Przestrzenią wektorową nazywamy strukturę:

grupa abelowa // jeśli działanie jest:

-

Wewnętrzne:

-

Przemienne:

-

Łączne:

-

Istnieje element neutralny:

-

Istnieje element symetryczny:

jest podprzestrzenią

Liniowa niezależność wektorów:

Liniową powłoką zbioru wektorów nazywamy zbiór wszystkich wektorów będących
liniową kombinacją wektorów zbioru . Oznaczenie aby dana baza generowała
przestrzeń , to ilość wektorów w bazie musi być równa wymiarowi oraz te
wektory muszą być liniowo niezależne.
Reper bazowy – uporządkowana baza
Skalary

nazywamy współrzędnymi wektora względem repera bazowego

]B

Własności odwzorowania
monomorfizm bo baza nie istnieje
epimorfizm

macierz o kolumnach ( dziedziny) i wierszach ( zapasu), taka,

że -tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne obrazu poprzez , -tego wektora
bazy

względem bazy

(współrzędne obrazów kolejnych wektorów z bazy

względem

bazy

(współrzędne obrazów kolejnych wektorów z bazy

względem bazy

są

kolejnymi kolumnami macierzy

Mnożąc macierz przejścia

przez kolumnę współrzędnych wektora względem

starej bazy

otrzymuje się współrzędne tego wektora względem nowej bazy

Złożenie odwzorowań:

Odwzorowanie liniowe –

Macierz przejścia od bazy

do bazy

nazywamy macierz kwadratową stopnia ,

oznaczaną

, taką, że -tą kolumną tej macierzy tworzą współrzędne -tego

wiersza wektora bazy

względem

(współrzędne wektorów nowej bazy

względem

starej

stanowią kolejne kolumny tej macierzy)

Związek pomiędzy macierzami odwzorowań w nowych bazach i starych bazach

Mnożąc macierz odwzorowania (

przez współrzędne wektora w bazie

dziedziny (

), otrzymuje się współrzędne tego wektora względem bazy zapasu (

Diagonalizacja:

wartość własna

wektor własny

Macierz macierz diagonalna, która na przekątnej ma wartości własne
Macierz macierz, której kolumnami są wektory własne, ustawione w kolejności
odpowiadającej kolejności ich wartości własnych

Jeżeli krotność

to tworząc macierz diagonalną wartości własne odpowiadające

tej krotności ustawione są w sąsiednich kolumnach.
Jeżeli ilość wektorów własnych jest równa ich krotności macierz jest diagonalizowalna

Relacja podzielności:
Własności: Relację nazywamy:



zwrotną:



symetryczną:



przechodnią



antysymetryczną:



asymetryczną:



spójną:

Def Relacje nazywamy równoważnością jest zwrotna, symetryczna, przechodnia
Def Relacje nazywamy porządkową jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, jeżeli
jest jeszcze spójna to Relacje nazywamy porządkiem liniowym
Klasa równoważności (abstrakcji) są to elementy x spełniające relacje:

Liczby zespolone:

Moduł:

Postać trygonometryczna:

Iloczyn:

Iloraz:

Potęgi:

Pierwiastki:

0

, gdzie n to liczna pierwiastków

Postać wykładnicza:

Interpretacje geometryczne –zespolone

1.

koło

2.

- symetralna odcinka

Dopełnienie algebraiczne elementu a

ij

: D

ij

= (-l)

i+j

det A

ij

Twierdzenie Laplace'a:

Własności wyznaczników (dla kolumn lub wierszy):

1.

det [K1...0...]=0

2.

det [K1... Ki... Kj... Kn] = - det [K1 ... Kj... Ki... Kn]

3.

det [K1 ...C Ki... Kn] = Cdet [K1 ...Ki,... Kn]

4.

det [K1... Ki-j... Kn] = det [K1... Ki... Kn] + det [K,... Kj... Kn]

5.

det [K1... Ki... Kj... Kn] = det [K1... Ki +cKj... Kn]

6.

det (A*B) = detA * det B

Macierz A nazywamy odwracalną gdy istnieje takie B

n x m

: A B= BA=I

n

Macierz A

nazywamy osobliwą, gdy det A=0.
Twierdzenie o macierzy odwrotnej: Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n.
Macierz A jest odwracalna <=> gdy wyznacznik jest różny od 0. A

-1

= 1/(det A) • [D

ij

]

T

Wyznaczanie macierzy odwrotnej bez wyznacznika: A - macierz kwadratowa stopnia n,
nieosobliwa

[A | I

n

] - operacje na wierszach —► [ I

n

| A

-1

]

Operacje na wierszach:
1. Przestawianie pomiędzy sobą dwóch wierszy

2. Mnożenie wiersza przez stalą niezerową

3. Do dowolnego wiersza dodanie sumy odpowiadających im elementów innych

wierszy.

Własności macierzy odwrotnej:

det A

-1

= (det A)

-1

(A-B)

-1

=B

-1

A

-1

(A

-1

)

-1

= A

Minorem stopnia r nazywamy wyznacznik podmacierzy kwadratowej stopnia r (wyjętej z
danej macierzy A).
Rząd macierzy A jest równy r <=> istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia r, a
wszystkie minory wyższych stopni są równe 0. Operacje elementarne na wierszach
macierzy nie zmieniające jej rzędu:

1.

Mnożenie ustalonego wiersza przez skalar (różny od 0)

2.

Dodanie do ustalonego wiersza innego wiersza pomnożonego przez skalar

3.

Przestawienie dwóch wierszy

4.

Skreślenie wiersza złożonego z samych 0 lub proporcjonalnego z innym.

Macierzą schodkową nazywamy macierz, w której pierwsze niezerowe elementy
(schodki) w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących
numerach. Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie schodków.

(*)

Układ (*) nazywamy układem jednorodnym <=>

Układ (*) jest

układem Crammera <=> m=n oraz det A jest różny od 0. Układ Crammera ma dokładnie 1
rozwiązanie dane wzorem:

gdzie A

i

- macierz powstała z macierzy A przez

zamianę i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Jednorodny układ Crammera ma zawsze rozwiązanie równe 0.

Twierdzenia (Kromeckera-Capellego):
Układ m równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie <=> rz A = rz U (gdzie A jest
macierzą współczynników, U jest macierzą uzupełnioną kolumną wyrazów wolnych)
Wniosek:
1.

Rz A jest różny od rz U => układ sprzeczny

2.

Rz A= rz U = r => układ posiada rozwiązania zależne od n-r parametrów (n - liczba

niewiadomych).