CD,
DVD, zasilacz do ładowania telefonu komórkowego, i inne) oraz jego wrażliwość na stany
nieustalone powodowane przez inne urządzenia.
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) wykonać działania przedstawione w scenariuszu przedłożonym przez nauczyciela, zgodnie
z harmonogramem opracowanym przez grupę.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− opis zadania zaproponowany przez nauczyciela,
− książki, katalogi producentów sprzętu AGD i RTV, schematy urządzeń,
− komputer z dostępem do Internetu.
4.4.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak
Nie
1. wyjaśnić pojęcie stanu nieustalonego?
2. sformułować prawa komutacji?
3. wyjaśnić zjawiska towarzyszące komutacji?
4. wymienić urządzenia, w których występują częste stany nieustalone?
5. określić sposoby eliminowania negatywnych skutków związanych
z załączaniem urządzeń?
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
24
4.5. Stany nieustalone w obwodach RL, RC i RLC oraz ich wpływ
na pracę obwodu
4.5.1. Materiał nauczania
Większość obwodów elektrycznych (zarówno odbiorników jak i urządzeń sieci
elektroenergetycznej) zbudowana jest z elementów rezystancyjnych, indukcyjnych,
pojemnościowych. W obwodach tych w chwili komutacji zachodzą stany nieustalone.
Zjawiska związane z komutacją rozpatrywane dla dwójników składających się z elementów R,
L i C zachodzą także w urządzeniach, w których te elementy występują.
Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RL
1. Włączenie obwodu RL do źródła napięcia stałego.
Przyjmujemy, że do dwójnika RL (rysunek 9) w chwili
0
=
t
doprowadzono napięcie
stałe o wartości
U
, czyli zamknięcie wyłącznika nastąpiło w czasie
0
=
t
.
Rys. 9. Dwójnik szeregowy RL przyłączony do napięcia stałego [wykorzystano 1].
Zakładamy stan początkowy zerowy, to znaczy, że tuż przed komutacją z cewką nie była
związana żadna energia.Po zamknięciu wyłącznika w obwodzie zacznie płynąć prąd, który
narasta od zera i po czasie teoretycznie nieskończenie długim ustali się i osiągnie wartość:
R
U
i
u
=
Zgodnie z II prawem Kirchhoffa można dla tego obwodu napisać równanie:
dt
di
L
Ri
u
u
U
L
R
+
=
+
=
dla
0
=
t
prąd w obwodzie
0
=
i
.
Po zastosowaniu obliczeń matematycznych opartych na całkowaniu otrzymuje się funkcję
określającą zmiany prądu w obwodzie:
)
1
(
t
L
R
t
L
R
e
R
U
e
R
U
R
U
i
−
−
−
=
−
=
gdzie:
e
– podstawa logarytmu naturalnego – liczba niewymierna
.
72
,
2
....
7183
,
2
≈
≈
e
Nie
znając zagadnień związanych z logarytmowaniem można potraktować e jak każdą inną liczbę
i stosować przy obliczeniach działania na potęgach. Ze wzoru wynika, że prąd w obwodzie
ma dwie składowe:
– składową ustaloną, niezależną od czasu
R
U
i
u
=
,
– składową przejściową, której wartość maleje w miarę upływu czasu.
Prąd płynący w tym obwodzie w każdej chwili jest sumą obu składowych:
p
u
i
i
i
+
=
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
25
Wprowadzamy oznaczenie:
τ
=
R
L
. Nazywamy je stałą czasową obwodu, jej wymiarem jest
1sekunda [1s].
Napięcie na rezystancji wynosi:
τ
τ
t
t
R
Ue
U
e
R
U
R
U
R
Ri
u
−
−
−
=
−
=
=
)
(
Napięcie na indukcyjności wynosi:
τ
t
L
Ue
u
−
=
Prąd w obwodzie:
)
1
(
τ
τ
t
t
e
R
U
e
R
U
R
U
i
−
−
−
=
−
=
Na rysunku 10 przedstawione są przebiegi prądu i napięć w obwodzie w funkcji czasu.
Rys.10. Przebiegi czasowe prądu i napięć w szeregowym dwójniku RL włączonym do napięcia stałego:
a) przebiegi prądu, b) przebiegi napięć.[1]
Z wykresu oraz z obliczeń wynika, że napięcie na cewce maleje i w stanie ustalonym
wyniesie zero. W stanie ustalonym prąd jest ograniczony tylko rezystancją. Stąd płynie bardo
ważny wniosek: idealna cewka w obwodzie prądu stałego w stanie ustalonym powoduje
zwarcie źródła.
Rozpatrzymy wartość prądu dla czasów charakterystycznych:
– dla
0
=
t
:
R
U
i
u
=
,
R
U
i
p
−
=
wobec tego prąd
0
=
i
– dla
τ
=
t
:
R
U
i
u
=
,
eR
U
e
R
U
i
p
−
=
−
=
−1
– dla
τ
2
=
t
:
R
U
i
u
=
,
eR
U
e
R
U
i
p
2
2
−
=
−
=
−
– dla
∞
→
t
0
→
p
i
, a prąd
u
i
i
→
Z przeprowadzonych rozważań wynika, że udział składowej przejściowej w prądzie
całkowitym jest coraz mniejszy. Dla potrzeb obliczania obwodów można obliczyć stosunek
składowej przejściowej do składowej ustalonej dla różnych czasów będących wielokrotnością
stałej czasowej.
Tabela 1.
[1]
Czas t
0
τ
2τ 3
τ 4
τ 5
τ 6
τ 7
τ
[%]
100
⋅
u
p
i
i
100 36,78 13,53 4,98 1,83 0,674 0,248 0,091
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
26
Interpretację fizyczną stałej czasowej można przedstawić następująco: stała czasowa jest
to czas, po jakim prąd w obwodzie osiągnąłby wartość ustaloną, gdyby narastał liniowo, ze
stałą prędkością równą początkowej. Jak widać z wykresów tak się nie dzieje i w miarę
upływu czasu przyrosty prądu są coraz mniejsze. Interpretację graficzną stałej czasowej
można przedstawić następująco: jest to czas, jaki wyznacza styczna do przebiegu prądu dla
0
=
t
w przecięciu z prostą prądu ustalonego.
Praktycznie przyjmuje się, że po czasie około 5τ prąd ma wartość ustaloną (rysunek 11).
Rys. 11. Wyznaczanie graficzne stałej czasowej. [1]
Szybkość zmian prądu w obwodzie zależy od wartości stałej czasowej, a więc od
parametrów obwodu: im większa indukcyjność cewki tym wolniejsze narastanie prądu do
wartości ustalonej i odwrotnie.
Na wartość stałej czasowej można wpływać również rezystancją obwodu. Wpływ stałej
czasowej na szybkość zmian prądu ilustruje rysunek 12.
Rys. 12. Wpływ wartości stałej czasowej na przebieg prądu w obwodzie RL w stanie nieustalonym. [1]
2. Zwarcie obwodu RL przy warunku początkowym niezerowym.
Omówiony wyżej obwód i zjawiska zachodzące w nim odpowiadają układowi z rysunku
13 przy położeniu przełącznika w pozycji 1. W tym obwodzie w stanie ustalonym płynie prąd
stały o wartości
R
U
I
=
. Przy przepływie prądu przez cewkę o indukcyjności L w jej polu
magnetycznym została zgromadzona energia
2
2
1
LI
W
L
=
. Po ustaleniu się wartości prądu
w obwodzie (nie zmienia on swojej wartości w czasie ) na cewce nie indukuje się napięcie,
wówczas napięcie źródła jest równoważone spadkiem napięcia na rezystancji. Jeżeli w takim
stanie obwodu, który przyjmiemy za zerowy, wyłącznik zostanie przestawiony w pozycję 2
w obwodzie rozpocznie się stan nieustalony, o warunkach początkowych niezerowych:
dwójnik RL zostaje odłączony od źródła i zwarty.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
27
Rys. 13. Zwarcie dwójnika RL przy niezerowym warunku początkowym.[1]
Prąd w obwodzie ma przeciwny zwrot w stosunku do prądu sprzed zwarcia i posiada
tylko składową przejściową, która ma postać:
τ
t
e
R
U
i
−
=
Równanie napięć dla tego obwodu jest następujące:
τ
τ
t
L
t
R
L
R
L
R
Ue
u
Ue
u
u
u
u
u
−
−
−
=
=
−
=
+
=
0
W przypadku zwarcia w obwodzie RL przy warunkach początkowych niezerowych
napięcia i prąd w stanie nieustalonym wywołanym zwarciem, zgodnie z pierwszym prawem
komutacji, w funkcji czasu przyjmują wartości:
– dla
0
=
t
:
R
U
i
i
p
=
=
,
– dla
τ
=
t
:
eR
U
e
R
U
i
=
=
−1
,
,
e
U
u
R
=
e
U
u
L
−
=
– dla
∞
=
t
:
0
=
i
,
,
0
=
R
u
0
=
L
u
Przebiegi napięć i prądu ilustruje rysunek 14.
Rys. 14. Przebiegi czasowe w dwójniku szeregowym RL przy zwarciu: a) przebiegi prądu, b) przebiegi
napięć.[wykorzystano 1]
Źródłem przepływu prądu w stanie nieustalonym jest tutaj energia zgromadzona
w cewce, która zamienia się w ciepło wydzielone na rezystorze. Po wyczerpaniu się tej
energii prąd w obwodzie nie płynie.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
28
Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RC
1. Włączenie obwodu RC do źródła napięcia stałego
Rozpatrzony zostanie układ, w którym do szeregowo połączonych elementów R i C
w chwili
0
=
t
zostało doprowadzone napięcie stałe U . W układzie jak na rysunku 15
odpowiada to zamknięciu wyłącznika w chwili t=0.
Rys. 15. Dwójnik szeregowy RC włączony do źródła napięcia stałego. [1]
Zakładamy zerowy stan początkowy, to znaczy, że dla
0
=
t
0
=
C
u
– z kondensatorem
nie była związana żadna energia. Z chwilą zamknięcia wyłącznika (początek stanu
nieustalonego) w obwodzie zacznie płynąć prąd, którego wartość zależy od pojemności
kondensatora i szybkości zmian napięcia na kondensatorze w funkcji czasu. Po zastosowaniu
odpowiednich działań matematycznych otrzymujemy zależność na prąd w tym obwodzie
w postaci:
τ
t
e
R
U
i
−
=
,
gdzie:
RC
=
τ
– stała czasowa obwodu ładowania kondensatora, jej wymiarem jest 1sekunda
[1s]. Interpretacja fizyczna stałej czasowej dla obwodu RC jest następująca: stała czasowa jest
to czas, po jakim kondensator naładowałby się do napięcia U, gdyby ładowanie przebiegało
liniowo z początkową prędkością.
Równanie napięć dla tego obwodu ma postać:
C
C
R
u
Ri
u
u
U
+
=
+
=
,
a zatem w każdej chwili napięcie na kondensatorze w tym obwodzie będzie miało wartość:
)
1
(
τ
τ
t
t
C
e
U
Ue
U
iR
U
u
−
−
−
=
−
=
−
=
Ze wzoru wynika, że napięcie na kondensatorze ma dwie składowe:
– składową ustaloną, niezależną od czasu
U
u
Cu
=
– składową przejściową, której wartość maleje w miarę upływu czasu
τ
t
Cp
Ue
u
−
−
=
Napięcie na kondensatorze w każdej chwili jest sumą obu składowych:
Cp
Cu
u
u
u
+
=
Napięcie na rezystorze zmienia się wraz z upływem czasu (maleje) według zależności:
τ
t
R
Ue
u
−
=
Napięcia na kondensatorze i rezystorze oraz prąd w obwodzie dla wybranych czasów mają
wartość:
- dla
0
=
t
:
R
U
i
=
,
,
U
u
R
=
0
=
C
u
- dla
τ
=
t
:,
eR
U
e
R
U
i
=
=
−1
,
,
e
U
u
R
=
)
1
1
(
e
U
u
C
−
=
- dla
∞
=
t
:
0
=
i
,
,
0
=
R
u
U
u
C
=
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
29
Jak można zauważyć, przepływ prądu trwa do czasu istnienia różnicy potencjałów między
biegunem źródła i okładziną kondensatora, a wartość prądu zależy od różnicy tych potencjałów.
Z chwilą wyrównania się potencjału źródła i kondensatora prąd przestaje płynąć.
W stanie ustalonym prąd w obwodzie z kondensatorem włączonym do źródła napięcia
stałego nie płynie. Mówimy, że kondensator stanowi przerwę w obwodzie napięcia stałego.
Przebiegi napięć i prądu ilustruje rysunek 16.
Rys. 16. Przebiegi czasowe napięć i prądu ładowania kondensatora przez rezystancję ze źródła napięcia stałego:
a) przebieg napięcia na kondensatorze oraz jego składowe – ustalona i przejściowa, b) przebieg prądu
ładowania kondensatora, c) przebieg napięcia na rezystorze.[1]
Kształt krzywej napięcia oraz prądu ładowania kondensatora zależy od stałej czasowej
obwodu: im większe R lub C, tym wolniej przyrasta napięcie na kondensatorze i tym wolniej
maleje prąd w obwodzie.
2. Zwarcie obwodu RC przy warunku początkowym niezerowym
Omówiony wyżej obwód i zjawiska zachodzące w nim odpowiadają układowi z rysunku 17
przy położeniu przełącznika w pozycji 1. W tym obwodzie w stanie ustalonym nie płynie prąd,
ponieważ kondensator stanowi przerwę dla prądu stałego. Kondensator został naładowany
i napięcie na nim jest równe napięciu źródła, czyli jest równe
U
. Ten stan traktujemy jako ustalony.
Jeżeli teraz w chwili
0
=
t
przełączymy wyłącznik z pozycji 1 w pozycję 2, oznacza to odłączenie
układu od źródła napięcia i zwarcie kondensatora poprzez rezystor. W układzie zaistnieje stan
nieustalony, przy czym dla
0
=
t
warunki nie będą zerowe.
Rys. 17. Zwarcie dwójnika szeregowego RC przy warunku początkowym niezerowym. [w oparciu o 1]
Zgodnie z drugim prawem komutacji tuż po zamknięciu wyłącznika napięcie na
kondensatorze ma taką samą wartość jak tuż przed jego otwarciem, a więc U , a energia
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
30
zawarta w polu elektrycznym kondensatora wynosi
2
2
1
CU
W
C
=
. W miarę trwania stanu
nieustalonego zasób energii zgromadzonej w polu elektrycznym kondensatora zmniejsza się
kosztem zamiany tej energii na ciepło wydzielane w rezystorze. Ten stan nieustalony dla
dwójnika RC nazywamy rozładowaniem kondensatora przez rezystor.
Dla obwodu zwartego można napisać równanie napięć:
C
C
R
u
Ri
u
u
+
=
+
=
0
Prąd w obwodzie ma taki sam charakter jak przy ładowaniu kondensatora, ale jego zwrot jest
przeciwny:
τ
t
e
R
U
i
−
−
=
Stąd napięcia na elementach obwodu zmieniają się według zależności:
τ
τ
t
C
t
R
C
R
Ue
u
Ue
u
u
u
−
−
=
−
=
−
=
Przebieg tych napięć i prądu pokazany jest na rysunku 18.
Rys. 18. Przebiegi czasowe dla dwójnika szeregowego RC przy zwarciu: a) przebiegi napięć, b) przebieg
prądu [1]
Napięcia na kondensatorze i rezystorze oraz prąd w obwodzie dla wybranych czasów mają
wartość:
– dla
0
=
t
:
R
U
i
−
=
,
,
U
u
R
−
=
U
u
C
=
– dla
τ
=
t
:
eR
U
e
R
U
i
−
=
−
=
−1
,
,
e
U
u
R
−
=
e
U
u
C
=
– dla
∞
→
t
:
0
=
i
,
,
0
=
R
u
0
=
C
u
Oczywiście im większa stała czasowa obwodu rozładowania, tym wolniej kondensator
się rozładowuje. Zwiększenie stałej czasowej obwodu można uzyska zwiększając R lub C.
Zjawiska zachodzące w dwójniku RC podczas stanu nieustalonego są wykorzystywane
w układach impulsowych, zasilaczach prądu stałego, układach sterowania.
Stan nieustalony w dwójniku szeregowym R, L, C
W praktyce wiele obwodów zawiera wszystkie omówione elementy. W stanie nieustalonym
w takim obwodzie będą się nakładały zjawiska zachodzące w dwójniku RC i RL. Na rysunku 19
przedstawiony jest obwód RLC do którego przyłożono napięcie stałe.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
31
Rys. 19. Szeregowy dwójnik RLC zasilony ze źródła napięcia stałego.[1]
Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa, w każdej chwili równanie napięć w tym
obwodzie ma postać:
C
L
R
u
u
u
U
+
+
=
W tym obwodzie przy włączeniu napięcia stałego następuje ładowanie kondensatora
przez rezystor i cewkę. Identyczne zjawiska fizyczne zachodzą, jeżeli kondensator zewrzemy
przez rezystor i cewkę, to znaczy przy zwarciu dwójnika szeregowego RLC. W obu
przypadkach wraz ze zmianą prądu w obwodzie i napięcia na kondensatorze zmienia się
energia pola magnetycznego cewki
2
2
1
Li
W
L
=
, zależna od prądu, jak też energia pola
elektrycznego kondensatora:
2
2
1
C
C
Cu
W
=
, zależna od zmian napięcia na kondensatorze,
a także energia cieplna wydzielana na rezystorze.
Rozwiązanie podanego na wstępie równania napięć wymaga znajomości wyższej
matematyki. Przebiegi napięć można zaobserwować na oscyloskopie. Przy obserwacji warto
zwrócić uwagę na zmiany charakteru zjawisk zachodzących w takim obwodzie w zależności
od wzajemnych relacji pomiędzy parametrami R, L i C obwodu.
W stanie nieustalonym przy
C
L
R
2
<
zasadniczą rolę w dwójniku odgrywają parametry
L i C i dominuje zjawisko wymiany energii między kondensatorem a cewką. Ta wymiana
energii powoduje oscylacyjny przebieg prądu. Przebiegi czasowe dla takiego dwójnika
przedstawione są na rysunku 20.
Rys. 20. Przebiegi czasowe w dwójniku RLC włączonym na napięcie stałe przy
C
L
R
2
<
: a) przebieg prądu
w obwodzie, b) przebieg napięcia na kondensatorze. [wykorzystano 1]
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
32
Tłumienie oscylacji, które występują w obwodzie zależy od wartości rezystancji R.
Przedstawione przebiegi prądu w tym obwodzie i napięcia na kondensatorze opisują
zależności:
)
sin(
sin
0
0
0
ϕ
ω
ω
ω
ω
α
α
+
−
=
=
−
−
t
C
t
o
e
LC
U
U
u
t
e
L
U
i
gdzie:
L
R
2
=
α
- współczynnik tłumienia,
2
2
0
1
)
2
(
1
α
ω
−
=
−
=
LC
L
R
LC
- pulsacja drgań własnych,
α
ω
ϕ
0
tg
=
Warto zwrócić uwagę na to, że:
− na kondensatorze w stanie nieustalonym pojawia się napięcie przewyższające napięcie
zasilające obwód (zjawisko niebezpieczne)
− w miarę trwania stanu nieustalonego drgania zanikają i na kondensatorze ustala się
napięcie, które w stanie ustalonym jest równe napięciu przyłożonemu do dwójnika.
W obwodzie o takich parametrach, gdzie:
C
L
R
2
>
występuje dominująca rola rezystancji.
Przebiegi mają charakter nieokresowy – rysunek 21.
Rys. 21. Przebiegi czasowe napięcia na kondensatorze i prądu w obwodzie dwójnika RLC włączonego na
napięcie stałe, przy
C
L
R
2
>
.[wykorzystano 1]
Tutaj również w stanie nieustalonym w miarę trwania tego stanu napięcie dąży do wartości U,
a prąd zanika do zera.
W
przypadku
C
L
R
2
=
przebieg jest również aperiodyczny. Rezystancję R nazywamy
krytyczną, a przebieg dla takiej rezystancji nazywamy aperiodycznym krytycznym.[1]
4.5.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jakie zjawiska występują w obwodzie RL załączonym na napięcie stałe?
2. Jak zmieniają się napięcia i prąd w dwójniku szeregowym RL załączonym na napięcie
stałe?
3. Jaka jest interpretacja stałej czasowej obwodu RL?
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
33
4. W jaki sposób obliczysz stałą czasową obwodu RL?
5. W jaki sposób można zmniejszyć (zwiększyć) szybkość zmian prądu w obwodzie RL?
6. Jak zachowuje się idealna cewka w obwodzie prądu stałego w stanie ustalonym?
7. Jakie zjawiska występują w obwodzie RC załączonym na napięcie stałe?
8. Jak zmieniają się napięcia i prąd w dwójniku szeregowym RC załączonym na napięcie
stałe?
9. Jaka jest interpretacja stałej czasowej obwodu RC?
10. W jaki sposób obliczysz stałą czasową obwodu RC?
11. W jaki sposób można zmniejszyć (zwiększyć) szybkość ładowania kondensatora?
12. Jak zachowuje się idealny kondensator w obwodzie prądu stałego w stanie ustalonym?
13. W jakich układach znajdują zastosowania zjawiska zachodzące w stanie nieustalonym
w szeregowym obwodzie RC?
14. Jakie niebezpieczeństwo pojawia się w stanie nieustalonym w odwodzie RLC przy
dominującym działaniu L i C, po podaniu napięcia stałego? Gdzie to zjawisko może być
wykorzystane?
4.5.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz wartość prądu, jaki popłynie w obwodzie rzeczywistej cewki o indukcyjności
L=100mH i rezystancji jej uzwojenia R=10Ω po załączeniu do niej napięcia stałego oraz po
czasie
τ
=
t
. Jaką wartość miałby prąd przy zwarciu tej cewki po czasie
τ
2
=
t
?
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) obliczyć stałą czasową i wartość prądu dla:
0
=
t
,
τ
=
t
i
τ
2
=
t
od chwili przyłożenia
napięcia,
2) obliczyć wartość prądu przy zwarciu,
3) sformułować wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− kalkulator.
Ćwiczenie 2
Kondensator o pojemności 4μF został połączony szeregowo z rezystorem R=0,5MΩ
i załączony do źródła napięcia stałego U=100V. Oblicz wartość prądu ładowania
kondensatora tuż po komutacji (
0
=
t
) i po 2 sekundach trwania stanu nieustalonego.
Sprawdź jak wpłynie na wartość prądu dwukrotne zwiększenie rezystancji w obwodzie, a jak
dwukrotne zwiększenie pojemności kondensatora.
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) obliczyć stałą czasową i wartość prądu dla danych wyjściowych,
2) obliczyć stała czasową i wartość prądu dla danych dwóch następnych przypadków,
3) porównać wyniki,
4) sformułować wnioski.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
34
Wyposażenie stanowiska pracy:
− kalkulator.
Ćwiczenie 3
Na podstawie pomiarów przeprowadzonych w przedstawionym układzie wykreśl zależność
)
(t
f
u
C
=
oraz
)
(t
f
i
=
w obwodzie RC dla:
− procesu ładowania kondensatora w obwodzie prądu stałego
− procesu rozładowania kondensatora.
Pomiary przeprowadź dla dwóch stałych czasowych: przy R= R
1
i R= R
2
)
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z elementami układu,
2) zmontować układ jak na rysunku,
Rysunek do ćwiczenia [źródło własne]
3) uzasadnić wybór woltomierzy,
4) obliczyć stałe czasowe dla danych elementów obwodu i ustalić czas badania do 7 stałych
czasowych,
5) narysować tabele do zapisywania wyników,
6) wykonać pomiary dla obu stałych czasowych,
7) wykonać obliczenia i wykresy (we wspólnym układzie współrzędnych wykreślić napięcia
dla obu stałych czasowych, analogicznie prądy),
8) sformułować i zapisać wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− schemat układu pomiarowego,
− układ z kondensatorem i rezystorem (wymiennym),
− źródło napięcia stałego,
− stoper,
− 2 woltomierze magnetoelektryczne, w tym jeden o bardzo dużej rezystancji wewnętrznej,
− kalkulator.
Ćwiczenie 4
Narysuj przebiegi
)
(t
f
u
L
=
,
)
(t
f
i
=
(kształt prądu i jest taki sam jak
R
u
) oraz
)
(t
f
u
=
uzyskane na ekranie oscyloskopu przy połączeniu układu RL jak na rysunku i uzasadnij ich
przebieg.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z elementami układu,
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
35
2) zmontować układ jak na rysunku,
Rysunek do ćwiczenia [źródło własne]
3) do zacisków układu 1-2 doprowadzić napięcie z generatora impulsów prostokątnych,
4) przeprowadzić badanie układu poprzez:
− obserwację napięcia wejściowego – oscyloskop przyłączony do zacisków 1-2 i obserwację
napięcia na cewce – oscyloskop przyłączony do zacisków 3-2,
− obserwację napięcia wejściowego – oscyloskop przyłączony do zacisków 1-2 i obserwację
napięcia na rezystorze – oscyloskop przyłączony do zacisków 1- 3,
5) przerysować przebiegi na papier milimetrowy i nanieść wartości na osie,
6) pomiary powtórzyć dla innej stałej czasowej,
7) sformułować i zapisać wnioski.
Uwagi do ćwiczenia: należy tak dobrać okres T impulsu prostokątnego, aby T>(8-10) τ
układu.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− schemat układu pomiarowego,
− układ z cewką i rezystorem o zmiennych parametrach,
− generator impulsów prostokątnych,
− oscyloskop dwukanałowy,
− papier milimetrowy.
Ćwiczenie 5
Narysuj przebiegi
)
(t
f
u
C
=
,
)
(t
f
i
=
(kształt
i
taki sam jak
R
u
) oraz
)
(t
f
u
=
uzyskane na ekranie oscyloskopu przy połączeniu układu RLC jak na rysunku i uzasadnij ich
przebieg.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z elementami układu,
2) zmontować układ jak na rysunku,
Rysunek do ćwiczenia [źródło własne]
3) do zacisków układu 1-2 doprowadzić napięcie z generatora impulsów prostokątnych
4) przeprowadzić badanie układu poprzez:
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
36
− obserwację napięcia wejściowego – oscyloskop przyłączony do zacisków 1-2 i obserwację
napięcia na kondensatorze – oscyloskop przyłączony do zacisków 4-2,
− obserwację napięcia wejściowego – oscyloskop przyłączony do zacisków 1-2 i obserwację
napięcia na rezystorze – oscyloskop przyłączony do zacisków 1- 3,
5) przerysować przebiegi na papier milimetrowy i nanieść wartości na osie,
6) pomiary przeprowadzić dla:
a)
C
L
R
2
<
b)
C
L
R
2
>
7) sformułować i zapisać wnioski.
Uwagi do ćwiczenia: należy tak dobrać okres T impulsu prostokątnego, aby był on 8-10
razy większy od okresu drgań własnych układu połączonych elementów RLC.
Wyposażenie stanowiska pracy:
− schemat układu pomiarowego,
− układ z kondensatorem, cewką i rezystorem o zmiennych parametrach,
− generator impulsów prostokątnych,
− oscyloskop dwukanałowy,
− papier milimetrowy.
4.5.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak
Nie
1 wyjaśnić sens fizyczny stałej czasowej obwodu RL?
2 obliczyć stałą czasową obwodu RC i określić jej wpływ na przebiegi
w obwodzie?
3 zinterpretować zjawiska w obwodzie RL w stanie nieustalonym?
4 przewidzieć wpływ parametrów obwodu na przebiegi prądu i napięć
w stanie nieustalonym?
5 wyjaśnić sens fizyczny stałej czasowej obwodu RC?
6 obliczyć stałą czasową obwodu RC i określić jej wpływ na przebiegi
w obwodzie?
7 zinterpretować zjawiska w obwodzie RC w stanie nieustalonym?
8 przewidzieć skutki niekorzystnych zjawisk towarzyszących
komutacji w obwodach RL i RC?
9 wymienić urządzenia, w których występują częste stany nieustalone?
10 wymienić urządzenia, w których wykorzystywane są zjawiska zachodzące
w obwodzie RLC w stanie nieustalonym?
11 zinterpretować przebiegi w obwodzie RLC w stanie nieustalonym?
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
37
5. SPRAWDZIANY OSIĄGNIĘĆ
TEST 1
Test pisemny dwustopniowy do jednostki modułowej „Określanie skutków
przebiegów odkształconych i stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych”
INSTRUKCJA DLA UCZNIA
1. Przeczytaj uważnie instrukcję – masz na tę czynność 5 minut; jeżeli są wątpliwości
zapytaj nauczyciela.
2. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.
3. Zapoznaj się z zestawem pytań testowych.
4. Test zawiera 16 pytań. Do każdego pytania dołączone są 4 możliwości odpowiedzi.
Tylko jedna jest prawidłowa.
5. Za każdą poprawną odpowiedź otrzymasz 1 punkt, za błędną lub brak odpowiedzi 0
punktów.
6. W czasie rozwiązywania zadań możesz korzystać z kalkulatora.
7. Udzielaj odpowiedzi tylko na załączonej karcie odpowiedzi; zaznacz poprawną odpowiedź
wstawiając znak X w odpowiednie pole w karcie odpowiedzi.
8. W przypadku pomyłki otocz błędną odpowiedź kółkiem, a następnie zaznacz odpowiedź
prawidłową.
9. Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonanego zadania.
10. Kiedy udzielenie odpowiedzi na kolejne pytanie będzie Ci sprawiało trudność, wtedy
odłóż jego rozwiązanie na później i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas.
11. Na rozwiązanie testu masz 24 minuty.
12. Po zakończeniu testu podnieś rękę i zaczekaj, aż nauczyciel odbierze od Ciebie pracę.
Powodzenia!
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
38
ZESTAW ZADAŃ TESTOWYCH
1. Pojęcie: wyższa harmoniczna oznacza:
a) przebieg sinusoidalny nieodkształcony o częstotliwości większej od sieciowej,
b) składową przebiegu odkształconego, która jest sinusoidą, o częstotliwości większej od
podstawowej,
c) przebieg sinusoidalny odkształcony o częstotliwości większej od sieciowej,
d) składową przebiegu odkształconego, która nie jest sinusoidą, o częstotliwości większej
od podstawowej.
2. Napięcia wytwarzane przez symetryczną prądnicę trójfazową są odkształcone z powodu:
a) prędkości wirnika innej niż znamionowa,
b) braku symetrii uzwojeń,
c) nierównomiernego rozkładu indukcji w szczelinie na obwodzie wirnika,
d) różnej częstotliwości podstawowej harmonicznej dla każdego z uzwojeń.
3. W którym z filtrów nie zostanie wytłumiona harmoniczna, dla której zachodzi rezonans
w obwodzie?
4. Przez odbiornik płynie prąd odkształcony o wartości chwilowej:
A
t
t
t
i
)
5
sin
1
,
7
3
sin
1
,
14
sin
2
,
28
10
(
ω
ω
ω
+
+
+
=
. Wartość skuteczna trzeciej harmonicznej
tego prądu wynosi:
a) 28,2 A,
b) 20 A,
c) 14,1 A,
d) 10 A.
5. Cewkę o rezystancji 3 Ω włączono w obwód napięcia odkształconego. Jej reaktancja dla
harmonicznej podstawowej wynosi 6 Ω. Jaka jest reaktancja tej cewki dla trzeciej
harmonicznej prądu?
a) 21 Ω,
b) 18 Ω,
c) 6 Ω,
d) 2 Ω.
6. Reaktancja kondensatora włączonego w obwód napięcia odkształconego dla harmonicznej
podstawowej wynosi 36 Ω. Jaka jest reaktancja tego kondensatora dla trzeciej
harmonicznej prądu?
a) 6 Ω,
b) 9 Ω,
c) 12 Ω,
d) 36 Ω.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
39
7. Układ szeregowy RLC zasilany jest napięciem odkształconym. Dla podstawowej
harmonicznej wystąpił w obwodzie rezonans napięć. Skutkiem tego w obwodzie będzie:
a) zmniejszenie się impedancji obwodu i wzrost prądu,
b) zwiększenie się impedancji obwodu i zmniejszenie prądu,
c) zmniejszenie się impedancji obwodu i zmniejszenie prądu,
d) zwiększenie się impedancji obwodu i wzrost prądu.
8. Rezystor o rezystancji R=2MΩ i kondensator o pojemności C=0,5μF połączone szeregowo
dołączono do źródła napięcia stałego U=100V. Stała czasowa tego obwodu wynosi:
a) 0,5 s,
b) 1 s,
c) 2 s,
d) 2,5 s.
9. Jaką wartość będzie miał prąd w obwodzie z zadania 8 w chwili komutacji?
a) 200 μA,
b) 100 μA,
c) 50 μA,
d) 25 μA.
10. Które z charakterystyk przedstawiają przebiegi czasowe napięcia na kondensatorze
i prądu w dwójniku RC po przyłożeniu do układu napięcia stałego?
a) 1 napięcie, 2 prąd,
b) 2 napięcie, 1 prąd,
c) 3 napięcie, 2 prąd,
d) 3 napięcie, 1 prą.
11. Które z charakterystyk na rysunku do zadania 10 przedstawiają przebiegi czasowe napięcia na
cewce i prądu w obwodzie szeregowego dwójnika RL po zwarciu obwodu, przy warunku
początkowym niezerowym?
a) 1 napięcie, 2 prąd,
b) 3 napięcie, 2 prąd,
c) 2 napięcie, 1 prąd,
d) 2 napięcie, 3 prąd
12. Jak zachowuje się idealna cewka do której przyłożono napięcie stałe?
w chwili komutacji w stanie ustalonym
a) zwarcie zwarcie,
b) przerwa zwarcie,
c) zwarcie przerwa,
d) przerwa przerwa
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
40
13. Przy zwarciu w dwójniku RL szeregowym w stanie nieustalonym przy warunku początkowym
niezerowym energia zgromadzona w polu magnetycznym cewki:
a) zamienia się w energię cieplną na rezystorze,
b) zostaje oddana do źródła,
c) pozostaje w polu magnetycznym cewki,
d) zostaje zamienione na energię cieplną w cewce
14. Jakie zmiany parametrów szeregowego dwójnika RC spowodowały zmianę charakterystyki
napięcia z 1 na 2 w dwójniku RC w stanie nieustalonym?
a) zmniejszenie R i zwiększenie C w takiej samej proporcji,
b) zwiększenie R lub C,
c) zwiększenie R i zmniejszenie C w takiej samej proporcji,
d) zmniejszenie R lub C.
15. Jak zachowuje się idealny kondensator w obwodzie prądu stałego:
w chwili komutacji
w stanie ustalonym
a) zwarcie
przerwa,
b) przerwa
przerwa,
c) zwarcie
zwarcie,
d) przerwa
zwarcie.
16. Jakie zmiany parametrów szeregowego dwójnika RC spowodowały zmianę charakterystyki
prądu 1 na 2 w dwójniku RC w stanie nieustalonym?
a) zmniejszenie R i zwiększenie C w takiej samej proporcji,
b) zmniejszenie R,
c) zwiększenie R i zmniejszenie C w takiej samej proporcji,
d) zwiększenie C.
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
41
KARTA ODPOWIEDZI
Imię i nazwisko ……………………………………………………………………………
Określanie skutków przebiegów odkształconych i stanów nieustalonych w
obwodach elek
trycznych
Zakreśl poprawną odpowiedź.
Numer
zadania
Odpowiedź Punkty
1
a b c d
2
a b c d
3
b c d
4
a b c d
5
a b c d
6
a b c d
7
a b c d
8
a b c d
9
a b c d
10
a b c d
11
a b c d
12
a b c d
13
a b c d
14
a b c d
15
a b c d
16
a b c d
Razem:
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
42
7. L ITERATURA
1. Bolkowski S.: Elektrotechnika,. WSiP, Warszawa 2004
2. Markiewicz A.: Zbiór zadań z elektrotechniki,. WSiP, Warszawa 2000
3. Materiały z drugiej konferencji naukowo-technicznej. Stowarzyszenie Elektryków Polskich,
Wydział Elektrotechniki i Elektroniki Politechniki Łódzkiej UNAPEN’99, Łódź 1999
4. Rawa H.: Zbiór zadań z elektrotechniki,. WSiP, Warszawa 1991