Analiza regresji …

Lista zadań nr 2

We wszystkich zadaniach o estymatorze MNK rozważamy model liniowy Y=X



+Z przy

założeniach, że wektor losowy Z ma wartość oczekiwana 0 oraz, że istnieje jego macierz
kowariancji



Z

Zadanie 1

Wykaż, że dowolne rozwiązanie b

*

równania normalnego X

T

Xb=X

T

Y jest estymatorem

MNK parametru



, tzn. spełnia warunek: dla każdego b R

k

zachodzi

|| Y-Xb

*

||

2

≤ || Y-Xb||

2

.

Zadanie 2

Podaj definicję estymowalnej funkcji parametrycznej. Podaj wzór na estymator MNK funkcji
estymowalnej w sytuacji, gdy wszystkie funkcje parametryczne są estymowalne.

Zadanie 3

Oblicz wariancję estymatora MNK zakładając, że macierz kowariancji wektora zakłóceń Z
jest diagonalna i jej wszystkie elementy diagonalne są równe oraz że macierz obserwacji X
jest pełnego rzędu.

Zadanie 4

Jeżeli wszystkie funkcje parametryczne są estymowalne, to E(Y-Xb)=0, gdzie jest b
estymatorem MNK parametru



Zadanie 5

Dla dowolnej macierzy X wymiaru nxk, określmy macierz A następująco:

)

)

(

(

1

T

T

X

X

X

X

I

A







, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego stopnia (jakiego?).

Pokaż, że A

jest idempotentna.

Zadanie 6

Sprawdź, że dla dowolnego wektora losowego Y o macierzy kowariancji

Y



oraz dowolnej macierzy

A odpowiedniego wymiaru zachodzi

Y

A

Y

A

Y

AY

Y







tr

E

E

E

T

T

.

Zadanie 7

Przypomnij, jakie związki zachodzą pomiędzy zmiennymi losowymi o rozkładach
normalnych, chi- kwadrat, Studenta, F-Snedecora.