MIARY OPISOWE (położenia, zmienności, asymetrii, koncentracji)

 

Zad. 1. Oprocentowanie lokat 12-miesięcznych w wylosowanych bankach   a)  przewyższało inflację (w %) o: 2;

 

6;

 

3;

 

1;

 

2;

 

4;

 

1;

 

4;

 

4.  b)   

wynosiło (w %):  3; 2; 5; 4; 4; 3.    Do a)  i  b)  obliczyć i zinterpretować: średnią, medianę, modalną, odch. standardowe. 
Zad. 2.  20 studentów zapytano o ocenę końcową (egzamin) z matematyki. Otrzymano wyniki : 

 

Ocena 

3 

3,5 

4 

4,5 

5 

Liczba studentów 

2 

3 

9 

4 

2 

 

Obliczyć  i  zinterpretować:  średnią,  medianę,  modalną,  oraz 
odchylenie standardowe. 

 

Zad.  3.  W ramach polisy pewnego towarzystwa  ubezpieczeń na  życie  może być  gwarantowana  osłona  ubezpieczeniowa  dla  dzieci. 
Wylosowano 25 polis tego towarzystwa i odnotowano liczbę dzieci uwzględnionych w każdej z nich. Wyniki były następujące: 

 

2 

0 

2 

1 

3 

3 

1 

1 

3 

2 

1 

0 

7 

0 

2 

0 

0 

0 

4 

1 

4 

3 

2 

2 

2 

 

a)  Zbudować  szereg  ważony  względem  liczby  dzieci 

uwzględnionych w polisach. 

b)  Obliczyć i podać interpretację średniej arytmetycznej. 
c)  Wyznaczyć i zinterpretować medianę i modalną, 
d)  Przedstawić  graficznie  strukturę  polis  ze  względu  na  liczbę 

uwzględnionych w polisach dzieci (wykres kołowy).  

e)  Zakładając, że próba jest reprezentatywna: 
 –  jakie  jest  prawdopodobieństwo,  że  beneficjent  polisy  ma  nie 

więcej niż 1 dziecko, 

 – jakie jest prawdopodobieństwo, że ma on 3 i więcej dzieci.

 

Zad.  4.  Ceny  mieszkań  dwupokojowych  w  Krakowie,  (w  dzielnicy  Nowa  Huta),  we  wrześniu  2000  r.  na  podstawie  25  losowo 
wybranych ofert (w tys. zł): 86,5;

 

70;

 

140;

 

107;

 

86;

 

74;

 

107;

 

120;

 

103;

 

76;

 

77;

 

115;

 

78;

 

96;

 

96;

 

93;

 

100;

 

86;

 

135;

 

130;

 

105;

 

118;

 

58,5;

 

80;

 

155. 

a)  Określić jednostkę statystyczną, zbiorowość statystyczną. 
b)  Zbudować szereg rozdzielczy rozkładu cen mieszkań.   Ile przedziałów powinien liczyć zbudowany szereg?   
Jaką rozpiętość powinien mieć każdy przedział?                 (przyjąć rozpiętość przedziału = 20 i  początek pierwszej klasy = 58). 
c)  Narysować diagram, histogram. Graficznie znaleźć modalną.                
d)  Narysować krzywą liczebności skumulowanej. Graficznie znaleźć medianę. 
e)  Obliczyć i zinterpretować średnią arytmetyczną, modalną oraz kwartyle (Q

1

, Q

2

, Q

3

). 

Zad. 5. Badając w przedsiębiorstwie 100 maszyn ze względu na czas dotychczasowej ich eksploatacji, otrzymano poniższe informacje: 

 

Czas eksploatacji (w latach) 

0 – 2 

2 - 4 

4 – 6 

6 – 8 

Liczba maszyn 

10 

15 

40 

35 

Na  podstawie  tych  danych  należy  zbadać  zróżnicowanie  badanej  zbiorowości  za  pomocą:  wariancji,  odchylenia:  standardowego, 
przeciętnego, ćwiartkowego, oraz współczynników zmienności (podać interpretacje).  
Zad. 6. Przeciętny wiek dwu grup pracowników charakteryzują następujące parametry:     
grupa I:     M

e

= 42 lata, M

0

 = 45 lat;                grupa II:    

x

= 43 lata.                            Na podstawie tych danych należy ocenić: 

a)  która grupa pracowników jest - średnio biorąc - starsza; 
b)  w której grupie wiek jest stosunkowo bardziej zróżnicowany, jeżeli wiadomo, że wariancje w obu grupach są jednakowe. 
Zad. 7. Zbadano 20 pracowników pewnej agencji reklamowej pod względem stażu pracy. Otrzymano następujące informacje: 

 

Staż pracy (w latach) 

0 – 2 

2 – 4 

4 – 6 

6 – 8 

8 – 10 

Liczba pracowników 

10 

4 

3 

2 

1 

Określić modalną.  Zbadać asymetrię za pomocą dwóch wybranych współczynników, oraz koncentrację. 
Zad. 8. Naszkicować rozkład (zaznaczając położenie co najmniej trzech miar przeciętnych) wiedząc, że: 

x

 = 20, 

 

A

s 

=  –20%, 

 

s = 5. 

Zad. 9. Informacje o dziennej sprzedaży (w tys. zł) losowo wybranych sklepów warzywniczych w Krakowie (wrzesień 2012r.): 

 

Wartość utargu (w tys. zł) 

poniżej 1  

1 – 3 

3 – 5 

5 – 7 

7 i więcej 

Liczba sklepów 

10 

25 

40 

20 

5 

Za  pomocą  odpowiednich  miar  (położenia;  zmienności;  asymetrii)  scharakteryzować  poziom  dziennej  sprzedaży  w  zbadanych 
sklepach (interpretacja). Uzasadnić wybór miar.  
Zad. 10. Rodziny wg liczby członków w miejscowości A charakteryzuje poniższy rozkład: 

 

Liczba członków rodziny 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

Liczba rodzin 

30 

60 

40 

30 

20 

10 

10 

a)  Obliczyć udziały procentowe rodzin z poszczególną liczbą członków, tak aby otrzymać strukturę rodzin wg liczby członków.  
Przedstawić graficznie strukturę rodzin wg liczby członków.  
b)  Za pomocą poznanych miar scharakteryzować powyższy rozkład. Wyniki zinterpretować. 
Zad.11. Płace pracowników (X w tys. zł) zatrudnionych  w  pewnej  spółdzielni  w styczniu 2013 r. kształtowały się następująco: 

x

i

 

1,6 – 2,2 

2,2 – 2,8 

2,8 – 3,2 

3,2 – 3,8 

f

i

 

4 

8 

6 

2 

 

a)  Narysować diagram, histogram. Znaleźć graficznie modalną. 

 

b) 

 

Narysować krzywą liczebności skumulowanej.  

Znaleźć graficznie kwartyle. 
c)  Scharakteryzować  powyższą  zbiorowość  za  pomocą 

poznanych miar.  Podać interpretacje.