granica ciagu zadania id 195350 Nieznany

background image

GRANICA CIĄGU

SYMBOLE NIEOZNACZONE :


;

0
0

; ∞ − ∞ ; 0 · ∞ ; 1

; 0

0

; 0

;

0

PONADTO:

lim

n→∞

n

n = 1

lim

n→∞

n

a = 1 gdy a > 0

lim

n→∞

a

n

k

= 0 gdy a ∈ R, k > 0

lim

n→∞

a

n

=

0

gdy |a| < 1

1

gdy a = 1

gdy a > 1

nie istnieje

gdy a 6 1

W ciągach o budowie podobnej do funkcji wielomianowej, w których występuje symbol nieoznaczony ”∞−∞” licząc
granicę wyłączamy przed nawias n w najwyższej potędze występującej w wyrażeniu.

Zad 1 Znaleźć granice ciągów:

a) a

n

= n

4

+ 2n

2

1

c) a

n

= n

3

2n

2

+ n − 1

b) a

n

= −n

5

+ n

2

4

d) a

n

= 1 − n

2

+ 6n

3

4n

6

W ciągach o budowie podobnej do funkcji wymiernej licząc granicę:
- wyłączamy przed licznik oraz przed mianownik n w najwyższej potędze występującej w mianowniku
ALBO
- wyłączamy przed licznik n w najwyższej potędze występującej w liczniku oraz przed mianownik n w najwyższej
potędze występującej w mianowniku.

Zad 2 Znaleźć granice ciągów:

a) a

n

=

−n

3

+3n

2

1

2n

3

3n+5

k) a

n

=

n

2

+n−15n

n

2

1+n+1

b) a

n

=

n

3

+n

2

3

2n

2

3n+1

l) a

n

=

n+15

3

n

2

1+1

c) a

n

=

2n−1

2n−3+5n

3

m) a

n

=

3

n+15

n

2

1+1

d) a

n

=

3n

2

1

n+5

3n

n) a

n

=

n+1

5n

4

+3

n

4

−n

2

+1

e) a

n

=

3n

2

+1

n

n−n+2

o) a

n

=

5

n−3

3

n+2n

6

n−

n+1

f) a

n

=

(n+1)!

n!3(n+1)!

p) a

n

=

n

2

+15n

2

3

n

3

1+1

g) a

n

=

n!+(n+1)!

(n+2)!

r) a

n

=

(n−1)(n−2)(2n+3)(3n−1)(n+3)(23n)3

4n−(n

2

+1)(n

2

+4)(1−n)(n+6)

h) a

n

=

(n+1)

10

(2n−1)

14

s) a

n

=

(n+1)(n+2)(n+3)(n−1)(n−2))

n

2

+2n+3

i) a

n

=

(n

3

n−2n

2

+1)

8

(n

4

2n+2)

7

t) a

n

=

(n+1)(n+2)(n+3)(n−1)(n−2))

n

3

+2n+3

j) a

n

=

(n

5

2n

2

+3)

2008

(n

2

2n+3)

8002

u) a

n

=

(n+1)(n+2)(n+3)(n−1)(n−2))

n

2

+2n

4

+3

mgr Dorota Grott CNMiKnO PG

background image

W ciągach z elementami o charakterze wykładniczym licząc granicę:
- wyłączamy przed licznik oraz przed mianownik a

n

, gdzie a największa podstawa występująca w mianowniku

ALBO
- wyłączamy przed licznik a

n

gdzie a największa podstawa występująca w liczniku oraz przed mianownik b

n

gdzie b największa podstawa

występująca w mianowniku.

Zad 3 Znaleźć granice ciągów:

a) a

n

= 2

n

+ 3

n

4

n

j) a

n

=

n

e

n

+ π

n

3

n

b) a

n

= (

2
3

)

n

+ 3

−n

+ 11

k) a

n

=

4

e

n

+ π

n

3

n

c) a

n

=

3

π



n

+

e
3



n

π

e



n

l) a

n

=

n

q

3·4

n

+2

n

3

n

1

d) a

n

=

2

n

+3

n

4

n

+5

n

m) a

n

=

n

q

3

2n

4

n

4

n+1

+5

n

e) a

n

=

3

n+1

6

n

2

n+2

+6

n+1

n) a

n

= 3

1

n

+

2
3



1

n

+2

f) a

n

=



3

2n

+4

n

1

23

n

9

n



7

o) a

n

=

n

n

5

5·n

2

n

3

n

3

1+1

g) a

n

=

9

n

1

3·2

n

+5

p) a

n

= 9

2n−8
4n−1

h) a

n

=

4

n

+2·8

2n+1

54

3n+1

r) a

n

=

4
3



n4−n+2n

n+3

i) a

n

=

n

2

n

+ 2

−n

+ 5

s) a

n

=

2
3



−n

2

+n

Gdy obliczając granicę ciągu postaci a

n

=

− √

otrzymujemy symbol nieoznaczony ”∞ − ∞” rozszerzamy wyrażenie mnożąc

i dzieląc przez tzw. sprzężenie tzn. przez (

+

). Następnie w liczniku korzystamy z wzoru skróconego mnożenia.

Przykład: lim

n→∞

(

p

n

2

+ 1

p

n

2

3) = lim

n→∞

(

n

2

+ 1

n

2

3)(

n

2

+ 1 +

n

2

3)

n

2

+ 1 +

n

2

3

= lim

n→∞

n

2

+ 1 (n

2

3)

n

2

+ 1 +

n

2

3

=

= lim

n→∞

4

n

2

+ 1 +

n

2

3

=

h

4

i

= 0

Dla ciągów postaci a

n

=

3

3

dążymy do skorzystania z wzoru skróconego mnożeniaa

3

− b

3

= (a − b)(a

2

+ ab + b

2

).

Zad 4 Znaleźć granice ciągów:

a) a

n

=

n + 1

n − 1

e) a

n

=

3

n2+1

3

n2−n

b) a

n

= 2n −

4n

2

+ n − 1

f) a

n

=

e

3n

e

3n−6

c) a

n

= n

2

2n

2

+ 3n

g) a

n

=

3

n

2

+ 1

3

n

2

+ 3

d) a

n

=

n + 1 − n

h) a

n

=

3

n

3

+ 1

3

n

3

+ 3n

LICZBA

e

1.

lim

n→∞



1+

1

n



n

= e

2.

lim

n→∞



1

1

n



n

= e

1

3.

lim

n→∞



1+

p

q · n



r·n

= e

p
q

·r

4.

Jeżeli lim

n→∞

a

n

= , to lim

n→∞



1+

1

a

n



a

n

= e

Zad 5 Znaleźć granice ciągów:

a) a

n

=



1 +

1

3n



n

g) a

n

=



2n−3

n+5



n

m) a

n

=



1 +

4

n+5



2n+5

b) a

n

=



n

n+1



2n

h) a

n

=



n+1

3n−1



2n

n) a

n

=



1

1

2n



n

2

c) a

n

=



1

2

3n



n

i) a

n

=



n

2

+3

n

2



n

2

o) a

n

=



4n−3
4n+5



n−6

d) a

n

=



n+5

n



n

j) a

n

=



n

2

+3

n

2

+5



2n

p) a

n

= n · ln



n+3
n−5



e) a

n

=



n−1
n+3



3n

k) a

n

=



2n−1
2n+5



4n

2

r) a

n

=

n

2

+2

2n(ln n−ln(n+1))

f) a

n

=



2n−3
2n+1



n

2

l) a

n

=



3n−2
3n+1



2n+1

s) a

n

=

1

2n

2

(ln(n+1)ln(n−1))

mgr Dorota Grott CNMiKnO PG

background image

TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH

Jeżeli

n

0

∈N

n>n

0

a

n

6 b

n

6 c

n

oraz lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= g

(g - granica właściwa),

to

lim

n→∞

b

n

= g.

Zad 6 Znaleźć granice ciągu a

n

stosując twierdzenie o trzech ciągach:

a) a

n

=

2n+(1)

n

3n−2

g) a

n

=

n

p

1 +

1
2

+

1
3

+ · · · +

1

n

b) a

n

=

2n−3

n+sin n!

h) a

n

=

n

1

10

+ 2

10

+ · · · + n

10

c) a

n

=

4n+cos

2

n

3n

2

sin

1

n

i) a

n

=

n

1 · 2

1

+ 2 · 2

2

+ 3 · 2

3

+ · + n · 2

n

d) a

n

=

n

2

n

+ 3

n

+ 4

n

j) a

n

=

1

n

3

+1

+

1

n

3

+2

+ · · · +

1

n

3

+n

e) a

n

=

n

π

n

+ e

n

+ 4

−n

k) a

n

=

n

p

5 + sin

n

2

f) a

n

=

n

2

2n+1

+ 3

3n+2

+ 4

2n

l) a

n

=

n

n

2

+ 5n + 16

Zad 7 Znaleźć granice ciągów:

a) a

n

=

2+(1)

n

3n−2

g) a

n

=



1+3+5+...+(2n+1)

n

2

+2



n

2

b) a

n

=

cos n

n+1

h) a

n

=

1+

1

2

+

1

4

+...+

1

2n

1+

1

3

+

1

9

+...+

1

3n

c) a

n

= sin n · arcctg n

i) a

n

=

12+34+5−...+(2n−1)2n

n

2

+1

d) a

n

= (cos n!)

n

2

· −

1
3



n

j) a

n

=

n

2 + 2

n

+ 2

2n

e) a

n

=

(1)

n

ln n

k) a

n

=

n

n

2

+ 5n + 16

f) a

n

=



1+2+3+...+n

3n

2

+2



4

l) a

n

=

n

5

+(n+1)

5

+...+(n+100)

5

n

5

+100

5

Zad 8

Znaleźć lim

n→∞

a

n+1

a

n

gdy:

a) a

n

=

n

5

3

n

c) a

n

=

(n!)

2

n

2n

b) a

n

=

n

n

n!

d) a

n

=

n!

2

n


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
chemia zadania 2 id 113035 Nieznany
me zadanie 2 id 290295 Nieznany
plyta zadanie id 363191 Nieznany
Dodatkowe zadania id 138777 Nieznany
formularze zadania id 179681 Nieznany
(budzet zadaniowy)id 1238 Nieznany (2)
CO zadania id 118396 Nieznany
blok 7 zadania id 90420 Nieznany (2)
111 ZADANIA2 1 id 601077 Nieznany (2)
Algorytmy zadania id 51150 Nieznany (2)
elektrotechnika zadanie id 1593 Nieznany
IT zadania1 id 220832 Nieznany
jQuery zadania id 228844 Nieznany
arkusz 1 zadania id 68486 Nieznany (2)
Magnucka zadania id 276836 Nieznany
Miary opisowe zadania id 298386 Nieznany
mata zadania zadania id 765851 Nieznany

więcej podobnych podstron