Płyta
Zadanie
Zadanie
Płyta
Zadanie
Zadanie
Tre
ść
zadania
Wyznaczy
ć
odkształcenia i napr
ęż
enia
w elemencie płytowym pokazanym na
rysunku w punkcie P(0.004m,0.002m).
Dane:E=5·10
6
kPa, v=0.2, g=0.1m
Współrz
ę
dne w
ę
złów:
i(0.0;0.0), j(10mm;0.0) k(4mm;3mm)
i
j
k
i(0.0;0.0), j(10mm;0.0) k(4mm;3mm)
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
5
5
3
5
5
3
5
5
3
10
2
.
4
10
6
.
5
10
0
.
6
10
2
.
8
10
6
.
3
10
1
.
6
10
2
.
1
10
3
.
2
10
1
.
6
m
m
m
w
w
w
ky
kx
k
jy
jx
j
iy
ix
i
e
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
u
Przemieszczenia w
ę
złów:
Wzory
ε
ε
ε
ε
=
w
y
x
z
∂
∂
∂
∂
−
2
2
2
2
2
Napr
ęż
enia
σσσσ
=
D
εεεε
E
1
0
ν
Odkształcenia
x
x
∂
∂
∂
2
2
D
=
−
−
E
1
1
0
0
0
1
2
2
ν
ν
ν
(
)
3
9
2
2
8
3
7
2
6
5
2
4
3
2
1
)
,
(
y
a
xy
y
x
a
x
a
y
a
xy
a
x
a
y
a
x
a
a
y
x
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
9
2
8
6
5
3
3
)
2
(
2
)
,
(
y
a
xy
x
a
y
a
x
a
a
y
y
x
w
x
+
+
+
+
+
=
=
∂
∂
ϕ
[
]
)
2
(
3
2
)
,
(
2
8
2
7
5
4
2
y
xy
a
x
a
y
a
x
a
a
x
y
x
w
y
+
+
+
+
+
−
=
−
=
∂
∂
ϕ
Funkcja kształtu
Pochodne funkcji kształtu
Przemieszczenia w
ę
złów elementu
i
i
i
w
y
x
w
=
)
,
(
ϕ
ϕ
x
i
i
ix
x y
(
,
)
=
ϕ
ϕ
y
i
i
iy
x y
(
,
)
=
w x
y
w
j
j
j
(
,
)
=
ϕ
ϕ
x
j
j
jx
x
y
(
,
)
=
ϕ
ϕ
y
j
j
jy
x
y
(
,
)
=
w x
y
w
k
k
k
(
,
)
=
ϕ
ϕ
x
k
k
kx
x
y
(
,
)
=
ϕ
ϕ
y
k
k
ky
x
y
(
,
)
=
Przemieszczenia w
ę
złowe elementu, wykorzystane do wyznaczenia
współczynników funkcji kształtu
i
w
ϕ
lub w formie
wektora
(
)
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
3
9
2
2
8
3
7
2
6
5
2
4
3
2
1
)
,
(
y
a
xy
y
x
a
x
a
y
a
xy
a
x
a
y
a
x
a
a
y
x
w
ηηηη
T
a
w x
y
w
k
k
k
(
,
)
=
ϕ
ϕ
x
k
k
kx
x
y
(
,
)
=
ϕ
ϕ
y
k
k
ky
x
y
(
,
)
=
Funkcja kształtu
=
ky
kx
k
jy
jx
j
iy
ix
e
w
w
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
u
Przemieszczenia w
ę
złów elementu
Przemieszczenia w
ę
złowe elementu, wykorzystane do wyznaczenia współczynników
funkcji kształtu
i(0.0;0.0), j(10mm;0.0)
k(4.0mm;3.0mm)
Współrz
ę
dne w
ę
złów
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
=
−
−
−
−
−
−
5
5
3
5
5
3
10
2
.
8
10
6
.
3
10
1
.
6
10
2
.
1
10
3
.
2
10
1
.
6
m
m
w
w
jy
jx
j
iy
ix
i
e
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
u
m
w
3
10
1
.
6
)
0
,
0
(
−
⋅
−
=
5
10
3
.
2
)
0
,
0
(
−
⋅
−
=
x
ϕ
5
10
2
.
1
)
0
,
0
(
−
⋅
−
=
y
ϕ
lub w innej formie
i
j
k
m
m
w
3
10
1
.
6
)
0
.
0
,
01
.
0
(
−
⋅
−
=
5
10
6
.
3
)
0
.
0
,
01
.
0
(
−
⋅
=
m
x
ϕ
5
10
2
.
8
)
0
.
0
,
01
.
0
(
−
⋅
−
=
m
y
ϕ
5
10
6
.
5
)
003
.
0
,
004
.
0
(
−
⋅
=
m
m
x
ϕ
5
10
2
.
4
)
003
.
0
,
004
.
0
(
−
⋅
−
=
m
m
y
ϕ
m
m
m
w
3
10
0
.
6
)
003
.
0
,
004
.
0
(
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
−
−
−
5
5
3
10
2
.
4
10
6
.
5
10
0
.
6
10
2
.
8
m
w
ky
kx
k
jy
ϕ
ϕ
Wyznaczanie współczynników funkcji kształtu
Układ równa
ń
do wyznaczenia współczynników funkcji kształtu
(
)
3
9
2
2
8
3
7
2
6
5
2
4
3
2
1
)
,
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
a
y
x
y
x
a
x
a
y
a
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
y
x
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
9
2
8
6
5
3
3
)
2
(
2
i
i
i
i
i
i
ix
y
a
y
x
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
=
ϕ
[
]
)
2
(
3
2
2
8
2
7
5
4
2
i
i
i
i
i
i
iy
y
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
−
=
ϕ
W
ę
zeł
i
W
ę
zeł
j
(
)
3
9
2
2
8
3
7
2
6
5
2
4
3
2
1
)
,
(
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
y
a
y
x
y
x
a
x
a
y
a
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
y
x
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
9
2
8
6
5
3
3
)
2
(
2
j
j
j
j
j
j
jx
y
a
y
x
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
=
ϕ
[
]
)
2
(
3
2
2
8
2
7
5
4
2
j
j
j
j
j
j
jy
y
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
−
=
ϕ
(
)
3
9
2
2
8
3
7
2
6
5
2
4
3
2
1
)
,
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
a
y
x
y
x
a
x
a
y
a
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
y
x
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
9
2
8
6
5
3
3
)
2
(
2
k
k
k
k
k
k
kx
y
a
y
x
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
=
ϕ
[
]
)
2
(
3
2
2
8
2
7
5
4
2
k
k
k
k
k
k
ky
y
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
−
=
ϕ
W
ę
zeł
j
W
ę
zeł
k
Wyznaczanie współczynników funkcji kształtu
Układ równa
ń
do wyznaczenia współczynników funkcji kształtu
1
)
,
(
a
y
x
w
i
i
i
=
3
a
ix
=
ϕ
2
a
iy
−
=
ϕ
W
ę
zeł
i
W
ę
zeł
j
3
7
2
4
2
1
)
,
(
j
j
j
j
j
j
x
a
x
a
x
a
a
y
x
w
+
+
+
=
2
8
5
3
j
j
jx
x
a
x
a
a
+
+
=
ϕ
2
7
4
2
3
2
j
j
jy
x
a
x
a
a
−
−
−
=
ϕ
(
)
3
9
2
2
8
3
7
2
6
5
2
4
3
2
1
)
,
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
a
y
x
y
x
a
x
a
y
a
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
y
x
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
9
2
8
6
5
3
3
)
2
(
2
k
k
k
k
k
k
kx
y
a
y
x
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
=
ϕ
[
]
)
2
(
3
2
2
8
2
7
5
4
2
k
k
k
k
k
k
ky
y
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
−
=
ϕ
W
ę
zeł
j
W
ę
zeł
k
Wyznaczanie współczynników funkcji kształtu
Układ równa
ń
do wyznaczenia współczynników funkcji kształtu
j
iy
ix
i
w
w
ϕ
ϕ
a
a
a
a
1
2
3
4
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
x
j
0
x
j
2
0
0
x
j
3
0
0
=
jz
iz
k
jy
jx
j
e
w
w
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
u
a
a
a
a
a
a
4
5
6
7
8
9
x
j
x
j
M=
0
0
1
0
x
j
0
0
x
j
2
0
0
-1
0
-2
x
j
0
0
−
3
2
x
j
0
0
1
x
k
y
k
x
k
2
x
k
y
k
y
k
2
x
k
3
x y
x y
k
k
k
k
2
2
+
y
k
3
0
0
1
0
x
k
2y
k
0
x
x y
k
k
k
2
2
+
3
2
y
k
0
-1
0
-2x
k
-y
k
0
−
3
2
x
k
−
−
2
2
x y
y
k
k
k
0
a
M
u
=
−
1
'
e
Rozwi
ą
zanie mo
ż
na uzyska
ć
z równania:
Wyznaczanie współczynników funkcji kształtu
Układ równa
ń
do wyznaczenia współczynników funkcji kształtu
1
3
10
1
.
6
a
m
=
⋅
−
−
3
5
10
3
.
2
a
=
⋅
−
−
2
5
10
2
.
1
a
=
⋅
−
W
ę
zeł
i
W
ę
zeł
j
(
)
3
9
2
2
8
3
7
2
6
5
2
4
3
2
1
)
,
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
a
y
x
y
x
a
x
a
y
a
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
y
x
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
9
2
8
6
5
3
3
)
2
(
2
i
i
i
i
i
i
ix
y
a
y
x
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
=
ϕ
[
]
)
2
(
3
2
2
8
2
7
5
4
2
i
i
i
i
i
i
iy
y
y
x
a
x
a
y
a
x
a
a
+
+
+
+
+
−
=
ϕ
3
7
2
4
2
1
3
01
.
0
01
.
0
01
.
0
10
1
.
6
a
a
a
a
+
+
+
=
⋅
−
−
−
W
ę
zeł
k
2
8
5
3
5
01
.
0
01
.
0
10
6
.
3
a
a
a
+
+
=
⋅
−
2
7
4
2
5
01
.
0
3
01
.
0
2
10
2
.
8
a
a
a
−
−
−
=
⋅
−
−
+
+
⋅
+
+
+
+
=
⋅
−
−
2
6
5
2
4
3
2
1
3
003
.
0
004
.
0
003
.
0
004
.
0
003
.
0
004
.
0
10
0
.
6
a
a
a
a
a
a
2
9
2
8
6
5
3
5
003
.
0
3
)
003
.
0
004
.
0
2
004
.
0
(
003
.
0
2
004
.
0
10
6
.
5
a
a
a
a
a
+
⋅
⋅
+
+
+
+
=
⋅
−
[
]
)
003
.
0
003
.
0
004
.
0
2
(
004
.
0
3
003
.
0
004
.
0
2
10
2
.
4
2
8
2
7
5
4
2
5
+
⋅
⋅
+
+
+
+
−
=
⋅
−
−
a
a
a
a
a
(
)
3
9
2
2
8
3
7
003
.
0
003
.
0
004
.
0
003
.
0
004
.
0
004
.
0
a
a
a
+
⋅
+
⋅
+
+
Funkcja kształtu
a
6.1
−
10
3
−
×
1.2
10
5
−
×
2.3
−
10
5
−
×
0.011
−
0.167
−
=
u
6.1
−
10
3
−
⋅
2.3
−
10
5
−
⋅
1.2
−
10
5
−
⋅
6.1
−
10
3
−
⋅
3.6 10
5
−
⋅
:=
M
1
0
0
1
0
0
0
1
−
0.01
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
10
4
−
×
0
0
0
0
0
0.01
0
0
0
0
0
0
0
0
1
10
6
−
×
0
0
0
0
0
1
10
4
−
×
0
0
0
0
0
=
Wynikiem rozwi
ą
zania układu równa
ń
jest macierz a
a
0.167
−
33.543
0.94
17.327
7.452
−
10
3
×
=
u
3.6 10
5
−
⋅
8.2
−
10
5
−
⋅
6.0
−
10
3
−
⋅
5.6 10
5
−
⋅
4.2
−
10
5
−
⋅
:=
M
0
1
0
0
1
−
4
10
3
−
×
0
1
−
0
3
10
3
−
×
1
0
0.02
−
1.6
10
5
−
×
0
8
−
10
3
−
×
0
1.2
10
5
−
×
4
10
3
−
×
3
−
10
3
−
×
0
9
10
6
−
×
6
10
3
−
×
0
3
−
10
4
−
×
6.4
10
8
−
×
0
4.8
−
10
5
−
×
0
8.4
10
8
−
×
4
10
5
−
×
3.3
−
10
5
−
×
0
2.7
10
8
−
×
2.7
10
5
−
×
0
=
(
)
3
9
2
2
8
3
7
2
6
5
2
4
3
2
1
)
,
(
y
a
xy
y
x
a
x
a
y
a
xy
a
x
a
y
a
x
a
a
y
x
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
−
−
−
2
2
5
5
3
543
.
33
167
.
0
011
.
0
10
3
.
2
10
2
.
1
10
1
.
6
)
,
(
y
xy
x
y
x
y
x
w
(
)
3
3
2
2
3
10
452
.
7
327
.
17
94
.
0
y
xy
y
x
x
⋅
−
+
+
+
+
Funkcja kształtu, po wykorzystaniu rozwi
ą
zania układu równa
ń
, przyjmuje form
ę
:
Odkształcenia
ε
ε
ε
ε
=
w
x
x
y
x
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
2
2
2
2
2
2
Z
X
h
Y
P(x,y,z)
x
y
z
Odkształcenia wyznaczamy ze wzoru
x
x
∂
∂
(
)
y
x
y
a
x
a
a
y
y
x
w
3
9
8
6
2
2
10
452
.
7
6
327
.
17
2
543
.
33
2
6
2
2
)
,
(
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
∂
∂
(
)
y
x
y
a
x
a
a
x
y
x
w
327
.
17
2
94
.
0
6
011
.
0
2
2
6
2
)
,
(
8
7
4
2
2
⋅
+
⋅
+
−
⋅
=
+
+
=
∂
∂
(
)
y
x
y
x
a
a
x
y
y
x
w
+
⋅
⋅
+
−
=
+
+
=
2
327
.
17
167
.
0
)
2
2
(
)
,
(
8
5
2
∂
∂
∂
+
+
−
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
−
−
−
2
2
5
5
3
543
.
33
167
.
0
011
.
0
10
3
.
2
10
2
.
1
10
1
.
6
)
,
(
y
xy
x
y
x
y
x
w
(
)
3
3
2
2
3
10
452
.
7
327
.
17
94
.
0
y
xy
y
x
x
⋅
−
+
+
+
gdzie
w
jest opisane funkcj
ą
kształtu:
a odpowiednie pochodne wynosz
ą
:
Odkształcenia
ε
ε
ε
ε
=
w
x
x
y
x
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
2
2
2
2
2
2
Odkształcenia na górze płyty - współrz
ę
dne punktu
P(0.004;0.002,0.05)
m
x
004
.
0
=
m
y
002
.
0
=
m
z
05
.
0
=
Z
X
h
Y
P(x,y,z)
x
y
z
(
)
2234
.
22
10
452
.
7
6
327
.
17
2
543
.
33
2
)
,
(
3
2
2
−
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
y
x
y
y
x
w
∂
∂
(
)
069868
.
0
327
.
17
2
94
.
0
6
011
.
0
2
)
,
(
2
2
=
⋅
+
⋅
+
−
⋅
=
y
x
x
y
x
w
∂
∂
(
)
07558
.
0
2
327
.
17
167
.
0
)
,
(
2
=
+
⋅
⋅
+
−
=
y
x
x
y
y
x
w
∂
∂
∂
+
+
−
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
−
−
−
2
2
5
5
3
543
.
33
167
.
0
011
.
0
10
3
.
2
10
2
.
1
10
1
.
6
)
,
(
y
xy
x
y
x
y
x
w
(
)
3
3
2
2
3
10
452
.
7
327
.
17
94
.
0
y
xy
y
x
x
⋅
−
+
+
+
3
10
49
.
3
−
⋅
−
=
x
ε
111
.
1
=
y
ε
3
10
5578
.
7
−
⋅
−
=
xy
γ
Warto
ś
ci pochodnych w punkcie liczymy podstawiaj
ą
c do poni
ż
szych wzorów
warto
ś
ci
x
i
y
, a potem przemna
ż
aj
ą
c przez
–z
dostajemy odkształcenia
Napr
ęż
enia
ε
ε
ε
ε
=
xy
y
x
γ
ε
ε
Odkształcenia na górze płyty - współrz
ę
dne punktu P(0.004;0.002,0.05)
3
10
49
.
3
−
⋅
−
=
x
ε
111
.
1
=
y
ε
3
10
5578
.
7
−
⋅
−
=
xy
γ
σσσσ
=
D
εεεε
1
0
ν
E=5·10
6
kPa, v=0.2,
Napr
ęż
enia wyznaczamy ze wzoru
D
=
−
−
E
1
1
0
1
0
0
0
1
2
2
ν
ν
ν
ν
(
)
kPa
kPa
x
11
.
1139
1111
.
1
2
.
0
10
49
.
3
2
.
0
1
10
5
3
2
6
=
⋅
+
⋅
−
−
⋅
=
−
σ
(
)
y
x
x
E
ε
ν
ε
ν
σ
⋅
+
−
=
2
1
(
)
y
x
y
E
ε
νε
ν
σ
+
−
=
2
1
(
)
yx
yx
yx
E
E
γ
ν
γ
ν
ν
τ
+
=
−
−
=
1
2
2
1
1
2
(
)
kPa
kPa
y
83
.
5782
1111
.
1
2
.
0
10
49
.
3
2
.
0
1
10
5
3
2
6
=
+
⋅
⋅
−
−
⋅
=
−
σ
(
)
(
)
kPa
kPa
yx
42
.
15745
10
5578
.
7
2
.
0
1
2
10
5
3
6
−
=
⋅
−
+
⋅
=
−
τ
gdzie
lub w innej formie:
Napr
ęż
enia
Napr
ęż
enia na dole płyty - współrz
ę
dne punktu P(0.004;0.002,-0.05)
3
10
49
.
3
−
⋅
=
x
ε
m
x
004
.
0
=
m
y
002
.
0
=
m
z
05
.
0
−
=
111
.
1
−
=
y
ε
(
)
kPa
kPa
x
11
.
1139
1111
.
1
2
.
0
10
49
.
3
2
.
0
1
10
5
3
2
6
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
=
−
σ
E=5·10
6
kPa, v=0.2,
(
)
kPa
kPa
y
83
.
5782
1111
.
1
2
.
0
10
49
.
3
2
.
0
1
10
5
3
2
6
−
=
−
⋅
⋅
−
⋅
=
−
σ
3
10
5578
.
7
−
⋅
=
xy
γ
2
.
0
1
2
−
(
)
(
)
kPa
kPa
yx
42
.
15745
10
5578
.
7
2
.
0
1
2
10
5
3
6
=
⋅
+
⋅
=
−
τ
Z
X
h
Y
kPa
x
11
.
1139
=
σ
kPa
x
11
.
1139
−
=
σ
kPa
y
83
.
5782
=
σ
kPa
y
83
.
5782
−
=
σ
Napr
ęż
enia Hubera-Misesa na dole
2
2
2
3
yx
y
x
y
x
red
τ
σ
σ
σ
σ
σ
+
+
+
=
kPa
red
2
2
2
42
.
315745
83
.
5782
11
.
1139
83
.
5782
11
.
1139
+
⋅
+
+
=
σ
kPa
red
29
.
28019
=
σ
Wykresy napr
ęż
e
ń
na przekrojach płyty
Koniec