Elżbieta Wdowicka, Jacek Wdowicki

Politechnika Poznańska

Algorytmy sumowania

w metodzie spektrum odpowiedzi

i ich wpływ na obliczaną odpowiedź

budynku wysokiego

Abstract

An evaluation is presented of some of the modal maxima
superposition rules, widely used to estimate the response of
multistorey buildings, subjected to earthquake excitations:
(1) the square root of the sum of the squares (SRSS) method;
(2) the double sum combination (DSC) method;
(3)the complete quadratic combination (CQC) method.

The SRSS method provides good peak response estimates for the
regular building, but gives the poor results for irregular building
with the mass offset from the stiffness centre, in which arise
modes with closely spaced periods. It is conclude, that the DSC
and CQC methods provide good response estimates of equivalent
accuracy, for both the regular and irregular building models.

Cel pracy

Celem pracy jest przedstawienie i porównanie, m.in. na podstawie

prac [Mai83, Man86], najpowszechniej stosowanych metod
sumowania maksimów modalnych. W szczególności podane zostaną
różnice między metodą pierwiastka kwadratowego ze sumy
kwadratów (ang. square root of the sum of the squares - SRSS) a
metodami kompletnej kwadratowej kombinacji (ang. complete
quadratic combination - CQC) oraz kombinacji podwójnych sum (ang.
double sum combination - DSC). Mają one istotne znaczenie w
przypadku układów, dla których występują blisko położone częstości
drgań własnych, jak na przykład budynki o środku masy nie
pokrywającym się ze środkiem sztywności.

Wybrane algorytmy sumowania włączone zostały do systemu

programów komputerowych DAMB dla analizy dynamicznej
ś

cianowych budynków wielokondygnacyjnych [Wdo91, Wdo93f] .

Metoda pierwiastka kwadratowego

z sumy kwadratów ( SRSS )

Metoda ta, wprowadzona przez Rosenblueth’a [Goo55], jest

dotychczas najszerzej stosowana. Sposób superpozycji jest w niej
następujący :

R

R

i

i

n

max

=

=

∑

2

1

(1)

gdzie :
R

max

- oszacowanie maksymalnej odpowiedzi wielkości R,

R

i

- maksymalna odpowiedź wielkości R dla i-tej częstości ,

n - liczba rozpatrywanych częstości.

Metoda pierwiastka kwadratowego

z sumy kwadratów ( SRSS ) – c.d.

Metoda ta jest zalecana w inżynierii lądowej, przy projektowaniu

platform wiertniczych, w normach budowlanych USA, a także w
polskiej normie PN-85/B-02170. Jednakże okazało się, że może ona
dawać słabe oszacowania szczytu odpowiedzi dla układów o blisko
położonych

częstościach

drgań

własnych

[Kel80,Wil81,Clo93,Chm98]. Sytuacja taka może pojawić się na
przykład w tak zwanych nieregularnych budynkach wysokich
[Mai83], w których środek masy nie pokrywa się ze środkiem
sztywności

układu.

Dla

takich

przypadków

opracowano

przedstawione dalej inne sposoby superpozycji, takie jak metody DSC
i CQC.

Metoda kombinacji podwójnych sum ( DSC )

Metoda ta, zaproponowana [Ros69e, New71] jako udoskonalenie

SRSS w celu bardziej poprawnego uwzględniania blisko położonych
częstości, opiera się na następującej regule sumowania :

R

R P R

i

n

i

j

n

ij

j

max

=

=

=

∑ ∑

1

1

(2)

gdzie

P

ij

i

j

i

j

j

j

=

+

′ − ′

′

+ ′













1

1

2

ω ω

β ω

β ω

(3)

Metoda kombinacji podwójnych sum ( DSC ) - c.d.

przy czym

( )

′ =

− ′

ω

ω

β

i

i

i

1

2

′ =

+

β

β

ω

i

i

i

S

2

(4)

przy oznaczeniach:

ω

i

- i-ta częstość drgań własnych,

β

i

- ułamek tłumienia krytycznego dla i-tej częstości,

S - czas trwania silnego ruchu ,
P

ij

- macierz współczynników korelacji międzymodalnej, której

elementy przyjmują wartości z zakresu od 0 do 1.

Można zauważyć, że jeżeli częstości są dobrze oddzielone, to

pozadiagonalne elementy macierzy współczynników korelacji
międzymodalnej są małe i metoda DSC staje się równoważna
metodzie SRSS.

Metoda kompletnej kwadratowej kombinacji (CQC)

Metoda CQC [Der80, Der81b, Wil81] jest kolejnym wariantem

metody superpozycji, odpowiedniej dla przypadku blisko położonych
częstości. Sposób kombinacji odpowiedzi modalnych jest tu opisany
następującymi wzorami :

R

R P R

i

n

i

j

n

ij

j

max

=

=

=

∑ ∑

1

1

(5)

gdzie

(

)

(

)

(

) (

)

P

ij

i

j

i

j

i

i

j

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

=

+

−

+

+

+

+

8

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

β β ω ω βω β ω ω ω

ω

ω

β β ω ω ω

ω

β

β ω ω

(6)

Można zauważyć, że dla zerowego tłumienia metoda ta redukuje się do SRSS.

Ponadto, gdy w metodzie DSC czas trwania silnego ruchu S zostanie przyjęty jako równy
nieskończoności , to metody DSC i CQC staną się praktycznie identyczne [Mai83].

Porównanie metod

Przedstawione wyżej metody SRSS, DSC i CQC oparte są na teorii

drgań losowych. Prosta postać metody SRSS w porównaniu z DSC i
CQC jest skutkiem dodatkowego założenia, że drgania modalne są
statystycznie

niezależne.

Dzięki

wprowadzeniu

macierzy

współczynników korelacji międzymodalnej P

ij

metody DSC i CQC

uwzględniają wzajemne wzmocnienie i/lub skasowanie postaci z
blisko położonymi częstościami.

Należy zauważyć, że przy stosowaniu każdej z metod superpozycji

tracony jest znak maksymalnej odpowiedzi. Ponadto, należy pamiętać,
ż

e dla uzyskania najlepszych oszacowań szczytowych wartości

odpowiedzi, kombinacje modalne powinny być przeprowadzane
oddzielnie dla każdej wielkości, która jest rozważana.

Teraz przejść do pliku wyniki-sum-dla-bud-scian.doc

S

M

93'-7"

9

3

'-

7

"

9'-4"

9

'-

4

"

N

Rys. 1 Rzut

15-kondygnacyjnego

budynku nieregularnego

[Mai83]

M - środek masy,

S - środek sztywności,

<--> kierunek trzęsienia ziemi

Tabl. 1. Okresy drgań

własnych budynku

nieregularnego

Nume

r

posta

ci

Okres

[s]

Dominujący

kierunek

1

1.167 pierwsza postać

E-W

2

1.121 pierwsza postać

N-S

3

0.773 pierwsza postać

skrętna

4

0.409 druga postać E-W

5

0.390 druga postać N-S

6

0.278

druga postać

skrętna

7

0.238

trzecia postać

E-W

8

0.225

trzecia postać

N-S

9

0.166 czwarta postać

E-W

10 0.165

trzecia postać

skrętna

Rys. 2 Przykładowe

spektra odpowiedzi

Rys. 3 Obwiednia

maksymalnego momentu
skręcającego dla budynku
nieregularnego

Rys. 4 Obwiednie maksymalnej odpowiedzi budynku

nieregularnego dla wymuszenia Pacoima Dam

(odpowiedź w kierunku równoległym do kierunku trzęsienia

ziemi)

Rys. 5 Obwiednie maksymalnej odpowiedzi budynku

nieregularnego dla wymuszenia Pacoima Dam

(odpowiedź w kierunku prostopadłym do kierunku trzęsienia ziemi)

Wnioski

Z przedstawionych analiz wynika, że metoda pierwiastka

kwadratowego z sumy kwadratów SRSS dostarcza dobrych
oszacowań maksymalnych odpowiedzi dla budynków regularnych,
w których środki masy i sztywności pokrywają się, i może być dla
takich konstrukcji zalecana. Natomiast dla budynków
nieregularnych, w których w odpowiedzi dominują sprzężone
postacie drgań z blisko położonymi częstościami drgań, metoda

SRSS o blisko 25% niedoszacowuje odpowiedzi w kierunku
równoległym do trzęsienia ziemi, przez pominięcie wzmocnienia
międzymodalnego, i o ponad 200% przeszacowuje odpowiedzi w
kierunku prostopadłym, na skutek pominięcia międzymodalnego
kasowania.

W takich przypadkach efektywnym sposobem superpozycji

odpowiedzi modalnych może być wykorzystanie macierzy
współczynników korelacji międzymodalnej, jak to ma miejsce w
metodach CQC i DSC. Obie metody dają dobre oszacowania
maksymalnej odpowiedzi w kierunku równoległym do kierunku
trzęsienia ziemi. Odpowiedzi w kierunku prostopadłym, uzyskane
przy wykorzystaniu metody DSC były niedoszacowane, zaś z
metody CQC - przeszacowane, średnio o ok. 25% [Mai83]. Należy
zauważyć, że różnice pomiędzy oszacowaniami odpowiedzi w
kierunku prostopadłym nie są istotne w zastosowaniach

projektowych, ponieważ wartości tych odpowiedzi są znacznie
mniejsze, niż wartości odpowiadających wielkości w kierunku
równoległym. Podsumowując, można stwierdzić, że metody CQC i
DSC mogą być traktowane, jako dające wyniki o równoważnej
dokładności.

Literatura

Chm98. Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki

budowli, Arkady, Warszawa 1998.

Clo93. Clough R.W., Penzien J.: Dynamics of Structures,

McGraw-Hill, New York, 1993.

Der80. Der Kiureghian A.: "Structural response to stationary

excitation", JEMD, 106, EM6 (1980) 1195-1213.

Der81b. Der Kiureghian A.: "A response spectrum method for

random vibration analysis of MDF systems", EESD, 9, 5
(1981) 419-435.

Goo55.

Goodman L.E., Rosenblueth E., Newmark N.M.: "A

seismic design of firmly founded elastic structures", Trans.
ASCE, 120 (1955) 782-802.

Kel80. Kelly J.M., Sackman J.L.: "Conservatism in summation

rules for closely spaced modes", EESD, 8, 1 (1980) 63-74.

Mai83.

Maison B.F., Neuss C.F., Kasai K.: "The comparative

performance of seismic response spectrum combination
rules in building analysis", EESD, 11, 5 (1983) 623-647.

Man86. Manu C.: "Dynamic analysis of structures with closely

spaced modes using the response spectrum method", Comp.
Struct., 22, 3 (1986) 405-412.

New71.

Newmark N.M., Rosenblueth E.: Fundamentals of

Earthquake Engineering,
Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.Y. 1971.

Ros69e.

Rosenblueth E., Elorduy J.: "Response of linear

system to certain transient disturbances", in: Proc. 4th World
Conf. Earthquake Eng., Santiago, Chile, 1969, vol.1, 185-196.

Wdo91. Wdowicki J., Wdowicka E.: "Integrated system for

analysis of three-dimensional shear wall structures", Comp.
Meth. in Civil Engineering, 1, 3-4 (1991) 53-60.

Wdo93f. Wdowicki J., Wdowicka E.: "DAMB - system

programów do analizy sejsmicznej budynków wysokich
usztywnionych konstrukcjami ścianowymi z nadprożami",
Inż. i Bud., 50, 1 (1993) 11-13.

Wil81. Wilson E.L., Der Kiureghian A., Bayo E.P.: "A replacement

for the SRSS method in seismic analysis", EESD, 9, (1981)
187-194.