5. TEORIA MIARY 1



­ ALGEBRY, ZBIORY BORELOWSKIE

1. Niech X będzie zbiorem nieskończonym, A – rodziną podzbiorów zbioru X złożoną z 

wszystkich skończonych zbiorów 

A⊂X

 oraz ich dopełnienień. Pokazać, że  

A jest algebrą 

zbiorów, ale nie jest 



­algebrą.

2. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym A – rodziną podzbiorów zbioru X złożoną z 

wszystkich przeliczalnych zbiorów 

A⊂X

 oraz ich dopełnienień. Pokazać, że  

A jest 

 



­algebrą.

3. Udowodnić, że jeżeli  

A  jest niepustą klasą podzbiorów przestrzeni X spełniającą warunki:

(1) jeżeli

A

n

∈

A, 

A

n

∩ A

m

=∅

dla

n≠m n , m=1,2 ,...

, to

∐

n=1

∞

A

n

∈

A ,

(2) jeżeli 

A , B ∈

A, to

A ∖ B ∈

A, 

to 

A jest 



­algebrą.

4. Niech

X =

{

a , b , c

}

. Wyznaczyć największą



­algebrę zawierającą zbiór

{

b , c

}

oraz

 



­algebrę generowaną przez zbiór

{

{

b , c

}

,

{

a , b , c

}

}

.

5. Niech

X =ℝ

. Wyznaczyć



­algebrę generowaną przez zbiór

5.1 

{

[

0,1 



,

{

0 

}

,

{

1 

}

}

,

5.2

{

[

0,1 



,

{

0 

}

, ℝ

}

.

6. Niech  

B  będzie



­algebrą na Y oraz niech

T : X Y

będzie dowolnym

 odwzorowaniem. Sprawdzić, że  

A =

{

T

−1

 B: B∈

B

}



­algebrą na X.  

7. Niech 

X =ℝ

. Sprawdzić, że następujące zbiory są  zbiorami borelowskimi:

7.1 

{

a

}

,

7.2  przedziały 

[

a , b



,



a , b

]

, ab ,

7.3 

{

a

1

, ... , a

n

, ...

}

.

8. Niech 

X =ℝ

. 

=

{

−∞ , a: a∈ℝ

}

. Sprawdzić, że rodzina



generuje



­

algebrę zbiorów borelowskich. 

Wsk. Sprawdzić, że każdy zbiór otwarty można otrzymać ze zbiorów z



za pomocą

 operacji 

∐

,

∏

, ∖

. Skorzystać z faktu, że każdy zbiór otwarty w

ℝ

jest sumą

 przeliczalnie wielu przedziałów otwartych.