ROZDZIAŠ 1. TERMODYNAMIKA

Mariusz Mroczek

Ad e) Na pocz¡tek obliczymy liczb¦ moli gazu, pomno»on¡ przez staª¡ gazow¡, poniewa» wiel-
ko±¢ nR b¦dzie wyst¦powaªa w kolejnych wzorach. Do tego celu mo»na skorzysta¢ z równania
stanu, np. dla stanu A:

p

A

V

A

= nRT

A

,

nR =

p

A

V

A

T

A

=

2 · 10

5

· 10 · 10

−3

400

= 5

J/K.

Warto sprawdzi¢, »e wynik jest taki sam dla stanu B oraz C.

Dla izochorycznej przemiany A → B mamy:

Q

AB

= nc

V

∆T

AB

= n

3

2

R ∆T

AB

=

3

2

· 5 · (1000 − 400) = 4 500

J;

∆U

AB

= Q

AB

(z wªasno±ci przemiany), ∆U

AB

= 4 500

J;

W

AB

= 0.

Dla izobarycznej przemiany C → A mamy:

Q

CA

= nc

p

∆T

CA

= n

5

2

R ∆T

CA

=

5

2

· 5 · (400 − 1000) = −7 500

J;

∆U

CA

= nc

V

∆T

CA

= n

3

2

R ∆T

CA

=

3

2

· 5 · (400 − 1000) = −4 500

J;

∆U

CA

= Q

CA

+ W

CA

,

−4 500

J = −7 500 J + W

CA

,

W

CA

= 3 000

J.

Zwró¢my uwag¦ na znaki obliczonych wielko±ci.

Przykªad 1.8.6 (Cykl przemian, sprawno±¢ cyklu)
Na zamieszczonym wykresie, w pªaszczy¹nie parametrów stanu (V, p), przedstawiony jest pe-
wien cykl przemian gazu doskonaªego. Temperatura gazu w stanie A wynosi T

A

= 400 K

.

a) Doko«cz zdania:

Przemiany A → B oraz C → D s¡ przemianami ...............................
Przemiany B → C oraz D → A s¡ przemianami ...............................

b) Oblicz |W

u

|

- warto±¢ bezwzgl¦dn¡ pracy u»ytecznej otrzymanej w efekcie cyklu przemian

A → B → C → D → A

.

c) Oblicz temperatury gazu: T

B

, T

C

, T

D

, gdy znajdowaª si¦ on odpowiednio w stanach: B,

C

, D.

32

EDUKARIS

1.8. PRZYKŠADY Z ROZWIZANIAMI

d) Korzystaj¡c z rozwi¡zania podpunktu b), narysuj wykres przemian w cyklu A → B →
C → D → A

w pªaszczy¹nie (T, p).

e) Na których etapach cyklu gaz pobiera ciepªo a na których oddaje ciepªo?
f) Oblicz ilo±¢ ciepªa wymienionego z otoczeniem na poszczególnych etapach cyklu. Ile wy-
nosi ich suma? Przyjmij, dla tego gazu C

V

=

3
2

R

.

g) Oblicz sprawno±¢ tego cyklu.

Rozwi¡zanie

Oznaczenia oraz dane przyjmujemy jak w tre±ci zadania oraz jak na rysunku.

Ad a)

Przemiany A → B oraz C → D s¡ przemianami izobarycznymi.

Przemiany B → C oraz D → A s¡ przemianami izochorycznymi.

Ad b) Warto±¢ bezwzgl¦dna pracy u»ytecznej otrzymanej w efekcie cyklu przemian A → B →
C → D → A

jest równa liczbowo polu ograniczonemu gur¡ ABCD. W tym wypadku mo»na

ªatwo obliczy¢ pole:

|W

u

| =

pole gury ABCD = 4 · 10

5

· 2 · 10

−3

J = 800 J.

Ad c) Temperatury w odpowiednich stanach obliczamy z wªasno±ci przemian. Poniewa»
przemiana A → B jest izobaryczna, to dla takiej zachodzi:

V

A

T

A

=

V

B

T

B

,

T

B

=

V

B

V

A

T

A

=

4 · 10

−3

2 · 10

−3

· 400

K = 800 K.

Dla izochorycznej przemiany B → C mamy:

p

B

T

B

=

p

C

T

C

,

T

C

=

p

C

p

B

T

B

=

4 · 10

5

8 · 10

5

· 800

K = 400 K.

Nast¦pna przemiana, C → D, jest izobaryczna:

V

C

T

C

=

V

D

T

D

,

T

D

=

V

D

V

C

T

C

=

2 · 10

−3

4 · 10

−3

· 400

K = 200 K.

Ad d) Wykres cyklu w pªaszczy¹nie (T, p) prezentuje zamieszczony ni»ej rysunek.

33

ROZDZIAŠ 1. TERMODYNAMIKA

Mariusz Mroczek

Ad e) W przemianie A → B gaz pobiera ciepªo (rozpr¦»anie izobaryczne, wzrost tempera-
tury).
W przemianie B → C gaz oddaje ciepªo (izochoryczne chªodzenie, spadek temperatury).
W przemianie C → D gaz oddaje ciepªo (spr¦»anie izobaryczne, spadek temperatury).
W przemianie D → A gaz pobiera ciepªo (izochoryczne ogrzewanie, wzrost temperatury).

Ad f) Na pocz¡tek obliczymy liczb¦ moli gazu, pomno»on¡ przez staª¡ gazow¡, poniewa» wiel-
ko±¢ nR b¦dzie wyst¦powaªa w dalszych wzorach. Do tego celu mo»na skorzysta¢ z równania
stanu, np. dla stanu A:

p

A

V

A

= nRT

A

,

nR =

p

A

V

A

T

A

=

8 · 10

5

· 2 · 10

−3

400

= 4

J/K.

Obliczamy ciepªo pobrane przez gaz w przemianie izobarycznej A → B:

Q

AB

= nc

p

∆T

AB

;

Q

AB

= n

5

2

R ∆T

AB

=

5

2

· 4 · (800 − 400) = 4 000

J.

Obliczamy ciepªo oddane przez gaz w przemianie izochorycznej B → C:

Q

BC

= nc

V

∆T

BC

;

Q

BC

= n

3

2

R ∆T

BC

=

3

2

· 4 · (400 − 800) = −2 400

J.

Obliczamy ciepªo oddane przez gaz w przemianie izobarycznej C → D:

Q

CD

= nc

p

∆T

CD

;

Q

CD

= n

5

2

R ∆T

CD

=

5

2

· 4 · (200 − 400) = −2 000

J.

Obliczamy ciepªo pobrane przez gaz w przemianie izochorycznej D → A:

Q

DA

= nc

V

∆T

DA

;

Q

DA

= n

3

2

R ∆T

DA

=

3

2

· 4 · (400 − 200) = 1 200

J.

Zauwa»my, »e ilo±¢ ciepªa wymienionego z otoczeniem wynosi:

Q

pobrane

+ Q

oddane

= 4 000

J + 1 200 J − 2 400 J − 2 000 J = 800 J,

tyle, co praca u»yteczna uzyskana w cyklu. Odpowiedz dlaczego tak jest?

Ad g) Obliczamy sprawno±¢ naszego cyklu:

η =

|W

u

|

Q

pobrane

,

η =

800

4 000 + 1 200

≈ 0, 15.

34