Przestrzenią wektorową nazywamy strukturę:                        
                                             

         grupa abelowa // jeśli działanie     jest: 

- 

Wewnętrzne:        

- 

Przemienne:               

- 

Łączne:                          

- 

Istnieje element neutralny:                   

- 

Istnieje element symetryczny:      

 

     

 

        

                                                    

                                                   

                                                        

          

      

  jest podprzestrzenią                      

 

       

 

         

 

   

 

              

Liniowa niezależność wektorów:  

 

 

    

 

          

 

       

 

                                       

Liniową powłoką zbioru wektorów   nazywamy zbiór wszystkich wektorów będących 
liniową kombinacją wektorów zbioru  . Oznaczenie         aby dana baza generowała 
przestrzeń  , to ilość wektorów w bazie musi być równa wymiarowi          oraz te 
wektory muszą być liniowo niezależne. 
Reper bazowy – uporządkowana baza 
Skalary  

 

   

 

       

 

 nazywamy współrzędnymi wektora względem repera bazowego 

                

 

   

 

       

 

]B 

Własności odwzorowania 
    monomorfizm                                    bo baza nie istnieje 
    epimorfizm              

 

         

                          

 

             

                                                   

 

   

 

         

          

 

   

 

       

 

     

 

     

 

   

 

       

 

                 

                                   

 

   

 

       

 

     

    

 

   

 

   macierz o   kolumnach (    dziedziny) i   wierszach (    zapasu), taka, 

że  -tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne obrazu poprzez  ,  -tego wektora 
bazy  

 

względem bazy  

 

(współrzędne obrazów kolejnych wektorów z bazy  

 

względem 

bazy  

 

 (współrzędne obrazów kolejnych wektorów z bazy  

 

względem bazy  

 

są 

kolejnymi kolumnami macierzy    
 

 

 

  

         

Mnożąc macierz przejścia    

 

   

 

  przez kolumnę współrzędnych wektora względem 

starej bazy   

 

  otrzymuje się współrzędne tego wektora względem nowej bazy   

 

  

                              

    

 

      

 

                

 

      

 

 

Złożenie odwzorowań: 
             

   

  

 

   

 

         

 

   

 

         

 

   

 

               

     

  

 

   

 

        

 

   

 

   

    

 

   

 

  

Odwzorowanie liniowe –       

 

   

 

                   

 

    

 

           

 

           

 

  

Macierz przejścia od bazy  

 

do bazy  

 

 nazywamy macierz kwadratową stopnia  , 

oznaczaną    

 

   

 

 , taką, że  -tą kolumną tej macierzy tworzą współrzędne  -tego 

wiersza wektora bazy  

 

 względem  

 

 (współrzędne wektorów nowej bazy  

 

 względem 

starej  

 

 stanowią kolejne kolumny tej macierzy) 

Związek pomiędzy macierzami odwzorowań w nowych bazach i starych bazach 

 

Mnożąc macierz odwzorowania (    

 

   

 

   przez współrzędne wektora w bazie 

dziedziny ( 

 

), otrzymuje się współrzędne tego wektora względem bazy zapasu ( 

 

  

Diagonalizacja: 
 

 

                 

 

 

                 

 

 

                  

wartość własna               

 

      

wektor własny     

   

         

 

 

 

 

 

          

 

     

 

 

 

 

 

     

 

 

 

     

Macierz     macierz diagonalna, która na przekątnej ma wartości własne 
Macierz     macierz, której kolumnami są wektory własne, ustawione w kolejności 
odpowiadającej kolejności ich wartości własnych      

  

        

Jeżeli krotność   

 

        to tworząc macierz diagonalną wartości własne odpowiadające 

tej krotności ustawione są w sąsiednich kolumnach. 
Jeżeli ilość wektorów własnych jest równa ich krotności   macierz jest diagonalizowalna 

 

 

 

 

  

 

    

 

 

   

 

 

 

  

 

 

     

 

 

 

  

 

    

 

 

 

  

 

 

                                                 

 

Relacja podzielności:                                                        
Własności: Relację nazywamy: 



 

zwrotną:                  



 

symetryczną:                            



 

przechodnią                                        



 

antysymetryczną:                                         



 

asymetryczną:                                  



 

spójną:                                      

 
 

Def Relacje nazywamy równoważnością   jest zwrotna, symetryczna, przechodnia  
Def Relacje nazywamy porządkową   jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, jeżeli 
jest jeszcze spójna to Relacje nazywamy porządkiem liniowym 
Klasa równoważności (abstrakcji) są to elementy x spełniające relacje:    
                            
Liczby zespolone:            

Moduł:         

 

   

 

     

      

 

   

      

 

   

  

Postać trygonometryczna:                              
  

 

   

 

             

 

     

 

              

 

   

 

            

 

     

 

       

 

 

   

 

   

 

      

 

      

 

  

Iloczyn:   

 

   

 

    

 

      

 

        

 

   

 

          

 

   

 

   

Iloraz:    

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

       

 

   

 

          

 

   

 

   

Potęgi:    

 

     

 

                      

Pierwiastki: 

  

 

     

 

        

     

 

          

     

 

                        0 

  

 

   

   

      

  

 

          

  

 

    , gdzie n to liczna pierwiastków 

Postać wykładnicza:  

  

               

         

  

          

 

   

 

    

 

      

 

  

   

 

  

 

 

 

Interpretacje geometryczne –zespolone 

1.        

 

        koło 

2.        

 

          

 

  - symetralna odcinka 

Dopełnienie algebraiczne elementu a

ij

: D

ij

= (-l)

i+j

 det A

ij 

Twierdzenie Laplace'a:           

 

  

 

  

 

   

            

 

  

 

  

 

   

 

 

Własności wyznaczników (dla kolumn lub wierszy): 

1. 

det [K1...0...]=0 

2. 

det [K1... Ki... Kj... Kn] = - det [K1 ... Kj... Ki... Kn] 

3. 

det [K1 ...C Ki... Kn] = Cdet [K1 ...Ki,... Kn] 

4. 

det [K1... Ki-j... Kn] = det [K1... Ki... Kn] + det [K,... Kj... Kn] 

5. 

det [K1... Ki... Kj... Kn] = det [K1... Ki +cKj... Kn] 

6. 

det (A*B) = detA * det B 

Macierz A nazywamy odwracalną gdy istnieje takie  B 

n x m

: A B= BA=I

n

 Macierz A 

nazywamy osobliwą, gdy det A=0. 
Twierdzenie o macierzy odwrotnej: Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. 
Macierz A jest odwracalna <=> gdy wyznacznik jest różny od 0. A

-1

= 1/(det A) • [D

ij

]

T

 

Wyznaczanie macierzy odwrotnej bez wyznacznika: A - macierz kwadratowa stopnia n, 
nieosobliwa  

[A | I

n

] - operacje na wierszach —► [ I

n

 | A

-1

] 

Operacje na wierszach: 
1.  Przestawianie pomiędzy sobą dwóch wierszy 

 

2.  Mnożenie wiersza przez stalą niezerową 

 

3.  Do dowolnego wiersza dodanie sumy odpowiadających im elementów innych 

wierszy. 

  

Własności macierzy odwrotnej: 

det A

-1

= (det A)

-1

 

(A-B)

-1

=B

-1

A

-1

 

(A

-1

)

-1

  = A 

Minorem stopnia r nazywamy wyznacznik podmacierzy kwadratowej stopnia r (wyjętej z 
danej macierzy A). 
Rząd macierzy A jest równy r <=> istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia r, a 
wszystkie minory wyższych stopni są równe 0. Operacje elementarne na wierszach 
macierzy nie zmieniające jej rzędu: 

1. 

Mnożenie ustalonego wiersza przez skalar (różny od 0) 

2. 

Dodanie do ustalonego wiersza innego wiersza pomnożonego przez skalar 

3. 

Przestawienie dwóch wierszy 

4. 

Skreślenie wiersza złożonego z samych 0 lub proporcjonalnego z innym. 

Macierzą schodkową nazywamy macierz, w której pierwsze niezerowe elementy 
(schodki) w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących 
numerach. Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie schodków. 

(*)   

 

  

 

 

   

  

 

 

         

  

 

 

   

 

 

 

  

 

 

   

  

 

 

         

  

 

 

   

 

  

 
Układ (*) nazywamy układem jednorodnym <=> 

                

 

    Układ (*) jest 

układem Crammera <=> m=n oraz det A jest różny od 0. Układ Crammera ma dokładnie 1 
rozwiązanie dane wzorem: 

 

 

     

 

    

 gdzie A

i

- macierz powstała z macierzy A przez 

zamianę i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.  
Jednorodny układ Crammera ma zawsze rozwiązanie równe 0. 

Twierdzenia (Kromeckera-Capellego): 
Układ m równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie <=> rz A = rz U (gdzie A jest 
macierzą współczynników, U jest macierzą uzupełnioną kolumną wyrazów wolnych) 
Wniosek: 
1. 

Rz A jest różny od rz U => układ sprzeczny 

2. 

Rz A= rz U = r => układ posiada rozwiązania zależne od n-r parametrów (n - liczba 

niewiadomych).