Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Oznaczenia:

N

= {1, 2, 3, . . .}

N

atural

Z

= {0, ±1, ±2, ±3, . . .}

Z

ahl

Q

=

(

p
q

: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0

)

Q

uotient

R

= zbiór liczb rzeczywistych.

R

eal

N

Z

Q

R

N

⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

1

Przekształcenia wyrażeń algebraicznych, wzory skró-
conego mnożenia.

Definicja 1.

Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub kilka wielkości algebraicznych:

liczb, symboli literowych, połączonych znakami działań, takimi jak dodawanie „+”, odejmowanie
„−”, mnożenie „·”, dzielenie „:”, potęgowanie „(·)

n

”, pierwiastkowanie „

n

√

·” itp. oraz różnego

rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

a

2

− 3

b − a

,



√

a +

√

b



2

a − b

,

√

x + 1

x

√

x + x +

√

x

:

1

x

2

−

√

x

.

Definicja 2.

Tożsamość algebraiczna to taka równość dwu wyrażeń algebraicznych, że po wsta-

wieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa.

Podstawowe tożsamości algebraiczne - WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA:

(a ± b)

2

= a

2

± 2ab + b

2

(1)

(a ± b)

3

= a

3

± 3a

2

b + 3ab

2

± b

3

(2)

(a + b + c)

2

= a

2

+ b

2

+ c

2

+ 2ab + 2ac + 2bc

(3)

a

2

− b

2

= (a − b)(a + b)

(4)

a

3

− b

3

= (a − b)(a

2

+ ab + b

2

)

(5)

a

3

+ b

3

= (a + b)(a

2

− ab + b

2

)

(6)

a

4

− b

4

= (a − b)(a + b)(a

2

+ b

2

)

(7)

a

n

− b

n

= (a − b)(a

n

−1

+ a

n

−2

b + · · · + ab

n

−2

+ b

n

−1

),

n > 1, n ∈ N

(8)

(a + b)

n

=

n

X

k

=0

n
k

!

a

n

−k

b

k

,

gdzie n ∈ N,

n

k

!

=

n!

(n − k)!k!

.

(9)

Definicja 3.

Przekształceniem tożsamościowym nazywamy dowolne przekształcenie danego wy-

rażenia algebraicznego, które produkuje wyrażenie tożsamościowo mu równe.

Przekształceniem wyrażeń algebraicznych nazywamy sprowadzenie ich do równoważnych (na ogół
prostszych) postaci, np. w celu skrócenia danego wyrażenia, usunięcia niewymierności z mianow-
nika itp.:

a(a − b) − a

2

ab − a

2

=

b

a − b

,

√

a

√

a −

√

b

=

√

a



√

a +

√

b



a − b

.

1

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

2

Funkcje trygonometryczne.

2.1

Kąt i jego miara

Definicja 4.

Części płaszczyzny ograniczone dwiema półprostymi p i q wychodzącymi ze wspól-

nego punktu O nazywamy kątami, przy czym kąt α jest kątem wypukłym, zaś β kątem wklęsłym.
Półproste k i l nazywamy ramionami tych kątów, a punkt O ich wierzchołkiem.

α

O

β

p

q

Miara stopniowa stosowana w geometrii oparta jest na podziale pełnego kąta na 360 równych
części, tzn. 360

◦

. Dalszego podziału dokonuje się w systemie sześćdziesiątkowym, tzn. 1

◦

= 60

′

(minut), 1

′

= 60

′′

(sekund).

1

Do ilościowego opisu kąta stosuje się również tzw. miarę łukową.
Miarą łukową kąta nazywamy liczbę α będącą stosunkiem długości l łuku okręgu o środku w O,
zawartego wewnątrz kąta, do promienia okręgu r. Jednostką miary łukowej jest radian (rad)
będący miarą kąta, którego długość łuku okręgu l jest równa promieniowi okręgu.
1 rad

= 57

◦

17

′

44, 8

′′

= 57,2958

◦

l

r

α

O

p

q

α =

l

r

Kąt, którego jedno ramię p wyróżniamy jako początkowe, a drugie q jako końcowe nazywamy
kątem skierowanym.

α

O

p

q

Kąt skierowany otrzymujemy przez obrót na płaszczyźnie półprostej wycho-
dzącej z ustalonego punktu O. Jeżeli kierunek obrotu jest przeciwny do ruchu
wskazówek zegara, to przyjmujemy, że kąt ma miarę dodatnią, a jeżeli kieru-
nek jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, to kąt ma miarę ujemną.

2.2

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

Niech α będzie miarą dowolnego kąta skierowanego na płaszczyźnie XOY . Wówczas

1

W geodezji kąt płaski mierzy się w gradusach. Kąt pełny odpowiada 400 gradusom.

2

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

1

1

−1

x

y

α

P (

x

,

y

)

r

x

y

sin(·) : R ∋ α 7→ sin α =

y
r

,

cos(·) : R ∋ α 7→ cos α =

x

r

,

tg(·) : R \



π

2

+ kπ : k ∈ Z



∋ α 7→ tg α =

y
x

,

ctg(·) : R \ {kπ : k ∈ Z} ∋ α 7→ ctg α =

x
y

.

2.3

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego ar-
gumentu

∀

α

∈R

sin

2

α + cos

2

α = 1

∀

α

∈R\

{

π

2

+kπ:k∈Z

}

tg α =

sin α

cos α

,

∀

α

∈R\{kπ: k∈Z}

ctg α =

cos α

sin α

,

∀

α

∈R\

{

kπ

2

: k∈Z

}

tg α · ctg α = 1.

2.4

Funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu oraz sumy i
różnicy argumentów

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β,

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β,

sin 2α = 2 sin α cos α,

cos 2α = cos

2

α − sin

2

α = 2 cos

2

α − 1 = 1 − 2 sin

2

α.

2.5

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Funkcje sin(·) i cos(·) są funkcjami okresowymi o okresie podstawowym 2π, natomiast funkcje
tg(·) i ctg(·) są funkcjami okresowymi o okresie podstawowym π, tzn.

sin(α + 2kπ) = sin α,

k ∈ Z,

cos(α + 2kπ) = cos α,

k ∈ Z,

tg(α + kπ) = tg α,

k ∈ Z,

ctg(α + kπ) = ctg α,

k ∈ Z.

2.6

Parzystość funkcji trygonometrycznych

Funkcja cos(·) jest funkcją parzystą, zaś pozostałe funkcje są nieparzyste, tzn.:

cos(−α) = cos α,

sin(−α) = − sin α, tg(−α) = tg α, ctg(−α) = − ctg α.

3

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

2.7

Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach

Zakres kąta; α ∈

(0, 90

◦

)

(90

◦

, 180

◦

)

(180

◦

, 270

◦

) (270

◦

, 360

◦

)



0,

π

2





π

2

, π





π,

3
2

π





3
2

π, 2π



sin α

+

+

−

−

cos α

+

−

−

+

tg α

+

−

+

−

ctg α

+

−

+

−

2.8

Wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych argumentów

α =

Kąt w stopniach

0

◦

30

◦

45

◦

60

◦

90

◦

180

◦

270

◦

360

◦

Miara łukowa

0

π

6

π

4

π

3

π

2

π

3
2

π

2π

sin α

0

1
2

√

2

2

√

3

2

1

0

−1

0

cos α

1

√

3

2

√

2

2

1
2

0

−1

0

1

tg α

0

√

3

3

1

√

3

×

0

×

0

ctg α

×

√

3

1

√

3

3

0

×

0

×

2.9

Wzory redukcyjne

β =

π

2

− α

π

2

+ α

π − α

π + α

3
2

π − α

3
2

π + α

2π − α 2π + α

sin β

cos α

cos α

sin α

− sin α − cos α − cos α − sin α

sin α

cos β

sin α

− sin α − cos α − cos α − sin α

sin α

cos α

cos α

tg β

ctg α

− ctg α

− tg α

tg α

ctg α

− ctg α

− tg α

tg α

ctg β

tg α

− tg α

− ctg α

ctg α

tg α

− tg α

− ctg α

ctg α

UWAGA! Wzory redukcyjne można zapamiętać stosując dwie zasady:
ZASADA I:

Ustalanie znaku, patrz 2.7.

ZASADA II:

W „okolicach”

π

2

i

3
2

π funkcja zmienia się na kofunkcję (tzn. sin(·) na cos(·), cos(·)

na sin(·), tg(·) na ctg(·) i ctg(·) na tg(·)).

2.10

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Niech x będzie argumentem funkcji trygonometrycznych. Wtedy mamy następujący opis tych
funkcji y = sin x, y = cos x, y = tg x i y = ctg x.

4

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

1

−1

1

−1

x

y

x

1

−1

π

−π

arc(x)

x

y

Rysunek 1: Konstrukcja sinusoidy.

1

−1

−1

1

y

x

x

1

−1

π

−π

arc(x)

x

y

Rysunek 2: Konstrukcja cosinusoidy.

1

−1

π

2π

−π

−2π

−

π

2

π

2

x

y

y

= sin x

Rysunek 3: Wykres funkcji sin(·) (sinusoida).

1

−1

π

2π

−π

−2π

−

π

2

π

2

x

y

y

= cos x

Rysunek 4: Wykres funkcji cos(·) (cosinusoida).

5

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

1

2

−1

−2

π

2π

−π

−2π

−

π

2

π

2

x

y

y

= tg x

−

3π

2

3π

2

Rysunek 5: Wykres funkcji tg(·) (tangensoida)

1

2

−1

−2

π

2π

−π

−2π

−

π

2

π

2

x

y

y

= ctg x

Rysunek 6: Wykres funkcji ctg(·) (cotangensoida).

6

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

3

Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych
ograniczonych do pewnych przedziałów. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na całym zbio-
rze R nie są oczywiście różnowartościowe, ale jeśli zawęzimy dziedziny do pewnych przedziałów

(sin :



−

π

2

,

π

2



→ h−1, 1i; cos : h0, πi → h−1, 1i; tg :



−

π

2

,

π

2



→ R; ctg h0, πi → R), to tak

określone funkcje będą już różnowartościowe i mają funkcje odwrotne.

Definicja 5.

Funkcję odwrotną do funkcji sin (sinus) obciętej do przedziału



−

π

2

,

π

2



nazywamy

arc sin (arkus sinus). Mamy zatem

arc sin x = y ⇐⇒ sin y = x dla − 1 6 x 6 1, −

π

2

6

y 6

π

2

.

Dziedziną funkcji arc sin jest przedział

D

arc sin

= h−1, 1i, zaś zbiorem wartości przedział

R

arc sin

=



−

π

2

,

π

2



.

1

−1

−π

−

π

2

π

2

x

y

y

= sin x

1

−1

−

π

2

π

2

y

x

y

= arc sin x

Rysunek 7: Wykresy funkcji y = sin x i y = arc sin x.

Definicja 6.

Funkcję odwrotną do funkcji cos (cosinus) obciętej do przedziału h0, πi nazywamy

arc cos (arkus cosinus). Mamy zatem

arc cos x = y ⇐⇒ cos y = x dla − 1 6 x 6 1, 0 6 y 6 π.

Dziedziną funkcji arc cos jest przedział

D

arc cos

= h−1, 1i, zaś zbiorem wartości przedział

R

arc cos

= h0, πi.

1

−1

π

−π

−

π

2

π

2

x

y

y

= cos x

1

−1

π

y

x

π

2

y

= arc cos x

Rysunek 8: Wykresy funkcji y = cos x i y = arc cos x.

7

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Definicja 7.

Funkcję odwrotną do funkcji tg (tangens) obciętej do przedziału



−

π

2

,

π

2



nazy-

wamy arc tg (arkus tangens). Mamy zatem

arc tg x = y ⇐⇒ tg y = x dla x ∈ R, −

π

2

< y <

π

2

.

Dziedziną funkcji arc tg jest

D

arc tg

= R, zaś zbiorem wartości przedział

R

arc tg

=



−

π

2

,

π

2



.

1

−1

π

−π

−

π

2

π

2

x

y

y

= tg x

−

π

2

π

2

y

x

y

= arc tg x

Rysunek 9: Wykresy funkcji y = tg x i y = arc tg x.

Definicja 8.

Funkcję odwrotną do funkcji ctg (cotangens) obciętej do przedziału (0, π) nazy-

wamy arc ctg (arkus cotangens). Mamy zatem

arc ctg x = y ⇐⇒ ctg y = x dla x ∈ R, 0 < y < π.

Dziedziną funkcji arc ctg jest D

arc ctg

= R, zaś zbiorem wartości przedział

R

arc ctg

= (0, π).

1

−1

π

−π

−

π

2

π

2

x

y

y

= ctg x

π

y

x

y

= arc ctg x

Rysunek 10: Wykresy funkcji y = ctg x i y = arc ctg x.

Uwaga 9.

Wykresy funkcji cyklometrycznych otrzymujemy odbijając symetrycznie względem pro-

stej y = x wykresy funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów:

8

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

1

−1

−

π

2

π

2

y

x

y

= arc sin x

y

= arc sin x

y

= arc sin x

y

= sin x

y

= sin x

y

= sin x

y

= x

−

π

2

π

2

y

x

y

= arc tg x

y

= arc tg x

y

= arc tg x

y

= tg x

y

= tg x

y

= tg x

y

= x

1

2

3

−1

π

y

x

π

2

y

= x

y = cos x

y = cos x

y = cos x

y = arc cos x

y = arc cos x

y = arc cos x

π

y

x

y

= x

y = ctg x

y = ctg x

y = ctg x

y = arc ctg x

y = arc ctg x

y = arc ctg x

3.1

Podstawowe tożsamości z funkcjami cyklometrycznymi

arc sin x + arc cos x =

π

2

, dla każdego x ∈ h−1, 1i.

(10)

arc tg x + arc ctg x =

π

2

, dla każdego x ∈ R.

(11)

9

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

4

Wielomiany i działania na nich.

Definicja 10.

Jednomianem jednej zmiennej nazywamy wyrażenie postaci ax

n

, gdzie a jest

ustaloną liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem jednomianu, n jest liczbą naturalną, a x
jest zmienną.
Jednomianem m zmiennych nazywamy wyrażenie postaci ax

n

1

1

x

n

2

2

· · · x

n

m

m

, gdzie a jest ustaloną

liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem jednomianu, n

1

, n

2

, . . . , n

m

∈ N, a x

1

, x

2

, . . . , x

m

są

zmiennymi.

Przykłady jednomianów:

2xz, −7a, x

3

y

2

z.

Wyrażenia algebraiczne

a

b

, 2

√

x nie są jednomianami.

Definicja 11.

Wielomianem nazywamy wyrażenie będące sumą jednomianów lub jednomianem.

Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które ma postać

a

n

x

n

+ a

n

−1

x

n

−1

+ . . . + a

2

x

2

+ a

1

x + a

0

,

gdzie a

n

, a

n

−1

, . . . , a

2

, a

1

, a

0

∈ R, a

n

6= 0 i n ∈ N.

Liczby a

n

, a

n

−1

, . . . , a

2

, a

1

, a

0

nazywamy współczynnnikami wielomianu.

Jeżeli a

n

= a

n

−1

= . . . = a

2

= a

1

= 0 i a

0

6= 0, to taki wielomian nazywamy wielomianem stałym,

a jego stopień równa się zeru.
Jeżeli a

n

= a

n

−1

= . . . = a

2

= a

1

= a

0

= 0, to taki wielomian nazywamy wielomianem zerowym.

Przyjmuje się, że stopień wielomianu zerowego nie jest określony.

Uwaga 12.

Funkcja liniowa f (x) = ax + b, gdzie a ∈ R \ {0}, b ∈ R, jest wielomianem stopnia

pierwszego, natomiast funkcja kwadratowa f (x) = ax

2

+ bx + c, gdzie a ∈ R \ {0}, b, c ∈ R, jest

wielomianem stopnia drugiego.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są wielomianami tego samego stopnia i
mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Na przykład wielomiany W (x) = 2x

3

+ x

2

− 3x + 1 i Q(x) = 1 − 3x + x

2

+ 2x

3

są równe.

Jeżeli w wielomianie jednej zmiennej w miejsce zmiennej podstawimy ustaloną liczbę, to po
wykonaniu wskazanych działań otrzymamy wartość wielomianu dla tej liczby. W wielomianie m
zmiennych należy podstawić ciąg m liczb, aby otrzymać wartość liczbową wielomianu dla tego
ciągu.
W zbiorze wielomianów tych samych zmiennych wykonalne są następujące działania:

dodawanie

, odejmowanie i mnożenie.

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.
Mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu przez siebie wyrazów obu wielomianów.
Działania dodawania i mnożenia są działaniami przemiennymi oraz łącznymi.

Przykład 13.

Niech W (x) = x

2

− 1 i Q(x) = 2x

3

− x

2

− 1. Wtedy

W (x) + Q(x) = 2x

3

− 2,

W (x) − Q(x) = −2x

3

+ 2x

2

,

W (x) · Q(x) = 2x

5

− x

4

− 2x

3

+ 1.

10

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Dzielenie wielomianów wykonujemy podobnie do dzielenia liczb całkowitych.

Przykład 14.

Niech W (x) = x

4

− 1 i P (x) = x + 1. Wtedy

W (x)

P (x)

=

x

4

− 1

x + 1

= x

3

− x

2

+ x − 1.

Wielomian W jest podzielny przez wielomian P , jeżeli istnieje wielomian Q, taki że

W (x) = P (x)Q(x).

Np. wielomian x

2

− 1 jest podzielny przez wielomian x + 1, gdyż x

2

− 1 = (x + 1)(x − 1).

Twierdzenie 15

(Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianów). Dla każdego wielomianu W i

każdego niezerowego wielomianu P istnieją wielomiany Q i R, takie że

W = QP + R

i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu P lub wielomian R jest wielomianem
zerowym.

Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia W przez P .

Przykład 16.

Niech W (x) = x

4

− x

2

i P (x) = x

2

− 2. Wtedy

W (x)

P (x)

=

x

4

− x

2

x

2

− 2

= x

2

+ 1 +

2

x

2

− 2

⇒

x

4

− x

2

= (x

2

+ 1)(x

2

− 2) + 2.

Zatem wielomian R(x) = 2 jest resztą z dzielenia W przez P .

Jeżeli R jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian P jest dzielnikiem wielomianu W .
Wówczas otrzymujemy równość W = QP , z której wynika, że Q też jest dzielnikiem W .

4.1

Twierdzenie B´

ezoute’a, rozkład wielomianu na czynniki, równa-

nia, nierówności wielomianowe

Miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu W (x) = a

n

x

n

+ a

n

−1

x

n

−1

+ . . . + a

2

x

2

+ a

1

x + a

0

nazywamy liczbę x

0

∈ R, dla której wartość wielomianu jest równa 0, tzn. W (x

0

) = 0.

Twierdzenie 17

(Twierdzenie B´ezoute’a).

Liczba x

0

jest miejscem zerowym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x)

jest podzielny przez dwumian (x − x

0

).

Dowód. Załóżmy, że liczba x

0

jest pierwiastkiem wielomianu W . Na mocy Twierdzenia o dzie-

leniu z resztą (patrz Twierdzenie 15) mamy W (x) = (x − x

0

)Q(x) + R, gdzie Q i R są wie-

lomianami, przy czym R jest wielomianem stałym. Podstawiając x = x

0

dostajemy W (x

0

) =

(x

0

− x

0

)Q(x

0

) + R = R. Z założenia wiemy, że W (x

0

) = 0, zatem R ≡ 0, więc wielomian W

jest podzielny przez dwumian x − x

0

.

Odwrotnie, niech W (x) = (x−x

0

)P (x), gdzie P (x) jest pewnym wielomianem. Wówczas W (x

0

) =

(x

0

− x

0

)P (x

0

) = 0.

11

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Twierdzenie 18.

Jeśli x

0

=

p
q

, gdzie p, q ∈ Z i q 6= 0, jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu

W (x) = a

n

x

n

+ a

n

−1

x

n

−1

+ · · · + a

1

x + a

0

, gdzie a

n

6= 0 i a

i

∈ Z, i = 0, . . . , n, to p dzieli a

0

i q

dzieli a

n

.

Dowód. Załóżmy, że x

0

=

p
q

, gdzie p, q ∈ Z i q 6= 0, jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu

W oraz liczby p i q są względnie pierwsze. Wtedy W

p
q

!

= 0, tzn.

a

n

p

n

q

n

+ a

n

−1

p

n

−1

q

n

−1

+ · · · + a

1

p
q

+ a

0

= 0.

Stąd a

n

· p

n

+ a

n

−1

· p

n

−1

· q + · · · + a

1

· p · q

n

−1

+ a

0

· q

n

= 0, zatem

a

0

· q

n

= −p ·



a

n

· p

n

−1

+ a

n

−1

· p

n

−2

· q + · · · + a

1

· q

n

−1



,

(12)

a

n

· p

n

= −q



a

n

−1

· p

n

−1

+ · · · + a

1

· p · q

n

−2

+ a

0

· q

n

−1



.

(13)

Ponieważ NWD(p, q)=1, więc z (12) p dzieli a

0

i z (13) q dzieli a

n

Wniosek 19.

Jeśli wielomian W (x) = a

n

x

n

+ a

n

−1

x

n

−1

+ · · · + a

1

x + a

0

, gdzie a

n

6= 0 i a

i

∈ Z,

i = 0, . . . , n, ma miejsce zerowe x

0

∈ Z, x

0

jest dzielnikiem wyrazu wolnego a

0

.

Rozkład na czynniki wielomianu polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianów.

Twierdzenie 20

(o postaci iloczynowej).

Jeżeli wielomian W (x) = a

n

x

n

+ a

n

−1

x

n

−1

+ · · · + a

1

x + a

0

, gdzie a

n

6= 0 i a

i

∈ R, i = 0, . . . , n,

ma n różnych miejsc zerowych x

1

, x

2

, . . . , x

n

, to

W (x) = a

n

(x − x

1

)(x − x

2

) · · · (x − x

n

).

Twierdzenie 21

(o rozkładzie wielomianu na czynniki).

Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.

Liczba x

0

jest k-krotnym miejscem zerowym wielomianu W , jeżeli ten wielomian jest podzielny

przez (x − x

0

)

k

i nie jest podzielny przez (x − x

0

)

k

+1

, k ∈ N.

Metody rozkładania wielomianów na czynniki:

• wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,

• grupowanie wyrazów,

• stosowanie wzorów skróconego mnożenia,

• zastosowanie twierdzenia B´

ezouta.

12

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

4.2

Nierówności wielomianowe.

Nierównością wielomianową nazywamy każdą nierówność w postaci: P (x) > 0, P (x) > 0, P (x) <
0 oraz P (x) 6 0, gdzie P jest wielomianem.

4.2.1

Rozwiązywanie nierówności wielomianowych.

• przenosimy wszystko na jedną stronę

• rozkładamy wielomian na czynniki

• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą w postaci iloczynowej.

Przykład 22.

Rozwiążmy nierówność (x − 3)

3

· (x + 2)

2

· (1 − x) · (2 − x) 6 0.

Wówczas

x

1

2

3

−2

Zatem x ∈ (−∞, 1i ∪ h2, 3i.

13

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

5

Funkcje wymierne.

Definicja 23.

Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci

w(x) =

P (x)
Q(x)

,

(14)

gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany
te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stP < stQ (stopień
wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q), to mówimy, że funkcja wymierna jest
właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa.

Funkcja wymierna w jest określona na zbiorze D

w

= R \ {x : Q(x) = 0}.

Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia

x

2

x + 1

,

x

3

+ 7x

2

− 8

x

7

+ 1

.

Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją
wymierną właściwą.

Twierdzenie 24.

Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i

funkcji wymiernej właściwej.

Dowód. Niech w(x) =

P (x)
Q(x)

gdzie stP > stQ. Niech S będzie ilorazem, a Q— resztą z dzielenia

P przez Q. Z Twierdzenia (o dzieleniu z resztą) mamy równość P (x) = Q(x)S(x) + R(x), gdzie
stR < stQ. Ponieważ stP > stQ, więc S nie może być wielomianem zerowym. Wobec tego
możemy podzielić ostatnią równość stronami przez Q(x), otrzymując żądany rozkład wyjściowej
funkcji na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:

P (x)
Q(x)

=

Q(x)S(x) + R(x)

Q(x)

= S(x) +

R(x)
Q(x)

.

Funkcja wymierna

R(x)
Q(x)

jest oczywiście właściwa, ponieważ stR < stQ.

Z powyższego dowodu wynika, że podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wyko-
nując dzielenie licznika funkcji wymiernej przez jej mianownik (zwykłe dzielenie wielomianów z
resztą). Czasami udaje się dokonać rozkładu przy użyciu elementarnych przekształceń, np.:

x

2

+ 2x − 2

x + 1

=

x

2

+ x + x + 1 − 3

x + 1

=

x(x + 1) + (x + 1) − 3

x + 1

= x + 1 −

3

x + 1

.

5.1

Funkcja homograficzna i jej własności

Wśród funkcji wymiernych wyróżnia się funkcję postaci:

f (x) =

ax + b
cx + d

,

(15)

14

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

gdzie c 6= 0 oraz ad − cb 6= 0.

D

f

= R \

(

−

d

c

)

,

f (x) ∈ R

f

= R \



a

c



.

Funkcję f zdefiniowaną wzorem (15) nazywamy funkcją homograficzną.
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

X

Y

−

b

a

d

c

x = −

d

c

y =

a

c

Jeżeli a 6= 0, to miejscem zerowym funkcji homograficznej jest x = −

b

a

.

Jeżeli ad − bc > 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli ad − bc < 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest malejąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli a 6= 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest funkcją wymierną niewłaściwą, więc z
Twierdzenia 24 mamy

f (x) =

ax + b
cx + d

=

a

c

+

bc − ad

c(cx + d)

.

Wówczas wykres funkcji f (x) =

ax + b
cx + d

można otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji

f (x) =

A

x

, gdzie A =

bc − ad

c

2

, o wektor

"

−

d

c

,

a

c

#

.

5.2

Ułamki proste

Z Twierdzenia 24 wiemy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci
sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Okazuje się, że każdą funkcję wymierną właściwą
można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych funkcji wymiernych, zwanych
ułamkami prostymi.
Rzeczywiste ułamki proste dzielą się na ułamki proste pierwszego rodzaju oraz ułamki proste
drugiego rodzaju.

15

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Definicja 25.

Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymier-

ną postaci

A

(x − a)

n

,

gdzie A, a ∈ R, a n ∈ N.

Definicja 26.

Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną

postaci

Ax + B

(x

2

+ px + q)

n

,

gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i p

2

− 4q < 0 (trójmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkła-

dalny).

5.3

Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste.

Twierdzenie 27.

Niech w(x) =

P (x)
Q(x)

będzie niezerową rzeczywistą funkcją wymierną właściwą.

Załóżmy, że mianownik Q ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne:

Q(x) = a

n

(x − x

1

)

k

1

· · · (x − x

r

)

k

r

·



x

2

+ p

1

x + q

1



l

1

· · ·



x

2

+ p

s

x + q

s



l

s

.

Wówczas w(x) jest sumą n

1

= k

1

+k

2

+. . .+k

r

rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju

oraz n

2

= l

1

+ l

2

+ · · · + l

s

rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju. W rozkładzie tym

każdemu czynnikowi

(x − x

i

)

k

i

,

i = 1, . . . , r

odpowiada suma k

i

rzeczywistych ułamków prostych postaci

A

i

1

x − x

i

+

A

ik

2

(x − x

i

)

2

+ · · · +

A

ik

i

(x − x

i

)

k

i

,

natomiast każdemu czynnikowi



x

2

+ p

j

x + q

j



l

j

,

j = 1, . . . , s

odpowiada suma l

j

rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju postaci

B

j

1

x + C

j

1

x

2

+ p

j

x + q

j

+

B

j

2

x + C

j

2

(x

2

+ p

j

x + q

j

)

2

+ · · · +

B

jl

j

x + C

jl

j

(x

2

+ p

j

x + q

j

)

l

j

.

tzn.

w(x) =

A

11

x − x

1

+ · · · +

A

1k

1

(x − x

1

)

k

1

+ · · · +

A

r

1

x − x

r

+ · · · +

A

rk

r

(x − x

r

)

k

r

+

+

B

11

x + C

11

x

2

+ p

1

x + q

1

+ · · · +

B

1l

1

x + C

1l

1

(x

2

+ p

1

x + q

1

)

l

1

+

B

s

1

x + C

s

1

x

2

+ p

s

x + q

s

+ · · · +

B

sl

s

x + C

sl

s

(x

2

+ p

s

x + q

s

)

l

s

.

Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników.

16

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Zauważmy, że mianowniki funkcji wymiernej zostały podane w postaci iloczynu czynników nie-
rozkładalnych. Jeśli mianownik funkcji wymiernej podamy w postaci rozwiniętej, np.

x + 4

x

3

− x

2

− 2x

,

to musimy taki mianownik najpierw rozłożyć na czynniki:

x + 4

x(x + 1)(x − 2)

,

a dopiero potem zastosować twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste.

Przykład 28.

Rozkład funkcji wymiernej postaci

1

(x − 3)

3

(x + 2)

na ułamki proste jest następujący:

1

(x − 3)

3

(x + 2)

=

A

x − 3

+

B

(x − 3)

2

+

C

(x − 3)

3

+

D

x + 2

Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w
trzeciej, a drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumia-
nowi x − 3 oraz jeden ułamek prosty odpowiadający dwumianowi x + 2.

Przykład 29.

Rozkład funkcji

1

x (x

2

+ x + 2)

2

na ułamki proste jest następujący:

1

x (x

2

+ x + 2)

2

=

A

x

+

Bx + C

x

2

+ x + 2

+

Dx + E

(x

2

+ x + 2)

2

Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi
trójmianu nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x
oraz dwa ułamki proste odpowiadające trójmianowi x

2

+ x + 2.

5.4

Równania i nierówności wymierne.

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci: w(x) = v(x) gdzie w i v są funkcjami
wymiernymi. Dziedziną tego równania jest część wspólna dziedzin funkcji wymiernych w i v.

5.4.1

Sposoby rozwiązywania równań wymiernych.

I sposób: (krótszy, ale ogólnie nie można stosować przy nierównościach)

• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki

• ustalamy dziedzinę ( R

\ {miejsca zerowe mianowników})

17

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

• obustronnie mnożymy równanie przez wspólny mianownik

• rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe.

• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.

Przykład 30.

Rozwiążemy równanie

2

x + 1

−

x + 1
1 − x

=

x

2

x

2

− 1

.

(16)

Wtedy

2

x + 1

−

x + 1
1 − x

=

x

2

(x − 1)(x + 1)

,

D = R \ {−1, 1},

2

x + 1

−

x + 1
1 − x

=

x

2

(x − 1)(x + 1)

,

· (x − 1)(x + 1)

2(x − 1) + (x + 1)

2

= x

2

⇒

2x − 2 + x

2

+ 2x + 1 = x

2

4x = 1

⇒

x =

1
4

∈ D.

Stąd x =

1
4

jest rozwiązaniem równania (16).

II sposób:

• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki

• ustalamy dziedzinę ( R

\ {miejsca zerowe mianowników})

• przenosimy wszystko na lewą stronę

• ustalamy wspólny mianownik

• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej

• porównujemy licznik do zera (ułamek = 0 wtedy, gdy licznik = 0) i rozwiązujemy otrzy-

mane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe

• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.

Przykład 31.

Rozwiążemy równanie

2x

2 − x

+

4

x

= 3.

(17)

Wtedy D = R \ {0, 2} i

2x · x + 4 · (2 − x) − 3x(2 − x)

x(2 − x)

= 0

5x

2

− 10x + 8 = 0

∆ < 0

Stąd brak rozwiązań równania (17) w zbiorze liczb rzeczywistych.

18

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Uwaga 32.

Jeżeli równanie ma postać proporcji ( równość dwóch ułamków ) To: iloczyn wyra-

zów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych

• ustalamy dziedzinę ( R

\ {miejsca zerowe mianowników})

• porównujemy iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych i rozwiązujemy otrzymane równanie

• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.

Przykład 33.

Rozwiążemy równanie

x

x + 2

=

3x

x − 3

.

(18)

Wtedy

D = R \ {−2, 3},

x(x − 3) = 3x(x + 2);

x

2

–3x = 3x

2

+ 6x;

2x

2

+ 9x = 0;

2x



x +

9
2



= 0;

x

1

= 0 ∈ D ∨ x

2

= −4, 5 ∈ D.

Zatem rozwiązaniem równania (18) są liczby 0 lub −4,5.

19

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Nierównością wymierną nazywamy każdą nierówność w postaci:

P (x)
Q(x)

> 0,

P (x)
Q(x)

>

0,

Q(x)
Q(x)

< 0

oraz

P (x)
Q(x)

6

0, gdzie P i Q są wielomianami.

5.4.2

Sposoby rozwiązywania nierówności wymiernych.

I sposób:

• przenosimy wszystko na jedną stronę

• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki

• ustalamy dziedzinę ( R

\ {miejsca zerowe mianowników})

• ustalamy wspólny mianownik

• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej

• porządkujemy licznik i rozkładamy go na czynniki

• iloraz (ułamek) zamieniamy na iloczyn (znak wyniku dla ilorazu i iloczynu podobnie usta-

lamy)

• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej

• ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny.

Przykład 34.

Rozwiążmy nierówność

2x − 5

x

2

− 6x + 8

6

−1.

(19)

Wtedy

2x − 5

(x − 2)(x − 4)

+

1 (x

2

− 6x + 8)

(x − 2)(x − 4)

6

0 i

D = R \ {2, 4},

2x − 5 + x

2

− 6x + 8

(x − 2)(x − 4)

6

0;

x

2

− 4x + 3

(x − 2)(x − 4)

6

0;

(x − 1)(x − 3)
(x − 2)(x − 4)

6

0;

(x − 1)(x − 3)(x − 2)(x − 4) 6 0 ∧ x 6= {2, 4}.

X

1

2

3

4

x ∈ h1, 2) ∪ h3, 4).

Zatem rozwiązaniem nierówności (19) jest zbiór h1, 2) ∪ h3, 4).

20

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

II sposób:

• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki

• ustalamy dziedzinę ( R

\ {miejsca zerowe mianowników})

• mnożymy obustronnie nierówność przez kwadraty mianowników liniowych lub przez inne

wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony

• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej

• ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny.

Przykład 35.

Rozwiążmy nierówność

4 − x

x

2

−

2

x

>

1.

(20)

Wtedy

D = R \ {0},

4 − x

x

2

−

2

x

− 1 > 0

/ · x

2

4 − x − 2x − x

2

>

0;

−x

2

− 3x + 4 > 0;

−(x − 1)(x + 4) > 0.

X

1

−4

0

x ∈ h−1, 4) \ {0}.

Zatem rozwiązaniem nierówności (20) jest zbiór h−1, 4) \ {0}.

21

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

6

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne.

6.1

Funkcje wykładnicze oraz ich własności.

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcje f określona wzorem

f (x) = a

x

,

(21)

gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

D

f

= R,

f (x) ∈ R

f

= R

+

= (0, +∞).

Dla a ∈ (0, 1) funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą, natomiast dla a ∈ (1, +∞) jest funkcją
rosnącą.

1

X

Y

y = a

x

y = a

x

y = a

x

0 < a < 1

0 < a < 1

0 < a < 1

1

X

Y

y = a

x

y = a

x

y = a

x

a > 1

a > 1

a > 1

Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą.

Ponieważ a

−x

=

1

a

x

=



1
a



x

, dla a < 0 i a 6= 1, więc krzywe wykładnicze y = a

x

i y =



1
a



x

są

symetryczne względem osi OY .

6.2

Równania i nierówności wykładnicze.

Równaniem wykładniczym (nierównością wykładniczą) nazywamy takie równanie (nierówność),
którego niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.
Równaniem wykładniczym jest na przykład równanie typu: a

f

(x)

= a

g

(x)

, gdzie a ∈ R \ {1} a

f (x) i g(x) są dowolnymi funkcjami zmiennej rzeczywistej.
Przykłady równań wykładniczych: 5

x

2

−1

= 25, 2

2x

− 5 · 2

x

= 6, itp.

Przykłady nierówności wykładniczych: 5

x

2

−1

< 25, 2

2x

− 5 · 2

x

> 6, itp.

22

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Schemat rozwiązywania równań wykładniczych wygląda następująco:

• ustalamy dziedzinę

• sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania

kwadratowego albo do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z rów-
ności podstaw wynika równość wykładników

• rozwiązujemy równanie

• sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie

• podajemy odpowiedź

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

• ustalić dziedzinę

• sprowadzić obie strony nierówności do tych samych podstaw albo przekształcamy do innej

nierówności, którą potrafimy rozwiązać

• wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio nierówność:

dla a > 1

a

n

> a

m

⇐⇒ n > m

a

n

< a

m

⇐⇒ n < m

analogicznie dla porównań „>” czy też „6”;

dla 0 < a < 1

a

n

> a

m

⇐⇒ n < m

a

n

< a

m

⇐⇒ n > m

analogicznie dla porównań „>” czy też „6”

• rozwiązujemy otrzymaną nierówność i sprawdzamy, czy rozwiązania należą do dziedziny

• udzielamy odpowiedzi

23

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

6.3

Funkcje logarytmiczne oraz ich własności.

Definicja 36.

Logarytmem liczby x > 0 przy podstawie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) nazywamy wy-

kładnik potęgi y, do której należy podnieść podstawę a, żeby otrzymać x.
Mamy więc

log

a

x = y ⇔ a

y

= x dla x > 0 i a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

Z definicji logarytmu wynikają następujące własności:

log

a

a = 1, dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

(22)

log

a

1 = 0, dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

(23)

Jeżeli x > 0, y > 0 i a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), to

log

a

(x · y) = log

a

x + log

a

y.

(24)

log

a

x
y

= log

a

x − log

a

y.

(25)

log

a

x

α

= α log

a

x,

dla α ∈ R.

(26)

log

a

x =

log

b

x

log

b

a

,

dla b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

(27)

log

a

x =

1

log

x

a

,

dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

(28)

a = blog

b

a,

dla a > 0, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

(29)

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcje f określona wzorem

f (x) = log

a

x,

gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).

(30)

D

f

= R

+

= (0, +∞),

f (x) ∈ R

f

= R.

Funkcja logarytmiczna jest funkcją malejącą dla a ∈ (0, 1), natomiast dla a ∈ (1, +∞) jest
funkcją rosnącą.

1

X

Y

y = log

a

x

y = log

a

x

y = log

a

x

0 < a < 1

0 < a < 1

0 < a < 1

1

X

Y

y = log

a

x

y = log

a

x

y = log

a

x

a > 1

a > 1

a > 1

Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą logarytmiczną.
Ponieważ log

a

x = − log

1
a

x, dla a < 0 i a 6= 1, więc krzywe logarytmiczne y = log

a

x i y = log

1
a

x

są symetryczne względem osi OX.

24

Budownictwo – studia stacjonarne

sem I, 2014/2015

MATEMATYKA

Uwaga 37.

Funkcja logarytmiczna i funkcja wykładnicza są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

1

1

X

Y

y = log

a

x

y = log

a

x

y = log

a

x

y = a

x

y = a

x

y = a

x

0 < a < 1

1

1

X

Y

y = a

x

y = a

x

y = a

x

y = log

a

x

y = log

a

x

y = log

a

x

a > 1

6.4

Równania i nierówności logarytmiczne.

Równaniem logarytmicznym (nierównością logarytmiczną) nazywamy równanie (nierówność), w
którym niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.
Przykłady równań logarytmicznych: log

5

(x

2

− 1) = 25, log

2
2

x − 5 · log

2

x = 6, itp.

Przykłady nierówności logarytmicznych: log

5

(x

2

− 1) < 25, log

2
2

x − 5 · log

2

x > 0, itp.

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego (nierówności logarytmicznej) powinno się:

• ustalić dziedzinę

• sprowadzić obie strony równania (nierówności) do tych samych podstaw albo przekształcić

do innego równania (innej nierówności), które (którą) potrafimy rozwiązać

• wykorzystując własności funkcji logarytmicznej przekształcić równanie (nierówność) tzn:

dla a > 1

log

a

n > log

a

m ⇐⇒ n > m

log

a

n 6 log

a

m ⇐⇒ n 6 m

dla 0 < a < 1

log

a

n > log

a

m ⇐⇒ n 6 m

log

a

n 6 log

a

m ⇐⇒ n > m

• rozwiązać otrzymane równanie (otrzymaną nierówność) i sprawdzić, czy rozwiązania nale-

żą do dziedziny

• podać odpowiedź.

25