Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Oznaczenia:
N
= {1, 2, 3, . . .}
N
atural
Z
= {0, ±1, ±2, ±3, . . .}
Z
ahl
Q
=
(
p
q
: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0
)
Q
uotient
R
= zbiór liczb rzeczywistych.
R
eal
N
Z
Q
R
N
⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
1
Przekształcenia wyrażeń algebraicznych, wzory skró-
conego mnożenia.
Definicja 1.
Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub kilka wielkości algebraicznych:
liczb, symboli literowych, połączonych znakami działań, takimi jak dodawanie „+”, odejmowanie
„−”, mnożenie „·”, dzielenie „:”, potęgowanie „(·)
n
”, pierwiastkowanie „
n
√
·” itp. oraz różnego
rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych.
Przykłady wyrażeń algebraicznych:
a
2
− 3
b − a
,
√
a +
√
b
2
a − b
,
√
x + 1
x
√
x + x +
√
x
:
1
x
2
−
√
x
.
Definicja 2.
Tożsamość algebraiczna to taka równość dwu wyrażeń algebraicznych, że po wsta-
wieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa.
Podstawowe tożsamości algebraiczne - WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA:
(a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
(1)
(a ± b)
3
= a
3
± 3a
2
b + 3ab
2
± b
3
(2)
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(3)
a
2
− b
2
= (a − b)(a + b)
(4)
a
3
− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab + b
2
)
(5)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
− ab + b
2
)
(6)
a
4
− b
4
= (a − b)(a + b)(a
2
+ b
2
)
(7)
a
n
− b
n
= (a − b)(a
n
−1
+ a
n
−2
b + · · · + ab
n
−2
+ b
n
−1
),
n > 1, n ∈ N
(8)
(a + b)
n
=
n
X
k
=0
n
k
!
a
n
−k
b
k
,
gdzie n ∈ N,
n
k
!
=
n!
(n − k)!k!
.
(9)
Definicja 3.
Przekształceniem tożsamościowym nazywamy dowolne przekształcenie danego wy-
rażenia algebraicznego, które produkuje wyrażenie tożsamościowo mu równe.
Przekształceniem wyrażeń algebraicznych nazywamy sprowadzenie ich do równoważnych (na ogół
prostszych) postaci, np. w celu skrócenia danego wyrażenia, usunięcia niewymierności z mianow-
nika itp.:
a(a − b) − a
2
ab − a
2
=
b
a − b
,
√
a
√
a −
√
b
=
√
a
√
a +
√
b
a − b
.
1
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
2
Funkcje trygonometryczne.
2.1
Kąt i jego miara
Definicja 4.
Części płaszczyzny ograniczone dwiema półprostymi p i q wychodzącymi ze wspól-
nego punktu O nazywamy kątami, przy czym kąt α jest kątem wypukłym, zaś β kątem wklęsłym.
Półproste k i l nazywamy ramionami tych kątów, a punkt O ich wierzchołkiem.
α
O
β
p
q
Miara stopniowa stosowana w geometrii oparta jest na podziale pełnego kąta na 360 równych
części, tzn. 360
◦
. Dalszego podziału dokonuje się w systemie sześćdziesiątkowym, tzn. 1
◦
= 60
′
(minut), 1
′
= 60
′′
(sekund).
1
Do ilościowego opisu kąta stosuje się również tzw. miarę łukową.
Miarą łukową kąta nazywamy liczbę α będącą stosunkiem długości l łuku okręgu o środku w O,
zawartego wewnątrz kąta, do promienia okręgu r. Jednostką miary łukowej jest radian (rad)
będący miarą kąta, którego długość łuku okręgu l jest równa promieniowi okręgu.
1 rad
= 57
◦
17
′
44, 8
′′
= 57,2958
◦
l
r
α
O
p
q
α =
l
r
Kąt, którego jedno ramię p wyróżniamy jako początkowe, a drugie q jako końcowe nazywamy
kątem skierowanym.
α
O
p
q
Kąt skierowany otrzymujemy przez obrót na płaszczyźnie półprostej wycho-
dzącej z ustalonego punktu O. Jeżeli kierunek obrotu jest przeciwny do ruchu
wskazówek zegara, to przyjmujemy, że kąt ma miarę dodatnią, a jeżeli kieru-
nek jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, to kąt ma miarę ujemną.
2.2
Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego
Niech α będzie miarą dowolnego kąta skierowanego na płaszczyźnie XOY . Wówczas
1
W geodezji kąt płaski mierzy się w gradusach. Kąt pełny odpowiada 400 gradusom.
2
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
1
1
−1
x
y
α
P (
x
,
y
)
r
x
y
sin(·) : R ∋ α 7→ sin α =
y
r
,
cos(·) : R ∋ α 7→ cos α =
x
r
,
tg(·) : R \
π
2
+ kπ : k ∈ Z
∋ α 7→ tg α =
y
x
,
ctg(·) : R \ {kπ : k ∈ Z} ∋ α 7→ ctg α =
x
y
.
2.3
Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego ar-
gumentu
∀
α
∈R
sin
2
α + cos
2
α = 1
∀
α
∈R\
{
π
2
+kπ:k∈Z
}
tg α =
sin α
cos α
,
∀
α
∈R\{kπ: k∈Z}
ctg α =
cos α
sin α
,
∀
α
∈R\
{
kπ
2
: k∈Z
}
tg α · ctg α = 1.
2.4
Funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu oraz sumy i
różnicy argumentów
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β,
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β,
sin 2α = 2 sin α cos α,
cos 2α = cos
2
α − sin
2
α = 2 cos
2
α − 1 = 1 − 2 sin
2
α.
2.5
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Funkcje sin(·) i cos(·) są funkcjami okresowymi o okresie podstawowym 2π, natomiast funkcje
tg(·) i ctg(·) są funkcjami okresowymi o okresie podstawowym π, tzn.
sin(α + 2kπ) = sin α,
k ∈ Z,
cos(α + 2kπ) = cos α,
k ∈ Z,
tg(α + kπ) = tg α,
k ∈ Z,
ctg(α + kπ) = ctg α,
k ∈ Z.
2.6
Parzystość funkcji trygonometrycznych
Funkcja cos(·) jest funkcją parzystą, zaś pozostałe funkcje są nieparzyste, tzn.:
cos(−α) = cos α,
sin(−α) = − sin α, tg(−α) = tg α, ctg(−α) = − ctg α.
3
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
2.7
Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach
Zakres kąta; α ∈
(0, 90
◦
)
(90
◦
, 180
◦
)
(180
◦
, 270
◦
) (270
◦
, 360
◦
)
0,
π
2
π
2
, π
π,
3
2
π
3
2
π, 2π
sin α
+
+
−
−
cos α
+
−
−
+
tg α
+
−
+
−
ctg α
+
−
+
−
2.8
Wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych argumentów
α =
Kąt w stopniach
0
◦
30
◦
45
◦
60
◦
90
◦
180
◦
270
◦
360
◦
Miara łukowa
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
2π
sin α
0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
0
−1
0
cos α
1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
−1
0
1
tg α
0
√
3
3
1
√
3
×
0
×
0
ctg α
×
√
3
1
√
3
3
0
×
0
×
2.9
Wzory redukcyjne
β =
π
2
− α
π
2
+ α
π − α
π + α
3
2
π − α
3
2
π + α
2π − α 2π + α
sin β
cos α
cos α
sin α
− sin α − cos α − cos α − sin α
sin α
cos β
sin α
− sin α − cos α − cos α − sin α
sin α
cos α
cos α
tg β
ctg α
− ctg α
− tg α
tg α
ctg α
− ctg α
− tg α
tg α
ctg β
tg α
− tg α
− ctg α
ctg α
tg α
− tg α
− ctg α
ctg α
UWAGA! Wzory redukcyjne można zapamiętać stosując dwie zasady:
ZASADA I:
Ustalanie znaku, patrz 2.7.
ZASADA II:
W „okolicach”
π
2
i
3
2
π funkcja zmienia się na kofunkcję (tzn. sin(·) na cos(·), cos(·)
na sin(·), tg(·) na ctg(·) i ctg(·) na tg(·)).
2.10
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Niech x będzie argumentem funkcji trygonometrycznych. Wtedy mamy następujący opis tych
funkcji y = sin x, y = cos x, y = tg x i y = ctg x.
4
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
1
−1
1
−1
x
y
x
1
−1
π
−π
arc(x)
x
y
Rysunek 1: Konstrukcja sinusoidy.
1
−1
−1
1
y
x
x
1
−1
π
−π
arc(x)
x
y
Rysunek 2: Konstrukcja cosinusoidy.
1
−1
π
2π
−π
−2π
−
π
2
π
2
x
y
y
= sin x
Rysunek 3: Wykres funkcji sin(·) (sinusoida).
1
−1
π
2π
−π
−2π
−
π
2
π
2
x
y
y
= cos x
Rysunek 4: Wykres funkcji cos(·) (cosinusoida).
5
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
1
2
−1
−2
π
2π
−π
−2π
−
π
2
π
2
x
y
y
= tg x
−
3π
2
3π
2
Rysunek 5: Wykres funkcji tg(·) (tangensoida)
1
2
−1
−2
π
2π
−π
−2π
−
π
2
π
2
x
y
y
= ctg x
Rysunek 6: Wykres funkcji ctg(·) (cotangensoida).
6
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
3
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.
Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych
ograniczonych do pewnych przedziałów. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na całym zbio-
rze R nie są oczywiście różnowartościowe, ale jeśli zawęzimy dziedziny do pewnych przedziałów
(sin :
−
π
2
,
π
2
→ h−1, 1i; cos : h0, πi → h−1, 1i; tg :
−
π
2
,
π
2
→ R; ctg h0, πi → R), to tak
określone funkcje będą już różnowartościowe i mają funkcje odwrotne.
Definicja 5.
Funkcję odwrotną do funkcji sin (sinus) obciętej do przedziału
−
π
2
,
π
2
nazywamy
arc sin (arkus sinus). Mamy zatem
arc sin x = y ⇐⇒ sin y = x dla − 1 6 x 6 1, −
π
2
6
y 6
π
2
.
Dziedziną funkcji arc sin jest przedział
D
arc sin
= h−1, 1i, zaś zbiorem wartości przedział
R
arc sin
=
−
π
2
,
π
2
.
1
−1
−π
−
π
2
π
2
x
y
y
= sin x
1
−1
−
π
2
π
2
y
x
y
= arc sin x
Rysunek 7: Wykresy funkcji y = sin x i y = arc sin x.
Definicja 6.
Funkcję odwrotną do funkcji cos (cosinus) obciętej do przedziału h0, πi nazywamy
arc cos (arkus cosinus). Mamy zatem
arc cos x = y ⇐⇒ cos y = x dla − 1 6 x 6 1, 0 6 y 6 π.
Dziedziną funkcji arc cos jest przedział
D
arc cos
= h−1, 1i, zaś zbiorem wartości przedział
R
arc cos
= h0, πi.
1
−1
π
−π
−
π
2
π
2
x
y
y
= cos x
1
−1
π
y
x
π
2
y
= arc cos x
Rysunek 8: Wykresy funkcji y = cos x i y = arc cos x.
7
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Definicja 7.
Funkcję odwrotną do funkcji tg (tangens) obciętej do przedziału
−
π
2
,
π
2
nazy-
wamy arc tg (arkus tangens). Mamy zatem
arc tg x = y ⇐⇒ tg y = x dla x ∈ R, −
π
2
< y <
π
2
.
Dziedziną funkcji arc tg jest
D
arc tg
= R, zaś zbiorem wartości przedział
R
arc tg
=
−
π
2
,
π
2
.
1
−1
π
−π
−
π
2
π
2
x
y
y
= tg x
−
π
2
π
2
y
x
y
= arc tg x
Rysunek 9: Wykresy funkcji y = tg x i y = arc tg x.
Definicja 8.
Funkcję odwrotną do funkcji ctg (cotangens) obciętej do przedziału (0, π) nazy-
wamy arc ctg (arkus cotangens). Mamy zatem
arc ctg x = y ⇐⇒ ctg y = x dla x ∈ R, 0 < y < π.
Dziedziną funkcji arc ctg jest D
arc ctg
= R, zaś zbiorem wartości przedział
R
arc ctg
= (0, π).
1
−1
π
−π
−
π
2
π
2
x
y
y
= ctg x
π
y
x
y
= arc ctg x
Rysunek 10: Wykresy funkcji y = ctg x i y = arc ctg x.
Uwaga 9.
Wykresy funkcji cyklometrycznych otrzymujemy odbijając symetrycznie względem pro-
stej y = x wykresy funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów:
8
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
1
−1
−
π
2
π
2
y
x
y
= arc sin x
y
= arc sin x
y
= arc sin x
y
= sin x
y
= sin x
y
= sin x
y
= x
−
π
2
π
2
y
x
y
= arc tg x
y
= arc tg x
y
= arc tg x
y
= tg x
y
= tg x
y
= tg x
y
= x
1
2
3
−1
π
y
x
π
2
y
= x
y = cos x
y = cos x
y = cos x
y = arc cos x
y = arc cos x
y = arc cos x
π
y
x
y
= x
y = ctg x
y = ctg x
y = ctg x
y = arc ctg x
y = arc ctg x
y = arc ctg x
3.1
Podstawowe tożsamości z funkcjami cyklometrycznymi
arc sin x + arc cos x =
π
2
, dla każdego x ∈ h−1, 1i.
(10)
arc tg x + arc ctg x =
π
2
, dla każdego x ∈ R.
(11)
9
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
4
Wielomiany i działania na nich.
Definicja 10.
Jednomianem jednej zmiennej nazywamy wyrażenie postaci ax
n
, gdzie a jest
ustaloną liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem jednomianu, n jest liczbą naturalną, a x
jest zmienną.
Jednomianem m zmiennych nazywamy wyrażenie postaci ax
n
1
1
x
n
2
2
· · · x
n
m
m
, gdzie a jest ustaloną
liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem jednomianu, n
1
, n
2
, . . . , n
m
∈ N, a x
1
, x
2
, . . . , x
m
są
zmiennymi.
Przykłady jednomianów:
2xz, −7a, x
3
y
2
z.
Wyrażenia algebraiczne
a
b
, 2
√
x nie są jednomianami.
Definicja 11.
Wielomianem nazywamy wyrażenie będące sumą jednomianów lub jednomianem.
Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które ma postać
a
n
x
n
+ a
n
−1
x
n
−1
+ . . . + a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
,
gdzie a
n
, a
n
−1
, . . . , a
2
, a
1
, a
0
∈ R, a
n
6= 0 i n ∈ N.
Liczby a
n
, a
n
−1
, . . . , a
2
, a
1
, a
0
nazywamy współczynnnikami wielomianu.
Jeżeli a
n
= a
n
−1
= . . . = a
2
= a
1
= 0 i a
0
6= 0, to taki wielomian nazywamy wielomianem stałym,
a jego stopień równa się zeru.
Jeżeli a
n
= a
n
−1
= . . . = a
2
= a
1
= a
0
= 0, to taki wielomian nazywamy wielomianem zerowym.
Przyjmuje się, że stopień wielomianu zerowego nie jest określony.
Uwaga 12.
Funkcja liniowa f (x) = ax + b, gdzie a ∈ R \ {0}, b ∈ R, jest wielomianem stopnia
pierwszego, natomiast funkcja kwadratowa f (x) = ax
2
+ bx + c, gdzie a ∈ R \ {0}, b, c ∈ R, jest
wielomianem stopnia drugiego.
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są wielomianami tego samego stopnia i
mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Na przykład wielomiany W (x) = 2x
3
+ x
2
− 3x + 1 i Q(x) = 1 − 3x + x
2
+ 2x
3
są równe.
Jeżeli w wielomianie jednej zmiennej w miejsce zmiennej podstawimy ustaloną liczbę, to po
wykonaniu wskazanych działań otrzymamy wartość wielomianu dla tej liczby. W wielomianie m
zmiennych należy podstawić ciąg m liczb, aby otrzymać wartość liczbową wielomianu dla tego
ciągu.
W zbiorze wielomianów tych samych zmiennych wykonalne są następujące działania:
dodawanie
, odejmowanie i mnożenie.
Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.
Mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu przez siebie wyrazów obu wielomianów.
Działania dodawania i mnożenia są działaniami przemiennymi oraz łącznymi.
Przykład 13.
Niech W (x) = x
2
− 1 i Q(x) = 2x
3
− x
2
− 1. Wtedy
W (x) + Q(x) = 2x
3
− 2,
W (x) − Q(x) = −2x
3
+ 2x
2
,
W (x) · Q(x) = 2x
5
− x
4
− 2x
3
+ 1.
10
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Dzielenie wielomianów wykonujemy podobnie do dzielenia liczb całkowitych.
Przykład 14.
Niech W (x) = x
4
− 1 i P (x) = x + 1. Wtedy
W (x)
P (x)
=
x
4
− 1
x + 1
= x
3
− x
2
+ x − 1.
Wielomian W jest podzielny przez wielomian P , jeżeli istnieje wielomian Q, taki że
W (x) = P (x)Q(x).
Np. wielomian x
2
− 1 jest podzielny przez wielomian x + 1, gdyż x
2
− 1 = (x + 1)(x − 1).
Twierdzenie 15
(Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianów). Dla każdego wielomianu W i
każdego niezerowego wielomianu P istnieją wielomiany Q i R, takie że
W = QP + R
i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu P lub wielomian R jest wielomianem
zerowym.
Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia W przez P .
Przykład 16.
Niech W (x) = x
4
− x
2
i P (x) = x
2
− 2. Wtedy
W (x)
P (x)
=
x
4
− x
2
x
2
− 2
= x
2
+ 1 +
2
x
2
− 2
⇒
x
4
− x
2
= (x
2
+ 1)(x
2
− 2) + 2.
Zatem wielomian R(x) = 2 jest resztą z dzielenia W przez P .
Jeżeli R jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian P jest dzielnikiem wielomianu W .
Wówczas otrzymujemy równość W = QP , z której wynika, że Q też jest dzielnikiem W .
4.1
Twierdzenie B´
ezoute’a, rozkład wielomianu na czynniki, równa-
nia, nierówności wielomianowe
Miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu W (x) = a
n
x
n
+ a
n
−1
x
n
−1
+ . . . + a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
nazywamy liczbę x
0
∈ R, dla której wartość wielomianu jest równa 0, tzn. W (x
0
) = 0.
Twierdzenie 17
(Twierdzenie B´ezoute’a).
Liczba x
0
jest miejscem zerowym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x)
jest podzielny przez dwumian (x − x
0
).
Dowód. Załóżmy, że liczba x
0
jest pierwiastkiem wielomianu W . Na mocy Twierdzenia o dzie-
leniu z resztą (patrz Twierdzenie 15) mamy W (x) = (x − x
0
)Q(x) + R, gdzie Q i R są wie-
lomianami, przy czym R jest wielomianem stałym. Podstawiając x = x
0
dostajemy W (x
0
) =
(x
0
− x
0
)Q(x
0
) + R = R. Z założenia wiemy, że W (x
0
) = 0, zatem R ≡ 0, więc wielomian W
jest podzielny przez dwumian x − x
0
.
Odwrotnie, niech W (x) = (x−x
0
)P (x), gdzie P (x) jest pewnym wielomianem. Wówczas W (x
0
) =
(x
0
− x
0
)P (x
0
) = 0.
11
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Twierdzenie 18.
Jeśli x
0
=
p
q
, gdzie p, q ∈ Z i q 6= 0, jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu
W (x) = a
n
x
n
+ a
n
−1
x
n
−1
+ · · · + a
1
x + a
0
, gdzie a
n
6= 0 i a
i
∈ Z, i = 0, . . . , n, to p dzieli a
0
i q
dzieli a
n
.
Dowód. Załóżmy, że x
0
=
p
q
, gdzie p, q ∈ Z i q 6= 0, jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu
W oraz liczby p i q są względnie pierwsze. Wtedy W
p
q
!
= 0, tzn.
a
n
p
n
q
n
+ a
n
−1
p
n
−1
q
n
−1
+ · · · + a
1
p
q
+ a
0
= 0.
Stąd a
n
· p
n
+ a
n
−1
· p
n
−1
· q + · · · + a
1
· p · q
n
−1
+ a
0
· q
n
= 0, zatem
a
0
· q
n
= −p ·
a
n
· p
n
−1
+ a
n
−1
· p
n
−2
· q + · · · + a
1
· q
n
−1
,
(12)
a
n
· p
n
= −q
a
n
−1
· p
n
−1
+ · · · + a
1
· p · q
n
−2
+ a
0
· q
n
−1
.
(13)
Ponieważ NWD(p, q)=1, więc z (12) p dzieli a
0
i z (13) q dzieli a
n
Wniosek 19.
Jeśli wielomian W (x) = a
n
x
n
+ a
n
−1
x
n
−1
+ · · · + a
1
x + a
0
, gdzie a
n
6= 0 i a
i
∈ Z,
i = 0, . . . , n, ma miejsce zerowe x
0
∈ Z, x
0
jest dzielnikiem wyrazu wolnego a
0
.
Rozkład na czynniki wielomianu polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianów.
Twierdzenie 20
(o postaci iloczynowej).
Jeżeli wielomian W (x) = a
n
x
n
+ a
n
−1
x
n
−1
+ · · · + a
1
x + a
0
, gdzie a
n
6= 0 i a
i
∈ R, i = 0, . . . , n,
ma n różnych miejsc zerowych x
1
, x
2
, . . . , x
n
, to
W (x) = a
n
(x − x
1
)(x − x
2
) · · · (x − x
n
).
Twierdzenie 21
(o rozkładzie wielomianu na czynniki).
Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.
Liczba x
0
jest k-krotnym miejscem zerowym wielomianu W , jeżeli ten wielomian jest podzielny
przez (x − x
0
)
k
i nie jest podzielny przez (x − x
0
)
k
+1
, k ∈ N.
Metody rozkładania wielomianów na czynniki:
• wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
• grupowanie wyrazów,
• stosowanie wzorów skróconego mnożenia,
• zastosowanie twierdzenia B´
ezouta.
12
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
4.2
Nierówności wielomianowe.
Nierównością wielomianową nazywamy każdą nierówność w postaci: P (x) > 0, P (x) > 0, P (x) <
0 oraz P (x) 6 0, gdzie P jest wielomianem.
4.2.1
Rozwiązywanie nierówności wielomianowych.
• przenosimy wszystko na jedną stronę
• rozkładamy wielomian na czynniki
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą w postaci iloczynowej.
Przykład 22.
Rozwiążmy nierówność (x − 3)
3
· (x + 2)
2
· (1 − x) · (2 − x) 6 0.
Wówczas
x
1
2
3
−2
Zatem x ∈ (−∞, 1i ∪ h2, 3i.
13
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
5
Funkcje wymierne.
Definicja 23.
Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci
w(x) =
P (x)
Q(x)
,
(14)
gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany
te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stP < stQ (stopień
wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q), to mówimy, że funkcja wymierna jest
właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa.
Funkcja wymierna w jest określona na zbiorze D
w
= R \ {x : Q(x) = 0}.
Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia
x
2
x + 1
,
x
3
+ 7x
2
− 8
x
7
+ 1
.
Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją
wymierną właściwą.
Twierdzenie 24.
Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i
funkcji wymiernej właściwej.
Dowód. Niech w(x) =
P (x)
Q(x)
gdzie stP > stQ. Niech S będzie ilorazem, a Q— resztą z dzielenia
P przez Q. Z Twierdzenia (o dzieleniu z resztą) mamy równość P (x) = Q(x)S(x) + R(x), gdzie
stR < stQ. Ponieważ stP > stQ, więc S nie może być wielomianem zerowym. Wobec tego
możemy podzielić ostatnią równość stronami przez Q(x), otrzymując żądany rozkład wyjściowej
funkcji na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:
P (x)
Q(x)
=
Q(x)S(x) + R(x)
Q(x)
= S(x) +
R(x)
Q(x)
.
Funkcja wymierna
R(x)
Q(x)
jest oczywiście właściwa, ponieważ stR < stQ.
Z powyższego dowodu wynika, że podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wyko-
nując dzielenie licznika funkcji wymiernej przez jej mianownik (zwykłe dzielenie wielomianów z
resztą). Czasami udaje się dokonać rozkładu przy użyciu elementarnych przekształceń, np.:
x
2
+ 2x − 2
x + 1
=
x
2
+ x + x + 1 − 3
x + 1
=
x(x + 1) + (x + 1) − 3
x + 1
= x + 1 −
3
x + 1
.
5.1
Funkcja homograficzna i jej własności
Wśród funkcji wymiernych wyróżnia się funkcję postaci:
f (x) =
ax + b
cx + d
,
(15)
14
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
gdzie c 6= 0 oraz ad − cb 6= 0.
D
f
= R \
(
−
d
c
)
,
f (x) ∈ R
f
= R \
a
c
.
Funkcję f zdefiniowaną wzorem (15) nazywamy funkcją homograficzną.
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
X
Y
−
b
a
d
c
x = −
d
c
y =
a
c
Jeżeli a 6= 0, to miejscem zerowym funkcji homograficznej jest x = −
b
a
.
Jeżeli ad − bc > 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli ad − bc < 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest malejąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli a 6= 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest funkcją wymierną niewłaściwą, więc z
Twierdzenia 24 mamy
f (x) =
ax + b
cx + d
=
a
c
+
bc − ad
c(cx + d)
.
Wówczas wykres funkcji f (x) =
ax + b
cx + d
można otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji
f (x) =
A
x
, gdzie A =
bc − ad
c
2
, o wektor
"
−
d
c
,
a
c
#
.
5.2
Ułamki proste
Z Twierdzenia 24 wiemy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci
sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Okazuje się, że każdą funkcję wymierną właściwą
można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych funkcji wymiernych, zwanych
ułamkami prostymi.
Rzeczywiste ułamki proste dzielą się na ułamki proste pierwszego rodzaju oraz ułamki proste
drugiego rodzaju.
15
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Definicja 25.
Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymier-
ną postaci
A
(x − a)
n
,
gdzie A, a ∈ R, a n ∈ N.
Definicja 26.
Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną
postaci
Ax + B
(x
2
+ px + q)
n
,
gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i p
2
− 4q < 0 (trójmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkła-
dalny).
5.3
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste.
Twierdzenie 27.
Niech w(x) =
P (x)
Q(x)
będzie niezerową rzeczywistą funkcją wymierną właściwą.
Załóżmy, że mianownik Q ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne:
Q(x) = a
n
(x − x
1
)
k
1
· · · (x − x
r
)
k
r
·
x
2
+ p
1
x + q
1
l
1
· · ·
x
2
+ p
s
x + q
s
l
s
.
Wówczas w(x) jest sumą n
1
= k
1
+k
2
+. . .+k
r
rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju
oraz n
2
= l
1
+ l
2
+ · · · + l
s
rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju. W rozkładzie tym
każdemu czynnikowi
(x − x
i
)
k
i
,
i = 1, . . . , r
odpowiada suma k
i
rzeczywistych ułamków prostych postaci
A
i
1
x − x
i
+
A
ik
2
(x − x
i
)
2
+ · · · +
A
ik
i
(x − x
i
)
k
i
,
natomiast każdemu czynnikowi
x
2
+ p
j
x + q
j
l
j
,
j = 1, . . . , s
odpowiada suma l
j
rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju postaci
B
j
1
x + C
j
1
x
2
+ p
j
x + q
j
+
B
j
2
x + C
j
2
(x
2
+ p
j
x + q
j
)
2
+ · · · +
B
jl
j
x + C
jl
j
(x
2
+ p
j
x + q
j
)
l
j
.
tzn.
w(x) =
A
11
x − x
1
+ · · · +
A
1k
1
(x − x
1
)
k
1
+ · · · +
A
r
1
x − x
r
+ · · · +
A
rk
r
(x − x
r
)
k
r
+
+
B
11
x + C
11
x
2
+ p
1
x + q
1
+ · · · +
B
1l
1
x + C
1l
1
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
l
1
+
B
s
1
x + C
s
1
x
2
+ p
s
x + q
s
+ · · · +
B
sl
s
x + C
sl
s
(x
2
+ p
s
x + q
s
)
l
s
.
Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników.
16
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Zauważmy, że mianowniki funkcji wymiernej zostały podane w postaci iloczynu czynników nie-
rozkładalnych. Jeśli mianownik funkcji wymiernej podamy w postaci rozwiniętej, np.
x + 4
x
3
− x
2
− 2x
,
to musimy taki mianownik najpierw rozłożyć na czynniki:
x + 4
x(x + 1)(x − 2)
,
a dopiero potem zastosować twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste.
Przykład 28.
Rozkład funkcji wymiernej postaci
1
(x − 3)
3
(x + 2)
na ułamki proste jest następujący:
1
(x − 3)
3
(x + 2)
=
A
x − 3
+
B
(x − 3)
2
+
C
(x − 3)
3
+
D
x + 2
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w
trzeciej, a drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumia-
nowi x − 3 oraz jeden ułamek prosty odpowiadający dwumianowi x + 2.
Przykład 29.
Rozkład funkcji
1
x (x
2
+ x + 2)
2
na ułamki proste jest następujący:
1
x (x
2
+ x + 2)
2
=
A
x
+
Bx + C
x
2
+ x + 2
+
Dx + E
(x
2
+ x + 2)
2
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi
trójmianu nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x
oraz dwa ułamki proste odpowiadające trójmianowi x
2
+ x + 2.
5.4
Równania i nierówności wymierne.
Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci: w(x) = v(x) gdzie w i v są funkcjami
wymiernymi. Dziedziną tego równania jest część wspólna dziedzin funkcji wymiernych w i v.
5.4.1
Sposoby rozwiązywania równań wymiernych.
I sposób: (krótszy, ale ogólnie nie można stosować przy nierównościach)
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R
\ {miejsca zerowe mianowników})
17
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
• obustronnie mnożymy równanie przez wspólny mianownik
• rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe.
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Przykład 30.
Rozwiążemy równanie
2
x + 1
−
x + 1
1 − x
=
x
2
x
2
− 1
.
(16)
Wtedy
2
x + 1
−
x + 1
1 − x
=
x
2
(x − 1)(x + 1)
,
D = R \ {−1, 1},
2
x + 1
−
x + 1
1 − x
=
x
2
(x − 1)(x + 1)
,
· (x − 1)(x + 1)
2(x − 1) + (x + 1)
2
= x
2
⇒
2x − 2 + x
2
+ 2x + 1 = x
2
4x = 1
⇒
x =
1
4
∈ D.
Stąd x =
1
4
jest rozwiązaniem równania (16).
II sposób:
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R
\ {miejsca zerowe mianowników})
• przenosimy wszystko na lewą stronę
• ustalamy wspólny mianownik
• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
• porównujemy licznik do zera (ułamek = 0 wtedy, gdy licznik = 0) i rozwiązujemy otrzy-
mane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Przykład 31.
Rozwiążemy równanie
2x
2 − x
+
4
x
= 3.
(17)
Wtedy D = R \ {0, 2} i
2x · x + 4 · (2 − x) − 3x(2 − x)
x(2 − x)
= 0
5x
2
− 10x + 8 = 0
∆ < 0
Stąd brak rozwiązań równania (17) w zbiorze liczb rzeczywistych.
18
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Uwaga 32.
Jeżeli równanie ma postać proporcji ( równość dwóch ułamków ) To: iloczyn wyra-
zów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych
• ustalamy dziedzinę ( R
\ {miejsca zerowe mianowników})
• porównujemy iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych i rozwiązujemy otrzymane równanie
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Przykład 33.
Rozwiążemy równanie
x
x + 2
=
3x
x − 3
.
(18)
Wtedy
D = R \ {−2, 3},
x(x − 3) = 3x(x + 2);
x
2
–3x = 3x
2
+ 6x;
2x
2
+ 9x = 0;
2x
x +
9
2
= 0;
x
1
= 0 ∈ D ∨ x
2
= −4, 5 ∈ D.
Zatem rozwiązaniem równania (18) są liczby 0 lub −4,5.
19
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Nierównością wymierną nazywamy każdą nierówność w postaci:
P (x)
Q(x)
> 0,
P (x)
Q(x)
>
0,
Q(x)
Q(x)
< 0
oraz
P (x)
Q(x)
6
0, gdzie P i Q są wielomianami.
5.4.2
Sposoby rozwiązywania nierówności wymiernych.
I sposób:
• przenosimy wszystko na jedną stronę
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R
\ {miejsca zerowe mianowników})
• ustalamy wspólny mianownik
• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
• porządkujemy licznik i rozkładamy go na czynniki
• iloraz (ułamek) zamieniamy na iloczyn (znak wyniku dla ilorazu i iloczynu podobnie usta-
lamy)
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej
• ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny.
Przykład 34.
Rozwiążmy nierówność
2x − 5
x
2
− 6x + 8
6
−1.
(19)
Wtedy
2x − 5
(x − 2)(x − 4)
+
1 (x
2
− 6x + 8)
(x − 2)(x − 4)
6
0 i
D = R \ {2, 4},
2x − 5 + x
2
− 6x + 8
(x − 2)(x − 4)
6
0;
x
2
− 4x + 3
(x − 2)(x − 4)
6
0;
(x − 1)(x − 3)
(x − 2)(x − 4)
6
0;
(x − 1)(x − 3)(x − 2)(x − 4) 6 0 ∧ x 6= {2, 4}.
X
1
2
3
4
x ∈ h1, 2) ∪ h3, 4).
Zatem rozwiązaniem nierówności (19) jest zbiór h1, 2) ∪ h3, 4).
20
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
II sposób:
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R
\ {miejsca zerowe mianowników})
• mnożymy obustronnie nierówność przez kwadraty mianowników liniowych lub przez inne
wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej
• ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny.
Przykład 35.
Rozwiążmy nierówność
4 − x
x
2
−
2
x
>
1.
(20)
Wtedy
D = R \ {0},
4 − x
x
2
−
2
x
− 1 > 0
/ · x
2
4 − x − 2x − x
2
>
0;
−x
2
− 3x + 4 > 0;
−(x − 1)(x + 4) > 0.
X
1
−4
0
x ∈ h−1, 4) \ {0}.
Zatem rozwiązaniem nierówności (20) jest zbiór h−1, 4) \ {0}.
21
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
6
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne.
6.1
Funkcje wykładnicze oraz ich własności.
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcje f określona wzorem
f (x) = a
x
,
(21)
gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
D
f
= R,
f (x) ∈ R
f
= R
+
= (0, +∞).
Dla a ∈ (0, 1) funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą, natomiast dla a ∈ (1, +∞) jest funkcją
rosnącą.
1
X
Y
y = a
x
y = a
x
y = a
x
0 < a < 1
0 < a < 1
0 < a < 1
1
X
Y
y = a
x
y = a
x
y = a
x
a > 1
a > 1
a > 1
Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą.
Ponieważ a
−x
=
1
a
x
=
1
a
x
, dla a < 0 i a 6= 1, więc krzywe wykładnicze y = a
x
i y =
1
a
x
są
symetryczne względem osi OY .
6.2
Równania i nierówności wykładnicze.
Równaniem wykładniczym (nierównością wykładniczą) nazywamy takie równanie (nierówność),
którego niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.
Równaniem wykładniczym jest na przykład równanie typu: a
f
(x)
= a
g
(x)
, gdzie a ∈ R \ {1} a
f (x) i g(x) są dowolnymi funkcjami zmiennej rzeczywistej.
Przykłady równań wykładniczych: 5
x
2
−1
= 25, 2
2x
− 5 · 2
x
= 6, itp.
Przykłady nierówności wykładniczych: 5
x
2
−1
< 25, 2
2x
− 5 · 2
x
> 6, itp.
22
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Schemat rozwiązywania równań wykładniczych wygląda następująco:
• ustalamy dziedzinę
• sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania
kwadratowego albo do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z rów-
ności podstaw wynika równość wykładników
• rozwiązujemy równanie
• sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie
• podajemy odpowiedź
W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:
• ustalić dziedzinę
• sprowadzić obie strony nierówności do tych samych podstaw albo przekształcamy do innej
nierówności, którą potrafimy rozwiązać
• wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio nierówność:
dla a > 1
a
n
> a
m
⇐⇒ n > m
a
n
< a
m
⇐⇒ n < m
analogicznie dla porównań „>” czy też „6”;
dla 0 < a < 1
a
n
> a
m
⇐⇒ n < m
a
n
< a
m
⇐⇒ n > m
analogicznie dla porównań „>” czy też „6”
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność i sprawdzamy, czy rozwiązania należą do dziedziny
• udzielamy odpowiedzi
23
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
6.3
Funkcje logarytmiczne oraz ich własności.
Definicja 36.
Logarytmem liczby x > 0 przy podstawie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) nazywamy wy-
kładnik potęgi y, do której należy podnieść podstawę a, żeby otrzymać x.
Mamy więc
log
a
x = y ⇔ a
y
= x dla x > 0 i a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
Z definicji logarytmu wynikają następujące własności:
log
a
a = 1, dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(22)
log
a
1 = 0, dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(23)
Jeżeli x > 0, y > 0 i a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), to
log
a
(x · y) = log
a
x + log
a
y.
(24)
log
a
x
y
= log
a
x − log
a
y.
(25)
log
a
x
α
= α log
a
x,
dla α ∈ R.
(26)
log
a
x =
log
b
x
log
b
a
,
dla b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(27)
log
a
x =
1
log
x
a
,
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(28)
a = blog
b
a,
dla a > 0, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(29)
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcje f określona wzorem
f (x) = log
a
x,
gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(30)
D
f
= R
+
= (0, +∞),
f (x) ∈ R
f
= R.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją malejącą dla a ∈ (0, 1), natomiast dla a ∈ (1, +∞) jest
funkcją rosnącą.
1
X
Y
y = log
a
x
y = log
a
x
y = log
a
x
0 < a < 1
0 < a < 1
0 < a < 1
1
X
Y
y = log
a
x
y = log
a
x
y = log
a
x
a > 1
a > 1
a > 1
Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą logarytmiczną.
Ponieważ log
a
x = − log
1
a
x, dla a < 0 i a 6= 1, więc krzywe logarytmiczne y = log
a
x i y = log
1
a
x
są symetryczne względem osi OX.
24
Budownictwo – studia stacjonarne
sem I, 2014/2015
MATEMATYKA
Uwaga 37.
Funkcja logarytmiczna i funkcja wykładnicza są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.
1
1
X
Y
y = log
a
x
y = log
a
x
y = log
a
x
y = a
x
y = a
x
y = a
x
0 < a < 1
1
1
X
Y
y = a
x
y = a
x
y = a
x
y = log
a
x
y = log
a
x
y = log
a
x
a > 1
6.4
Równania i nierówności logarytmiczne.
Równaniem logarytmicznym (nierównością logarytmiczną) nazywamy równanie (nierówność), w
którym niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.
Przykłady równań logarytmicznych: log
5
(x
2
− 1) = 25, log
2
2
x − 5 · log
2
x = 6, itp.
Przykłady nierówności logarytmicznych: log
5
(x
2
− 1) < 25, log
2
2
x − 5 · log
2
x > 0, itp.
Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego (nierówności logarytmicznej) powinno się:
• ustalić dziedzinę
• sprowadzić obie strony równania (nierówności) do tych samych podstaw albo przekształcić
do innego równania (innej nierówności), które (którą) potrafimy rozwiązać
• wykorzystując własności funkcji logarytmicznej przekształcić równanie (nierówność) tzn:
dla a > 1
log
a
n > log
a
m ⇐⇒ n > m
log
a
n 6 log
a
m ⇐⇒ n 6 m
dla 0 < a < 1
log
a
n > log
a
m ⇐⇒ n 6 m
log
a
n 6 log
a
m ⇐⇒ n > m
• rozwiązać otrzymane równanie (otrzymaną nierówność) i sprawdzić, czy rozwiązania nale-
żą do dziedziny
• podać odpowiedź.
25